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1、第一节第一节 线性变换的概念线性变换的概念 设设V是数域是数域K上的一个线性空间上的一个线性空间.V到自身到自身的映射称为的映射称为V的一个的一个变换变换.线性变换是线性线性变换是线性空间的一种基本变换空间的一种基本变换.一一 映射与变换映射与变换 设设 M 与与M是两个集合，集合是两个集合，集合M到到M 的一个的一个映射映射，是指一个法则，是指一个法则,根据这个根据这个法则，对于法则，对于M中每个元素中每个元素，都有，都有M中一中一个确定的元素个确定的元素 与之对应，记为与之对应，记为 定义定义8.1 称为称为在映射在映射 下的象，而下的象，而 称为称为的一的一个个原象原象.例例1 M=(,
2、+),N=1,1,则则是是M到到N的一个映射的一个映射.例例2 M是全体实是全体实n阶方阵的集合阶方阵的集合,P是实数集是实数集,则则是是M到到P的一个映射的一个映射.这是这是Pnx到自身的一个映射到自身的一个映射.例例3 Rn是是n维向量空间维向量空间,则则是到自身的映射是到自身的映射.其中其中A为为n阶满秩方阵阶满秩方阵.例例4 Pnx是次数小于是次数小于n次多项式的全体次多项式的全体(包括包括零次多项式零次多项式)组成的集合组成的集合,则则二二 线性变换的概念线性变换的概念一元方程一元方程ax=b及非齐次方程组及非齐次方程组Ax=b的共同点的共同点:对函数对函数f(x)=ax,可视为从实
3、数集可视为从实数集(M)到实数集到实数集(N)的映射的映射.实质实质:在在N中给定一个元素中给定一个元素b,能否在能否在M中找到一中找到一个元素个元素(x),使使f(x)=ax=b.f 满足满足方程组方程组Ax=b中中,g(x)=Ax是是Rn到到Rn的映射的映射,Ax确定了一个变换确定了一个变换.方程组的实质方程组的实质:给定一个向量给定一个向量b,能否找到一个原能否找到一个原象象x(可能不止一个可能不止一个),使在变换使在变换g下映射为下映射为b.定义定义 且满足且满足 设设V是是K上的一个线性空间上的一个线性空间,T为为V内的一内的一个变换个变换(即即V到自身的一个映射到自身的一个映射),
4、若满足若满足则称则称T是线性空间是线性空间V中的一个中的一个线性变换线性变换.例例1 区间区间(a,b)内全体任意次可微的实函数集内全体任意次可微的实函数集合合D0(a,b)关于普通函数的加法与实数的乘法关于普通函数的加法与实数的乘法构成一个实数域上的线性空间构成一个实数域上的线性空间.在集合在集合D0(a,b)上的变换上的变换是一个线性变换是一个线性变换.例例2 在线性空间在线性空间C0,1中的变换中的变换是线性变换是线性变换.例例3 线性空间线性空间V中的任意元都与零元对应的变中的任意元都与零元对应的变换称为零变换换称为零变换,即即 恒等变换恒等变换都是线性变换都是线性变换.三三 线性变换
5、的简单性质线性变换的简单性质设设T是线性空间是线性空间V上的线性变换上的线性变换.1.T(0)=0,T()=,V.2.线性变换把线性组合变成同样的线性组合线性变换把线性组合变成同样的线性组合.即如果即如果=k11+k22+krr,则则T()=k1T(1)+k2T(2)+krT(r).3.若若1,2,r线性相关线性相关,则则T(1),T(2),T(r)亦线性相关亦线性相关.性质性质3的逆命题不成立的逆命题不成立.(零变换零变换)四四 线性变换的代数运算线性变换的代数运算定义定义 设设T1,T2为线性空间为线性空间V中的两个线性变换中的两个线性变换1.定义定义T1的的T2和和T1+T2为为(T1+
6、T2)()=T1()+T2()V2.定义数量定义数量k与与T的数乘的数乘kT为为(kT)()=kT()V,kK 3.定义定义T1与与T2的乘积的乘积T1T2为为(T1T2)()=T1(T2()V定理定理1.1 设设T1,T2是是V中两个线性变换中两个线性变换,则则T1+T2,kT1,T1T2都是线性变换都是线性变换.线性变换的乘法满足结合律线性变换的乘法满足结合律,不满足结合律不满足结合律.定义定义 如果对如果对V中的线性变换中的线性变换T,存在存在V中线性变中线性变换换S,使得使得TS=ST=I称称S为为T的逆变换的逆变换,此时称此时称T是可逆线性变换是可逆线性变换.同矩阵相同同矩阵相同,并不是任何线性变换都有逆变并不是任何线性变换都有逆变换换.当变换当变换T有逆变换时有逆变换时,逆变换是唯一的逆变换是唯一的.记作记作T-1.定理定理1.2 如果线性变换如果线性变换T可逆可逆,则则T-1也是线性变也是线性变换换.