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1、第七章 留数定理及其应用第1页，本讲稿共86页7.1 留数定理 单值函数 f(z)在孤立奇点bk 邻域内的洛朗展开 中的 项的系数 称为 f(z)在 bk处的留数，记作 ，或 。留数 定义 第2页，本讲稿共86页 设光滑的简单闭合曲线 C 是区域 G 的边界，若除了有限个孤立奇点 bk(k=1,2,n)外，函数 f(z)在 G 内单值解析，在 上连续，且 C 上没有奇点，则留数定理 定理第3页，本讲稿共86页如图，围绕每个奇点 bk 作闭合曲线 g gk，使 g gk 均在 G 内，且互不交叠，由复连通区域的柯西定理知 证明将 f(z)在 bk 的邻域内展开为洛朗级数第4页，本讲稿共86页复连
2、通区域的柯西定理洛朗展开系数公式因为 且C 内含有z=a 可知 留数定理第5页，本讲稿共86页设 z=b 是 f(z)的 m 阶极点，则在 b 点的邻域内留数的求法全为正幂项，求导(m-1)后，低于(m-1)次的幂项没有了，高于(m-1)次的幂项在 ，只剩 了。两边同乘以(z b)m 得第6页，本讲稿共86页常见情况：，P(z)、Q(z)在 b 点及其邻域内解 析，z=b 是 Q(z)的一阶零点。Q(b)=0，Q(b)0，P(b)0，则若 z=b 是一阶极点，则第7页，本讲稿共86页小结：求留数的方法 根据定义将函数在奇点邻域展开，求展开系数 a1 求积分 对 m 阶极点求导数 对一阶极点，求
3、极限 对一阶极点，有第8页，本讲稿共86页 例题例题解求 在奇点处的留数。是它的一阶极点第9页，本讲稿共86页 例题例题解方法一：直接在 z=0 作展开求 在奇点处的留数。方法二：是一阶奇点第10页，本讲稿共86页所以 是 的三阶极点。的倒数 的零点 例题例题解求 在奇点处的留数。第11页，本讲稿共86页第12页，本讲稿共86页第13页，本讲稿共86页为一阶极点，为二阶极点先分析奇点的类型 例题例题解求 在奇点 处的留数。第14页，本讲稿共86页可将 在 展开，为 在复平面内的唯一孤立奇点，不确定，为本性奇点。例题例题解求 在孤立奇点的留数。第15页，本讲稿共86页只关心负一次幂系数 因此，第
4、16页，本讲稿共86页 显然，A、B、C 正好是 f(z)在一阶极点 z=1，z=2，z=3 的留数，所以 例题例题解对有理函数 部分分式。所以第17页，本讲稿共86页为 的一阶极点，为本性奇点，例题例题解求 在奇点的留数。第18页，本讲稿共86页2）在 C 内只有 可能是 f(z)的奇点，作变换 则对于无穷远点，定义 C 为绕无穷远点正向一周的围道，1）在 C 内有奇点 bk，则补充讨论：在 t=0 点邻域内幂级数展开中 t1 项的系数在 t=0 点邻域内幂级数展开中 t1 项的系数在 z=点邻域内幂级数展开中 z1 项的系数第19页，本讲稿共86页此结果与有限远处奇点的留数不同之处为：1）
5、形式上多了一个负号；2）z1 是 f(z)在点展开的正则部分（绝对收敛的负幂项），即 使点不是奇点，resf()也可以不为 0；反之，即使点是奇 点，甚至为一阶极点，resf()也可以为 0。留数的计算在积分计算中常用到！下面重点学习积分计算中留数定理的运用，涉及定积分和常见类型积分的计算。第20页，本讲稿共86页R 在 上连续，保证了 R(z)在 上无奇点。7.2 有理三角函数的积分 计算方法 R 为 和 的有理函数，在 上连续，作变换 ，即 ，则第21页，本讲稿共86页 例题例题解计算积分有一阶极点：只有 在 内第22页，本讲稿共86页设 ，则 ，例题例题解计算积分被积函数为偶函数令则第2
6、3页，本讲稿共86页在 内，函数 f(z)只有一个一阶极点中的被积函数为奇函数，第24页，本讲稿共86页可见 z=0 是被积函数 在 内的唯一奇点，是 2n+1 阶极点，若求 2n 阶导数则很复杂，故将 f(z)在 中展开 例题例题解计算积分令第25页，本讲稿共86页由二项式定理知当 k=n 时，为 项第26页，本讲稿共86页 的奇点 均为一阶极点，只有 在 内 例题例题解计算积分令第27页，本讲稿共86页第28页，本讲稿共86页 例题例题解计算积分令第29页，本讲稿共86页 有一阶极点只有 在 内第30页，本讲稿共86页 在上半平面补上以圆点为圆心 R 为半径的弧 CR，则-R,R+CR 形
7、成闭合围道，应用留数定理计算闭合围道积分后令 R0。7.3 无穷积分 将实变函数 f(x)延拓为 f(z)补上适当的积分路径，形成闭合围道计算方法：第31页，本讲稿共86页 例题例题解计算积分在上半平面只有一个二阶极点第32页，本讲稿共86页因为由引理二（第三章）知所以第33页，本讲稿共86页可见，无穷积分的被积函数 f(z)必须满足：1）在上半平面除有限个孤立奇点外，处处解析，实轴上无奇点；2）在 内，当 时，一致的趋于 0。即 ，使当 时，第34页，本讲稿共86页 例题例题解计算定积分在围道内只有一个一阶奇点作围道第35页，本讲稿共86页（引理二）所以即第36页，本讲稿共86页在上半平面内
8、有两个一阶极点 和 例题例题解计算积分第37页，本讲稿共86页第38页，本讲稿共86页只要知道 ，那么分别比较实部和虚部即可。7.4 含三角函数的无穷积分当 时，和 行为复杂，故取被积函数为 计算方法：或 第39页，本讲稿共86页 设 ，当 时，Q(z)一致的趋近于 0，则约当定理 定理其中 p 0，CR 是以原点为圆心，以 R 为半径的半圆弧。证明第40页，本讲稿共86页 时，可见由复变积分性质知：第41页，本讲稿共86页当 f(x)为偶函数时，f(x)cospx 为偶函数，f(x)sinpx 为奇函数。bk 在 C 内约当引理保证了：当 f(x)为奇函数时，f(x)cospx 为奇函数，f
9、(x)sinpx 为偶函数。第42页，本讲稿共86页为偶函数 例题例题解计算积分在上半平面内有一阶极点 和由约当引理知第43页，本讲稿共86页第44页，本讲稿共86页非奇非偶 例题例题解计算积分在上半平面内有一个一阶极点 由约当引理知第45页，本讲稿共86页所以第46页，本讲稿共86页为奇函数 例题例题解计算积分在上半平面内有一个一阶极点 由约当引理知方法一：第47页，本讲稿共86页所以即第48页，本讲稿共86页为奇函数方法二：所以第49页，本讲稿共86页 主值积分 解析函数 f(x)在有界区域内某点 x0 无界，称 为 f(x)在 a,b 上的主值积分。7.5 实轴上有奇点的情形 围道作法同
10、上，只是积分围道绕过实轴上的奇点。围道多了一段以实轴上的奇点为圆心，d d 为半径的半圆弧。计算方法：定义 第50页，本讲稿共86页 例题例题解计算主值积分第51页，本讲稿共86页由引理二知：大弧上的积分为零。又由引理一知：小弧上的积分值。第52页，本讲稿共86页因此即第53页，本讲稿共86页 例题例题解计算积分围道 C 内 解析，故积分值为零。由约当引理知：大弧积分为零。当 时第54页，本讲稿共86页又由引理一知：小弧上的积分值。可知即所以第55页，本讲稿共86页 例题例题解计算积分围道 C 内 解析，故围道积分值为零。在实轴上有二阶极点 z=0，作如图围道第56页，本讲稿共86页第57页，
11、本讲稿共86页又由约当引理知：大弧积分为零。当 时由引理一知：小弧上的积分值。第58页，本讲稿共86页即第59页，本讲稿共86页 例题例题解计算积分在实轴上有三阶极点 z=0第60页，本讲稿共86页由约当引理知：大弧积分为零。当 时对于 I1 作围道 C，如下图故第61页，本讲稿共86页故对于 I2 作围道 C，如下图弧积分在下半平面，以保证能满足约当引理中 的由约当引理知：大弧积分为零。当 时第62页，本讲稿共86页由以上分析可知类似地可以求出计算这类积分的关键：选择正确的复变积分的被积函数。第63页，本讲稿共86页 相应的复变积分为 ，z=0 和 是被积函数的极点，沿正实轴作割线，并规定割
12、线上岸 ，积分路径如上图，。7.6 多值函数的积分计算方法：s 为实数，Q(x)单值，在正实轴上没有奇点。第64页，本讲稿共86页 例题例题解计算积分如图沿正实轴作割线，并规定割线上岸第65页，本讲稿共86页围道内仅有一个一阶极点当 时第66页，本讲稿共86页第67页，本讲稿共86页由此可推知一些积分，如 时下一章学习 G 函数时会直接用到这个结果实虚部分开第68页，本讲稿共86页比较虚部可知第69页，本讲稿共86页 例题例题解计算积分如图沿正实轴作割线，并规定割线上岸围道内仅有两个一阶极点第70页，本讲稿共86页由引理一知：小弧上的积分为零。第71页，本讲稿共86页 当 时由引理二知：大弧上
13、的积分为零。第72页，本讲稿共86页由以上计算可知：的定积分可通过计算 得到；而 的计算则要通过计算 得到。可得没有得到 是因为 的多值性表现在虚部上，实部互相抵消。第73页，本讲稿共86页因为此时 在割线上下岸的函数值 与 相互抵消，剩下 项正是所需。右边第74页，本讲稿共86页左边第75页，本讲稿共86页所以即第76页，本讲稿共86页 例题例题解计算积分如图，从 0 到 沿实轴作割线，围道内仅有一个一阶极点其中方法一：第77页，本讲稿共86页由复变积分性质知所以第78页，本讲稿共86页方法二：如图沿正实轴作割线，并规定割线上岸第79页，本讲稿共86页第80页，本讲稿共86页 例题例题解计算
14、积分如图从-1 到 1 作割线，并规定割线上岸支点为第81页，本讲稿共86页当 时第82页，本讲稿共86页又由引理二知：大弧积分为零。由引理一知：小弧积分为 0。第83页，本讲稿共86页第84页，本讲稿共86页所以，有第85页，本讲稿共86页积分类型积分类型变变 换换围围 道道相关定理相关定理有理三角函有理三角函数积分数积分单位圆周单位圆周无穷积分无穷积分-R,R+CR引理二引理二含三角函数含三角函数无穷积分无穷积分-R,R+CR引理二引理二约当引理约当引理实轴上有奇实轴上有奇点的积分点的积分-R,-d d+Cd d+d d,R+CR引理一引理一引理二引理二约当引理约当引理多值函数多值函数积分积分由割线作法决定由割线作法决定引理一引理一引理二引理二约当引理约当引理第86页，本讲稿共86页