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1、学习要求与内容提要目的与要求：掌握目的与要求：掌握复变函数积分的概念、柯西定理复变函数积分的概念、柯西定理 不定不定积分积分 柯西公式柯西公式重点：重点：难点：难点：1.1.复积分的基本定理；复积分的基本定理；2.2.柯西积分公式与高阶导数公式柯西积分公式与高阶导数公式 复合闭路定理与复积分的计算复合闭路定理与复积分的计算11.1.1.1.有向曲线有向曲线有向曲线有向曲线:设设C为平面上给定的一条光滑为平面上给定的一条光滑(或按段光滑或按段光滑)曲线曲线,如果选定如果选定C的两个可能方向中的一个作的两个可能方向中的一个作为正方向为正方向(或正向或正向),),那么我们就把那么我们就把C理解为带理
2、解为带有方向的曲线有方向的曲线,称为称为有向曲线有向曲线.如果如果A到到B作为曲线作为曲线C的正向的正向,那么那么B到到A就是曲线就是曲线C的负向的负向,2.12.1复变函数的复变函数的积分积分(与实函数积分相似，定义为和的极限与实函数积分相似，定义为和的极限)复平面上的线积分复平面上的线积分2简单闭曲线正向的定义简单闭曲线正向的定义:简单闭曲线简单闭曲线C的正向是的正向是指当曲线上的点指当曲线上的点P顺此方向顺此方向前进时前进时,邻近邻近P点的曲线的点的曲线的内部始终位于内部始终位于P点的左方点的左方.与之相反的方向就是曲线的负方向与之相反的方向就是曲线的负方向.关于曲线方向的说明关于曲线方
3、向的说明:在今后的讨论中在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作常把两个端点中的一个作为起点为起点,另一个作为终点另一个作为终点,除特殊声明外除特殊声明外,正方向总是指从起点到终点的方向正方向总是指从起点到终点的方向.32.2.2.2.积分的定义积分的定义积分的定义积分的定义:4(5关于定义的说明关于定义的说明:63.3.3.3.存在的条件和存在的条件和存在的条件和存在的条件和计算法计算法计算法计算法证证正方向为参数增加的方向正方向为参数增加的方向,78根据线积分的存在定理根据线积分的存在定理,9当当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,10在形式上可以看成
4、是在形式上可以看成是公式公式积分的计算法积分的计算法111积分的计算法积分的计算法2 212在今后讨论的积分中在今后讨论的积分中,总假定被积函数是连续的总假定被积函数是连续的,曲线曲线 C 是按段光滑的是按段光滑的.13设设L是简单逐段光滑曲线是简单逐段光滑曲线，f,g在在L L上连续，则上连续，则性质：常数因子可以移到积分号外函数的和的积分等于各函数积分之和反转积分路径，积分反号全路径上的积分等于各段上积分之和14注意到注意到性质性质(5)(5)可以写为可以写为 特别地，若在特别地，若在L上有上有 ，L的长记为的长记为L，则性质则性质(5)(5)成为成为 注意：注意：数学分析中的积分中值定理
5、不能推移到复变函数积分上来，例如：而 (6)(6)15例例1 解解直线方程为直线方程为16这两个积分都与路线这两个积分都与路线C 无关无关17例例2 解解(1)积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为y=x18(2)积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为y=x19y=x(3)积分路径由两段直线段构成积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为轴上直线段的参数方程为1到到1+i直线段的参数方程为直线段的参数方程为20例例3 解解积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为21例例4 解解积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为22重要结论重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关：积分值与路径
6、圆周的中心和半径无关.232.2 2.2 2.2 2.2 柯西定理柯西定理柯西定理柯西定理讨论复变函数积分与积分路径的关系讨论复变函数积分与积分路径的关系（一）单通区域情形在区域中做任何简单闭合围道，围在区域中做任何简单闭合围道，围道内的点都属于该区域道内的点都属于该区域单连通区域：单连通区域：复连通区域复连通区域，或称多连通区域或称多连通区域 区别：区域中任一闭合曲线能否连续变形而缩成一区域中任一闭合曲线能否连续变形而缩成一点。点。连续变形：变形时曲线始终属于该区域。变形时曲线始终属于该区域。24复习：二元函数积分的格林公式路径无关的充要条件：路径无关的充要条件：实变线积分实变线积分在单连通
7、区域在单连通区域B B内与内与在在B B内的偏导数内的偏导数连续，并且连续，并且由于复变函数的积分可转化为两个实变线积分由于复变函数的积分可转化为两个实变线积分因此可得到复变函数的积分与路径无关的充要条件因此可得到复变函数的积分与路径无关的充要条件25单连通区域单连通区域柯西定理：柯西定理：如果函数如果函数f(z)在闭单连通域在闭单连通域B上解析上解析，则沿则沿B上任一分段光上任一分段光滑闭曲线滑闭曲线l（也可以是也可以是B的边界）的边界），有，有 推广推广：如果函数如果函数f(z)在单通域在单通域B上解析，上解析，在闭单在闭单连通域连通域B上连续，则上连续，则沿沿B上任一分段光滑闭曲线上任一
8、分段光滑闭曲线l（也可以是也可以是B的边界），有的边界），有Bl26由定理得由定理得27连续，且格林公式同理连续，且证明：回路积分化成面积分28例例1 1解解根据柯西定理根据柯西定理,有有29例例2 2证证由柯西定理由柯西定理,30由柯西定理由柯西定理,由上节例由上节例4可知可知,31例例3 3解解根据柯西古萨定理得根据柯西古萨定理得3233奇点奇点：复变函数不解析的点复变函数不解析的点 若若f(z)在在z=b 不解析（或没有定义），而在不解析（或没有定义），而在z=b的的无心邻域无心邻域 0 zb R内解析，则内解析，则z=b为为f(z)的的孤立奇孤立奇点点。含孤立奇点的区域，可将其每个奇点
9、的有限小邻域挖掉，使原区域变为复通区域（二）复通区域情形有时，所研究的函数在区域上并非处处解析有时，所研究的函数在区域上并非处处解析34 沿着一条简单曲线沿着一条简单曲线C C有有两个相反的方向，其中一个两个相反的方向，其中一个方向是：当观察者顺此方向方向是：当观察者顺此方向沿沿C C前进一周时，前进一周时，C C的内部一的内部一直在直在C C的左方，即的左方，即“逆时针逆时针”方向，称为正方向；另方向，称为正方向；另一个方向是：当观察者顺此方向沿一个方向是：当观察者顺此方向沿C C前进一周时，前进一周时，C C的的外部一直在外部一直在C C的左方，即的左方，即“顺时针顺时针”方向，称为负方方
10、向，称为负方向。向。区域境界线正方向：区域境界线正方向：35在 l 围成的区域中含f(z)的孤立奇点，则可引入曲线l1将此奇点挖掉，在余下的区域(一复连通区域)中，f(z)解析。由柯西定理或或又又 l与l1方向相反，但与-l1方向相同。36(多连通域柯西定理多连通域柯西定理)设B是以边为界的有界n+1连通区域，其中l1，l2，ln是简单光滑闭曲线l内部互相外离的n条简单光滑闭曲线。若f(z)在 上连续，在B内解析，则有其中C取关于区域B的正向，或写为：37例例1 1解解依题意知依题意知,38根据复合闭路定理根据复合闭路定理,39例例2 2 解解圆环域的边界构成一条复合闭路圆环域的边界构成一条复
11、合闭路,根据闭路复合定理根据闭路复合定理,40例例3 3解解41由复合闭路定理由复合闭路定理,此结论非常重要此结论非常重要,用起来很方用起来很方便便,因为因为 不必是圆不必是圆,a也不必也不必是圆的圆心是圆的圆心,只要只要a在简单闭曲在简单闭曲线线 内即可内即可.42例例4 4解解由上例可知由上例可知43柯西定理总结1.闭单通区域上的解析函数沿境界线的积分为零。闭单通区域上的解析函数沿境界线的积分为零。2.闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向的积分和为零。向的积分和为零。3.闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向闭复通区域上的解析函数沿外境
12、界线逆时针方向的积分等于沿所有内境界线逆时针方向的积分的的积分等于沿所有内境界线逆时针方向的积分的和。和。固定起点和终点，积分路径的连续形变不改变积分44定理一定理一由定理一可知由定理一可知:解析函数在单连通域内的积分只与起点和解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关终点有关,(如下页图如下页图)1.1.两个主要定理两个主要定理:2.3 2.3 不定积分不定积分4546定理二定理二证证利用导数的定义来证利用导数的定义来证.47由于积分与路线无关由于积分与路线无关,4849由积分的估值性质由积分的估值性质,50 此定理与微积分学中的对变上限积分的求导此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理
13、完全类似定理完全类似.证毕证毕512.2.原函数的定义原函数的定义:原函数之间的关系原函数之间的关系:证证52那末它就有无穷多个原函数那末它就有无穷多个原函数,根据以上讨论可知根据以上讨论可知:证毕证毕533.3.不定积分的定义不定积分的定义:定理三定理三(类似于牛顿类似于牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式)54证证根据柯西根据柯西-古萨基本定理古萨基本定理,证毕证毕说明说明:有了以上定理有了以上定理,复变函数的积分就可以用复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算跟微积分学中类似的方法去计算.55典型例题例例1 1解解由牛顿由牛顿-莱布尼兹公式知莱布尼兹公式知,56例例2 2解解(使用了
14、微积分学中的使用了微积分学中的“凑微分凑微分”法法)57例例3 3解解由牛顿由牛顿-莱布尼兹公式知莱布尼兹公式知,58例例3 3另解另解此方法使用了微积分中此方法使用了微积分中“分部积分法分部积分法”59例例4 4解解利用分部积分法可得利用分部积分法可得课堂练习课堂练习答案答案60例例5 5解解61例例6 6解解所以积分与路线无关所以积分与路线无关,根据牛根据牛莱公式莱公式:622.4 2.4 柯西公式柯西公式 柯西积分公式柯西积分公式:若若f(z)在闭单通区域B上解析，l为B境界线，为B内的任一点，那么证明：由于只需证明63如果如果l是圆周是圆周z=+rei，这就是说，一个解析函数在圆心处的
15、值等于它在这就是说，一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周的平均值。圆周的平均值。若若f(z)在在l所围区域上存在奇点，这就要考虑挖去奇点所围区域上存在奇点，这就要考虑挖去奇点后的复通区域。在复通区域上后的复通区域。在复通区域上f(z)解析，显然柯西公式仍解析，显然柯西公式仍然成立，只要将然成立，只要将l l理解为所有境界线，理解为所有境界线，并且其方向均取正向并且其方向均取正向。定理定理：解析函数解析函数f(z)的导数仍为解析函的导数仍为解析函数数，它的，它的n阶导数为：阶导数为：其中其中l为解析区域内围绕为解析区域内围绕z0的任何一条正向简单闭曲线的任何一条正向简单闭曲线。64 Morera
16、定理：(Cauchy定理的逆定理）设f(z)在区域G中连续，如果对于G中的任何闭合围道l，都有则f(z)在G内解析。证明：由路径无关性，定义由路径无关性，定义f(z)的连续性的连续性0所以所以F(z)解析，其导数为解析，其导数为f(z)，再由高阶导数的存在性再由高阶导数的存在性，f(z)在在G内解析内解析。65 模数定理模数定理：f(z)在某个闭区域上解析，则在某个闭区域上解析，则|f(z)|只只能在境界线上取极大值能在境界线上取极大值应用柯西公式应用柯西公式证明：对对 若若|f(z)|在在l上极大值为上极大值为M，|z|的极小值为的极小值为，l的的长为长为s66 Liouville定理定理：
17、如 f(z)在全平面上解析，并且是有界的，即|f(z)|N，则 f(z)必为常数。半径为R的园周总结复数复数函数复数函数单值复数函数多值复数函数单值复数函数单值函数与实变函数相似两个二元实变函数的有序组合重点67奇点奇点柯西定理及推论柯西定理及推论极限极限连续连续积分积分导数导数(微分微分)解析函数解析函数解析区域解析区域柯西公式柯西公式高阶导数公式高阶导数公式u,v 可微C-R条件点点点点可导可导(不解析的点不解析的点)积分区域积分区域有无奇点有无奇点68典型例题例例1 1解解69由柯西积分公式由柯西积分公式70例例2 2解解由柯西积分公式由柯西积分公式71例例3 3解解由柯西积分公式由柯西
18、积分公式72例例解解根据柯西积分公式知根据柯西积分公式知,73例例5 5解解74例例5 5解解75由闭路复合定理由闭路复合定理,得得例例5 5解解76例例6 6解解根据柯西积分公式知根据柯西积分公式知,77比较两式得比较两式得78例例1 1解解7980根据复合闭路定理根据复合闭路定理8182例例2 2解解8384例例3 3解解由柯西古萨基本定理得由柯西古萨基本定理得由柯西积分公式得由柯西积分公式得8586课堂练习课堂练习答案答案87例例4 4解解88根据复合闭路定理和高阶导数公式根据复合闭路定理和高阶导数公式,8990例例5 5(Morera定理定理)证证依题意可知依题意可知91参照本章第四节
19、定理二参照本章第四节定理二,可证明可证明因为解析函数的导数仍为解析函数因为解析函数的导数仍为解析函数,92例例6 6证证不等式即证不等式即证.93四、小结与思考 高阶导数公式是复积分的重要公式高阶导数公式是复积分的重要公式.它表明它表明了了解析函数的导数仍然是解析函数解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重这一异常重要的结论要的结论,同时表明了解析函数与实变函数的本同时表明了解析函数与实变函数的本质区别质区别.高阶导数公式高阶导数公式94思考题思考题 解析函数的高阶导数公式说明解析函数的导解析函数的高阶导数公式说明解析函数的导数与实函数的导数有何不同数与实函数的导数有何不同?95思考题答案思考题答案这一点与实变量函数有本质的区别这一点与实变量函数有本质的区别.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.96