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1、 数学建模简介数学建模简介 20112011年年1212月月 数学建模的基本概念数学建模的基本概念数学建模的方法、步骤数学建模的方法、步骤实例分析实例分析 数学建模的基本概念数学建模的基本概念 原型原型（PrototypePrototype）人们在现实世界里关心、研究、或从事生产、人们在现实世界里关心、研究、或从事生产、管理的管理的实际对象。实际对象。原型有：现时对象、研究对象、实际问题等原型有：现时对象、研究对象、实际问题等。模型模型（Model)为某个目的将原型的某一部分信息进行简缩、为某个目的将原型的某一部分信息进行简缩、提炼而构成的原型提炼而构成的原型替代物替代物。模型有：直观模型、物
2、理模型、思维模型、计算模型等模型有：直观模型、物理模型、思维模型、计算模型等 按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型、扩散模型等。数学模型的分类：数学模型的分类：按研究对象的实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模 型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等。模型模型 数学模型数学模型 是对于现实世界的一个特定对象特定对象，一个特定目的特定目的，根据特有的内在规律内在规律，做出一些必要的假设必要的假设，运用适当的数学工具数学工具，得到一个数学结构数学结构。简单地说 数学模型就是系
3、统的某种特征(或本质)的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。数学建模数学建模 利用数学方法解决实际问题的一种实践过程。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。数学建模数学建模其实并不是什么新东西，可以说有了数学就需要用数学去解决实际问题，就一定要用数学的语言、方法去近似地刻划实际问题，这种刻划的数学表述的就是一个数学模型，其过程就是数学建模的过程。数学模型一
4、经提出，就要用一定的技术手段（计算、证明等）来求解并验证，其中大量的计算往往是必不可少的，高性能的计算机的出现使数学建模这一方法如虎添翼似的得到了飞速的发展，掀起一个高潮。数学建模的方法、步骤数学建模的方法、步骤 数学建模的基本方法数学建模的基本方法 建立数学模型的方法和步骤并没有一定的模式，但一个理想的模型应能反映系统的全部重要特征特征：模型的可靠性可靠性和模型的使用性使用性建模的一般方法：机理分析 测试分析方法 机机理理分分析析：根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映内部机理的规律，所建立的模型常有明确的物理或现实意义 测测试试分分析析方方法法：将研究对象视为一个“黑箱”系统，
5、内部机理无法直接寻求，通过测量系统的输入输出数据，并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模型 测试分析方法也叫做系统辩识系统辩识 将这两种方法结合起来使用，即用机理分析方法建立模型的结构，用系统测试方法来确定模型的参数，也是常用的建模方法 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤模模型型准准备备了解实际背景了解实际背景明确建模目的明确建模目的搜集有关信息搜集有关信息掌握对象特征掌握对象特征形成一个形成一个比较清晰比较清晰的的问题问题模型准备模型准备 模型假设模型假设 模型构成模型构成 模型验证模型验证 模型分析模型分析 模型求解模型求解 模型应用模型
6、应用模模型型假假设设针对问题特点和建模目的针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设作出合理的、简化的假设在合理与简化之间作出折中在合理与简化之间作出折中模模型型构构成成用数学的语言、符号描述问题用数学的语言、符号描述问题发挥想像力发挥想像力使用类比法使用类比法尽量采用简单的数学工具尽量采用简单的数学工具模型模型求解求解各种数学方法、软件和计算机技术各种数学方法、软件和计算机技术如结果的误差分析、统计分析、如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析模型对数据的稳定性分析模型模型分析分析模型模型检验检验与实际现象、数据比较，与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性检验模型的合理性
7、、适用性模型应用模型应用现实对象与数学模型的关系现实对象与数学模型的关系现实对象信息现实对象信息数学模型数学模型数模的解答数模的解答现实对象的解答现实对象的解答用数学语言表述归纳求解演绎解释验证表述表述求解求解解释解释验证验证根据建模目的和信息将实际问题根据建模目的和信息将实际问题“翻译翻译”成数学问题成数学问题选择适当的数学方法求得数学模型的解答选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学语言表述的解答将数学语言表述的解答“翻译翻译”回实际对象回实际对象用现实对象的信息检验得到的解答用现实对象的信息检验得到的解答实践理论实践简单实例分析简单实例分析背景背景 年年 1625 1830 1930
8、1960 1974 1987 1999人口人口(亿亿)5 10 20 30 40 50 60世界人口增长概况世界人口增长概况中国人口增长概况中国人口增长概况 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口人口(亿亿)3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口变化规律研究人口变化规律控制人口过快增长控制人口过快增长实例实例1 如何预报人口的增长如何预报人口的增长模型模型1今年人口今年人口 x0,年增长率年增长率 rk年后人口年后人口模型模型2模型假设模型假设1 1）时刻）时刻t t人口增长的速率与当时人口数成正比，人口
9、增长的速率与当时人口数成正比，增长率为常数增长率为常数r r。2 2）以）以x(t)x(t)表示时刻表示时刻t t某地区（或国家）的人口数，某地区（或国家）的人口数，设人口数设人口数x(t)x(t)足够大，可以视做连续函数处理，足够大，可以视做连续函数处理，且且x(t)x(t)关于关于t t连续可微连续可微 人口指数增长模型（马尔萨斯人口指数增长模型（马尔萨斯MalthusMalthus，1766-18341766-1834）模型建立及求解模型建立及求解据模型假设，在t到 t+t 时间内人口数的增长量为如果设如果设如果设如果设 t=tt=t0 0时刻的人口数为，则时刻的人口数为，则时刻的人口数
10、为，则时刻的人口数为，则x(t)x(t)满足初值问题：满足初值问题：满足初值问题：满足初值问题：t t x(t)x(t)19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据可以很好的吻合。19世纪以后的许多国家，模型遇到了很大的挑战。注意到 ，我们的地球是有限的，故指数增长模型（Malthus模型）对未来人口总数预测非常荒谬，不合常理，应该予以修正。5 模型检验模型检验模型检验模型检验1.我们把人口数仅仅看成是时间的函数，忽略了个体间的差异（如年龄、性别、大小等）对人口增长的影响。2.假定是连续可微的。这对于人口数量足够大，而生育和死亡现象的发生在整个时间段内是随机的，可认为是近似成立的。3.人口增长率是常
11、数，意味着人处于一种不随时间改变的定常的环境当中。4.模型所描述的人群应该是在一定的空间范围内封闭的，即在所研究的时间范围内不存在有迁移（迁入或迁出）现象的发生。5 模型讨论模型讨论 不难看出，这些假设是苛刻的、不现实的，所以模型不难看出，这些假设是苛刻的、不现实的，所以模型2 2只符合人口的过去结果而不能用于预测未来人口。只符合人口的过去结果而不能用于预测未来人口。人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大且阻滞作用随人口数量增加而变大假设假设r固有增长
12、率固有增长率(x x很小时很小时)xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）r是是x的减函数的减函数模型模型3阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)dx/dtx0 xmxm/2xmtx0 x(t)S形曲线形曲线,x增加先快后慢增加先快后慢x0 xm/2参数估计参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数预报，必须先估计模型参数 r 或或 r,xm 利用统计数据用利用统计数据用最小二乘法作拟合最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位例：美国人口数据（单位百万）百万）1860 1870 188
13、0 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4r=0.2557,xm=392.1模型检验模型检验用模型计算用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较年美国人口，与实际数据比较实际为实际为281.4(百万百万)模型应用模型应用预报美国预报美国2010年的人口年的人口加入加入2000年人口数据后重新估计模型参数年人口数据后重新估计模型参数Logistic 模型在经济领域中的应用模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量如耐用消费品的售量)r=0.2490,xm=434.0 x(2010)=306.0复杂的人口模型复杂的人口
14、模型可见数学模型总是在不断的修改、完善使之能符合实际情况的变化。考虑人口年龄分布的偏微分方程模型。考虑人口年龄分布的偏微分方程模型。考虑女性人口比例和人口迁移等因素考虑女性人口比例和人口迁移等因素有宋健有宋健-于景元人口模型。于景元人口模型。实例实例2 商人们怎样安全过河商人们怎样安全过河问题问题(智力游戏智力游戏)3名商人名商人 3名随从名随从随从们密约随从们密约,在河的任一岸在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多一旦随从的人数比商人多,就杀人越货就杀人越货.但是乘船渡河的方案由商人决定但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河商人们怎样才能安全过河?问题分析问题分析多步决策过程多步
15、决策过程决策决策 每一步每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员船上的人员要求要求在安全的前提下在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多两岸的随从数不比商人多),),经有限步经有限步使全体人员过河使全体人员过河.河河小船小船(至多至多2人人)模型构成模型构成xk第第k k次渡河前此岸的商人数次渡河前此岸的商人数yk第第k k次渡河前此岸的随从数次渡河前此岸的随从数xk,yk=0,1,2,3;k=1,2,sk=(xk,yk)过程的状态过程的状态S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2S 允许状态集合允许状态集合uk 第第k k次渡
16、船上的商人数次渡船上的商人数vk 第第k k次渡船上的随从数次渡船上的随从数dk=(uk,vk)决策决策D=(u,v)u+v=1,2 允许允许决策决策集合集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk dk+(-1)k 状态转移律状态转移律求求dk D(k=1,2,n),使使sk S,并并按按转移律转移律由由 s1=(3,3)到达到达 sn+1=(0,0).多步决策多步决策问题问题模型求解模型求解xy3322110 穷举法穷举法 编程上机编程上机 图解法图解法状态状态s=(x,y)16个格点个格点 10个个 点点允许决策允许决策 移动移动1或或2格格;k奇奇,左下移左下移;k偶偶,右上移右上移.s1sn+1d1,，d11给出安全渡河方给出安全渡河方案案评注和思考评注和思考规格化方法规格化方法,易于推广易于推广考虑考虑4名商人各带一随从的情况名商人各带一随从的情况d1d11允许状态允许状态S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2谢谢！谢谢！