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1、第1节随机变量与分布函数第1页，本讲稿共21页主要内容l随机变量与分布函数l离散型随机变量及其分布l连续型随机变量及其分布l二维随机变量l随机变量函数的分布第2页，本讲稿共21页第1节 随机变量与分布函数随机变量分布函数第3页，本讲稿共21页知识回顾：试验及样本空间一次随机试验的所有可能的试验结果所构成的集合被称作样本空间样本空间 而每一个可能的试验结果构成样本点样本点 样本点的集合A称作事件事件只包含一个样本点的集合被称作基基本事件本事件第4页，本讲稿共21页样本空间是一个抽象的集合l从理论上讲,它的样本点可以是任意的l但这对于研究带来了许多不方便l而数学上则更喜欢研究实数的集合一方面,样本
2、空间本身也可能就是实数集合或者其子集。另一方面,可以建立一个从样本空间到实数集合的一个映射。第5页，本讲稿共21页引例引例l考察“抛硬币”这一试验，它有两个可能结果：“”或“”，分别用数和来代替。由于试验的结果的出现是随机的，因而(e)的取值也是随机的，我们称(e)为随机变量随机变量.第6页，本讲稿共21页l即：即：每给定一个实验结果或者样本点,存在着唯一的一个实数()与之对应。l这样就建立了一个自变量为而函数值则为实数的一个特殊的“函数”。第7页，本讲稿共21页一、随机变量的定义一、随机变量的定义l在条件S下，随机试验的每一个可能的结果都用一个实数X=X()来表示，且实数X满足：X由唯一确定
3、对于任意给定的实数，事件X都是有概率的，则称X为一随机变量随机变量。l通常用大写字母X，Y，Z或者希腊字母,来表示。第8页，本讲稿共21页 X()设设E E是随机试验，是随机试验，是它的样本空间，如果对于是它的样本空间，如果对于每一个样本点每一个样本点，都有一个实数与它对应，则称，都有一个实数与它对应，则称这个定义在样本空间上的单值实函数：这个定义在样本空间上的单值实函数：X X=X X()是一个随机变量。是一个随机变量。0 x第9页，本讲稿共21页3421l此图显示了只有四个样本点的一个样本空间映射到实数a,b,c的一种映射.注意1和2映射到同一个实数b,这是一种常见的情况.xabc第10页
4、，本讲稿共21页注：1随机变量 是基本事件的函数，具体问题有具体规定 2对于不同的基本事件，的取值亦要不同 3每一基本事件都可用随机变量的取值来表示如 ，则 4当 时，事件 与 互不相容 5 表示 取小于等于 的每一个值所对应的基本事件的和事件第11页，本讲稿共21页随机变量与函数的比较随机变量与函数的比较l1）随机变量的取值具有随机性，它随试验结果的不同而取不同的值，试验之前仅知道它可能取值的范围，而不能预知它取什么值。2）随机变量的取值具有统计规律性，由于试验结果的出现有一定的概率，因而随机变量取各个值也有一定的概率。3）随机变量是定义在样本空间上的函数，中的元素不一定是实数，而普通函数只
5、是定义在实数轴上。第12页，本讲稿共21页一些随机变量的例子一些随机变量的例子l(1)一个射手对目标进行射击,，击中目标记为1分，未中目标记为0分。如果用表示射手在一次射击中的得分，则它是一个随机变量，可以取0和1两个可能的值。l(2)某段时间内候车室的旅客数目记为，它是一个随机变量，可以取0及一切不大于M的自然数，M为候车室的最大容量。l(3)单位面积上某农作物的产量是一个随机变量，它可以取一个区间内的一切实数值，即0,T，T是一个常数。第13页，本讲稿共21页 X =0 ，1 ，2 试验结果试验结果 =TT，HT,TH，HH相应概率相应概率 =1/4，1/2，1/4例例 抛掷均匀硬币两次，
6、用抛掷均匀硬币两次，用X X 表示正面表示正面H H出现的次数。出现的次数。第14页，本讲稿共21页按取值情况将随机变量分为两类：l(1)离散型随机变量离散型随机变量只可能取有限个或无限可列个值。l(2)非离散型随机变量非离散型随机变量可能取任何实数。而非离散型随机变量中最常用的为连续型随机变连续型随机变量量。第15页，本讲稿共21页二、分布函数二、分布函数（一）（一）分布函数的定义分布函数的定义 X 是一个随机变量，是一个随机变量，x 是任意实数，函数是任意实数，函数 F(x)=P X x x(-,+)称为是称为是 X 的分布函数的分布函数(distribution function：d.f
7、)。分布函数实际上是随机事件分布函数实际上是随机事件(X x)发生的概率；发生的概率；也理解成随机点也理解成随机点 X 落在区间落在区间(，x 中的概率。中的概率。思考思考 1 分布函数分布函数 F(x)应该具有什么样的数学性质？应该具有什么样的数学性质？第16页，本讲稿共21页(二二)分布函数的主要性质分布函数的主要性质1.非负有界非负有界 0 F(x)1；(即，概率定义中的非负与规范性即，概率定义中的非负与规范性)2.单调性单调性 当当 x1 x2，则，则 F(x1)F(x2)；(即，即，A B 则有则有 P(A)P(B)3.极限性质极限性质 F()=lim x F(x)=0，F(+)=l
8、im x+F(x)=1。第17页，本讲稿共21页o xF(x)1解解.0 F(x)1，非负有界非负有界；(，0 上恒等于上恒等于 0，而在，而在 0，+单调递增，单调递增，单调性单调性；极限性质极限性质显然满足。显然满足。例例 讨论如下的分布函数讨论如下的分布函数 F(x)=1 e x,x 0 (为简便我们总是省略分布函数等于为简便我们总是省略分布函数等于 0 的部分的部分)思考思考2 X 落在区间落在区间(1，3 的概率是多少？的概率是多少？第18页，本讲稿共21页(三三)利用分布函数计算概率利用分布函数计算概率1.对任意的实数对任意的实数 x1 x2，P x1 X x2 =F(x2)F(x1)；2.P X x =1 F(x)；Remark 这两个公式实际上来自于概率的减法公式以及对这两个公式实际上来自于概率的减法公式以及对立事件的概率公式。立事件的概率公式。第19页，本讲稿共21页l设X为随机变量，任何随机事件的概率都可以用分布函数F(x)来表示，如：第20页，本讲稿共21页第21页，本讲稿共21页