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1、第五节第五节 向量组的等价向量组的等价主要内容主要内容1.向量组等价的定义及性质向量组等价的定义及性质2.等价的向量组的性质等价的向量组的性质3.向量组秩的一个定理向量组秩的一个定理 在一个向量组中在一个向量组中,其中任何一个向量可以其中任何一个向量可以由这向量组的最大线性无关组线性表出由这向量组的最大线性无关组线性表出.这样这样在这个向量组中在这个向量组中,除最大线性无关组外除最大线性无关组外,其余其余向量就显得向量就显得“多余多余”.去掉向量组中去掉向量组中“多余多余”的向量的向量,就是找一个与此向量组等价的向量组就是找一个与此向量组等价的向量组来代替它来代替它,而这个向量组不再含有而这个
2、向量组不再含有“多余多余”的的向量向量.这就是引进等价向量组的意义这就是引进等价向量组的意义.若向量组若向量组1,2,m 的每一个向量的每一个向量可由向量组可由向量组 1,2,r 线性表出，同时向量线性表出，同时向量组组1,2,r 的每一个向量可由向量组的每一个向量可由向量组1,2,m 线性表出，亦即它们可以互相线性线性表出，亦即它们可以互相线性表出，则称向量组表出，则称向量组 1,2,m与向量组与向量组 1,2,r等价，记为等价，记为定义定义1,2,m 1,2,r 2.对称性对称性 若若1,2,m1,2,r,则则3.传递性传递性 若若1,2,m1,2,r且且1,2,r 1,2,t,则则 向量
3、组之间的等价具有如下性质：向量组之间的等价具有如下性质：1.自反性自反性 任何一个向量组都与自身等价，即任何一个向量组都与自身等价，即1,2,m 1,2,m.1,2,r 1,2,m.1,2,m 1,2,t.由向量组等价的定义，结合上节的定理由向量组等价的定义，结合上节的定理4.2及推论可得等价的向量组有以下三个性质：及推论可得等价的向量组有以下三个性质：性质性质1 任何向量组都与它的最大线性无关组等价任何向量组都与它的最大线性无关组等价.性质性质2 任何两个线性无关的等价向量组所含向量任何两个线性无关的等价向量组所含向量 的个数相同的个数相同.设设1,2,m 与与1,2,t等价等价,故它故它们
4、互能线性表出们互能线性表出.现设现设1,2,m可由可由1,2,t 线性表出，又因线性表出，又因1,2,m 线性无关，所以由上节定理线性无关，所以由上节定理4.2的推论的推论1得得mt,反之同理可得反之同理可得 t m.于是于是 m=t.证证性质性质3 任何两个等价的向量组的秩相等任何两个等价的向量组的秩相等.设设1,2,m1,2,t,又又设设证明证明为为1,2,m 的最大线性无关组的最大线性无关组,为为1,2,t的最大线性无关组的最大线性无关组.于是由性质于是由性质1得得1,2,m1,2,t 利用向量组等价的传递性得利用向量组等价的传递性得由性质由性质2得得 r1=r2.若向量组若向量组1,2
5、,m 可由向量组可由向量组1,2,t 线性表出线性表出,则则R1,2,m R1,2,t.定理定理5.1证证 设设 1,2,m 1,2,t 1,2,m 及及1,2,t 的最大线性无的最大线性无关组，于是由等价的向量组的性质关组，于是由等价的向量组的性质 1得得分别为向量组分别为向量组所以所以可由可由1,2,m 线性表出线性表出.可由可由1,2,t 线性表出线性表出.由线性由线性表出的传递性表出的传递性,可由可由线性表出线性表出,而而线性无关线性无关,所以所以例例1 如果基本单位向量组如果基本单位向量组1,2,n可由可由n维向维向量组量组1,2,n线性表出，试证线性表出，试证1,2,n 线性无关线
6、性无关.因为因为1,2,n 可由可由1,2,n 线性表线性表出，所以由已知条件得出，所以由已知条件得证证11,2,n 1,2,n 因为等价得向量组有相同的秩，所以因为等价得向量组有相同的秩，所以R1,2,n=R1,2,n 而而1,2,n 线性无关线性无关,因此因此R1,2,n=n,于是于是R1,2,n=n,即即1,2,n 线性无线性无关关.由已知由已知 1,2,n可由可由1,2,n 线性线性表出，由定理表出，由定理5.1得得证证2R1,2,n R1,2,n 而而R1,2,n=n,这样这样n R1,2,n n.因此因此R1,2,n=n,这样这样1,2,n 线性无关线性无关.证证3设设1,2,n
7、线性相关线性相关,且且为为1,2,n 的最大线性无关组的最大线性无关组(rr,由上节定理由上节定理4.2得得1,2,n线性相线性相关关.这与题设矛盾这与题设矛盾.因此因此1,2,n 线性线性无关无关.例例2 设设A是是m k 矩阵，矩阵，B是是k n 矩阵，则矩阵，则只要证明只要证明 R(AB)R(A)与与 R(AB)R(B)同时同时成立即可成立即可.以下先证以下先证R(AB)R(A).设设R(AB)min(R(A),R(B).证明证明用用A1,A2,Ak表示矩阵表示矩阵A的列向量组的列向量组,C1,C2,Cn 表示表示AB的列向量组，即的列向量组，即由分块矩阵的乘法可知由分块矩阵的乘法可知A
8、B的的j列：列：这表明乘积矩阵这表明乘积矩阵AB的列向量组可由矩阵的列向量组可由矩阵A的列向量组线性表出，而表出系数是的列向量组线性表出，而表出系数是B的第的第j列列向量的各个分量向量的各个分量.因此，有定理因此，有定理5.1知知即即 上述证明过程揭示了矩阵乘积的结构的特点上述证明过程揭示了矩阵乘积的结构的特点.RC1,C2,Cn RA1,A2,Ak利用这一结果得利用这一结果得即即 因此因此 本例是关于矩阵乘积的秩与因子矩阵的秩之间本例是关于矩阵乘积的秩与因子矩阵的秩之间的一个重要结论，可以作为命题直接使用的一个重要结论，可以作为命题直接使用.R(AB)=R(AB)=R(B A)R(B)=R(B).R(AB)R(B).R(AB)min(R(A),R(B).例如非零矩阵的乘积可以是零矩阵：例如非零矩阵的乘积可以是零矩阵：例例3 设设A是是n m矩阵矩阵,B是是m n矩阵矩阵,其中其中nm.E是是n阶单位矩阵阶单位矩阵.若若AB=E,证明证明B的列的列向量组线性无关向量组线性无关.证证1设设B的列向量为的列向量为1,2,n,对对x1,x2,xn,若若x1 1+x2 2+xn n=0，即即亦即亦即BX=0,其中其中X=(x1,x2,xn).则有则有ABX=EX=X=0,即即X是零向量是零向量,因此因此1,2,n 线性无关线性无关.证证2R(AB)=R(E)R(B)nR(B)=n.