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1、第七章 留数定理及其应用本讲稿第一页，共八十六页7.1 留数定理 单值函数 f(z)在孤立奇点bk 邻域内的洛朗展开 中的 项的系数 称为 f(z)在 bk处的留数，记作 ，或 。留数 定义 本讲稿第二页，共八十六页 设光滑的简单闭合曲线 C 是区域 G 的边界，若除了有限个孤立奇点 bk(k=1,2,n)外，函数 f(z)在 G 内单值解析，在 上连续，且 C 上没有奇点，则留数定理 定理本讲稿第三页，共八十六页如图，围绕每个奇点 bk 作闭合曲线 g gk，使 g gk 均在 G 内，且互不交叠，由复连通区域的柯西定理知 证明将 f(z)在 bk 的邻域内展开为洛朗级数本讲稿第四页，共八十
2、六页复连通区域的柯西定理洛朗展开系数公式因为 且C 内含有z=a 可知 留数定理本讲稿第五页，共八十六页设 z=b 是 f(z)的 m 阶极点，则在 b 点的邻域内留数的求法全为正幂项，求导(m-1)后，低于(m-1)次的幂项没有了，高于(m-1)次的幂项在 ，只剩 了。两边同乘以(z b)m 得本讲稿第六页，共八十六页常见情况：，P(z)、Q(z)在 b 点及其邻域内解 析，z=b 是 Q(z)的一阶零点。Q(b)=0，Q(b)0，P(b)0，则若 z=b 是一阶极点，则本讲稿第七页，共八十六页小结：求留数的方法 根据定义将函数在奇点邻域展开，求展开系数 a1 求积分 对 m 阶极点求导数
3、对一阶极点，求极限 对一阶极点，有本讲稿第八页，共八十六页 例题例题解求 在奇点处的留数。是它的一阶极点本讲稿第九页，共八十六页 例题例题解方法一：直接在 z=0 作展开求 在奇点处的留数。方法二：是一阶奇点本讲稿第十页，共八十六页所以 是 的三阶极点。的倒数 的零点 例题例题解求 在奇点处的留数。本讲稿第十一页，共八十六页本讲稿第十二页，共八十六页本讲稿第十三页，共八十六页为一阶极点，为二阶极点先分析奇点的类型 例题例题解求 在奇点 处的留数。本讲稿第十四页，共八十六页可将 在 展开，为 在复平面内的唯一孤立奇点，不确定，为本性奇点。例题例题解求 在孤立奇点的留数。本讲稿第十五页，共八十六页
4、只关心负一次幂系数 因此，本讲稿第十六页，共八十六页 显然，A、B、C 正好是 f(z)在一阶极点 z=1，z=2，z=3 的留数，所以 例题例题解对有理函数 部分分式。所以本讲稿第十七页，共八十六页为 的一阶极点，为本性奇点，例题例题解求 在奇点的留数。本讲稿第十八页，共八十六页2）在 C 内只有 可能是 f(z)的奇点，作变换 则对于无穷远点，定义 C 为绕无穷远点正向一周的围道，1）在 C 内有奇点 bk，则补充讨论：在 t=0 点邻域内幂级数展开中 t1 项的系数在 t=0 点邻域内幂级数展开中 t1 项的系数在 z=点邻域内幂级数展开中 z1 项的系数本讲稿第十九页，共八十六页此结果
5、与有限远处奇点的留数不同之处为：1）形式上多了一个负号；2）z1 是 f(z)在点展开的正则部分（绝对收敛的负幂项），即 使点不是奇点，resf()也可以不为 0；反之，即使点是奇 点，甚至为一阶极点，resf()也可以为 0。留数的计算在积分计算中常用到！下面重点学习积分计算中留数定理的运用，涉及定积分和常见类型积分的计算。本讲稿第二十页，共八十六页R 在 上连续，保证了 R(z)在 上无奇点。7.2 有理三角函数的积分 计算方法 R 为 和 的有理函数，在 上连续，作变换 ，即 ，则本讲稿第二十一页，共八十六页 例题例题解计算积分有一阶极点：只有 在 内本讲稿第二十二页，共八十六页设 ，则
6、 ，例题例题解计算积分被积函数为偶函数令则本讲稿第二十三页，共八十六页在 内，函数 f(z)只有一个一阶极点中的被积函数为奇函数，本讲稿第二十四页，共八十六页可见 z=0 是被积函数 在 内的唯一奇点，是 2n+1 阶极点，若求 2n 阶导数则很复杂，故将 f(z)在 中展开 例题例题解计算积分令本讲稿第二十五页，共八十六页由二项式定理知当 k=n 时，为 项本讲稿第二十六页，共八十六页 的奇点 均为一阶极点，只有 在 内 例题例题解计算积分令本讲稿第二十七页，共八十六页本讲稿第二十八页，共八十六页 例题例题解计算积分令本讲稿第二十九页，共八十六页 有一阶极点只有 在 内本讲稿第三十页，共八十
7、六页 在上半平面补上以圆点为圆心 R 为半径的弧 CR，则-R,R+CR 形成闭合围道，应用留数定理计算闭合围道积分后令 R0。7.3 无穷积分 将实变函数 f(x)延拓为 f(z)补上适当的积分路径，形成闭合围道计算方法：本讲稿第三十一页，共八十六页 例题例题解计算积分在上半平面只有一个二阶极点本讲稿第三十二页，共八十六页因为由引理二（第三章）知所以本讲稿第三十三页，共八十六页可见，无穷积分的被积函数 f(z)必须满足：1）在上半平面除有限个孤立奇点外，处处解析，实轴上无奇点；2）在 内，当 时，一致的趋于 0。即 ，使当 时，本讲稿第三十四页，共八十六页 例题例题解计算定积分在围道内只有一
8、个一阶奇点作围道本讲稿第三十五页，共八十六页（引理二）所以即本讲稿第三十六页，共八十六页在上半平面内有两个一阶极点 和 例题例题解计算积分本讲稿第三十七页，共八十六页本讲稿第三十八页，共八十六页只要知道 ，那么分别比较实部和虚部即可。7.4 含三角函数的无穷积分当 时，和 行为复杂，故取被积函数为 计算方法：或 本讲稿第三十九页，共八十六页 设 ，当 时，Q(z)一致的趋近于 0，则约当定理 定理其中 p 0，CR 是以原点为圆心，以 R 为半径的半圆弧。证明本讲稿第四十页，共八十六页 时，可见由复变积分性质知：本讲稿第四十一页，共八十六页当 f(x)为偶函数时，f(x)cospx 为偶函数，
9、f(x)sinpx 为奇函数。bk 在 C 内约当引理保证了：当 f(x)为奇函数时，f(x)cospx 为奇函数，f(x)sinpx 为偶函数。本讲稿第四十二页，共八十六页为偶函数 例题例题解计算积分在上半平面内有一阶极点 和由约当引理知本讲稿第四十三页，共八十六页本讲稿第四十四页，共八十六页非奇非偶 例题例题解计算积分在上半平面内有一个一阶极点 由约当引理知本讲稿第四十五页，共八十六页所以本讲稿第四十六页，共八十六页为奇函数 例题例题解计算积分在上半平面内有一个一阶极点 由约当引理知方法一：本讲稿第四十七页，共八十六页所以即本讲稿第四十八页，共八十六页为奇函数方法二：所以本讲稿第四十九页，
10、共八十六页 主值积分 解析函数 f(x)在有界区域内某点 x0 无界，称 为 f(x)在 a,b 上的主值积分。7.5 实轴上有奇点的情形 围道作法同上，只是积分围道绕过实轴上的奇点。围道多了一段以实轴上的奇点为圆心，d d 为半径的半圆弧。计算方法：定义 本讲稿第五十页，共八十六页 例题例题解计算主值积分本讲稿第五十一页，共八十六页由引理二知：大弧上的积分为零。又由引理一知：小弧上的积分值。本讲稿第五十二页，共八十六页因此即本讲稿第五十三页，共八十六页 例题例题解计算积分围道 C 内 解析，故积分值为零。由约当引理知：大弧积分为零。当 时本讲稿第五十四页，共八十六页又由引理一知：小弧上的积分
11、值。可知即所以本讲稿第五十五页，共八十六页 例题例题解计算积分围道 C 内 解析，故围道积分值为零。在实轴上有二阶极点 z=0，作如图围道本讲稿第五十六页，共八十六页本讲稿第五十七页，共八十六页又由约当引理知：大弧积分为零。当 时由引理一知：小弧上的积分值。本讲稿第五十八页，共八十六页即本讲稿第五十九页，共八十六页 例题例题解计算积分在实轴上有三阶极点 z=0本讲稿第六十页，共八十六页由约当引理知：大弧积分为零。当 时对于 I1 作围道 C，如下图故本讲稿第六十一页，共八十六页故对于 I2 作围道 C，如下图弧积分在下半平面，以保证能满足约当引理中 的由约当引理知：大弧积分为零。当 时本讲稿第
12、六十二页，共八十六页由以上分析可知类似地可以求出计算这类积分的关键：选择正确的复变积分的被积函数。本讲稿第六十三页，共八十六页 相应的复变积分为 ，z=0 和 是被积函数的极点，沿正实轴作割线，并规定割线上岸 ，积分路径如上图，。7.6 多值函数的积分计算方法：s 为实数，Q(x)单值，在正实轴上没有奇点。本讲稿第六十四页，共八十六页 例题例题解计算积分如图沿正实轴作割线，并规定割线上岸本讲稿第六十五页，共八十六页围道内仅有一个一阶极点当 时本讲稿第六十六页，共八十六页本讲稿第六十七页，共八十六页由此可推知一些积分，如 时下一章学习 G 函数时会直接用到这个结果实虚部分开本讲稿第六十八页，共八
13、十六页比较虚部可知本讲稿第六十九页，共八十六页 例题例题解计算积分如图沿正实轴作割线，并规定割线上岸围道内仅有两个一阶极点本讲稿第七十页，共八十六页由引理一知：小弧上的积分为零。本讲稿第七十一页，共八十六页 当 时由引理二知：大弧上的积分为零。本讲稿第七十二页，共八十六页由以上计算可知：的定积分可通过计算 得到；而 的计算则要通过计算 得到。可得没有得到 是因为 的多值性表现在虚部上，实部互相抵消。本讲稿第七十三页，共八十六页因为此时 在割线上下岸的函数值 与 相互抵消，剩下 项正是所需。右边本讲稿第七十四页，共八十六页左边本讲稿第七十五页，共八十六页所以即本讲稿第七十六页，共八十六页 例题例
14、题解计算积分如图，从 0 到 沿实轴作割线，围道内仅有一个一阶极点其中方法一：本讲稿第七十七页，共八十六页由复变积分性质知所以本讲稿第七十八页，共八十六页方法二：如图沿正实轴作割线，并规定割线上岸本讲稿第七十九页，共八十六页本讲稿第八十页，共八十六页 例题例题解计算积分如图从-1 到 1 作割线，并规定割线上岸支点为本讲稿第八十一页，共八十六页当 时本讲稿第八十二页，共八十六页又由引理二知：大弧积分为零。由引理一知：小弧积分为 0。本讲稿第八十三页，共八十六页本讲稿第八十四页，共八十六页所以，有本讲稿第八十五页，共八十六页积分类型积分类型变变 换换围围 道道相关定理相关定理有理三角函有理三角函数积分数积分单位圆周单位圆周无穷积分无穷积分-R,R+CR引理二引理二含三角函数含三角函数无穷积分无穷积分-R,R+CR引理二引理二约当引理约当引理实轴上有奇实轴上有奇点的积分点的积分-R,-d d+Cd d+d d,R+CR引理一引理一引理二引理二约当引理约当引理多值函数多值函数积分积分由割线作法决定由割线作法决定引理一引理一引理二引理二约当引理约当引理本讲稿第八十六页，共八十六页