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1、差分方程方法与应用应用举例第1页，本讲稿共54页差分方程建模处理动态的离散型的问题处理对象虽然涉及的变量(如时间)是连续的，但是从建模的目的考虑，把连续变量离散化更为合适，将连续变量作离散化处理，从而将连续模型(微分方程)化为离散型(差分方程)问题 第2页，本讲稿共54页1 市场经济中的蛛网模型2 银行复利问题3 抵押贷款买房问题 4 差分形式的阻滞增长模型5 减肥计划节食与运动6 按年龄分组的种群增长7 差分基础知识第3页，本讲稿共54页1 蛛 网 模 型gx0y0P0fxy0 xk第k时段商品数量；yk第k时段商品价格消费者的需求关系生产者的供应关系减函数增函数 供应函数需求函数f与g的交
2、点P0(x0,y0)平衡点一旦xk=x0，则yk=y0,xk+1,xk+2,=x0,yk+1,yk+2,=y0 第4页，本讲稿共54页xy0fgy0 x0P0设x1偏离x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点xy0y0 x0P0fg曲线斜率蛛 网 模 型第5页，本讲稿共54页在P0点附近用直线近似曲线P0稳定P0不稳定方 程 模 型方程模型与蛛网模型的一致第6页，本讲稿共54页 商品数量减少1单位,价格上涨幅度 价格上涨1单位,(下时段)供应的增量考察,的含义 消费者对需求的敏感程度 生产者对价格的敏感程度小,有利于经济稳定 小,有利于经
3、济稳定结果解释xk第k时段商品数量；yk第k时段商品价格经济稳定结果解释第7页，本讲稿共54页经济不稳定时政府的干预办法1.使 尽量小，如=0 以行政手段控制价格不变2.使 尽量小，如=0靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0 x0gf结果解释需求曲线变为水平供应曲线变为竖直第8页，本讲稿共54页模型的推广 生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。生产者管理水平提高设供应函数为需求函数不变二阶线性常系数差分方程x0为平衡点 研究平衡点稳定，即k,xkx0的条件第9页，本讲稿共54页方程通解(c1,c2由初始条件确定)1,2特征根，即方程 的根 平衡点稳定，即k,xkx0的条件
4、:平衡点稳定条件比原来的条件 放宽了模型的推广第10页，本讲稿共54页2 银行复利问题 背景所付利息一年内复合n次，即把一年分n个相等的时间段，而所付利息为每一时间段的未尾.给出一个可以预测在任意给定时间的帐目余额 分析帐目余额与时间直接相关，而时间是离散的本期结束时的总存款等于前一时期余下的本利，及本利得到的利息与第本期内新存入的存款之和 任何时候都可以存款第1 1页，本讲稿共54页模型假设1.储蓄的年利率为r2.任何时候都可以存款，但存款利息只从下一时期开始计算，如时间段开始第一天的存款即开始计算利息 t期结束时的总存款 记号第t期内的新存款第12页，本讲稿共54页模型注：上式中n=2时，
5、相应于半年的复利，而n=365则是相应于逐日计算的复利第13页，本讲稿共54页3 抵押贷款买房问题背景 每户人家都希望有一套属于自己的住房，但又没有足够的资金一次买下。这就产生了贷款买房问题。某新婚夫妇急需一套属于自己的住房。他们看到一则理想的房产广告：“名流花园之高尚住宅公寓，供工薪阶层选择。一次性付款优惠价40.2万元。若不能一次性付款也没关系，只付首期款为15万元，其余每月1977.04元等额偿还，15年还清。(公积金贷款月利息为3.675）。问题公寓原来价多少？每月等额付款如何算出来？第14页，本讲稿共54页假设贷款期限内利率不变 银行利息按复利计算记号A（元）：贷款额（本金）n（月）
6、：货款期限r：月利率 B(元):月均还款额 Ck：第k个月还款后的欠款第15页，本讲稿共54页模型求解代入n=180、r=0.003675、B=1977.04结果：A=260000（元）一次性优惠价9.8折还款总额？利息负担总额？第16页，本讲稿共54页4 差分形式的阻滞增长模型连续形式的阻滞增长模型(Logistic模型)t,xN,x=N是稳定平衡点(与r大小无关)离散形式x(t)某种群 t 时刻的数量(人口)yk 某种群第k代的数量(人口)若yk=N,则yk+1,yk+2,=N讨论平衡点的稳定性，即k,ykN？y*=N 是平衡点第17页，本讲稿共54页离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性
7、一阶(非线性)差分方程(1)的平衡点y*=N讨论 x*的稳定性变量代换(2)的平衡点第18页，本讲稿共54页(1)的平衡点 x*代数方程 x=f(x)的根稳定性判断(1)的近似线性方程x*也是(2)的平衡点x*是(2)和(1)的稳定平衡点x*是(2)和(1)的不稳定平衡点补充知识一阶非线性差分方程的平衡点及稳定性第19页，本讲稿共54页01的平衡点及其稳定性平衡点稳定性x*稳定x*不稳定另一平衡点为 x=0不稳定第20页，本讲稿共54页0 1/2 10 1的平衡点及其稳定性第21页，本讲稿共54页初值 x0=0.2数值计算结果b 3,xb=3.3,x两个极限点b=3.45,x4个极限点b=3.
8、55,x8个极限点0.4118 1000.4118 990.4118 980.4118 970.4118 960.4118 950.4118 940.4118 930.4118 920.4118 91 0.3796 30.3366 20.2720 10.2000 0b=1.7 k0.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.60490.63170.41600.2000b=2.60.82360.47940.82360.47940.82360.47940.82360.47940.82360.47940.48200.822
9、40.52800.2000b=3.30.84690.43270.85300.44740.84690.43270.85300.44740.84690.43270.43220.85320.55200.2000b=3.450.81270.35480.88740.50600.82780.37030.88170.54050.81270.35480.39870.87110.56800.2000b=3.55第22页，本讲稿共54页倍周期收敛x*不稳定情况的进一步讨论单周期不收敛2倍周期收敛(*)的平衡点x*不稳定，研究x1*,x2*的稳定性第23页，本讲稿共54页倍周期收敛的稳定性x1*x2*x*b=3.4
10、y=f(2)(x)y=xx0第24页，本讲稿共54页倍周期收敛的进一步讨论出现4个收敛子序列 x4k,x4k+1,x4k+2,x4k+3平衡点及其稳定性需研究时有4个稳定平衡点2n倍周期收敛,n=1,2,bn 2n倍周期收敛的上界b0=3,b1=3.449,b2=3.544,n,bn3.57x1*,x2*(及x*)不稳定b3.57,不存在任何收敛子序列混沌现象4倍周期收敛第25页，本讲稿共54页的收敛、分岔及混沌现象b第26页，本讲稿共54页5 减肥计划节食与运动背景 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标分析 体重
11、变化由体内能量守恒破坏引起 饮食（吸收热量）引起体重增加 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少 体重指数BMI=w(kg)/l2(m2).18.5BMI25 超重;BMI30 肥胖.第27页，本讲稿共54页模型假设1）体重增加正比于吸收的热量每8000千卡增加体重1千克；2）代谢引起的体重减少正比于体重每周每公斤体重消耗200千卡 320千卡(因人而异),相当于70千克的人每天消耗2000千卡 3200千卡；3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。第28页，本讲稿共54页基本模型w(k)第k天(末
12、)体重 c(k)第k天吸收热量 代谢消耗系数(因人而异):因运动,每小时每千克体重消耗的热量(千卡)(因运动项目而异)t:每天运动时间(小时)第29页，本讲稿共54页某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至75千克。第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（10000千卡）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标 2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。减肥计划3）给出达到目标后维持体重的方案。第30页，本讲稿共54页 确定某甲的代谢消耗系数即每周每千克体重消耗 20000/100=2
13、00千卡基本模型w(k)第k周(末)体重 c(k)第k周吸收热量 代谢消耗系数(因人而异)1）不运动情况的两阶段减肥计划每周吸收20000千卡 w=100千克不变第31页，本讲稿共54页 第一阶段:w(k)每周减1千克,c(k)减至下限10000千卡第一阶段10周,每周减1千克，第10周末体重90千克吸收热量为1）不运动情况的两阶段减肥计划第32页，本讲稿共54页 第二阶段：每周c(k)保持Cm,w(k)减至75千克 1）不运动情况的两阶段减肥计划基本模型第33页，本讲稿共54页 第二阶段：每周c(k)保持Cm,w(k)减至75千克 第二阶段19周,每周吸收热量保持10000千卡,体重按 减少
14、至75千克。第34页，本讲稿共54页运动 t=24(每周跳舞8小时或自行车10小时),14周即可。2）第二阶段增加运动的减肥计划根据资料每小时每千克体重消耗的热量(千卡):跑步 跳舞 乒乓 自行车(中速)游泳(50米/分)7.0 3.0 4.4 2.5 7.9t每周运动时间(小时)基本模型第35页，本讲稿共54页3）达到目标体重75千克后维持不变的方案每周吸收热量c(k)保持某常数C，使体重w不变 不运动 运动(内容同前)第36页，本讲稿共54页6 按年龄分组的种群增长 不同年龄组的繁殖率和死亡率不同 建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律假设与建模 种群按年龄大小等分为n个年龄组，记
15、i=1,2,n 时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,以雌性个体数量为对象 第i 年龄组1雌性个体在1时段内的繁殖率为bi 第i 年龄组在1时段内的死亡率为di,存活率为si=1-di第37页，本讲稿共54页假设与建模xi(k)时段k第i 年龄组的种群数量按年龄组的分布向量预测任意时段种群按年龄组的分布Leslie矩阵(L矩阵)(设至少1个bi0)第38页，本讲稿共54页稳定状态分析的数学知识 L矩阵存在正单特征根1，若L矩阵存在bi,bi+10,则 P的第1列是x*特征向量,c是由bi,si,x(0)决定的常数 且解释L对角化第39页，本讲稿共54页稳态分析k充分大种群按年龄组
16、的分布 种群按年龄组的分布趋向稳定，x*称稳定分布,与初始分布无关。各年龄组种群数量按同一倍数增减，称固有增长率与基本模型 比较3）=1时 各年龄组种群数量不变第40页，本讲稿共54页 1个个体在整个存活期内的繁殖数量为1稳态分析存活率 si是同一时段的 xi+1与 xi之比（与si 的定义 比较）3）=1时第41页，本讲稿共54页处一阶向前差分7 差分基础知识一 差分 1.概念（h为非零实数称为步长）处k阶向前差分第42页，本讲稿共54页处一阶向后差分处k阶向后差分处一阶中心差分处k阶中心差分第43页，本讲稿共54页2.性质第44页，本讲稿共54页二 常微分方程化为差分方程 用导数近似式替代
17、导数或者说用适当近似式替代含有导数的表达式，可以得到这些近似值满足的代数方程-差分方程 以二阶常微分方程边值问题为例 目的求差分法第45页，本讲稿共54页一般k阶常系数线性差分方程为差分方程第46页，本讲稿共54页三 偏微分方程化为差分方程以二阶椭圆方程的边值问题为例用两族平行坐标轴的直线正方形网格把区域G剖分 第47页，本讲稿共54页节点可分三类 1通过该节点的网格线上的相邻四网点都在G内,记 G12在G内部但不属于G1，记G23恰在边界上记G3 确定各节点处解的近似值uij，需要建立代数方程，每一节点建立一个代数方程任务第48页，本讲稿共54页(i，j-1)(i，j+1)(i-1，j)(i
18、，j)(i+1，j)偏导数近似式替代第49页，本讲稿共54页差分方程 N(i，j)E第50页，本讲稿共54页 偏导数近似式替代第51页，本讲稿共54页四 二阶常系数齐次差分方程求法 齐次差分方程(1)特征方程有两个不相等实根(2)特征方程有两个相等实根 第52页，本讲稿共54页(3)特征方程有一对共轭复根 非齐次差分方程非齐次的特解+齐次的通解例：兔子问题 在一年的时间里，一对兔子能够生育出多少对兔子来第53页，本讲稿共54页每对兔子每个月生育出新的一对兔子假设新的一对兔子在一个月之后具有生育能力其次这些兔子都不死亡第n个月开始时兔子对数模型结果Fibonacci数列黄金分割比第54页，本讲稿共54页