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1、差分方程方法与应用应用举例第1页，此课件共54页哦差分方程建模差分方程建模处理动态的离散型的问题处理动态的离散型的问题处理处理对象虽然涉及的变量对象虽然涉及的变量(如时间如时间)是连续的，但是是连续的，但是从建模的目的考虑，把连续变量离散化更为合适，从建模的目的考虑，把连续变量离散化更为合适，将连续变量作离散化处理，从而将连续模型将连续变量作离散化处理，从而将连续模型(微分方微分方程程)化为离散型化为离散型(差分方程差分方程)问题问题 第2页，此课件共54页哦1 1 市场经济中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型2 2 银行复利问题银行复利问题3 3 抵押贷款买房问题抵押贷款买房问题 4 4 差分形
2、式的阻滞增长模型差分形式的阻滞增长模型5 5 减肥计划减肥计划节食与运动节食与运动6 6 按年龄分组的种群增长按年龄分组的种群增长7 7 差分基础知识差分基础知识第3页，此课件共54页哦1 蛛蛛 网网 模模 型型gx0y0P0fxy0 xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格消费者的需求关系消费者的需求关系生产者的供应关系生产者的供应关系减函数减函数增函数增函数供应函数供应函数需求函数需求函数f与与g的交点的交点P0(x0,y0)平衡点平衡点一旦一旦xk=x0，则，则yk=y0,xk+1,xk+2,=x0,yk+1,yk+2,=y0 第4页，此课件共54页哦xy
3、0fgy0 x0P0设设x1偏离偏离x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是稳定平衡点是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点是不稳定平衡点xy0y0 x0P0fg 曲线斜率曲线斜率蛛蛛 网网 模模 型型 第5页，此课件共54页哦在在P0点附近用直线近似曲线点附近用直线近似曲线P0稳定稳定P0不稳定不稳定方方 程程 模模 型型方程模型与蛛网模型的一致方程模型与蛛网模型的一致第6页，此课件共54页哦 商品数量减少商品数量减少1单位单位,价格上涨幅度价格上涨幅度 价格上涨价格上涨1单位单位,(下时段下时段)供应的增量供应的增量考察考察 ,的含义的含义 消费者对需求的敏感程度消费者
4、对需求的敏感程度 生产者对价格的敏感程度生产者对价格的敏感程度 小小,有利于经济稳定有利于经济稳定 小小,有利于经济稳定有利于经济稳定结果解释结果解释xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格经济稳定经济稳定结果解释结果解释第7页，此课件共54页哦经济不稳定时政府的干预办法经济不稳定时政府的干预办法1.使使 尽量小，如尽量小，如 =0 以行政手段控制价格不变以行政手段控制价格不变2.使使 尽量小，如尽量小，如 =0靠经济实力控制数量不变靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0 x0gf结果解释结果解释需求曲线变为水平需求曲线变为水平供应曲线变为竖直供应曲线变为竖
5、直第8页，此课件共54页哦模型的推广模型的推广 生产者根据当前时段和前一时段生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。的价格决定下一时段的产量。生产者管理水平提高生产者管理水平提高设供应函数为设供应函数为需求函数不变需求函数不变二阶线性常系数差分方程二阶线性常系数差分方程x0为平衡点为平衡点研究平衡点稳定，即研究平衡点稳定，即k,xkx0的条件的条件第9页，此课件共54页哦方程通解方程通解(c1,c2由初始条件确定由初始条件确定)1,2特征根，即方程特征根，即方程 的根的根 平衡点稳定，即平衡点稳定，即k,xkx0的条件的条件:平衡点稳定条件平衡点稳定条件比原来的条件比原来的条件
6、放宽了放宽了模型的推广模型的推广第10页，此课件共54页哦2 2 银行复利问题银行复利问题 背背景景所付利息一年内复合所付利息一年内复合n n次，即把一年分次，即把一年分n n个相等的个相等的时间段，而所付利息为每一时间段的未尾时间段，而所付利息为每一时间段的未尾.给出一个可以预测在任意给定时间的帐目余额给出一个可以预测在任意给定时间的帐目余额 分分析析帐目余额与时间直接相关，而时间是离散的帐目余额与时间直接相关，而时间是离散的本期结束时的总存款等于前一时期余下的本利，本期结束时的总存款等于前一时期余下的本利，及本利得到的利息与第本期内新存入的存款之和及本利得到的利息与第本期内新存入的存款之和
7、 任何时候都可以存款任何时候都可以存款第11页，此课件共54页哦模模型型假假设设1.储蓄的年利率为储蓄的年利率为r2.任何时候都可以存款，但存款利息只从任何时候都可以存款，但存款利息只从下一时期开始计算，如时间段开始第一天下一时期开始计算，如时间段开始第一天的存款即开始计算利息的存款即开始计算利息 t期结束时的总存款期结束时的总存款 记号第第t t期内的新存款期内的新存款第12页，此课件共54页哦模型注：注：上式中上式中n n=2=2时，相应于半年的复利，而时，相应于半年的复利，而n=365n=365则是则是相应于逐日计算的复利相应于逐日计算的复利第13页，此课件共54页哦3 抵押贷款买房问题
8、抵押贷款买房问题背背景景 每户人家都希望有一套属于自己的住房，但又没每户人家都希望有一套属于自己的住房，但又没有足够的资金一次买下。这就产生了贷款买房问题。有足够的资金一次买下。这就产生了贷款买房问题。某新婚夫妇急需一套属于自己的住房。他们看到一某新婚夫妇急需一套属于自己的住房。他们看到一则理想的房产广告：则理想的房产广告：“名流花园之高尚住宅公寓，名流花园之高尚住宅公寓，供工薪阶层选择。一次性付款优惠价供工薪阶层选择。一次性付款优惠价40.240.2万元。若万元。若不能一次性付款也没关系，只付首期款为不能一次性付款也没关系，只付首期款为1515万元，万元，其余每月其余每月1977.04197
9、7.04元等额偿还，元等额偿还，1515年还清。年还清。(公积金公积金贷款月利息为贷款月利息为3.6753.675）。）。问问题题公寓原来价多少？每月等额付款如何算出来？公寓原来价多少？每月等额付款如何算出来？第14页，此课件共54页哦假假设设贷款期限内利率不变贷款期限内利率不变 银行利息按复利计算银行利息按复利计算记记号号A（元）：贷款额（本金）（元）：贷款额（本金）n（月）：货款期限（月）：货款期限r：月利率：月利率B(元元):月均还款额月均还款额 C Ck k：第：第k个月还款后的欠款个月还款后的欠款第15页，此课件共54页哦模模型型求求解解代入代入n=180、r=0.003675、B=
10、1977.04结果：结果：A=260000（元）（元）一次性优惠价一次性优惠价9.89.8折折还款总额还款总额？利息负担总额利息负担总额？第16页，此课件共54页哦4 差分形式的阻滞增长模型差分形式的阻滞增长模型连续形式连续形式的阻滞增长模型的阻滞增长模型(Logistic模型模型)t,xN,x=N是是稳定平衡点稳定平衡点(与与r大小无关大小无关)离散离散形式形式x(t)某种群某种群 t 时刻的数量时刻的数量(人口人口)yk 某种群第某种群第k代的数量代的数量(人口人口)若若yk=N,则则yk+1,yk+2,=N讨论平衡点的稳定性，即讨论平衡点的稳定性，即k,ykN？y*=N 是平衡点是平衡点
11、第17页，此课件共54页哦离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性一阶一阶(非线性非线性)差分方程差分方程(1)的平衡点的平衡点y*=N讨论讨论 x*的稳定性的稳定性变量变量代换代换(2)的平衡的平衡点点第18页，此课件共54页哦(1)的平衡点的平衡点 x*代数方程代数方程 x=f(x)的根的根稳定性判断稳定性判断(1)的近似线性方程的近似线性方程x*也是也是(2)的平衡点的平衡点x*是是(2)和和(1)的稳定平衡点的稳定平衡点x*是是(2)和和(1)的不稳定平衡点的不稳定平衡点补充知识补充知识一阶非线性差分方程一阶非线性差分方程的平衡点及稳定性的平衡点及稳
12、定性第19页，此课件共54页哦01的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性平衡点平衡点稳定性稳定性x*稳定稳定x*不稳定不稳定另一平衡另一平衡点为点为 x=0不稳定不稳定第20页，此课件共54页哦01/2101的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性第21页，此课件共54页哦初值初值 x0=0.2数值计算结果数值计算结果b 3.57,不存在任何收敛子序列不存在任何收敛子序列混沌现象混沌现象4倍周期收敛倍周期收敛第25页，此课件共54页哦的收敛、分岔及混沌现象的收敛、分岔及混沌现象b第26页，此课件共54页哦5 减肥计划减肥计划节食与运动节食与运动背背景景 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持多数减肥
13、食品达不到减肥目标，或不能维持 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标前提下，达到减轻体重并维持下去的目标分分析析 体重变化由体内能量守恒破坏引起体重变化由体内能量守恒破坏引起 饮食（吸收热量）引起体重增加饮食（吸收热量）引起体重增加 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少代谢和运动（消耗热量）引起体重减少 体重指数体重指数BMI=w(kg)/l2(m2).18.5BMI25 超重超重;BMI30 肥胖肥胖.第27页，此课件共54页哦模型假设模型假设1）体重增加正比于吸收的热量）体重增加正比于吸收的热量每每8000千卡增
14、加体重千卡增加体重1千克；千克；2）代谢引起的体重减少正比于体重）代谢引起的体重减少正比于体重每周每公斤体重消耗每周每公斤体重消耗200千卡千卡 320千卡千卡(因人而异因人而异),相当于相当于70千克的人每天消耗千克的人每天消耗2000千卡千卡 3200千卡；千卡；3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；有关；4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克，千克，每周吸收热量不要小于每周吸收热量不要小于10000千卡。千卡。第28页，此课件共54页哦基本模型基本模型w(k)第第k天天(末末)体重
15、体重c(k)第第k天吸收热量天吸收热量 代谢消耗系数代谢消耗系数(因人而异因人而异):因因运动运动,每小时每千克体重消耗的热量每小时每千克体重消耗的热量(千卡千卡)(因运动项目而异因运动项目而异)t:每天运动时间每天运动时间(小时小时)第29页，此课件共54页哦某甲体重某甲体重100千克，目前每周吸收千克，目前每周吸收20000千卡热量，体千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至重维持不变。现欲减肥至75千克。千克。第一阶段：每周减肥第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少，直至千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（达到下限（10000千卡）；千卡）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达
16、到目标第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标 2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。减肥计划减肥计划3）给出达到目标后维持体重的方案。）给出达到目标后维持体重的方案。第30页，此课件共54页哦 确定某甲的代谢消耗系数确定某甲的代谢消耗系数即每周每千克体重消耗即每周每千克体重消耗 20000/100=200千卡千卡基本模型基本模型w(k)第第k周周(末末)体重体重c(k)第第k周吸收热量周吸收热量 代谢消耗系数代谢消耗系数(因人而异因人而异)1）不运动情况的
17、两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划每周吸收每周吸收20000千卡千卡 w=100千克不变千克不变第31页，此课件共54页哦 第一阶段第一阶段:w(k)每周减每周减1千克千克,c(k)减至下限减至下限10000千卡千卡第一阶段第一阶段10周周,每周减每周减1千克，第千克，第10周末体重周末体重90千克千克吸收热量为吸收热量为1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划第32页，此课件共54页哦 第二阶段：每周第二阶段：每周c(k)保持保持Cm,w(k)减至减至75千克千克 1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划基本模型基本模型第33页，此课件共54页哦
18、第二阶段：每周第二阶段：每周c(k)保持保持Cm,w(k)减至减至75千克千克 第二阶段第二阶段19周周,每周吸收热量保持每周吸收热量保持10000千卡千卡,体重按体重按 减少至减少至75千克。千克。第34页，此课件共54页哦运动运动 t=24(每周每周跳舞跳舞8小时或自行车小时或自行车10小时小时),14周即可。周即可。2）第二阶段增加运动的减肥计划）第二阶段增加运动的减肥计划根据资料每小时每千克体重消耗的热量根据资料每小时每千克体重消耗的热量 (千卡千卡):跑步跑步 跳舞跳舞 乒乓乒乓 自行车自行车(中速中速)游泳游泳(50米米/分分)7.0 3.0 4.4 2.5 7.9t每周运动每周运
19、动时间时间(小时小时)基本基本模型模型第35页，此课件共54页哦3）达到目标体重）达到目标体重75千克后维持不变的方案千克后维持不变的方案每周吸收热量每周吸收热量c(k)保持某常数保持某常数C，使体重，使体重w不变不变 不运动不运动 运动运动(内容同前内容同前)第36页，此课件共54页哦6 按年龄分组的种群增长按年龄分组的种群增长 不同年龄组的繁殖率和死亡率不同不同年龄组的繁殖率和死亡率不同 建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律假设与建模假设与建模 种群按年龄大小等分为种群按年龄大小等分为n个年龄组，记个年龄组，记i=1,2,n 时间离散
20、为时段，长度与年龄组区间相等，记时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,以雌性个体数量为对象以雌性个体数量为对象 第第i 年龄组年龄组1雌性个体在雌性个体在1时段内的时段内的繁殖率繁殖率为为bi 第第i 年龄组在年龄组在1时段内的死亡率为时段内的死亡率为di,存活率存活率为为si=1-di第37页，此课件共54页哦假设假设与与建模建模xi(k)时段时段k第第i 年龄组的种群数量年龄组的种群数量按年龄组的分布向量按年龄组的分布向量预测任意时段种群按预测任意时段种群按年龄组的分布年龄组的分布Leslie矩阵矩阵(L矩阵矩阵)(设至少设至少1个个bi0)第38页，此课件共54页哦稳定状态
21、分析的数学知识稳定状态分析的数学知识 L矩阵存在矩阵存在正单特征根正单特征根 1，若若L矩阵存在矩阵存在bi,bi+10,则则 P的第的第1列是列是x*特征向量特征向量,c是由是由bi,si,x(0)决定的常决定的常数数 且且解解释释L对角化对角化第39页，此课件共54页哦稳态分析稳态分析k充分大充分大种种群按年龄组的分布群按年龄组的分布 种群按年龄组的分布趋向稳定，种群按年龄组的分布趋向稳定，x*称稳定分布称稳定分布,与初始分布无关。与初始分布无关。各年龄组种群数量按同一倍各年龄组种群数量按同一倍数增减，数增减，称固有增长率称固有增长率与基本模型与基本模型比较比较3）=1时时 各年龄组各年龄
22、组种群种群数量不变数量不变第40页，此课件共54页哦 1个个体在整个存活期个个体在整个存活期内的繁殖数量为内的繁殖数量为1稳态分析稳态分析存活率存活率 si是同一时段的是同一时段的 xi+1与与 xi之比之比（与（与si 的定义的定义 比较）比较）3）=1时时第41页，此课件共54页哦处一阶向前差分处一阶向前差分7 7 差分基础知识差分基础知识一一 差分差分 1.1.概念概念（h h为非零实数称为步长为非零实数称为步长）处处k k阶向前差分阶向前差分第42页，此课件共54页哦处一阶向后差分处一阶向后差分处处k k阶向后差分阶向后差分处一阶中心差分处一阶中心差分处处k k阶中心差分阶中心差分第4
23、3页，此课件共54页哦2.性质性质第44页，此课件共54页哦二二 常微分方程化为差分方程常微分方程化为差分方程 用导数近似式替代导数或者说用适当近似式替代含有导用导数近似式替代导数或者说用适当近似式替代含有导数的表达式，可以得到这些近似值满足的代数方程数的表达式，可以得到这些近似值满足的代数方程-差分方程差分方程 以二阶常微分方程边值问题为例以二阶常微分方程边值问题为例 目的求目的求差差分分法法第45页，此课件共54页哦一般k阶常系数线性差分方程为差分方程差分方程第46页，此课件共54页哦三三 偏微分方程偏微分方程化为差分方程化为差分方程以二阶椭圆方程的边值问题为例以二阶椭圆方程的边值问题为例
24、用两族平行坐标轴的直线用两族平行坐标轴的直线正方形网格把区域正方形网格把区域G G剖分剖分 第47页，此课件共54页哦节点可分三类节点可分三类 1通过该节点的网格线上的相邻四网点都在通过该节点的网格线上的相邻四网点都在G G内内,记记 G12在在G内部但不属于内部但不属于G1，记，记G23恰在边界上记恰在边界上记G3 确确定定各各节节点点处处解解的的近近似似值值uij，需需要要建建立立代代数数方程，每一节点建立一个代数方程方程，每一节点建立一个代数方程任任务务第48页，此课件共54页哦(i，j-1)(i，j+1)(i-1，j)(i，j)(i+1，j)偏导数近偏导数近似式替代似式替代第49页，此
25、课件共54页哦差分差分方程方程N (i，j)E第50页，此课件共54页哦 偏导数近偏导数近似式替代似式替代第51页，此课件共54页哦四四 二阶常系数齐次差分方程求法二阶常系数齐次差分方程求法 齐次差分方程齐次差分方程 (1)(1)特征方程有两个不相等实根特征方程有两个不相等实根(2)(2)特征方程有两个相等实根特征方程有两个相等实根 第52页，此课件共54页哦(3)(3)特征方程有一对共轭复根特征方程有一对共轭复根 非齐次差分方程非齐次差分方程非齐次的特解非齐次的特解+齐次的通解齐次的通解例：兔子问题例：兔子问题 在一年的时间里，一对兔子能够生育出多少对兔子来在一年的时间里，一对兔子能够生育出多少对兔子来第53页，此课件共54页哦每对兔子每个月生育出新的一对兔子每对兔子每个月生育出新的一对兔子假假设设新的一对兔子在一个月之后具有生育能力其新的一对兔子在一个月之后具有生育能力其次这些兔子都不死亡次这些兔子都不死亡第第n个月开始时兔子对数个月开始时兔子对数模模型型结果结果Fibonacci数列黄金分割比黄金分割比第54页，此课件共54页哦