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1、生活中的数学初探数学建模第1页，本讲稿共29页什么是数学建模什么是数学建模v当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模数学建模。v数学建模数学建模也称数学实验数学实验，是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段。第2页，本讲稿共29页物理物理生物生物化学化学数学数学经济经济数学在各领域
2、中的地位数学在各领域中的地位第3页，本讲稿共29页数学建模数学建模能用数学解决的问题能用数学解决的问题能用数学解决的问题能用数学解决的问题数学理论的加工数学理论的加工物理物理物理物理生化生化生化生化经济经济经济经济心理心理心理心理第4页，本讲稿共29页今天我们要说什么今天我们要说什么1如果你是警察或如果你是警察或侦探，在到达案侦探，在到达案发现场时你能推发现场时你能推测死者的死亡时测死者的死亡时间吗？间吗？2如果你知道某个如果你知道某个国家近百年来人国家近百年来人口的数量，你能口的数量，你能猜测它未来十年猜测它未来十年后的人口数量吗后的人口数量吗？3生物世界复杂多生物世界复杂多变，一种生物的变
3、，一种生物的生存有许多因素生存有许多因素在左右着它，能在左右着它，能否用你的数学头否用你的数学头脑，来理性分析脑，来理性分析呢？呢？第5页，本讲稿共29页目目 录录死亡时间推测问题死亡时间推测问题1人口增长猜测问题人口增长猜测问题2山猫数量随条件变化问题山猫数量随条件变化问题3利用利用Excel作简单图象的介绍作简单图象的介绍4第6页，本讲稿共29页你能推算出案发时间吗？你能推算出案发时间吗？v某日凌晨一住所发生一件凶杀案，警方于某日凌晨一住所发生一件凶杀案，警方于6时到达现场后测得尸温时到达现场后测得尸温26，室温，室温17，2小时后尸温下降了小时后尸温下降了3，试根据冷却定律，试根据冷却定
4、律建立差分方程，估计凶杀案发生的时间建立差分方程，估计凶杀案发生的时间.v冷却定律为冷却定律为 其中室温为其中室温为C，人体常温即初始提问为，人体常温即初始提问为T0，死亡后第死亡后第t小时尸体温度为小时尸体温度为T，k为可求常数为可求常数.第7页，本讲稿共29页如何建模如何建模可设正常人可设正常人体温为体温为37假设案发之后假设案发之后没有外界环境对没有外界环境对尸体温度产生客尸体温度产生客观影响观影响建模过程建模过程使用冷却定使用冷却定律作理论依据律作理论依据来帮助计算来帮助计算列出相应适列出相应适用的数学方程用的数学方程第8页，本讲稿共29页分析过程分析过程由公式由公式根据题意，可将根据
5、题意，可将T=23,C=17,To=26,t=2代入上式，可求得常数代入上式，可求得常数故可建立差分方程：故可建立差分方程：第9页，本讲稿共29页分析过程分析过程Ti表示表示经过第经过第i小时尸体的温度，借助计算机的计算小时尸体的温度，借助计算机的计算我们可以得到，从凌晨开始后每隔一小时的尸体温我们可以得到，从凌晨开始后每隔一小时的尸体温度状况：度状况：凌晨到早上凌晨到早上6点尸温的变化点尸温的变化t0123456T37.00033.33330.33327.88725.88924.25822.926第10页，本讲稿共29页描点作出温度与时间的关系图描点作出温度与时间的关系图第11页，本讲稿共2
6、9页结果分析结果分析v由上述数据，当受害者死亡接近由上述数据，当受害者死亡接近4小时时，尸温接小时时，尸温接近近26，而警方于，而警方于6时测得尸温为时测得尸温为26。而当受。而当受害者死亡接近害者死亡接近6小时时测得尸温约为小时时测得尸温约为23也与题也与题目吻合，从而我们推测凶杀案发生的时间约为凌目吻合，从而我们推测凶杀案发生的时间约为凌晨晨2点。点。t0123456T37.00033.33330.33327.88725.88924.258 22.926第12页，本讲稿共29页你能当大预言家吗？你能当大预言家吗？v建立人口增长模型，用表建立人口增长模型，用表1的数据预报的数据预报2010年
7、美国的人口，并进年美国的人口，并进行模型检验行模型检验.下表是下表是17901990年美国每隔十年的人口记录：年美国每隔十年的人口记录：表表1 美国人口统计数据美国人口统计数据(百万人百万人)年份年份17901800181018201830184018501860人口人口(百万百万)3.95.37.29.612.917.123.231.4年份年份18701880189019001910192019301940人口人口(百万百万)38.650.262.976.092.0106.5123.2131.7年份年份195019601970198019902000人口人口(百万百万)150.7179.32
8、04.0226.5251.4281.4第13页，本讲稿共29页建模过程建模过程数据处理数据处理拟合函数拟合函数计算结果计算结果通过使用散通过使用散点图，用点点图，用点 将数据在将数据在图象上描绘图象上描绘出来，观察出来，观察变化变化可以借助计算可以借助计算机软件等手段机软件等手段找到满找到满 足接近图象足接近图象散点的函数，散点的函数，将其表达式求将其表达式求出来出来利用拟合出利用拟合出来的函数计来的函数计算相应的结算相应的结果果第14页，本讲稿共29页描绘散点图描绘散点图第15页，本讲稿共29页数据处理数据处理v由实验数据散点图知，美国人口数量由实验数据散点图知，美国人口数量xk随着随着时间
9、而增加。为了找到增长率变化的数量时间而增加。为了找到增长率变化的数量规律，我们用前差公式定义美国人口数量规律，我们用前差公式定义美国人口数量在第在第k个十个十年的增长率，即年的增长率，即从表格中从表格中22个数据我们应该得到个数据我们应该得到21个增长率个增长率rk(k=1,2,21)，将它们也画成散点图，将它们也画成散点图.第16页，本讲稿共29页年增长率的散点图年增长率的散点图第17页，本讲稿共29页拟合一次函数的效果图拟合一次函数的效果图第18页，本讲稿共29页实验数据和模拟值的对照实验数据和模拟值的对照年份实验数据模拟值年份实验数据模拟值17903.93.919007670.57180
10、05.35.148919109287.98118107.26.79051920106.510818209.68.94341930123.2130.19183012.911.7571940131.7153.75184017.115.4211950150.7177.59185023.220.1631960179.3200.45186031.426.2581970204221.21187038.634.0191980226.5239.06188050.243.7831990251.4253.64189062.955.8782000281.4265.03第19页，本讲稿共29页人口增长的模拟效果图人口
11、增长的模拟效果图第20页，本讲稿共29页结果猜测结果猜测v由以上数据的模拟整合，我们可以预测由以上数据的模拟整合，我们可以预测2010年美国人口数量。年美国人口数量。2010与与2000年相年相比，其增长率大概为比，其增长率大概为0.12左右，而左右，而2000年年的人口数量为的人口数量为281.4百万人，故可计算得百万人，故可计算得2010年美国人口数量大概为年美国人口数量大概为305.2百万人。百万人。第21页，本讲稿共29页山猫们活得好吗？山猫们活得好吗？v据报道，某种山猫在教好、中等及较差的据报道，某种山猫在教好、中等及较差的自然环境下，年平均增长率分别为自然环境下，年平均增长率分别为
12、1.68%，0.55%和和-4.50%，假定开始时有，假定开始时有100只山猫，按以下情况讨论山猫数量逐年变只山猫，按以下情况讨论山猫数量逐年变化过程及趋势：化过程及趋势：（1）3种自然环境下种自然环境下25年的变化过程；年的变化过程；（2）如果每年捕获）如果每年捕获3只，会发生什么情况？只，会发生什么情况？山猫会灭绝吗？如果每年只捕获山猫会灭绝吗？如果每年只捕获1只呢？只呢？第22页，本讲稿共29页 山猫数量的影响因素山猫数量的影响因素气候气候食物食物天敌天敌繁殖繁殖人为人为捕捉捕捉可爱的山猫可爱的山猫是什么在影响它们？是什么在影响它们？第23页，本讲稿共29页问题一问题一v记第记第k（k=
13、0,1,2）年山猫的数量为年山猫的数量为xk，设，设自然环境下的年平均增长率为自然环境下的年平均增长率为r，则列式得，则列式得第24页，本讲稿共29页描绘三种条件下演变曲线描绘三种条件下演变曲线第25页，本讲稿共29页问题一结果分析问题一结果分析v在较差的自然环境下，山猫的数量会越来在较差的自然环境下，山猫的数量会越来越少，最后可能将濒于灭绝；越少，最后可能将濒于灭绝；v在中等和较好的自然环境下，由于增长率在中等和较好的自然环境下，由于增长率大于大于0，即山猫数量呈几何级数无限增长，即山猫数量呈几何级数无限增长，且在较好的自然环境下增长得快一些。且在较好的自然环境下增长得快一些。第26页，本讲
14、稿共29页问题二问题二v如果每年捕获山猫若干只，设自然环境下如果每年捕获山猫若干只，设自然环境下的年平均增长率为的年平均增长率为r，且每年捕获的数量为，且每年捕获的数量为b，则列式得，则列式得下面我们要分析的就是下面我们要分析的就是b=1和和b=3两种情况两种情况.第27页，本讲稿共29页每年捕捉每年捕捉3只山猫后的演变图只山猫后的演变图由图形可知：由图形可知：直线是向下递减弯直线是向下递减弯曲的，这说明如果曲的，这说明如果每年捕获每年捕获3只山猫，只山猫，那么不管在哪种自然那么不管在哪种自然环境下，山猫最终都环境下，山猫最终都将濒临灭种。而且在将濒临灭种。而且在第第20年时，在较差年时，在较差的自然环境下，山的自然环境下，山猫就灭种了。猫就灭种了。第28页，本讲稿共29页每年捕捉每年捕捉1只山猫后的演变图只山猫后的演变图当每年捕获当每年捕获1只山猫时，只山猫时，由图形可知由图形可知在较好的自然环境在较好的自然环境下，山猫将不断繁殖，下，山猫将不断繁殖，处于无限的增长。处于无限的增长。在中等和较差的自在中等和较差的自然环境下，山猫都然环境下，山猫都将逐年减少，并且将逐年减少，并且在较差的环境下减在较差的环境下减少得更快一些，在少得更快一些，在第第37年时濒临灭种。年时濒临灭种。第29页，本讲稿共29页