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1、1.变量：在某个现象或过程中本身取值会发生变化的量一、变量、常量和函数2.常量：在某个现象或过程中本身取值保持一定的量3.函数：x,y为两个相互联系的变量，若在x的定义域内的 任意一个x值都有一个y值与之对应，则称y是x的函数自变量x的变化范围函数f(x)的定义域所有y的取值函数y的值域1 微积分初步 第1页/共29页 幂函数 y=xn(n为任意实数)三角函数 y=sinx,cosx,tgx,ctgx等 指数函数 y=ex,ax 对数函数 y=logax,lnx 反三角函数 y=arcsin x,arccos x 等4.基本初等函数5.复合函数用基本初等函数复合而成的函数x=u2，u=cos，
2、=t第2页/共29页二、导数二、导数1 微分O1)1)自变量自变量 x x 的增量的增量:2)2)函数增量函数增量:3)3)平均变化率平均变化率:y和x之间满足什么关系?第3页/共29页线性函数线性函数其它函数的增量能否写成类似的形式？抛物线函数抛物线函数含有高阶无穷小，其它函数类似。正旋函数正旋函数e e 指数指数举例：举例：第4页/共29页4)4)自变量微分自变量微分时自变量增量x,改记成 dx5)5)函数微分函数微分时相应的函数增量y,记成 dyd dy y与与d dx x的关系的关系微分 忽略高阶无穷小补充补充第5页/共29页数学上可以证明,对无穷小量dx,有说明：符号“d”的含义微小
3、的增量例如：dx、dm、dV微小量例如：dm、dV第6页/共29页2 微商（导数）对 y=f(x)，若 x 无限趋近某一数值x0，f(x)则无限趋近某一确定数值a，则a就是函数f(x)在x趋近x0时的极限，记作：在有函数值有函数值的情况下,极限就是函数值函数值;在无函无函 数值数值的情况下,极限就显得格外重要了，例如：1)1)极限极限 第7页/共29页2)2)导数导数 OxyyxPQa.a.y y对对x x的平均变化率的平均变化率称作函数y=f(x)对自变量x的导数，b.b.y y对对x x的导数的导数x0时,的极限定义为：等于f(x)曲线在x处切线的斜率c.c.导数的几何意义导数的几何意义第
4、8页/共29页d.d.y y 对对 x x 的二阶导数的二阶导数导函数 f(x)对 x 的导数叫做 y 对 x 的二阶导数，记作例例 函数导数的几个实例函数导数的几个实例第9页/共29页3)3)复合函数的微商复合函数的微商链式法则:第10页/共29页a.导数的基本运算法则第11页/共29页设例由数学归纳法第12页/共29页4)4)基本求导公式：基本求导公式：(1)(C)0，(2)(xn)nxn1，(3)(sin x)cos x，(4)(cos x)sin x，(5)(tan x)sec2x，(6)(cot x)csc2x，(7)(sec x)sec x tan x，(8)(csc x)csc
5、x cot x，(9)(ax)ax ln a，(10)(ex)ex，第13页/共29页极大值或极小值?则由该点的二阶导数来确定1)1)导数与极值导数与极值xyPOyxQM3 微商（导数）的应用第14页/共29页极大值点极小值点OxyyPxQMN拐点第15页/共29页定理1定义：这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达(LHospital)法则。2 2）洛必达法则）洛必达法则例：例：求第16页/共29页三、不定积分若 F(x)=f(x),则 F(x)+c=f(x),F(x)+c 就叫做 f(x)的原函数,有无穷多个；函数 f(x)的所有原函数，就叫 f(x)的
6、不定积分，记为：1、原函数2、不定积分f(x)被积函数x 积分变量积分符号C 积分常数第17页/共29页3.不定积分的性质(先导后积等于自身加上任意常数)(先积后导等于自身)例题（其实，不定积分就是导数的反运算）第18页/共29页4.不定积分的运算法则1）函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和，即2）求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子 可以提到积分号外面来，即3）若且则第19页/共29页2 定积分一、定积分1 曲边梯形的面积曲边梯形曲边梯形是指在直角坐标里 由y y=f f(x x)曲线曲线与x x=a a,x x=b b和x x轴轴三条直线所围成的图形。思想：思想：整体分割小矩形求
7、和得整体近似值。当分割无限细密时，所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值。Oxyxx+dx第20页/共29页Oxyxx+dx把曲边梯形的底a,b分成n个小区间第 i 个小曲边梯形的面积记为小区间的长度记为把n个小矩形总面积第21页/共29页曲边梯形的面积2 函数f(x)在区间a,b上的定积分定积分的几何意义为曲边梯形面积 设函数 y=f(x)在区间 a,b上连续，把 a,b分成宽为x的 n个小区间，当 n 时，的极限叫函数 y=f(x)在区间 a,b 上的定积分，记作：yxabxixi+xy=f(x)第22页/共29页a,b积分区间积分号；被积函数；被积表达式；积分变量；积分的下限与
8、上限。说明定积分的几何意义：定积分的几何意义：在不同的实际问题中，积分可以有完全不同的实际意义，但在几何图形上，它都表示由曲线 y=f(x)、x轴及直线x=a，x=b所围成的曲边梯形面积的代数和。第23页/共29页二、定积分的主要性质1、对调积分上下限，定积分改变符号2、被积函数中的常数因子 可以提到积分符号外面3、两个函数的和或差在a,b上 的定积分等于这两个函数分 别在a,b上定积分的和或差4、如果把区间a,b分成 a,c和c,b则第24页/共29页三、牛顿莱布尼茨公式 设F(x)为函数f(x)在区间a,b上的一个原函数,即 F(x)=f(x),则 通过不定积分计算定积分！例 已知：物体速度其中v0，a是常数求：0-t 时间内的路程第25页/共29页四、定积分中值定理：如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，则在积分区间a,b上至少存在一个点x，使下式成立：f(x)dx f(x)(ba)-积分中值公式 y=f(x)Ox y a b f(x)f(x)dx =f(x)(ba)第26页/共29页例题 用定积分计算曲线长度xdxdydlOyxy=f(x)第27页/共29页作业P418/1（1）（2）（3）（4）3（1）（4）（5）（8）（9）数学知识第28页/共29页感谢您的观看。第29页/共29页