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1、第第8 8章章 数字滤波系统的数字滤波系统的网络结构与分析网络结构与分析课程名称：数字信号处理课程名称：数字信号处理任课教师：莫秉戈任课教师：莫秉戈授课班级：通信授课班级：通信1123-1124 8.1 8.1 数字滤波器的结构表示数字滤波器的结构表示 8.4 8.4 综合实例综合实例 8.3 8.3 IIR数字滤波器的网络结构形式数字滤波器的网络结构形式 8.2 8.2 FIR数字滤波器的网络结构形式数字滤波器的网络结构形式 导入实例导入实例FPGA的的FIR抽取滤波器的设计抽取滤波器的设计 一个时域离散系统或网络可以用差分方程、单一个时域离散系统或网络可以用差分方程、单位脉冲响应及系统函数
2、进行描述。位脉冲响应及系统函数进行描述。前言前言上式为上式为IIR滤波器形式，滤波器形式，bi都为都为0时就是一时就是一个个FIR滤波器。滤波器。前言前言上两式可以化成不同的计算形式上两式可以化成不同的计算形式(其中其中MN)，如直接计算、分解为多个有理函，如直接计算、分解为多个有理函数相加、分解为多个有理函数相乘、交数相加、分解为多个有理函数相乘、交换运算次序等等。不同的计算形式和顺换运算次序等等。不同的计算形式和顺序也就表现出不同的计算结构。序也就表现出不同的计算结构。(1)滤波器的基本特性滤波器的基本特性(如有限长脉冲响应如有限长脉冲响应FIR与无限长脉冲响应与无限长脉冲响应IIR)决定
3、了结构上有不同决定了结构上有不同的特点。的特点。(2)不同结构所需的存储单元及乘法次数不同，不同结构所需的存储单元及乘法次数不同，直接影响系统的运算速度，以及系统的复杂直接影响系统的运算速度，以及系统的复杂程度和成本。程度和成本。(3)不同运算结构的误差及稳定性不同。不同运算结构的误差及稳定性不同。本章主要讨论本章主要讨论IIR和和FIR滤波器的结构及其性滤波器的结构及其性能。能。研究数字滤波系统网络结构意义研究数字滤波系统网络结构意义 数字滤波器有方框图表示法和流图表示法两种数字滤波器有方框图表示法和流图表示法两种表示方法。表示方法。图图8.2 方框图表示法方框图表示法 数字滤波器结构表示数
4、字滤波器结构表示图图8.3 流图表示法流图表示法 数字滤波器结构表示数字滤波器结构表示 但从运算上看，只需要加法、单位延迟、但从运算上看，只需要加法、单位延迟、乘常数三种运算，因此数字滤波结构中乘常数三种运算，因此数字滤波结构中有三个基本运算单元，即加法器，单位有三个基本运算单元，即加法器，单位延时器，乘常系数乘法器。延时器，乘常系数乘法器。例例8.1 画出数字滤波器画出数字滤波器 方框图及方框图及流图表示法结构。流图表示法结构。解：数字滤波器对应的差分方程为解：数字滤波器对应的差分方程为 方框图和流程图表示如图所示。方框图和流程图表示如图所示。例例(1)输入节点或源节点，如输入节点或源节点，
5、如x(n)所处的节点所处的节点。(2)输出节点或阱节点，输出节点或阱节点，y(n)所处的节点所处的节点。(3)分支节点，一个输入，一个或一个以上输分支节点，一个输入，一个或一个以上输出的节点。如节点出的节点。如节点、和和。(4)相加器相加器(节点节点)或和点，有两个或两个以上输或和点，有两个或两个以上输入的节点，如节点入的节点，如节点、。关于流图表示法的定义关于流图表示法的定义(5)通路，从源点到阱点之间沿着箭头方向通路，从源点到阱点之间沿着箭头方向的连续的一串支路，通路的增益是该通路上的连续的一串支路，通路的增益是该通路上各支路增益的乘积，如各支路增益的乘积，如x(n)y(n)。(6)回路，
6、从一个节点出发沿着支路箭头方回路，从一个节点出发沿着支路箭头方向到达同一个节点的闭合通路。组成回路的向到达同一个节点的闭合通路。组成回路的所有支路增益的乘积通常叫做回路增益。图所有支路增益的乘积通常叫做回路增益。图中有两个回路，如中有两个回路，如。关于流图表示法的定义关于流图表示法的定义1.直接型直接型:根据差分方程式给出，根据差分方程式给出，h(n)是有限是有限长序列。长序列。2.级联型级联型:系统函数系统函数H(z)按照二阶因式分解后，按照二阶因式分解后，以级联方式实现。以级联方式实现。3.线性相位型线性相位型:脉冲响应关于脉冲响应关于(N-1)/2呈现奇对呈现奇对称或偶对称，使得乘法运算
7、次数减半，系称或偶对称，使得乘法运算次数减半，系统结构简化。统结构简化。4.频率采样型频率采样型:是一种基于频率响应是一种基于频率响应H(ej)采采样的设计方法；样的设计方法；FIR滤波器主要结构类型和特点滤波器主要结构类型和特点 系统函数系统函数|H(z)|在在|z|0处收敛，极点全部在处收敛，极点全部在z=0处处(即即FIR一定为稳定系统一定为稳定系统)，结构上主要是非递归结，结构上主要是非递归结构，没有输出到输入反馈，但频率采样结构也包构，没有输出到输入反馈，但频率采样结构也包含有反馈的递归部分。含有反馈的递归部分。说明说明系统函数：系统函数：差分方程：差分方程：根据式根据式 给定的非递
8、归差分方程给定的非递归差分方程得出直接型结构，其实现等效于卷积和，这种结构得出直接型结构，其实现等效于卷积和，这种结构类似于横向系统，因此直接型结构也常被称为横向类似于横向系统，因此直接型结构也常被称为横向滤波器，其结构如图所示。滤波器，其结构如图所示。图图8.5 FIR滤波器直接型结构滤波器直接型结构 1.直接型直接型用转置定理（对于单个输入、单个输出的系统，通用转置定理（对于单个输入、单个输出的系统，通过反转网络中的全部支路的方向，并且将其输入和过反转网络中的全部支路的方向，并且将其输入和输出互换，得出的流图具有与原始流图同样的系统输出互换，得出的流图具有与原始流图同样的系统传输函数。传输
9、函数。图图8.6 FIR滤波器直接型的转置结构滤波器直接型的转置结构 等价结构等价结构已知已知FIR滤波器差分方程如下，利用直接型结构实现，滤波器差分方程如下，利用直接型结构实现，并画出结构图。并画出结构图。解：解：根据差分方程得到相应的系统函数根据差分方程得到相应的系统函数对应的直接型结构如图所示。对应的直接型结构如图所示。例例8.2FIR滤波器直接型结构特点如下。滤波器直接型结构特点如下。(1)实现简单，但结构相对复杂，需要实现简单，但结构相对复杂，需要N-1个延个延时器和时器和N个常系数乘法器。个常系数乘法器。(2)系数量化会受到有限字长效应的影响，从系数量化会受到有限字长效应的影响，从
10、而产生较大误差。而产生较大误差。说明说明 为了减少直接型结构误差，有效的方法是把高阶滤波器为了减少直接型结构误差，有效的方法是把高阶滤波器分解成若干个低阶滤波器子系统。通常分解成若干个低阶滤波器子系统。通常h(n)为实数，为实数，H(z)的零的零点分布有四种可能点分布有四种可能(见第见第7章章)。每一对共轭零点可以合成一个。每一对共轭零点可以合成一个二阶子系统。那么二阶子系统。那么H(z)可用二阶节级联构成，每一个二阶节可用二阶节级联构成，每一个二阶节控制一对零点。控制一对零点。2.级联型级联型级联结构级联结构FIR滤波器系统函数为滤波器系统函数为利用级联型结构实现，并画出结构图。利用级联型结
11、构实现，并画出结构图。例例8.3num=-4 6 5 6-4;%输入分子系数向量输入分子系数向量den=1 0 0 0 0;%输入分母系数向量输入分母系数向量z,p,k=tf2zp(num,den);%求出各子系统的零极点求出各子系统的零极点sos,A=zp2sos(z,p,k);%求出各二阶节乘系数求出各二阶节乘系数disp(零点零点:);disp(z);disp(极点极点:);disp(p);disp(增益系数增益系数:);disp(k);disp(二阶节二阶节:);disp(real(sos);程序程序零点零点:2.2601 -0.6013+0.7990i -0.6013-0.7990i
12、 0.4425 极点极点:0 0 0 0增益系数增益系数:-4二阶节二阶节:1.0000 -2.7026 1.0000 1.0000 0 0 1.0000 1.2026 1.0000 1.0000 0 0 所以可以得到级联型滤波器的系统函数为所以可以得到级联型滤波器的系统函数为 运行结果运行结果(1)可以有效控制滤波器的传输零点。可以有效控制滤波器的传输零点。(2)所需要的系数乘法器比直接型的多，所需要的系数乘法器比直接型的多，所以乘法运算量比较大。所以乘法运算量比较大。(3)在不考虑零系数的情况下需要乘法器在不考虑零系数的情况下需要乘法器2M+1个个(M为滤波器的级联子系统的个数为滤波器的级
13、联子系统的个数)，延时器，延时器N-1个。个。FIR滤波器级联型结构特点滤波器级联型结构特点 FIR的重要特点是可设计成具有严格线性相位的滤波的重要特点是可设计成具有严格线性相位的滤波器，此时器，此时h(n)满足偶对称或奇对称条件。而且零满足偶对称或奇对称条件。而且零点也是对称的。点也是对称的。1h(n)偶对称时，偶对称时，FIR滤波器线性相位结构滤波器线性相位结构(1)N为偶数时，系统函数可进一步表示为为偶数时，系统函数可进一步表示为 3.线性相位型结构线性相位型结构h(n)偶对称，偶对称，N=偶数偶数系统函数进一步表示为系统函数进一步表示为可得到线性相位可得到线性相位FIR滤波器的结构滤波
14、器的结构 h(n)偶对称，偶对称，N=奇数奇数(1)N为偶数时，为偶数时，h(n)=-h(N-1-n)，系统函数进一，系统函数进一步表示为步表示为(2)N为奇数时，系统函数为为奇数时，系统函数为h(n)奇对称时的线性相位型结构分析方法与奇对称时的线性相位型结构分析方法与h(n)偶对称时类似，这里不再雷述。偶对称时类似，这里不再雷述。h(n)奇对称奇对称FIR滤波器线性相位结构滤波器线性相位结构FIR滤波器滤波器利用线性相位型结构实现，画出结构图。利用线性相位型结构实现，画出结构图。解：解：由系统函数可知，由系统函数可知，例例8.4所以所以h(n)偶对称，对称中心在偶对称，对称中心在n=(N-1
15、)/2=2处，处，且且N为奇数，其线性相位型结构如图所示。为奇数，其线性相位型结构如图所示。例例8.4结果结果(1)与前两种结构相比结构简化，乘法器个数与前两种结构相比结构简化，乘法器个数减半，仍需要减半，仍需要N-1个延时器。个延时器。(2)当当N为偶数时乘法器个数为为偶数时乘法器个数为N/2，N为奇数为奇数时为时为(N+1)/2。FIR滤波器线性相位型结构特点滤波器线性相位型结构特点前面讨论了有限长序列系统函数前面讨论了有限长序列系统函数H(z)在单位圆在单位圆上作上作N等分采样，这个采样值也就是等分采样，这个采样值也就是h(n)的的离离散傅里叶变换散傅里叶变换值值H(k)，即，即4.频率
16、采样型频率采样型根据第根据第7章的讨论，用频率采样表达系统函数章的讨论，用频率采样表达系统函数的内插公式为的内插公式为上式既包含极点，也包含零点，所以这时滤上式既包含极点，也包含零点，所以这时滤波器具有递归结构。频率采样型结构波器具有递归结构。频率采样型结构,是两部是两部分级联而成，即分级联而成，即 4.频率采样型频率采样型其中其中H1(z)为全零点滤波器，即其零点位于单位为全零点滤波器，即其零点位于单位圆的等间隔点上圆的等间隔点上4.频率采样型频率采样型N=7和和N=8时全零点滤波器的零点分布图时全零点滤波器的零点分布图滤波器滤波器H1(z)又被称为梳状滤波器，其频率响应和幅频特性表又被称为
17、梳状滤波器，其频率响应和幅频特性表达式分别为达式分别为 (8.12)4.频率采样型频率采样型H1(z)另一个滤波器的系统函数为另一个滤波器的系统函数为 是由是由N个单极点的一阶滤波器并联构成，极点正好与个单极点的一阶滤波器并联构成，极点正好与梳状滤波器的一个零点梳状滤波器的一个零点(i=k)相抵消，从而使频率相抵消，从而使频率=2k/N上的频率响应等于上的频率响应等于H(k)。4.频率采样型频率采样型H2(z)4.频率采样型频率采样型H2(z)所有极点都是在单位圆上所有极点都是在单位圆上,由于系数量化的由于系数量化的影响，极点就不能被梳状滤波器的零点所抵消，影响，极点就不能被梳状滤波器的零点所
18、抵消，系统稳定性变差。系统稳定性变差。为了克服稳定性变差的缺点，可以首先进行修为了克服稳定性变差的缺点，可以首先进行修正，将所有谐振器的极点从单位圆向内收缩，使正，将所有谐振器的极点从单位圆向内收缩，使它处在一个靠近单位圆但半径稍小的圆上它处在一个靠近单位圆但半径稍小的圆上r1，同，同时，梳状滤波器的零点也移到半径为时，梳状滤波器的零点也移到半径为r的圆上，也的圆上，也即将频率采样由单位圆移到修正半径即将频率采样由单位圆移到修正半径r的圆上的圆上。4.频率采样型结构存在问题频率采样型结构存在问题 FIR数字滤波器有哪四种基本网络结构数字滤波器有哪四种基本网络结构？每种结构？每种结构的特点。的特
19、点。（1）直接型）直接型 （2）级联型）级联型 （3）线性相位型）线性相位型 （4）频率采样型）频率采样型知知 识识 点点 回回 顾顾 频率采样型结构频率采样型结构若若N阶阶IIR数字滤波器系统差分方程为式数字滤波器系统差分方程为式同一系统函数，有各种不同的结构形式。基本网络同一系统函数，有各种不同的结构形式。基本网络结构有三种，即直接型结构有三种，即直接型(包括直接包括直接型和直接型和直接型型)、级联型和并联型，不同结构的稳定性、复杂程度及级联型和并联型，不同结构的稳定性、复杂程度及性能各不相同。性能各不相同。8.3 IIR滤波器网络结构形式滤波器网络结构形式直接型结构由式直接型结构由式得到
20、网络结构，可以看出得到网络结构，可以看出y(n)由两部分组成，由两部分组成，第一部分第一部分 是一个对输入是一个对输入x(n)的的M节延时链结构，节延时链结构，第二部分第二部分是一个对输出是一个对输出y(n)的的N节延时链结构，是个反馈网络。节延时链结构，是个反馈网络。8.3.2 直接直接型型 8.3.2 直接直接型型(1)由两个网络级联构成，第一个横向结构由两个网络级联构成，第一个横向结构M节节延时网络实现零点，第二个有反馈的延时网络实现零点，第二个有反馈的N节延时节延时网络实现极点，物理概念清楚、简单、易于理网络实现极点，物理概念清楚、简单、易于理解。解。(2)需要的延迟单元太多，共需需要
21、的延迟单元太多，共需M+N个延迟器，个延迟器，当当M=N时为时为2N个。个。(3)系数系数ai和和bi对滤波器性能的控制不直接，一对滤波器性能的控制不直接，一个个ai和和bi的改变会影响系统的零点或极点分布，的改变会影响系统的零点或极点分布，对极、零点的控制难。对极、零点的控制难。(4)容易出现不稳定或产生较大误差。容易出现不稳定或产生较大误差。IIR滤波器直接滤波器直接型结构特点型结构特点直接型结构中的两部分可分别看作是两个独立的网直接型结构中的两部分可分别看作是两个独立的网络络H1(z)和和H2(z),两部分串接构成总的系统函数。由于两部分串接构成总的系统函数。由于系统是线性的，系统是线性
22、的，交换两个级联网络的次序交换两个级联网络的次序得两条延得两条延时链中对应的延时单元内容完全相同时链中对应的延时单元内容完全相同,合并后得到直合并后得到直接接型结构。型结构。8.3.3 直接直接型型 8.3.2 直接直接型型例例8.6 IIR滤波器系统函数滤波器系统函数分别用直接分别用直接型和直接型和直接型结构实现。型结构实现。解解:根据系统函数写出差分方程为根据系统函数写出差分方程为 例例8.6按照差分方程画出如图按照差分方程画出如图8.19所示的直接所示的直接型型和直接和直接型结构。型结构。例例8.6 (1)当当M=N时，延迟单元减少一半，为时，延迟单元减少一半，为N个，个，可节省寄存器或
23、存储单元。可节省寄存器或存储单元。(2)从输入到输出的观点看，两种直接型是从输入到输出的观点看，两种直接型是等效的，所以仍不能克服直接等效的，所以仍不能克服直接型的缺点。型的缺点。IIR滤波器直接滤波器直接II型特点型特点 通常在实际中很少采用上述直接结构实现高阶通常在实际中很少采用上述直接结构实现高阶系统，而是把高阶变成一系列不同组合的低阶系统系统，而是把高阶变成一系列不同组合的低阶系统(一、二阶一、二阶)来实现。为了讨论方便这里令来实现。为了讨论方便这里令M=N，则则一个一个N阶系统函数可用它的零、极点法来表示，将阶系统函数可用它的零、极点法来表示，将其分子、分母都表达为因子形式，即其分子
24、、分母都表达为因子形式，即 8.3.4 级联型级联型二阶子网络称为二阶节，一般形式为二阶子网络称为二阶节，一般形式为 8.3.4 级联型级联型用若干二阶网络级联构成滤波器，其结构如图所示，用若干二阶网络级联构成滤波器，其结构如图所示，所有的二阶节采用直接所有的二阶节采用直接型结构实现。型结构实现。8.3.4 级联型级联型例例8.7 设差分方程为设差分方程为求解并画出它的级联结构。求解并画出它的级联结构。解：根据差分方程可得到相应的系统函数为解：根据差分方程可得到相应的系统函数为例例8.7利用程序将利用程序将H(z)的分子和分母进行因式分解。的分子和分母进行因式分解。a=1-3 0-4 9b=5
25、-12-2 4 2z,p,k=tf2zp(a,b);sos,A=zp2sos(z,p,k)例例8.7程序结果程序结果sos=1.0000 -4.4207 4.0682 1.0000 -3.1839 1.8833 1.0000 1.4207 2.2123 1.0000 0.7839 0.2124A=0.2000 这里这里L=2，所以可以得到相应的系统函数，所以可以得到相应的系统函数结果结果级联结构如图所示级联结构如图所示结果结果(1)实现简化，用一个二阶节，通过变换系数就实现简化，用一个二阶节，通过变换系数就可实现整个系统。可实现整个系统。(2)极、零点可单独控制，便于准确控制滤波器极、零点可单
26、独控制，便于准确控制滤波器的零极点，有效地进行滤波器性能调整。的零极点，有效地进行滤波器性能调整。(3)级联的次序可以互换，各二阶节零、极点的级联的次序可以互换，各二阶节零、极点的搭配可互换位置，所以系统函数的级联结构不唯搭配可互换位置，所以系统函数的级联结构不唯一，优化组合以减小运算误差。一，优化组合以减小运算误差。IIR滤波器级联型结构特点滤波器级联型结构特点 将系统函数展开成部分分式之和，可用并联将系统函数展开成部分分式之和，可用并联方式构成滤波器。每个二阶节可以用直接方式构成滤波器。每个二阶节可以用直接型实型实现。所得到的并联型结构有两种基本类型，即并现。所得到的并联型结构有两种基本类
27、型，即并联联型和并联型和并联型。型。1.并联并联型型 2.并联并联型型 8.3.5 并联型并联型图图8.22 IIR滤波器并联结构滤波器并联结构(a)并联并联型型 (b)并联并联型型 并联型并联型例例8.8 IIR滤波器系统函数为滤波器系统函数为求解并画出并联型结构。求解并画出并联型结构。例例8.8解：解：a=1-3 0-4 9；b=5-12-2 4 2r,p,k=residuez(a,b)%用留数定理来解用留数定理来解disp(留数：留数：);disp(r)disp(极点：极点：);disp(p)disp(常数：常数：);disp(k)程序运行结果程序运行结果留数：留数：-0.0586 -0
28、.5233 -1.8590-2.1155i -1.8590+2.1155i极点：极点：2.3987 0.7851 -0.3919-0.2425i -0.3919+0.2425i常数：常数：4.5000 例例8.8该系统有一对共轭复数极点，利用该系统有一对共轭复数极点，利用a1,b1=residuez(R1,P1,0)语句可获得其所对应的实语句可获得其所对应的实数二阶分式的分子、分母多项式系数，其中数二阶分式的分子、分母多项式系数，其中R1为为共轭复数留数所构成的向量，共轭复数留数所构成的向量，P1为共轭复数极点所为共轭复数极点所构成的向量，构成的向量，a1,b1为有理分式分子和分母多项式为有理
29、分式分子和分母多项式的系数向量。运行下面语句的系数向量。运行下面语句R1=r(3),r(4);P1=p(3),p(4);a1,b1=residuez(R1,P1,0);disp(分子多项式的系数向量：分子多项式的系数向量：);disp(a1)disp(分母多项式的系数向量：分母多项式的系数向量：);disp(b1)例例8.8程序运行结果：程序运行结果：分子多项式的系数向量：分子多项式的系数向量：-3.7181 -2.4831 0分母多项式的系数向量：分母多项式的系数向量：1.0000 0.7839 0.2124将复根合并成系数二阶节，所以并联型结构系统函数将复根合并成系数二阶节，所以并联型结构系统函数为为例例8.8例例8.8重点习题2（2）；6；7；9，10