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1、误差理论第十章第1页，本讲稿共25页yo x10.1 10.1 点位中误差点位中误差一、点位中误差一、点位中误差一、点位中误差一、点位中误差1 1 1 1点位真误差点位真误差点位真误差点位真误差称为称为称为称为P P P P点的点位真误差。点的点位真误差。点的点位真误差。点的点位真误差。2 2 2 2点位中误差点位中误差点位中误差点位中误差根据方差的定义，得：根据方差的定义，得：根据方差的定义，得：根据方差的定义，得：显然：显然：显然：显然：就是就是就是就是P P P P点的点位中误差！点的点位中误差！点的点位中误差！点的点位中误差！简称简称简称简称P P P P点的位差！点的位差！点的位差！
2、点的位差！第2页，本讲稿共25页 点位方差总是等于两个相互垂直的方向上的坐标方差之和，点位方差总是等于两个相互垂直的方向上的坐标方差之和，点位方差总是等于两个相互垂直的方向上的坐标方差之和，点位方差总是等于两个相互垂直的方向上的坐标方差之和，即点位方差的大小与坐标系的选择无关。即点位方差的大小与坐标系的选择无关。即点位方差的大小与坐标系的选择无关。即点位方差的大小与坐标系的选择无关。yo xX/y/3.3.点位中误差与坐标系的选择无关点位中误差与坐标系的选择无关 称为纵向中误差称为纵向中误差称为纵向中误差称为纵向中误差 称为横向中误差称为横向中误差称为横向中误差称为横向中误差由图可知：由图可知
3、：由图可知：由图可知：10.1 10.1 点位中误差点位中误差第3页，本讲稿共25页4 4 4 4.点位中误差（位差）的局限性点位中误差（位差）的局限性点位中误差（位差）的局限性点位中误差（位差）的局限性 点位中误差可以用来评定待定点的点位精度，点位中误差可以用来评定待定点的点位精度，点位中误差可以用来评定待定点的点位精度，点位中误差可以用来评定待定点的点位精度，却不能代表该点在某一任意方向上的位差大小。却不能代表该点在某一任意方向上的位差大小。却不能代表该点在某一任意方向上的位差大小。却不能代表该点在某一任意方向上的位差大小。有时需要了解点位在哪一个方向上的位差最大有时需要了解点位在哪一个方
4、向上的位差最大有时需要了解点位在哪一个方向上的位差最大有时需要了解点位在哪一个方向上的位差最大在哪一个方向上的位差最小；或需要直观形象的表在哪一个方向上的位差最小；或需要直观形象的表在哪一个方向上的位差最小；或需要直观形象的表在哪一个方向上的位差最小；或需要直观形象的表达任意方向上位差的大小和分布情况：达任意方向上位差的大小和分布情况：达任意方向上位差的大小和分布情况：达任意方向上位差的大小和分布情况：点位点位点位点位误差椭圆误差椭圆误差椭圆误差椭圆可以做到！可以做到！可以做到！可以做到！10.1 10.1 点位中误差点位中误差第4页，本讲稿共25页 条件平差法计算条件平差法计算条件平差法计算
5、条件平差法计算 按平差值函数协因数的计算方法求解。按平差值函数协因数的计算方法求解。按平差值函数协因数的计算方法求解。按平差值函数协因数的计算方法求解。10.1 10.1 点位中误差点位中误差二、点位误差的计算二、点位误差的计算二、点位误差的计算二、点位误差的计算2 2 2 2 的计算问题的计算问题的计算问题的计算问题1.1.1.1.计算公式计算公式计算公式计算公式间接平差法计算间接平差法计算间接平差法计算间接平差法计算第5页，本讲稿共25页 另一种情况是在控制网设计阶段，使用经验值另一种情况是在控制网设计阶段，使用经验值另一种情况是在控制网设计阶段，使用经验值另一种情况是在控制网设计阶段，使
6、用经验值或按相应或按相应或按相应或按相应规范规范规范规范规定的相应等级的误差值，例如规定的相应等级的误差值，例如规定的相应等级的误差值，例如规定的相应等级的误差值，例如四等平面控制网，测角中误差为四等平面控制网，测角中误差为四等平面控制网，测角中误差为四等平面控制网，测角中误差为 ，可取，可取，可取，可取 10.1 10.1 点位中误差点位中误差3 3 3 3 的确定的确定的确定的确定一是在平差计算时，用式一是在平差计算时，用式一是在平差计算时，用式一是在平差计算时，用式计算，计算，计算，计算，但是由于子样的容量（即观测值的个数以及但是由于子样的容量（即观测值的个数以及但是由于子样的容量（即观
7、测值的个数以及但是由于子样的容量（即观测值的个数以及观测次数）有限，因此不论用何种方法平差，用观测次数）有限，因此不论用何种方法平差，用观测次数）有限，因此不论用何种方法平差，用观测次数）有限，因此不论用何种方法平差，用式求得的数值只是单位权中误差的估值；式求得的数值只是单位权中误差的估值；式求得的数值只是单位权中误差的估值；式求得的数值只是单位权中误差的估值；4.4.4.4.点位误差的实用计算公式点位误差的实用计算公式点位误差的实用计算公式点位误差的实用计算公式第6页，本讲稿共25页实用公式如下：实用公式如下：实用公式如下：实用公式如下：10.2 10.2 点位任意方向的位差点位任意方向的位
8、差yxp一、任意方向一、任意方向一、任意方向一、任意方向 上的位差上的位差上的位差上的位差第7页，本讲稿共25页1.1.1.1.极值方向的确定极值方向的确定极值方向的确定极值方向的确定10.2 10.2 点位任意方向的位差点位任意方向的位差二、位差的极大值二、位差的极大值二、位差的极大值二、位差的极大值 和极小值和极小值和极小值和极小值 确定极值方向的计算公式！确定极值方向的计算公式！确定极值方向的计算公式！确定极值方向的计算公式！如何判断极大值与极小值方向呢？如何判断极大值与极小值方向呢？如何判断极大值与极小值方向呢？如何判断极大值与极小值方向呢？第8页，本讲稿共25页10.2 10.2 点
9、位任意方向的位差点位任意方向的位差或或 极大极大值极小极小值或或 第一象限第一象限 第三象限第三象限 第二象限第二象限 第四象限第四象限 第二象限第二象限 第四象限第四象限 第一象限第一象限 第三象限第三象限 第9页，本讲稿共25页显然：显然：显然：显然：极大值方向互差极大值方向互差极大值方向互差极大值方向互差180180180180；极小值方向互差极小值方向互差极小值方向互差极小值方向互差180180180180；极大值方向与极小值方向极大值方向与极小值方向极大值方向与极小值方向极大值方向与极小值方向互差互差互差互差90909090。10.2 10.2 点位任意方向的位差点位任意方向的位差结
10、论结论结论结论：两个根：两个根：两个根：两个根：两个极值方向：两个极值方向：两个极值方向：两个极值方向：在一、三象限；在一、三象限；在一、三象限；在一、三象限；在二、四象限。在二、四象限。在二、四象限。在二、四象限。在二、四象限；在二、四象限；在二、四象限；在二、四象限；在一、三象限。在一、三象限。在一、三象限。在一、三象限。第10页，本讲稿共25页2.2.2.2.极大值极大值极大值极大值 E E 和极小值和极小值和极小值和极小值 F F 的计算的计算的计算的计算10.2 10.2 点位任意方向的位差点位任意方向的位差第11页，本讲稿共25页10.2 10.2 点位任意方向的位差点位任意方向的
11、位差 例例例例10-110-1已知已知已知已知求：求：求：求：方法一：方法一：方法一：方法一：方法二：方法二：方法二：方法二：第12页，本讲稿共25页现在求：现在求：现在求：现在求：10.2 10.2 点位任意方向的位差点位任意方向的位差三、以位差极大值三、以位差极大值三、以位差极大值三、以位差极大值E E E E和极小值和极小值和极小值和极小值F F F F表示的任意方向表示的任意方向表示的任意方向表示的任意方向 上的位差上的位差上的位差上的位差前已导出，在前已导出，在前已导出，在前已导出，在XOYXOY坐标系中有：坐标系中有：坐标系中有：坐标系中有：同理在同理在同理在同理在E E E EO
12、FOF坐标系中：坐标系中：坐标系中：坐标系中：第13页，本讲稿共25页代入代入代入代入10.2 10.2 点位任意方向的位差点位任意方向的位差在在在在XOYXOY坐标系中有：坐标系中有：坐标系中有：坐标系中有：由由由由知知知知第14页，本讲稿共25页 该图形关于该图形关于该图形关于该图形关于E E E E轴和轴和轴和轴和F F F F轴对称。轴对称。轴对称。轴对称。10.3 10.3 误差曲线误差曲线一、误差曲线的概念一、误差曲线的概念一、误差曲线的概念一、误差曲线的概念以不同的以不同的以不同的以不同的 为极坐标的点的轨迹为极坐标的点的轨迹为极坐标的点的轨迹为极坐标的点的轨迹所形成的一条闭合曲
13、线，习惯上称为所形成的一条闭合曲线，习惯上称为所形成的一条闭合曲线，习惯上称为所形成的一条闭合曲线，习惯上称为误差曲线。误差曲线。误差曲线。误差曲线。显然，任意方向显然，任意方向显然，任意方向显然，任意方向 上的极径（向径）上的极径（向径）上的极径（向径）上的极径（向径）就是该方向上的位差。就是该方向上的位差。就是该方向上的位差。就是该方向上的位差。二、误差曲线的特点二、误差曲线的特点二、误差曲线的特点二、误差曲线的特点 整个曲线把各方向的位差的大整个曲线把各方向的位差的大整个曲线把各方向的位差的大整个曲线把各方向的位差的大小直观地、清楚地描述出来。小直观地、清楚地描述出来。小直观地、清楚地描
14、述出来。小直观地、清楚地描述出来。如右图所示：如右图所示：如右图所示：如右图所示：第15页，本讲稿共25页三、误差曲线的用途三、误差曲线的用途三、误差曲线的用途三、误差曲线的用途 1 1 1 1量取坐标中误差：量取坐标中误差：量取坐标中误差：量取坐标中误差：2 2 2 2极大值和极小值：极大值和极小值：极大值和极小值：极大值和极小值：3 3 3 3平差后的边长（平差后的边长（平差后的边长（平差后的边长（BPBPBPBP）中误差：）中误差：）中误差：）中误差：4 4 4 4平差后的方位角（平差后的方位角（平差后的方位角（平差后的方位角（APAPAPAP）的中误差：）的中误差：）的中误差：）的中误
15、差：因为：因为：因为：因为：故方位角中误差：故方位角中误差：故方位角中误差：故方位角中误差：、，10.3 10.3 误差曲线误差曲线 可见：利用误差曲线可见：利用误差曲线可见：利用误差曲线可见：利用误差曲线可以量测任意方向的位差！可以量测任意方向的位差！可以量测任意方向的位差！可以量测任意方向的位差！第16页，本讲稿共25页一、点位误差曲线总体形状与以一、点位误差曲线总体形状与以一、点位误差曲线总体形状与以一、点位误差曲线总体形状与以E E E E、F F F F为为为为长短半轴的椭圆很相似，而且可以证长短半轴的椭圆很相似，而且可以证长短半轴的椭圆很相似，而且可以证长短半轴的椭圆很相似，而且可
16、以证明，通过一定的变通方法，用此椭圆明，通过一定的变通方法，用此椭圆明，通过一定的变通方法，用此椭圆明，通过一定的变通方法，用此椭圆可以代替点位误差曲线进行各类误差可以代替点位误差曲线进行各类误差可以代替点位误差曲线进行各类误差可以代替点位误差曲线进行各类误差的量取，故将此椭圆称点位误差椭圆的量取，故将此椭圆称点位误差椭圆的量取，故将此椭圆称点位误差椭圆的量取，故将此椭圆称点位误差椭圆（习惯上称误差椭圆），（习惯上称误差椭圆），（习惯上称误差椭圆），（习惯上称误差椭圆），E E E E、F F F F、称称称称为为为为点位误差椭圆参数点位误差椭圆参数点位误差椭圆参数点位误差椭圆参数。实用上常以
17、点实用上常以点实用上常以点实用上常以点位误差椭圆代替点位误差曲线。位误差椭圆代替点位误差曲线。位误差椭圆代替点位误差曲线。位误差椭圆代替点位误差曲线。10.4 10.4 误差椭圆误差椭圆二、任意方向位差的度量方法：二、任意方向位差的度量方法：二、任意方向位差的度量方法：二、任意方向位差的度量方法：垂足到椭圆中心的距离，即为该方向的位差。垂足到椭圆中心的距离，即为该方向的位差。垂足到椭圆中心的距离，即为该方向的位差。垂足到椭圆中心的距离，即为该方向的位差。（证明如下）（证明如下）（证明如下）（证明如下）作该方向的垂直切线，作该方向的垂直切线，作该方向的垂直切线，作该方向的垂直切线，第17页，本讲
18、稿共25页三、利用点位误差椭圆评定精度存在的问题三、利用点位误差椭圆评定精度存在的问题三、利用点位误差椭圆评定精度存在的问题三、利用点位误差椭圆评定精度存在的问题 在在在在工工工工程程程程应应应应用用用用中中中中，有有有有时时时时并并并并不不不不需需需需要要要要研研研研究究究究待待待待定定定定点点点点相相相相对对对对于于于于起起起起始始始始点点点点的精度，往往关心的是任意两个待定点之间相对位置的精度。的精度，往往关心的是任意两个待定点之间相对位置的精度。的精度，往往关心的是任意两个待定点之间相对位置的精度。的精度，往往关心的是任意两个待定点之间相对位置的精度。在在在在10-310-310-31
19、0-3中中中中曾曾曾曾举举举举例例例例说说说说明明明明如如如如何何何何利利利利用用用用点点点点位位位位误误误误差差差差曲曲曲曲线线线线从从从从图图图图上上上上量量量量出出出出已已已已知知知知点点点点与与与与待待待待定定定定点点点点之之之之间间间间的的的的边边边边长长长长中中中中误误误误差差差差，以以以以及及及及与与与与该该该该边边边边相相相相垂垂垂垂直直直直的的的的横横横横向向向向误误误误差差差差，从从从从而而而而求求求求出出出出方方方方位位位位角角角角误误误误差差差差。在在在在10-410-410-410-4中中中中又又又又阐阐阐阐述述述述论论论论证证证证了了了了用用用用点点点点位位位位误误
20、误误差差差差椭椭椭椭圆圆圆圆可可可可以以以以代代代代替替替替误误误误差差差差曲曲曲曲线线线线。但但但但是是是是它它它它们们们们都都都都只只只只能能能能确确确确定定定定待待待待定定定定点点点点与与与与任任任任一一一一已已已已知知知知点点点点之之之之间间间间的的的的边边边边长长长长中中中中误误误误差差差差或或或或方方方方位位位位角角角角中中中中误误误误差差差差，但但但但不不不不能能能能确确确确定待定点与待定点之间的边长中误差或方位角中误差。定待定点与待定点之间的边长中误差或方位角中误差。定待定点与待定点之间的边长中误差或方位角中误差。定待定点与待定点之间的边长中误差或方位角中误差。举例说明如下：举
21、例说明如下：举例说明如下：举例说明如下：10.4 10.4 误差椭圆误差椭圆第18页，本讲稿共25页 例例例例10 10 10 10-三三三三角角角角网网网网中中中中通通通通过过过过平平平平差差差差已已已已求求求求得得得得待待待待定定定定点点点点 和和和和 点点点点的的的的坐坐坐坐标标标标协协协协因因因因数数数数阵阵阵阵和和和和单单单单位位位位权权权权中中中中误误误误差差差差。计计计计算算算算两两两两点点点点的的的的误误误误差差差差椭椭椭椭圆圆圆圆元元元元素素素素，并并并并说说说说明明明明不不不不能能能能求求求求出两点间的相对精度。出两点间的相对精度。出两点间的相对精度。出两点间的相对精度。1
22、0.4 10.4 误差椭圆误差椭圆解解解解：点的误差椭圆元素点的误差椭圆元素点的误差椭圆元素点的误差椭圆元素第19页，本讲稿共25页 点的误差椭圆参数点的误差椭圆参数点的误差椭圆参数点的误差椭圆参数 误差椭圆绘制误差椭圆绘制误差椭圆绘制误差椭圆绘制10.4 10.4 误差椭圆误差椭圆第20页，本讲稿共25页10.4 10.4 误差椭圆误差椭圆用点位误差椭圆不能够求出两点之间的相对精度说明用点位误差椭圆不能够求出两点之间的相对精度说明用点位误差椭圆不能够求出两点之间的相对精度说明用点位误差椭圆不能够求出两点之间的相对精度说明从图上看：从图上看：从图上看：从图上看：对对对对 点：点：点：点：对对对对 点：点：点：点：第21页，本讲稿共25页二、若二、若二、若二、若j j j j点为已知点：点为已知点：点为已知点：点为已知点：10.5 10.5 相对误差椭圆相对误差椭圆一、相对点位误差椭圆元素的计算一、相对点位误差椭圆元素的计算一、相对点位误差椭圆元素的计算一、相对点位误差椭圆元素的计算第22页，本讲稿共25页 例例例例10-10-10-10-10.5 10.5 相对误差椭圆相对误差椭圆第23页，本讲稿共25页第24页，本讲稿共25页第25页，本讲稿共25页