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1、生活中的若干数学建模实例本节讨论的问题来源于日常生活中一些普通的事实胡学刚一、模型假设1.椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形.2.地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续光滑曲面.3.相对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.1 椅子能在不平的地面上放稳吗?把椅子往不平的地面上放，通常只有三只脚着地，放不稳。然而只需挪动几次，就可使椅子四只脚着地，放稳了。试建立数学模型，并用该模型的结果解释这个现象。二、模型构成（1）用变量表示椅子的位置 椅脚四点ABCD 呈正
2、方形,以正方形ABCD 的中心O 为原点,对角线AC 所在直线建立x 轴(如图).当椅子绕中心O 旋转角度 后，正方形ABCD 转至位置，这时对角线 与x 轴的夹角 表示了椅子的位置.（2）用数学符号表示椅脚的着地情况当椅脚位置为时，设A，C 两脚与地面的距离之和为B，D 两脚与地面的距离之和为显然有特别当A，C 两脚着地（或B，D 两脚着地）由假设（2）可知都是连续函数由假设（3），任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的，至少有一个为0.当=0 时，不妨设这样改变椅子的位置使四只脚同时着地就归结为证明如下的数学命题：三、模型求解令显然根据连续函数的零点存在定理知，存在四、模型解释和验证五、
3、评注 这个模型的巧妙之处在于用一元变量 表示椅子位置，用 的两个函数表示椅子四脚与地面的距离.利用正方形的中心对称性及旋转900并不是本质的，同学们可以考虑四脚呈长方形的情形.2 公平的席位分配 某学校有3个系共200名学生,其中甲系100名,乙系60名,丙系40名。若学生代表会议设20个席位,公平而又简单的席位分配办法是按学生人数的比例分配,显然 现在丙系有3名学生转入甲系，3名学生转入乙系，仍按比例分配席位出现了小数，三系同意，在将取得整数的19席位分配完毕后，剩下的1席位参照所谓惯例分给比例中小数最大的丙系，于是甲、乙、丙三系分别应占有10，6，4个席位。三系仍分别占有10，6，4个席位
4、。一.问题的引出系别学生人数学生人数比例（%）20个席位的分配比例分配席位参照惯例结果甲100 50 10.0 10乙60 30 6.0 6丙40 20 4.0 4总和200 100 20 20按比例并参照惯例的席位分配21个席位的分配比例分配席位参照惯例结果10351.531.517.0633410.36.33.410.8156.6153.570211064117321由于20个席位的代数会议在表决时可能出现1010的局面，会议决定下一届增加1席，按照上述方法重新分配席位，计算结果是甲、乙、丙三系分别应占有11，7，3个席位。显然这个结果对丙系太不公平了，因总席位增加1席，而丙系却由4席减为
5、3席。请问：如何分配才算是公平？1.建立数量指标 设A，B 两方，人数分别为p1和p2，占有席位分别是n1和n2，则两方每个席位代表的人数分别为显然当时席位的分配才是公平的.但因人数为整数，所以通常这时席位分配不公平，且较大的一方吃亏。二.模型建立与求解不妨设这时不公平程度可用 来衡量。如则又如则显然只是衡量的不公平的绝对程度，但是常识告诉我们，后一种不公平的程度比前一中要小.为改进这种绝对标准，自然想到用相对标准。于是定义为对A 的相对不公平值.为对B 的相对不公平值.要使分配方案尽可能公平，制定席位分配方案的原则是使尽可能小.2.确定分配方案当总席位增加1席时，应该分配给A 还是B？即对A
6、 不公平，当再分配一个席位时，有以下三种情况这说明即使给A 增加1席，仍然对A 不公平，所以这一席显然应给A 方.这说明给A 增加1席，变为对B 不公平，此时对B 的相对不公平值为这说明给B 增加1席，将对A 不公平，此时对A 的相对不公平值为 因为公平分配席位的原则是使相对不公平值尽可能小，所以如果则这一席给A 方，反之这一席给B 方.由(3)(4)，则(5)等价于不难证明上述的第(1)种情况也与(6)式等价,于是我们的结论是当(6)式成立时,增加的1席应给A 方,反之给B 方.若记则增加的一席给Q 值大的一方.上述方法可以推广到有m方分配席位的情况.当总席位增加1席时,计算则增加的一席应分
7、配给Q 值大的一方.这种席位分配的方法称为Q值法.下面用Q 值法重新讨论本节开始提出的甲乙丙三系分配21个席位的问题.先按照比例将整数部分的19 席分配完毕,有再用Q 值法分配第20席和第21席.第20席，计算得Q1最大，于是这1席应分给甲系.第21席，计算得Q3最大，于是这1席应分给丙系.评注1.席位的分配应对各方都要公平2.解决问题 的关键在于建立衡量公平程度既合理又简明的数量指标。这个模型提出的相对不公平值它是确定分配方案的前提.3 双层玻璃窗的功效问题 我们注意到北方有些建筑物的窗户是双层的，即窗户装两层玻璃且中间留有一定空隙，如图所示两层厚度为d的玻璃，中间夹着一层厚度为l 的空气，
8、据说这样做是为了保温。墙墙热传导方向试建立模型说明双层玻璃的保温效果，并给出定量分析。墙墙模型假设1.假设窗户的密封性能良好，两层之间的空气不流动，这时热量的传播过程只有传导，没有对流.2.室内温度T1和室外温度T2保持不变，热传导过程已处于稳定状态，即热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数.3.玻璃材料均匀，热传导系数是常数.模型构成在上述假设下热传导过程遵从下面的物理定律：厚度为d的均匀介质，两侧温度差为则单位时间通过单位面积的热量Q 与T 成正比，与d成反比，即k 为热传导系数.设双层玻璃的内玻璃温度为Ta，外层玻璃的内侧温度为Tb，玻璃的热传导系数为k1，空气的热传导系数为k2，
9、由(1)得对于厚度为2d的单层玻璃，其热量传导为二者之比为从有关资料可知,常用玻璃的热传导系数为干燥空气的热传导系数为作保守估计;取(6)(6)式说明,比值Q/Q 反映了双层玻璃窗的功效,它只于h=l/d 有关.四.模型应用这个模型具有一定的应用价值.制作双层玻璃窗会增加一些成本.但他减少热量损失确是相当可观的.通常建筑规范要求双层玻璃窗比同样多玻璃的单层窗相比节约热量97%左右.进一步思考1.模型假设条件在实际环境下不可能完全满足.因此实际功效会比上述结果差一些.2.进一步讨论热传导非稳定情形下的规律,建立相应的模型.4 存贮模型问 题1 不允许缺货的存贮模型 制定最优存储策略，即多长时间订
10、一次货，每次订多少货，使总费用最小。工厂要定期地订购各种原料，存在仓库里供生产之用。商店要成批地购进各种商品，放在货柜中以备零售。这里存在一个最优存储的问题。在不允许缺货的情况下我们只考虑两种费用：订货时需付的一次性订货费和货物的贮存费。在单位时间的需求量为常数的情况下，建立模型 这是一个优化问题，关键在建立目标函数。显然不能用一个周期的总费用作为目标函数目标函数每天总费用的平均值 周期短，存量小 周期长，存量大问题分析与思考贮存费少，订购费多订购费少，贮存费多存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小.模 型 假 设1.产品原料每天的需求量为常数 r；2.每次原料订购费为 c1,单位原料
11、每天贮存费为 c2；3.T天订购一次（周期）原料,每次订购Q 单位，当贮存量 为零时，所需原料Q立即到来；建 模 目 的设 r,c1,c2 已知，求T,Q 使每天总费用的平均值最小。4.为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。模 型 建 立0 tq贮存量表示为时间的函数 q(t)TQrt=0订购Q件，q(0)=Q,q(t)以需求速率r递减，q(T)=0.一周期总费用每天总费用平均值（目标函数）离散问题连续化一周期贮存费为A=QT/2模型求解求 T 使模型分析 经济批量订货公式（EOQ公式）每天需求量 r，每次订货费 c1,每天每件贮存费 c2，用于订货、供应、存贮情形不允许缺货的存贮模型T天订
12、货一次(周期),每次订货Q件，当贮存量降到零时，Q件立即到货。问题 2 允许缺货的存贮模型AB0qQrT1t当贮存量降到零时仍有需求r,出现缺货，造成损失原模型假设：贮存量降到零时Q件立即生产出来(或立即到货)现假设：允许缺货,每天每件缺货损失费 c3,缺货需补足T一周期贮存费一周期缺货费周期T,t=T1贮存量降到零一周期总费用每天总费用平均值（目标函数）一周期总费用求 T,Q 使为与不允许缺货的存贮模型相比，T记作T,Q记作Q不允许缺货模型记允许缺货模型不允许缺货允许缺货模型0qQ rT1t T注意：缺货需补足Q 每周期初的存贮量R每周期的需求量R（或订货量）Q不允许缺货时的产量(或订货量)
13、1、在存储模型的总费用中增加购买货物本身的费用，重新确定最优订货周期和订货批量。证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减小。讨论题：问题经试验，一盘录象带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152。在一次使用中录象带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？要求不仅回答问题，而且建立计数器读数与录象带转过时间的关系。思考计数器读数是均匀增长的吗？5 录象机计数器的用途录象机计数器的工作原理主动轮压轮0000左轮盘右轮盘磁头计数器录象带录象带运动方向录象带运动 右轮盘半径增大右轮转速不是
14、常数 录象带运动速度是常数计数器读数增长变慢问题分析观察 计数器读数增长越来越慢！模型假设 录象带的运动速度是常数 v；计数器读数 n与右轮转数 m成正比，记 m=kn；录象带厚度（加两圈间空隙）为常数 w；空右轮盘半径记作 r；时间 t=0 时读数 n=0.建模目的建立时间t与读数n之间的关系（设v,k,w,r为已知参数）模型建立建立t与n的函数关系有多种方法1.右轮盘转第 i 圈的半径为r+wi,m圈的总长度等于录象带在时间t内移动的长度vt,所以2.考察右轮盘面积的变化，等于录象带厚度乘以转过的长度，即3.考察t到t+dt录象带在右轮盘缠绕的长度，有模型建立思考 1.3种建模方法得到同一
15、结果但仔细推算会发现稍有差别，请解释。2.模型中有待定参数一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。参数估计另一种确定参数的方法测试分析将模型改记作只需估计 a,b理论上，已知t=183.5,n=6152,再有一组(t,n)数据即可实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合现有一批测试数据：t 0 20 40 60 80n 0000 1153 2045 2800 3466 t 100 120 140 160 183.5n 4068 4621 5135 5619 6152用最小二乘法可得模 型 检 验应该另外测试一批数据检验模型：模 型 应 用回答提出的问题：由模型算得 n=4580
16、 时 t=118.5分，剩下的录象带能录 183.5-118.5=65分钟的节目。揭示了“t 与 n 之间呈二次函数关系”这一普遍规律，当录象带的状态改变时，只需重新估计 a,b 即可。一.问题的提出 煤矿采煤时,会产出无用废料煤矸石。在平原地区，煤矿不得不征用土地堆放矸石，通常矸石的堆积方法是：架设一段与地面角度约为 的直线型上升轨道。用在轨道上行驶的矸车将矸石运到顶端后倾倒。待矸石堆高后，再借助矸石堆延长轨道，这样逐渐堆起如下图所示的一座矸石山来。6 煤矸石的堆积问题现给出下列数据：1.矸石自然堆放安息角（矸石自然堆积稳定后，其坡面与地面形成的夹角）2.运矸石车所需电费为0.50元/度（不
17、变）.3.矸石容重（碎矸石单位体积的重量）约2吨/米3 4.运矸石机械效率（只考虑堆积坡道上的运输）初始值约30%，坡道每延长10米，效率在原有基础上约下降2%；5.土地征用费现值为8万元/亩，预计地价年涨幅10%，银行的存贷款利率均为5%；6.煤矿设计原煤采煤量为300万吨/年；7.煤矿设计寿命位0年；8.采矿出矸率（矸石占全部采出的百分比）一般为7%10%；9.为保护耕地，煤矿堆矸土地应比实际占地多征用10%；现在煤矿设计中用语处理矸石的经费（只计征地费和堆积时运矸车用的电费）为100万元/年。问这笔钱是否够用？试制定合理的年征地计划，并对不同的出矸率预测处理矸石的最低费用？二.模型假设除
18、了题中已给的数据外还做以下假设：（1）原煤产量理解为去掉矸石后的净煤产量；（2）年征地方案理解为最多每年初征地一次；（3）煤矿用于处理矸石的经费100万元/年为每年初一次拔出；（4）银行利息为复利，煤矿使用银行资金存贷自由；（5）征地费于当时拔出，电费于当年内拔出，不可拖欠；（6）20年只堆积一个矸石山。三.模型建立与求解（一）矸石山的低面积和征地费1.矸石山的低面积、体积与高度的关系在题图中，A-SBOD 是棱锥部分；A-BCD 是圆锥部分。是直角三角形.记矸石山的高度AO=h,矸石山的底面积为：于是，征地面积至少为矸石山的体积（1）（2）（3）2.征地面积与采煤出矸率的关系设出矸率为p，年
19、均出矸量为，则从而按矸石容重 换算成每年增加的矸石体积：于是t 年后矸石上的体积为（4）由（3）和（4）式可得矸石山高度与时间的关系：将（5）代入（2）得t 年后占地面积为（亩）（6）这样可得20年后矸石山高度与占地面积分别为：（亩）特别，当p=0.1 时，（亩）3.征地计划 因为地价涨幅10%高于贷款利率5%。所以应在开始时一次性将用地全部购入，所缺经费想银行贷款。当p=0.1 时，征地费为（万元）（二）堆积矸石的电费1.运矸车的机械效率设坡道行程为x,则 于是运矸车的机械效率为：2.运矸车的机械功堆积体积为V 的矸石山，所做的总功为：其中，其中，（9）（8）按照1度电=3600000 焦耳
20、，并利用和（9）式，可以计算出从开始到t 年的电费当p=0.1,t=1 到t=20 年度电费t（年份）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10电费8.5 14.25 18.00 21.09 23.82 26.32 28.64 30.83 32.92 34.93t（年份）11 12 13 14 15 16 17 18 19 20电费36.86 38.73 40.55 42.33 44.07 45.77 47.44 49.08 50.69 52.28（四）结论 为了进行经费比较，将所有费用都按利率5%折合成20年后的值。（也可以折合成现值）1.可以设想每年所需电费都从银行贷款来给付。20年内公需支
21、出电费（万元）2.设想第一年投入的土地费从银行贷款给付，20年后共需支出（万元）3.上级每年拔来的100万元都及时存入银行，20年后总收入为（万元）由于K+TM,因此每年拔来的00元总体够用。四.讨论1.当出矸率大于10%时，按上述方法计算，经费不再够用。2.上面的计算是基于20年只堆积一个矸石山的假设。若堆积多个矸石山，显然征地费将增加，而电费将减少。请同学们按上述方法进行计算。3.关于征地方式 由题目条件容易得出应于开始时一次征用全部堆矸用地的结论。但根据我国土地法的规定：“征入后闲置两年的土地将被收回”。因此，实际可采取“每年征购当年及次年用地”的方法。请同学们给出这种方式下的费用情况。