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1、误差理论教案第1页，本讲稿共59页1.1.1.1.测量的含义测量的含义测量的含义测量的含义测量就是测量就是借助仪器将待测量与同类标准量进行比借助仪器将待测量与同类标准量进行比较，确定待测量是该同类单位量的多少倍的过程称较，确定待测量是该同类单位量的多少倍的过程称作测量。测量数据要写明数值的大小和计量单位。作测量。测量数据要写明数值的大小和计量单位。测量的要素：对象，单位，方法，准确度。测量的要素：对象，单位，方法，准确度。倍数倍数 读数读数+单位单位数据数据 1 测量与误差测量与误差第2页，本讲稿共59页2.2.2.2.测量的分类测量的分类测量的分类测量的分类按方法分类：按方法分类：按条件分类
2、：按条件分类：直接测量直接测量间接测量间接测量 等精度测量等精度测量非等精度测量非等精度测量第3页，本讲稿共59页测量测量直接测量直接测量间接测量间接测量数值数值单位单位第4页，本讲稿共59页二、误差二、误差任何测量结果都有误差！任何测量结果都有误差！真值：待测量客观存在的值真值：待测量客观存在的值 绝对误差绝对误差：真值真值测量值测量值相对误差相对误差:第5页，本讲稿共59页2.2.2.2.误差的分类误差的分类误差的分类误差的分类随机误差随机误差随机性随机性可通过多次测量来减小可通过多次测量来减小系统误差系统误差确定性确定性可用特定方法来消除可用特定方法来消除第6页，本讲稿共59页3、系统误
3、差、系统误差保持不变或以可预知方式变化的误差分量保持不变或以可预知方式变化的误差分量 来源来源:仪器固有缺陷仪器固有缺陷;实验理论近似或方法不完善；实验理论近似或方法不完善；实验环境、测量条件不合要求；实验环境、测量条件不合要求；操作者生理或心理因素。操作者生理或心理因素。第7页，本讲稿共59页一、随机误差的正态分布规律一、随机误差的正态分布规律大量大量的随机误差服从的随机误差服从正态分布正态分布规律规律 0 0 正态分布正态分布正态分布正态分布误差误差概率密度函数概率密度函数标准误差标准误差2 随机误差的处理随机误差的处理第8页，本讲稿共59页随机误差介于随机误差介于小区间内的概率为小区间内
4、的概率为：的物理意义的物理意义:0 0随机误差介于区间随机误差介于区间(-a,a)内的概率为内的概率为-a aa a(-a,a)为为置信区间置信区间、P为为置信概率置信概率第9页，本讲稿共59页满足归一化条件满足归一化条件可以证明：可以证明：极限误差极限误差0 0总面积总面积=1=1第10页，本讲稿共59页第11页，本讲稿共59页对称性对称性单峰性单峰性 有界性有界性正态分布特征：正态分布特征：0 0抵偿性抵偿性即即第12页，本讲稿共59页二、随机误差估算二、随机误差估算标准偏差标准偏差误差：误差：偏差：偏差：标准偏差：标准偏差：第13页，本讲稿共59页2、标准误差与标准偏差的关系标准误差与标
5、准偏差的关系3.3.标准偏差标准偏差(标准误差标准误差)的物理含义的物理含义第14页，本讲稿共59页的物理意义的物理意义:作任一次测量，随机误差落在区作任一次测量，随机误差落在区间间 的概率为的概率为 。小，小误差占优，数据集中，重复性好。小，小误差占优，数据集中，重复性好。（精密度）（精密度）大，数据分散，随机误差大，重复性差。大，数据分散，随机误差大，重复性差。第15页，本讲稿共59页总面积总面积=1=1第16页，本讲稿共59页三、测量结果最佳值三、测量结果最佳值算术平均值算术平均值算术平均值算术平均值是真值的最佳估计值是真值的最佳估计值多次测量求平均值可以减小随机误差多次测量求平均值可以
6、减小随机误差第17页，本讲稿共59页一、不确定度基本概念一、不确定度基本概念对被测量的真值所处的量值范围作一评定对被测量的真值所处的量值范围作一评定 测量结果：测量结果：mm(P=0.68)真值以真值以68%68%的概率落在的概率落在区间内区间内3 测量不确定度及估算测量不确定度及估算测量平均值和不确定度测量平均值和不确定度单位单位置信度置信度第18页，本讲稿共59页二、不确定度二、不确定度(包括包括A类和类和B类类)简化估简化估算方法算方法第19页，本讲稿共59页只考虑只考虑仪器误差仪器误差 测量值与真值之间可测量值与真值之间可能产生的最大误差能产生的最大误差常用仪器误差见常用仪器误差见下表
7、下表B类分量类分量 ：（：（B B类不确定度）类不确定度）用其它非统计方法评定的分量用其它非统计方法评定的分量第20页，本讲稿共59页仪器不确定度的估计仪器不确定度的估计.根据说明书根据说明书.由仪器的准确度级别来计算由仪器的准确度级别来计算举例举例:第21页，本讲稿共59页仪器名称仪器名称量量 程程分度值分度值仪器误差仪器误差钢直尺钢直尺0300mm1mm0.1mm钢卷尺钢卷尺01000m1mm0.5mm游标卡尺游标卡尺0300mm0.02,0.05mm分度值分度值螺旋测微计螺旋测微计 0100mm0.01mm0.004m物理天平物理天平1000g100mg50mg水银温度计水银温度计-30
8、3001,0.2分度值分度值读数显微镜读数显微镜0.01mm0.004m数字式电表数字式电表最末一位的最末一位的一个单位一个单位指针式电表指针式电表0.1,0.2,0.5,1.01.5,2.5,5.0量程量程a%第22页，本讲稿共59页第23页，本讲稿共59页第24页，本讲稿共59页总不确定度：总不确定度：由由A类分量和类分量和B类分量按类分量按“方、和、根方、和、根”方法合成方法合成 三、总不确定度的合成三、总不确定度的合成第25页，本讲稿共59页四、测量结果表达式：四、测量结果表达式：单次单次多次多次间接间接第26页，本讲稿共59页 注意注意1.1.根据有效数字运算规则根据有效数字运算规则
9、,确定计算结确定计算结果的位数。果的位数。2.2.不确定度最后结果取不确定度最后结果取1 1位位,且与结论中且与结论中有效数字最后一位对齐。有效数字最后一位对齐。相对不确定度可以取两位。相对不确定度可以取两位。第27页，本讲稿共59页直接测量量数据处理举例直接测量量数据处理举例1.某长度测6次,分别为29.18 29.19 29.27 29.25 29.26 29.24(cm)=0.02cmcmcm取一位取一位cmcm计算计算第28页，本讲稿共59页不确定度保留不确定度保留1 1位位,且与平均值的最后且与平均值的最后一位对齐一位对齐.取一位取一位最后结果：最后结果：取一位取一位第29页，本讲稿
10、共59页五、间接测量的不确定度五、间接测量的不确定度:(教材P14公式0.3-8)第30页，本讲稿共59页例如：例如：间接测量量的不确定度是每一个直接测量量的合成。间接测量量的不确定度是每一个直接测量量的合成。两边求微分得两边求微分得:第31页，本讲稿共59页间接测量量数据处理举例间接测量量数据处理举例 测得某园柱体质量测得某园柱体质量M M，直径，直径D D，高度，高度H H值如下，值如下，计算其密度及不确定度。计算其密度及不确定度。第32页，本讲稿共59页第33页，本讲稿共59页第34页，本讲稿共59页两种偏差的比较两种偏差的比较(算术平均偏差与标准偏差算术平均偏差与标准偏差)用螺旋测微计
11、测量一钢球的直径，得到两组测量数用螺旋测微计测量一钢球的直径，得到两组测量数据如下：据如下：A A组组 (mm)1.250 1.256 1.251 1.255 (mm)1.250 1.256 1.251 1.255 B B组组 (mm)1.253 1.248 1.253 1.258 (mm)1.253 1.248 1.253 1.258 第35页，本讲稿共59页 可见，如果都用算术平均偏差计算，则其绝对误差和相对可见，如果都用算术平均偏差计算，则其绝对误差和相对误差都一样，没有区别。若用标准偏差计算，则它们的绝对误误差都一样，没有区别。若用标准偏差计算，则它们的绝对误差和相对误差都不一样。仔细
12、分析数据可以看出，差和相对误差都不一样。仔细分析数据可以看出，A A组的涨落组的涨落小于小于B B组，这就清楚地说明，组，这就清楚地说明，标准偏差比算术平均偏差能更标准偏差比算术平均偏差能更准确的表征测量结果的离散程度及数据分布情况。算术平准确的表征测量结果的离散程度及数据分布情况。算术平均偏差只是粗略地反映了测量误差的大小，而标准偏差则均偏差只是粗略地反映了测量误差的大小，而标准偏差则反映了误差的分布反映了误差的分布。但算术平均偏差计算比较简单，因。但算术平均偏差计算比较简单，因此在要求不高或数据离散程度不大时，还是一种比较方此在要求不高或数据离散程度不大时，还是一种比较方便的方法。便的方法
13、。第36页，本讲稿共59页肖维涅准则肖维涅准则肖维涅准则(要求大于要求大于4 次次)当某次测量值满足下列关系时，可认为是异常数据而剔除当某次测量值满足下列关系时，可认为是异常数据而剔除 (见教材P11表0.2-1)第37页，本讲稿共59页2 2、肖维涅准则、肖维涅准则(要求要求n4n4次）次）为粗差为粗差，x xi i为坏值为坏值检测流程检测流程为坏值，为坏值，剔除。剔除。称为肖维涅系数。称为肖维涅系数。其值与测量次数其值与测量次数n n有关，第有关，第1010页表页表1 12 2给出了各种测量次数对应的给出了各种测量次数对应的 值。值。3 3、格拉布斯准则、格拉布斯准则（n4,较复杂）较复杂
14、）第38页，本讲稿共59页例例1 1 用千分尺测量用千分尺测量1010次钢球的直径次钢球的直径d d，数据如下：，数据如下：11.998,12.005,11.998,12.007,11.997 11.998,12.005,11.998,12.007,11.997，11.995,12.005,12.003,12.000,12.002 11.995,12.005,12.003,12.000,12.002。试估算试估算d d的算术平均值、标准偏差、平均值的标准偏的算术平均值、标准偏差、平均值的标准偏差，正确表示直径测量结果及球的体积结果。差，正确表示直径测量结果及球的体积结果。(P=0.95)(P=
15、0.95)解解 算术平均值算术平均值 标准偏差标准偏差第39页，本讲稿共59页平均值的标准偏差平均值的标准偏差 用肖维涅准则判断：用肖维涅准则判断：都小于都小于不确定度不确定度测量结果测量结果第40页，本讲稿共59页第41页，本讲稿共59页第42页，本讲稿共59页3.常用函数的不确定度传递公式常用函数的不确定度传递公式（1）（2）返回返回 上页上页 下页下页第43页，本讲稿共59页（3）（4）返回返回 上页上页 下页下页第44页，本讲稿共59页（5）（6）(7)返回返回 上页上页 下页下页第45页，本讲稿共59页不确定度的传递公式（间接量的不确定度）第46页，本讲稿共59页例例 1 1用不锈钢
16、板尺对某物体进行用不锈钢板尺对某物体进行1515次测量，测值为：次测量，测值为：11.42 11.44 11.40 11.43 11.42 11.43 11.40 11.39 11.42 11.44 11.40 11.43 11.42 11.43 11.40 11.39 11.30 11.43 11.42 11.41 11.39 11.39 11.4011.30 11.43 11.42 11.41 11.39 11.39 11.40单位单位cmcm检测是否有坏值。检测是否有坏值。解：解：第47页，本讲稿共59页所以，所以，11.3011.30为坏值，予以剔除为坏值，予以剔除。对余下的数据继续检
17、验对余下的数据继续检验，若无坏值，重新算平均值：若无坏值，重新算平均值：经检验其余经检验其余1414个测量值均满足极限准则，已无坏值。个测量值均满足极限准则，已无坏值。经检验仅有经检验仅有第48页，本讲稿共59页 第49页，本讲稿共59页1.1.不确定度不确定度U U只取一位，只进不舍只取一位，只进不舍 之所以采用只进不舍，是因为不确定度表示的是某之所以采用只进不舍，是因为不确定度表示的是某一置信区间下测量结果可靠程度的一个一置信区间下测量结果可靠程度的一个范围范围，如果舍去，如果舍去尾数，则会人为地将范围缩小，使得测量表示结果变尾数，则会人为地将范围缩小，使得测量表示结果变得不可靠。因此，尾
18、数只能进，且只进一。只取一位得不可靠。因此，尾数只能进，且只进一。只取一位的原因是有效数字的最后一位是估读位（欠准位），的原因是有效数字的最后一位是估读位（欠准位），前一位是准确位，在只进不舍的前提下，范围已经扩前一位是准确位，在只进不舍的前提下，范围已经扩大，再多出一位就显得没有必要。大，再多出一位就显得没有必要。第50页，本讲稿共59页U0.3652cm0.4cmU0.30010.4U32441022.2.的取位的取位“四舍六入五凑偶四舍六入五凑偶”由于由于 的最后一位是欠准位，因此，该位应与不的最后一位是欠准位，因此，该位应与不确定度的有效末尾保持一致，即若不确定度取到百分确定度的有效末
19、尾保持一致，即若不确定度取到百分位，则位，则 也应取到百分位，若不确定度取到千位，则也应取到百分位，若不确定度取到千位，则 也应取到千位。也应取到千位。的尾数取舍采用：的尾数取舍采用：“四舍六入五凑偶四舍六入五凑偶”的原则。的原则。计算中间过程，不计算中间过程，不确定度可多取一位确定度可多取一位第51页，本讲稿共59页四舍即是小于等于四则舍掉；六入即大于等于六则进四舍即是小于等于四则舍掉；六入即大于等于六则进位；若尾数是五，则将前一位凑成偶数：前一位是偶位；若尾数是五，则将前一位凑成偶数：前一位是偶数则将尾数舍掉；前一位是奇数则将尾数进上去。数则将尾数舍掉；前一位是奇数则将尾数进上去。例如：例
20、如：1234565cm1234565cm，保留到万位，则保留到万位，则 12310123104 4cmcm1.23101.23106 6cmcm（四舍四舍）保留到百位，则保留到百位，则 123461012346102 2cmcm1.2346101.2346106 6cmcm（六入六入）保留到十位，则保留到十位，则 12345610cm12345610cm1.23456101.23456106 6cm(cm(五凑偶五凑偶)保留到千位，则保留到千位，则 1234101234103 3cmcm1.234101.234106 6cm(cm(五凑偶五凑偶)第52页，本讲稿共59页例题例题2 2 例2：经
21、测量，金属环的内径D1=（2.8800.004）cm，外径D2=（3.6000.004）cm，厚度h=（2.5750.004）cm，求环体积V的测量结果。(P=0.95)a直接求不确定度uv方法一：、环体积公式：V的近真值：第53页，本讲稿共59页 方法一：先求V对各变量的偏导数，对某一变量求偏导数时，把其它变量看作常数。第54页，本讲稿共59页 方法二：先求相对不确定度Ev，再求不确定度uv第55页，本讲稿共59页V的测量结果：V=（9.4360.076）=（9.44 0.08）cm(p=0.95)第56页，本讲稿共59页第57页，本讲稿共59页4 4、误差与测量结果的关系、误差与测量结果的
22、关系精密度：表示重复测量各测量值相互接近的程度，精密度：表示重复测量各测量值相互接近的程度，即测量值分布的密集程度，它表征随机误差对测即测量值分布的密集程度，它表征随机误差对测量值的影响，精密度高表示随机误差小，测量重量值的影响，精密度高表示随机误差小，测量重复性好，测量数据比较集中。复性好，测量数据比较集中。精密度反映随机误精密度反映随机误差大小的程度差大小的程度。为了定性地描述各测量值的重复性及测量为了定性地描述各测量值的重复性及测量结果与其真值的接近程度，常用精密度、正确结果与其真值的接近程度，常用精密度、正确度、准确度来描述。度、准确度来描述。第58页，本讲稿共59页 图图1-21-2是以打靶时弹着点的分布为例，是以打靶时弹着点的分布为例，说明这三个词的涵义。说明这三个词的涵义。精密度高精密度高正确度低正确度低正确度高正确度高精密度低精密度低准确度高准确度高既精密又正确既精密又正确第59页，本讲稿共59页