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1、第二节第二节 二维随机向量函数的分布二维随机向量函数的分布 定义定义3.10 若对于二维随机向量若对于二维随机向量(X,Y)的每一个可能值的每一个可能值(x,y)，都有另一随机都有另一随机变量变量 Z 的相应值的相应值z=g(x,y)与之对应与之对应，则称则称随机变量随机变量 Z 为为(X,Y)的函数，记为的函数，记为Z=g(X,Y)如如 ZXY，ZXY 等等.1随机向量注意：注意：虽然虽然(X,Y)是二维随机向量，但其函数是二维随机向量，但其函数=g(X,Y)是一维随机变量。是一维随机变量。下面，我们分离散型和连续型两种情况下面，我们分离散型和连续型两种情况来讨论来讨论:当随机变量当随机变量
2、X与与Y的联合分布已知时，的联合分布已知时，如何求出它们的函数如何求出它们的函数 Zg(X,Y)的分布？的分布？因此，从讨论方法上看，二维随机向量因此，从讨论方法上看，二维随机向量函数函数=g(X,Y)的分布和一维随机变量函数的分布和一维随机变量函数Y=f(X)的分布类似。的分布类似。2随机向量一、离散型随机向量函数的分布一、离散型随机向量函数的分布1.1.列表法列表法Y YX X-1 0 2-1 0 2-1-1 0.2 0.1 0.3 0.2 0.1 0.31 1 0.1 0.2 0.1 0.1 0.2 0.1(一维表或二维表一维表或二维表)2.代数式法3随机向量 0.2 0.1 0.3 0
3、.1 0.2 0.1 0.2 0.1 0.3 0.1 0.2 0.1P P(-1,-1)(-1,0)(-1,2)(1,-1)(1,0)(-1,-1)(-1,0)(-1,2)(1,-1)(1,0)(1,2)(1,2)(X,Y)(X,Y)-2 -1 0 1 3-2 -1 0 1 3 P P0.2 0.1 0.1 0.5 0.1 0.2 0.1 0.1 0.5 0.1 -2 -1 0 1 2-2 -1 0 1 2 P P0.3 0.1 0.3 0.2 0.1 0.3 0.1 0.3 0.2 0.1 1 0 -2 -1 0 2 1 0 -2 -1 0 2 -2 -1 1 0 1 3 -2 -1 1 0
4、 1 34随机向量例(p151)设二维随机向量（X，Y）的概率分布如下表所示，求ZmaxX,Y的分布。5随机向量解 用二维表形式列出Z的可能值6随机向量整理整理Z的概率分布如下表所示的概率分布如下表所示ZP-1 0 1 21/8 1/4 1/4 3/87随机向量解：解：由题意知由题意知 例例(p152)若若X和和Y相互独立相互独立,它们分别服从参数为它们分别服从参数为 的泊松分布的泊松分布,求求Z=X+Y的概率分布。的概率分布。i=0,1,2,j=0,1,2,（二）代数式法（二）代数式法则则Z=X+Y的取值为的取值为 k=i+j=0,1,2,8随机向量由由X和和Y相互独立知相互独立知X=0,1
5、,2,kY=0,1,2,k9随机向量即即Z服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布.k=0,1,210随机向量例(p153)设 X 和 Y 相互独立,且 X B(n1,p),Y B(n2,p),证明 证证 由题意知12随机向量13随机向量14随机向量实例：实例：若某人多次投篮，若某人多次投篮，X为为 次投篮次投篮中投中的次数，中投中的次数，Y为为 次投篮中投中次投篮中投中的次数，的次数，显然，显然，ZXY 表示表示 次投次投篮中投中的次数，且篮中投中的次数，且Z Z 也服从二项分布。也服从二项分布。显然显然X 和和Y 都服从二项分布。都服从二项分布。15随机向量 一般来说，对于连续型二维随机
6、向量一般来说，对于连续型二维随机向量(X,Y)(X,Y)，其函数其函数Z=g(X,Y)Z=g(X,Y)不一定是连续型随机变量。不一定是连续型随机变量。二、连续型随机向量函数的分布二、连续型随机向量函数的分布16随机向量211该例中，该例中，(X,Y)(X,Y)是连续型二是连续型二维随机变量维随机变量，但，但Z=g(X,Y)Z=g(X,Y)是离散型随机变量。是离散型随机变量。17随机向量 对于连续型二维随机向量对于连续型二维随机向量对于连续型二维随机向量对于连续型二维随机向量(X X,Y Y)，如果其函，如果其函，如果其函，如果其函数数数数Z=g(Z=g(X X,Y Y)也是连续型随机变量，则需
7、要由也是连续型随机变量，则需要由也是连续型随机变量，则需要由也是连续型随机变量，则需要由(X X,Y Y)的联合密度函数的联合密度函数的联合密度函数的联合密度函数f f(x x,y y)求求求求Z Z 的密度函数，通的密度函数，通的密度函数，通的密度函数，通常采用分布函数法。一般步骤为：常采用分布函数法。一般步骤为：常采用分布函数法。一般步骤为：常采用分布函数法。一般步骤为：1 1 1 1由分布函数的定义，由分布函数的定义，由分布函数的定义，由分布函数的定义，Z Z的分布函数为的分布函数为的分布函数为的分布函数为2 2 2 2Z Z的密度函数为的密度函数为的密度函数为的密度函数为18随机向量例
8、例(p154)(p154)设设(X,Y)的密度函数为的密度函数为求求 的密度函数的密度函数解解19随机向量yxO面积面积元素元素面积面积元素元素20随机向量显然，显然，Z 服从指数分布服从指数分布21随机向量例例(p155)设设X和和Y的联合密度为的联合密度为 f(x,y),求求 Z=X+Y的密度的密度.解解 Z的分布函数为的分布函数为这里积分区域这里积分区域 D=(x,y)|x+y z 是直线是直线 x+y=z 左下方的半平面左下方的半平面.FZ(z)=PZz=PX+Y z22随机向量 化成二次积分化成二次积分,得得 对方括号内的积分作变量代换对方括号内的积分作变量代换,令令 y=u-x,得
9、得换元必换限换元必换限交换积分次序交换积分次序23随机向量上式两端求导上式两端求导,即得即得Z=X+Y的概率密度为的概率密度为:由于由于X和和Y的对称性的对称性,fZ(z)又可写成又可写成 24随机向量 化成二次积分化成二次积分,得得令令 x=u-y,得得两端求导两端求导,得得25随机向量以上两式即是两个随机变量之以上两式即是两个随机变量之和的概率密度的一般公式和的概率密度的一般公式.26随机向量 若若X和和Y相互独立，则上述两式化为相互独立，则上述两式化为:这两个公式称为卷积公式这两个公式称为卷积公式.下面我们用下面我们用卷积公式来求卷积公式来求Z=X+Y的概率密度的概率密度27随机向量例(
10、p156)28随机向量29随机向量30随机向量 泊松积分泊松积分31随机向量小结：二维随机向量函数的分布小结：二维随机向量函数的分布1、离散型随机向量函数的分布、离散型随机向量函数的分布 列表法列表法 代数式法代数式法 连续型二维随机向量的函数不一定是连续型随连续型二维随机向量的函数不一定是连续型随连续型二维随机向量的函数不一定是连续型随连续型二维随机向量的函数不一定是连续型随机变量。机变量。机变量。机变量。、连续型随机向量函数的分布、连续型随机向量函数的分布可列成一维表可列成一维表,也可列成二维表也可列成二维表,视情况而定视情况而定.若是若是若是若是,则可用则可用则可用则可用分布函数法分布函数法分布函数法分布函数法求其概率密度。求其概率密度。求其概率密度。求其概率密度。32随机向量课间休息课间休息33随机向量