《数字信号处理王震宇张培珍编第二章.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数字信号处理王震宇张培珍编第二章.ppt（56页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第二章第二章 离散时间信号与离散时间系统离散时间信号与离散时间系统 Discrete-Time Signals and Systems课程名称：数字信号处理课程名称：数字信号处理任课教师：张培珍任课教师：张培珍授课班级：信计授课班级：信计1081-1082 2.1 2.1 离散时间信号离散时间信号2.5 2.5 综合实例综合实例2.4 2.4 离散时间系统分析离散时间系统分析差分方程差分方程 2.3 2.3 离散时间系统离散时间系统2.2 2.2 离散时间信号的运算离散时间信号的运算离散时间信号与离散时间系统离散时间信号与离散时间系统引言引言有关离散时间信号和离散时间系有关离散时间信号和离散时
2、间系统的基本理论和基本概念是全书统的基本理论和基本概念是全书的基础。的基础。时域连续信号时域连续信号如果信号的自如果信号的自变量和函数值都是连续的，称为变量和函数值都是连续的，称为时域连续信号时域连续信号.离散时间信号离散时间信号如果信号的函如果信号的函数值连续，自变量为离散值，称数值连续，自变量为离散值，称为离散时间信号，又称为序列。为离散时间信号，又称为序列。离散时间信号与离散时间系统离散时间信号与离散时间系统2.1 2.1 离散时间信号离散时间信号离散时间信号的数学表示离散时间信号的数学表示离散时间信号往往来源于对时域连续信号的采样，假设采离散时间信号往往来源于对时域连续信号的采样，假设
3、采样周期为样周期为T，采样对象是时域连续信号，采样对象是时域连续信号x(t)，则可知采样信，则可知采样信号为号为 简化为序列来表示，即简化为序列来表示，即 x(n)只在只在n为自然数时才有意义。为自然数时才有意义。x(n)代表第代表第n个序列值，在数值上等个序列值，在数值上等于信号的采样值。于信号的采样值。实际信号处理中，这些数字序列值实际信号处理中，这些数字序列值按顺序存放于存贮器中。按顺序存放于存贮器中。注意离散时间信号与离散时间系统离散时间信号与离散时间系统离散时间信号也可以用集合来表示，如离散时间信号也可以用集合来表示，如离散时间信号还可以使用图形表示，如离散时间信号还可以使用图形表示
4、，如 离散时间信号与离散时间系统离散时间信号与离散时间系统 x k=1,1,2,-1,1;k=-1,0,1,2,3例：离散信号例：离散信号(序列序列)的表示的表示 x k=1,1,2,-1,1;k=-1,0,1,2,3离散时间信号与离散时间系统离散时间信号与离散时间系统2.1.2 2.1.2 典型的离散时间信号典型的离散时间信号序列序列单位阶跃序列单位阶跃序列 Unit step sequence单位阶跃序列是单边序列，如图单位阶跃序列是单边序列，如图2.2所示，数学表达式为所示，数学表达式为 图图2.2 2.2 单位阶跃序列的图形表示单位阶跃序列的图形表示 与与u(t)相比较相比较离散时间信
5、号与离散时间系统离散时间信号与离散时间系统单位脉冲序列单位脉冲序列 Unit sample(impulse)sequence单位脉冲序列单位脉冲序列(n)只有只有n=0时存在值，其他时刻均为时存在值，其他时刻均为0，离散时间信号与离散时间系统离散时间信号与离散时间系统u(n)和和(n)关系关系由于由于(n)具有的采样性，因此其他离散时间信号也可以用具有的采样性，因此其他离散时间信号也可以用(n)及其移位信号加权和表示，即及其移位信号加权和表示，即离散时间信号与离散时间系统离散时间信号与离散时间系统矩形序列矩形序列 矩形序列是类似于连续窗函数概念的离散时间函数，共有矩形序列是类似于连续窗函数概念
6、的离散时间函数，共有N个幅度为个幅度为1的函数值。的函数值。三种序列之间的关系三种序列之间的关系 图图2.5 矩形序列矩形序列RN(n)离散时间信号与离散时间系统离散时间信号与离散时间系统斜变序列斜变序列 斜变序列与连续函数中的斜坡函数类似。但是却没有连续斜变序列与连续函数中的斜坡函数类似。但是却没有连续时间信号中斜坡函数同阶跃函数之间的微分关系。时间信号中斜坡函数同阶跃函数之间的微分关系。图图2.6 斜变序列斜变序列x(n)的图形表示的图形表示离散时间信号与离散时间系统离散时间信号与离散时间系统实指数序列实指数序列 Real-valued exponential sequence实指数序列的
7、数学表达式为实指数序列的数学表达式为 其中其中a为实数。为实数。当当 时，序列是发散的。时，序列是发散的。当当 时，序列是收敛的。时，序列是收敛的。当当 时，序列在一个象限。时，序列在一个象限。当当 时，序列在两个象限。时，序列在两个象限。(a)x1(n)=1.25n(b)(b)x2(n)=0.75n (c)x3(n)=(-1.25)n (d)x4(n)=(-0.75)n离散时间信号与离散时间系统离散时间信号与离散时间系统复指数序列复指数序列 Complex-valued exponential sequence复指数序列的数学表达式为复指数序列的数学表达式为(a)x(n)的实部的实部(b)x
8、(n)的虚部的虚部(b)(c)x(n)的模的模(d)x(n)的相位的相位 离散时间信号与离散时间系统离散时间信号与离散时间系统正弦型序列正弦型序列 Sinusoidal sequence其中，其中，0为数字域角频率。单位是弧度。为数字域角频率。单位是弧度。数字角频率和模拟角频率的关系数字角频率和模拟角频率的关系如如图图：0=/8T=16离散时间信号与离散时间系统离散时间信号与离散时间系统离散时间信号与离散时间系统离散时间信号与离散时间系统思思 考考判断判断 、是否为周期是否为周期函数？函数？离散时间信号与离散时间系统离散时间信号与离散时间系统离散时间信号与离散时间系统离散时间信号与离散时间系统
9、2.2 2.2 离散时间信号的运算离散时间信号的运算加法加法 乘法乘法 移位移位 翻转翻转 尺度变化尺度变化 x(an)为波形压缩为波形压缩 x(n/a)为波形扩展为波形扩展 右移右移左移左移离散时间信号与离散时间系统离散时间信号与离散时间系统离散时间信号与离散时间系统离散时间信号与离散时间系统相加相加 Sum of sequence相乘相乘 Product of sequence离散时间信号与离散时间系统离散时间信号与离散时间系统翻褶翻褶 Turnover of squence移位移位Shift of squence序列的相加和相乘：序列的相加和相乘：x1=0 1 2 3 4 3 2 1 0
10、;ns1=-2;x2=2 2 0 0 0-2-2;ns2=2;nf1=ns1+length(x1)-1;nf2=ns2+length(x2)-1;ny=min(ns1,ns2):max(nf1,nf2);xa1=zeros(1,length(ny);xa2=xa1;xa1(find(ny=ns1)&(ny=ns2)&(ny=nf2)=1)=x2;ya=xa1+xa2;yb=xa1.*xa2;subplot(2,2,1),stem(ny,xa1);ylabel(x1(n)subplot(2,2,3),stem(ny,xa2);ylabel(x2(n)subplot(2,2,2),stem(ny,
11、ya);ylabel(x1(n)+x2(n)subplot(2,2,4),stem(ny,yb);ylabel(x1(n)*x2(n)离散时间信号与离散时间系统离散时间信号与离散时间系统例例2.1 已知有序列已知有序列x(n)和和y(n)，如图，如图2.10所示，所示，计算序列计算序列x(n)和和y(n)间的运算：间的运算：(1)和序列和序列z(n)；(2)积序积序列列R(n)；(3)当当m为为2时，时，x(n)的右移序列的右移序列w(n)；(4)x(n)的的翻转序列翻转序列t(n)；(5)当当a为为2时，时，x(n)的波形压缩的波形压缩x(an)。图图2.10 例例2.1图图 离散时间信号与
12、离散时间系统离散时间信号与离散时间系统解：解：(1)和序列和序列z(n)=3,1,6,1,1,5，如图，如图2.11(a)所示；所示；(2)积序列积序列R(n)=2,-2,8,0,0,6，如图，如图2.11(b)所示；所示；(3)当当m为为2时，时，x(n)的右移序列的右移序列w(n)=2,-1,2,0,1,3，如图，如图2.11(c)所示；所示；(4)x(n)的翻转序列的翻转序列t(n)=3,1,0,2,-1,2，如图，如图2.11(d)所示；所示；(5)当当a为为2时，时，x(an)=2,2,1，x(n)的波形压缩的波形压缩x(an)如图如图2.11(e)所示。所示。离散时间信号与离散时间
13、系统离散时间信号与离散时间系统离散时间信号与离散时间系统离散时间信号与离散时间系统卷积卷积 Convolution of sequences设序列设序列x(n)和和h(n)，其卷积和，其卷积和y(n)定义为定义为卷积和计算分为四个步骤：即折迭卷积和计算分为四个步骤：即折迭(翻褶翻褶)、位移、相乘和相加。、位移、相乘和相加。离散时间信号与离散时间系统离散时间信号与离散时间系统012m1h(m)x(m)01231/21/41/8m0mh(-m)=h(0-m)-2-1翻褶翻褶对应相乘，逐个相加对应相乘，逐个相加,得得y(0)0mh(1-m)-11得得y(1)位移位移1离散时间信号与离散时间系统离散时
14、间信号与离散时间系统-1 0 1 2 34 5y(n)n1/23/47/83/81/8结论：长度分别为结论：长度分别为N1，N2两个序列的线形卷积结果序列长两个序列的线形卷积结果序列长度为度为N1+N2-1离散时间信号与离散时间系统离散时间信号与离散时间系统0 1 2 3 4 5 6 798X(m)0 1 2 3 4 5 6 798y(m)01-2-3-4-5-6-79-8y(-m)f(0)=101-2-3-4-5-6-79-8y(-m)01-2-3-4-5-6-79-8y(1-m)f(1)=2f(2)=3f(3)=4f(4)=5f(5)=3f(6)=1f(7)=-1f(8)=-3f(9)=-
15、5f(10)=-4f(11)=-3f(12)=-2f(13)=-101-2-3-4-5-6-79-8y(2-m)01-2-3-4-5-6-79-8y(3-m)01-2-3-4-5-6-79-8y(4-m)01-2-3-4-5-6-79-8y(5-m)01-2-3-4-5-6-79-8y(6-m)01-2-3-4-5-6-79-8y(7-m)01-2-3-4-5-6-79-8y(8-m)01-2-3-4-5-6-79-8y(9-m)01-2-3-4-5-6-79-8y(10-m)01-2-3-4-5-6-79-8y(11-m)01-2-3-4-5-6-79-8y(12-m)01-2-3-4-5-
16、6-79-8y(13-m)01-2-3-4-5-6-79-8y(14-m)离散时间信号与离散时间系统离散时间信号与离散时间系统2.3 2.3 离散时间系统离散时间系统设离散时间系统的输入序列为设离散时间系统的输入序列为x(n)，系统输出序列用，系统输出序列用y(n)表表示。设运算关系用示。设运算关系用T表示，输出与输入之间关系用下式表示，输出与输入之间关系用下式表示表示y(n)=Tx(n)，其框图如图，其框图如图2.12所示。所示。图图2.12 输输出与出与输输入之入之间间的关系的关系 离散时间信号与离散时间系统离散时间信号与离散时间系统离散时间系统的线性离散时间系统的线性 线性系统满足叠加性
17、和齐次性。线性系统满足叠加性和齐次性。叠加性叠加性y1(n)+y2(n)=Tx1(n)+Tx2(n)=Tx1(n)+x2(n)齐次性齐次性 ay1(n)=aTx1(n)=Tax1(n)ay2(n)=aTx2(n)=Tax2(n)线性线性y(n)=Tax1(n)+bx2(n)=ay1(n)+by2(n)（其中（其中a和和均为常数）均为常数）假设系统的输入序列为假设系统的输入序列为x1(n)和和x2(n)，输出序列对应为，输出序列对应为y1(n)和和y2(n)，则有，则有y1(n)=Tx1(n)和和y2(n)=Tx2(n)成立。成立。离散时间信号与离散时间系统离散时间信号与离散时间系统例例2.2
18、x(n)和和y(n)分别表示系统的输入和输出分别表示系统的输入和输出，判断系统，判断系统y(n)=2x(n)+3是否是线性的。是否是线性的。解解 令令y1(n)=2x1(n)+3和和y2(n)=2x2(n)+3。对于线性系统，。对于线性系统，根据叠加性，有根据叠加性，有y(n)=Tx1(n)+x2(n)=2Tx1(n)+x2(n)+3 =2x1(n)+2x2(n)+3然而然而y1(n)+y2(n)=2x1(n)+3+2x2(n)+3=2x1(n)+2x2(n)+6因此，因此，y(n)y1(n)+y2(n)，故该系统不是线性的。，故该系统不是线性的。离散时间信号与离散时间系统离散时间信号与离散时
19、间系统离散时间系统的时不变性离散时间系统的时不变性 若输入为若输入为x(n)，输出为，输出为y(n)，则当输入为，则当输入为x(n-n0)时，输出时，输出为为y(n-n0)。即，若时不变系统有即，若时不变系统有y(n)=T x(n)，则，则 y(n-n0)=Tx(n-n0)，其中其中n0为任意整数。为任意整数。例例2.3 x(n)和和y(n)分别表示系统的输入和输出，系统分别表示系统的输入和输出，系统y(n)=2x(n)+3是否是时不变的。是否是时不变的。解解 对于系统对于系统y(n)=2x(n)+3来说，由于来说，由于y(n-n0)=2x(n-n0)+3=Tx(n-n0)故该系统是时不变的。
20、故该系统是时不变的。离散时间信号与离散时间系统离散时间信号与离散时间系统例例2.4 x(n)和和y(n)分分别别表表示示系系统统的的输输入入和和输输出出，系系统统y(n)=x(n)cos(n+1)是不是时不变的。是不是时不变的。解解 对于系统对于系统y(n)=x(n)cos(n+1)来说，由于来说，由于y(n-n0)=x(n-n0)cos(n-n0)+1然而然而Tx(n-n0)=x(n-n0)cosn+1因此，因此，y(n-n0)Tx(n-n0)，故该系统不是时不变的。，故该系统不是时不变的。离散时间信号与离散时间系统离散时间信号与离散时间系统离散时间系统的因果性和稳定性离散时间系统的因果性和
21、稳定性 因果系统因果系统，是指某时刻的输出只取决于此刻以及该时刻以，是指某时刻的输出只取决于此刻以及该时刻以前时刻的输入的系统。前时刻的输入的系统。即，即，n=n0的输出的输出y(n0)取决于取决于nn0的输入的输入x(n)|n n0例如例如 y(n)=x(-n)是非因果系统，因是非因果系统，因n0时的输入。时的输入。线性时不变系统是因果系统的充要条件为线性时不变系统是因果系统的充要条件为h(n)=0，n0。所谓所谓稳定系统稳定系统，是指有界的输入产生有界的输出的系统。，是指有界的输入产生有界的输出的系统。即，若即，若|x(n)|M，则，则|y(n)|P 离散时间信号与离散时间系统离散时间信号
22、与离散时间系统系统稳定性判断对分析系统具有十分重要意义。系统稳定性判断对分析系统具有十分重要意义。线性时不变系统是稳定系统的充要条件是线性时不变系统是稳定系统的充要条件是 即单位脉冲响应是绝对可和的。即单位脉冲响应是绝对可和的。离散时间信号与离散时间系统离散时间信号与离散时间系统例例2.5 2.5 某线性时不变系统，其单位脉冲响应为某线性时不变系统，其单位脉冲响应为 ，试讨论其是否是因果的、稳定的系统。，试讨论其是否是因果的、稳定的系统。解解(1)(1)因为因为 时，时，所以该系统是非因果系，所以该系统是非因果系统。统。(2)(2)因为因为 ，所以当所以当 时系统稳定，时系统稳定，当当 时系统
23、不稳定。时系统不稳定。离散时间信号与离散时间系统离散时间信号与离散时间系统离散时间系统离散时间系统一个系统的输入与输出信号都是离散的时间信号。一个系统的输入与输出信号都是离散的时间信号。离散时间系统的描述离散时间系统的描述 离散时间系统通常采用差分方程来描述。离散时间系统通常采用差分方程来描述。一个线性的连续时间系统总可以用线性微分方程来一个线性的连续时间系统总可以用线性微分方程来表达。表达。其其N N阶线性常系数差分方程的一般形式：阶线性常系数差分方程的一般形式：离散时间信号与离散时间系统离散时间信号与离散时间系统常系数线性差分方程求解方法常系数线性差分方程求解方法 迭代法、时域经典法迭代法
24、、时域经典法(齐次解齐次解+特解特解)、离散卷积法、离散卷积法、z z变换法变换法例例2.6 2.6 设差分方程设差分方程 ，其中，其中 ，。利用迭代法求输出序列。利用迭代法求输出序列。解解 当当n n00时，时，y y(n n)=0)=0当当n n=0=0时，时，当当n n=1=1时，时，当当n n=2=2时，时，以此类推，以此类推，因此得到因此得到离散时间信号与离散时间系统离散时间信号与离散时间系统例例2.7 2.7 系统的差分方程系统的差分方程 ，且，且 ，设激励，设激励 。求响应序列。求响应序列 方法一：时域经典解法方法一：时域经典解法(1)(1)求齐次解求齐次解 。由于特征方程为。由
25、于特征方程为 ，故特征根，故特征根为为 ，则齐次解为，则齐次解为(2)(2)求特解。由题知激励是指数序列形式，可设特解为求特解。由题知激励是指数序列形式，可设特解为(3)将其代入差分方程得将其代入差分方程得离散时间信号与离散时间系统离散时间信号与离散时间系统(3)(3)求全解。根据齐次解和特解，其全解为求全解。根据齐次解和特解，其全解为由于给定的条件是激励之前的系统初始状态由于给定的条件是激励之前的系统初始状态 和和 ，对对 以后有影响，由此递推出初值以后有影响，由此递推出初值y(0)和和y(1)，并求出系，并求出系数数C C1 1和和C C2 2。由原差分方程得，当由原差分方程得，当n n=
26、0=0时，时，；当当n n=1=1时，时，。即初始值。即初始值 ，。代入全解有。代入全解有离散时间信号与离散时间系统离散时间信号与离散时间系统解得解得 所以系统的全解为所以系统的全解为 离散时间信号与离散时间系统离散时间信号与离散时间系统方法二：离散卷积法方法二：离散卷积法(1)求解零输入响应。在零输入情况下，响应满足齐次方求解零输入响应。在零输入情况下，响应满足齐次方程，解的形式为程，解的形式为(2)而齐次方程的特征根和，而齐次方程的特征根和，则有则有解得解得离散时间信号与离散时间系统离散时间信号与离散时间系统（2）求解零状态响应。零状态响应）求解零状态响应。零状态响应 是满足非齐次方是满足
27、非齐次方程，且初始状态全部为零的解，即程，且初始状态全部为零的解，即解得解得所以所以离散时间信号与离散时间系统离散时间信号与离散时间系统一个离散时间系统的差分方程为一个离散时间系统的差分方程为y(n)+0.5y(n-1)-0.3y(n-2)+0.2y(n-3)=0.75x(n)+x(n-1)-0.6x(n-2)-0.4x(n-3)，(1)判断该系统是否是线性系统；判断该系统是否是线性系统；(2)判断该系统是否是时不变系统；判断该系统是否是时不变系统；(3)求出该系统的单位脉冲响应并判断系统是否是稳定系求出该系统的单位脉冲响应并判断系统是否是稳定系统。统。综合实例综合实例解解：(1)设对于两个不
28、同的输入信号设对于两个不同的输入信号x1(n)和和x2(n)，系统的输出，系统的输出分别为分别为y1(n)和和y2(n)。对于。对于x1(n)和和x2(n)的线性叠加信的线性叠加信号号x(n)=4x1(n)-3x2(n)，系统的输出为，系统的输出为y(n)。用。用Matlab仿真该系统，并计算输入仿真该系统，并计算输入x1(n)、x2(n)和和x(n)的输出的输出y1(n)、y2(n)和和y(n)，判断，判断y(n)和和4y1(n)-3y2(n)是否相是否相等。等。综合实例综合实例n=0:50;a=4;b=-3;x1=cos(2*pi*0.1*n);%设置设置x1(n)x2=cos(2*pi*
29、0.4*n);%设置设置x2(n)x=a*x1+b*x2;%x(n)num=0.75 1-0.6-0.4;den=1 0.5-0.3 0.2;y1=filter(num,den,x1);%计算输出计算输出y1(n)y2=filter(num,den,x2);%计算输出计算输出y2(n)y=filter(num,den,x);%计算输出计算输出y(n)yt=a*y1+b*y2;subplot(2,1,1)stem(n,y);ylabel(振幅振幅);title(y=Tax1(n)+bx2(n);subplot(2,1,2)stem(n,yt);ylabel(振幅振幅)title(y=ay1(n)
30、+by2(n)xlabel(时间序号时间序号n);综合实例综合实例由图可以看出由图可以看出Tax1(n)+bx2(n)=ay1(n)+by2(n)，故该系统是线性系统。，故该系统是线性系统。综合实例综合实例解解：(2)设对于两个输入信号设对于两个输入信号x1(n)和和x2(n)=x1(n-10)，系统，系统的输出分别为的输出分别为y1(n)和和y2(n)。用。用Matlab仿真该系统，并仿真该系统，并计算输入计算输入x1(n)、x2(n)的输出的输出y1(n)和和y2(n)，判断，判断y1(n-10)和和y2(n)是否相等。是否相等。综合实例综合实例n=0:50;D=10;x=4*cos(2*
31、pi*0.1*n)-3*cos(2*pi*0.4*n);%设置设置x1(n)xd=zeros(1,D)x;%设置设置x2(n)=x1(n-10)num=0.75 1-0.6-0.4;den=1 0.5-0.3 0.2;y1=filter(num,den,x);%计算输出计算输出y1(n)y2=filter(num,den,xd);%计算输出计算输出y2(n)d=zeros(1,D)y1-y2;%计算计算y1(n-10)和和y2(n)的差值的差值综合实例综合实例figuresubplot(3,1,1)%画出输出画出输出stem(n,y1);ylabel(振幅振幅);title(输入输入x1(n)
32、的输出的输出y1(n);grid;subplot(3,1,2)stem(0:50+D,y2);ylabel(振幅振幅);title(延时输入延时输入x1n-,num2str(D),的输出的输出y2(n);grid;subplot(3,1,3)stem(0:50+D,d);xlabel(时间序号时间序号n);ylabel(振幅振幅);title(y1(n-10)和和y2(n)的差值的差值);grid;综合实例综合实例由图可以看出由图可以看出y1(n-10)=y2(n)，故该系统是时不变系统。，故该系统是时不变系统。综合实例综合实例解解：(3)用用Matlab命令命令y=impz(num,den,
33、N)可以计算线性时不变可以计算线性时不变系统的单位脉冲响应系统的单位脉冲响应h(n)的前的前N个值。然后迭代的计算个值。然后迭代的计算单位脉冲响应的前单位脉冲响应的前k()个值的绝对值之和。并比较个值的绝对值之和。并比较|h(k)|的值与的值与10-6的大小，若的大小，若|h(k)|的值小于的值小于10-6，则认，则认为已经收敛了，系统是稳定的，否则系统不稳定。为已经收敛了，系统是稳定的，否则系统不稳定。综合实例综合实例num=0.75 1-0.6-0.4;den=1 0.5-0.3 0.2;N=100;h=impz(num,den,N+1);p=0;for k=1:N+1 p=p+abs(h(k);if abs(h(k)10(-6),break,endendn=0:N;figurestem(n,h)title(系统的单位脉冲响应系统的单位脉冲响应)xlabel(时间序号时间序号n);ylabel(振幅振幅);disp(值值=);disp(abs(h(k);综合实例综合实例有此结果可知该系统是不稳定系统。有此结果可知该系统是不稳定系统。程序运行结果显示如下程序运行结果显示如下值值=0.2647 综合实例综合实例