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1、工程力学下册质点动力学的基本方程第1 页，本讲稿共18 页 5.1 5.1 动力学的基本定律与惯性参考系 动力学的基本定律与惯性参考系 动力学是研究作用在物体上的力与物体运动状态变化之间关系的学科。动力学的研究对象是运动速度远小于光速的宏观物体，属经典力学。动力学是物理学和天文学的基础，也是许多工程学科的基础。动力学的研究以牛顿运动定律为基础；牛顿运动定律的建立则以实验为依据。动力学是牛顿力学(又称经典力学)的一部分，但自20世纪以来，动力学又常被人们理解为侧重于工程技术应用方面的一个力学分支。质点是具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计的物体。质点是物体最简单、最基础的模型，是构成复杂
2、物体系统的基础。动力学可分为质点动力学和质点系动力学，前者是后者的基础。第2 页，本讲稿共18 页 5.1.1 5.1.1 动力学基本定律 动力学基本定律(牛顿定律 牛顿定律)牛顿第一定律 牛顿第一定律(惯性定律 惯性定律)任何物体，如果不受外力作用(包括所受合外力为零的情况)，将保持静止或匀速直线运动状态。这是物体的固有属性，称为惯性。这个定律定性地表明了物体受力与运动之间的关系，即力是改变物体运动状态的根本原因。牛顿第二定律(力与加速度之间的关系定律)物体受到外力作用时，所产生的加速度的大小与作用力的大小成正比，而与物体的质量成反比，加速度的方向与力的方向相同。用方程表示为或(5-1)式中
3、，F 为质点所受的力；m 为质点的质量；a为质点在力F作用下产生的加速度。该表达式又称质点动力学基本方程。第3 页，本讲稿共18 页牛顿第三定律(作用与反作用定律)两物体间相互作用的作用力和反作用力，总是大小相等、方向相反、沿着同一直线。这一定律是静力学的公理之一，适用任何受力或任何运动状态的物体。作用与反作用定律对研究质点系动力学问题具有重要意义。因为牛顿第二定律只适用于单个质点，而本章将要研究的问题大多是关于质点系的，牛顿第三定律给出了质点系中各质点间相互作用的关系，从而使质点动力学的理论能推广应用于质点系。5.1.2 5.1.2 惯性参考系 惯性参考系 动力学基本定律涉及质点的不同运动状
4、态静止、匀速直线运动和加速运动等运动状态，所给出的结论只有在惯性参考系中才是正确的。在某参考系中，若观测某个所受合外力等于零的质点的运动，如果此质点正好处于静止或匀速直线运动状态，则该参考系称为惯性参考系。第4 页，本讲稿共18 页 5.2 5.2 质点的运动微分方程及其应用 质点的运动微分方程及其应用 5.2.1 5.2.1 质点运动微分方程 质点运动微分方程 在解决工程实际问题时，常将动力学的基本方程(5-1)改写为其他不同形式，以便应用。1.质点运动微分方程的矢量形式 如图5.1所示，设有质量为m 的质点M 受到力F1，F2，Fn的作用做曲线运动，合力为FR，用r 表示质点的位矢，则质点
5、的运动微分方程为(5-2)应用矢量形式微分方程进行理论分析非常方便，但有时求解某些具体问题时很困难，而且所得到结果的力学意义也不很明显。因此，多数问题的求解仍需根据具体问题选择合适的坐标形式。第5 页，本讲稿共18 页2.质点运动微分方程的直角坐标形式 由矢量方程(5-2)在图5.1中的直角坐标系上投影，可得到质点的运动微分方程的直角坐标形式(5-3)直角坐标形式的运动微分方程，原则上适用于所有问题，也是最常用的形式。但对某些具体问题仍有不便之处，如质点沿球面或柱面运动时，用直角坐标就不如用球坐标或柱坐标方便。第6 页，本讲稿共18 页 3.质点运动微分方程的自然坐标形式 当质点的运动轨迹已知
6、时，如图5.2所示，在点上建立由切线、主法线、副法线组成的自然坐标系。由点的运动学可知，点的加速度在密切面内，而在副法线上的投影为零。将矢量方程(5-2)投影到自然坐标系上，可得到质点运动微分方程的自然坐标形式(5-4)式中，为质点运动轨迹的曲率半径；为质点的切向加速度；为质点的法向加速度。第7 页，本讲稿共18 页 除了以上几种常见的质点运动微分方程外，根据点的运动特点，还可以应用其他形式，如柱坐标、球坐标、极坐标等。正确分析研究对象的运动特点，选择一组合适的微分方程，会使问题的求解过程大为简化。5.2.2 5.2.2 质点动力学的两类基本问题 质点动力学的两类基本问题第一类基本问题：已知质
7、点的运动，求解此质点所受的力。第二类基本问题：已知作用在质点上的力，求解此质点的运动。一般来说，第一类基本问题需用微分和代数方法求解，第二类基本问题需用积分方法求解。对于含有非线性函数的运动微分方程，大多数情况下很难得到解析解，通常只能应用数值方法求解。此外，求解微分方程时将出现积分常数，这些积分常数通常根据质点运动的初始条件(如初始速度和初始位置等)来确定。因此，对于这类问题，除了作用于质点的力外，还必须知道质点运动的初始条件。第8 页，本讲稿共18 页 5.2.3 5.2.3 应用举例 应用举例【例5.1】曲柄连杆机构如图5.3(a)所示。曲柄OA 以匀角速度 转动，其中OA=r、AB=l
8、，当 比较小时，以O 为坐标原点，滑块B 的运动方程可近似写为。如滑块的质量为m，忽略摩擦及连杆AB 的质量，试求当 和 时，连杆AB 所受的力。解：以滑块B 为研究对象，当 时，受力如图5.3(b)所示。由于不计连杆质量，连杆AB 为二力杆，则它对滑块B 的力F 沿AB 方向。第9 页，本讲稿共18 页写出滑块沿x 轴的运动微分方程 由题设的运动方程，可以求得 当 时，且，得AB 杆受拉力当 时，则有得AB 杆受压力 第10 页，本讲稿共18 页【例5.2】如图5.4所示，小球质量为m，悬挂于长为l 的细绳上，绳重不计。小球在铅垂面内摆动时，在最低处的速度为v；摆到最高处时，绳与铅垂线夹角为
9、，此时小球速 度为零。试分别计算小球在最低和最高位置时绳的拉力。解：如图5.4所示，由于小球做圆周运动，小球在最低处受重力G=mg 和绳拉力F1。此时有法向加速度，由质点运动微分方程沿法向的投影式，有 则绳的拉力 第1 1 页，本讲稿共18 页 小球在最高处 角时，受力分析如图5.4所示，由于小球此时速度为零，法向加速度为零，则其运动微分方程沿法向投影式为 则绳的拉力 思 考 题 5-1 一宇航员体重为700N，在太空中漫步时，他的体重与在地球上一样吗？5-2 什么是惯性？是否任何物体都具有惯性？正在加速运动的物体，其惯性是仍然存在还是已经消失？第12 页，本讲稿共18 页5-3 如图5.5所
10、示，绳子通过两个定滑轮，在绳的两端分别挂着两个质量完全相同的物体，开始时处于静止状态。若给右边的物体一水平速度，则左边物体应该_。5-4 质 点 的 运 动 方 向 是 否 一 定 与 质 点 受 合 力 的 方 向 相 同？某瞬 时，质 点 的 加 速 度 大，是 否 说 明 该 质 点 所 受 的 作 用 力 也一定大？5-5 质 量 相 同 的 两 物 体A 和B，其 初 速 度 相 同 均 为v0。现 在 两物 体 上 分 别 作 用 力FA和FB，若FAFB，经 过 相 同 的 时 间 间 隔后，则有_。A B C D 不能确定第13 页，本讲稿共18 页 5-6 质量为m 的质点在
11、力F 作用下沿曲线运动，如图5.6所示。根据动力学基本方程的描述，选出质点运动与所受力的关系不可能出现的应是_。5-7 若知道一质点的质量和所受到的力，能否知道它的运动规律？第14 页，本讲稿共18 页 习 题 5-1 质点M 的质量为m，运动方程为，其中b、d、为常量。求作用在此质点上的力。5-2 如图5.7所示，在均匀静止的液体中，质量为m 的物体M 从液面处无初速度下沉，如图所示。假设液体阻力，其中 为阻尼系数。试分析该物体的运动规律 5-3 如图5.8所示，起重机上吊车吊着质量 的物体，沿轨道以角度度 做匀速运动。因故紧急制动后，重物由于惯性绕悬点O 向前摆动。已知绳长l=3m，若不计
12、绳的质量，求制动后绳子的最大拉力。第15 页，本讲稿共18 页 5-4 如图5.9所示的机构中，偏心轮绕轴O以匀角速度w 转动，推动挺杆AB 沿铅垂滑道运动，挺杆顶部放有质量为m 的物快D。设偏心轮偏心距OC=e，轮心C 在运动开始时位于铅垂线ABO 上，试求在任意瞬时物块D 对挺杆的压力和保证物块D 不离开挺杆的偏心轮的转动角速度的最大值。5-5 如图5.10所示，料车的料斗连同所载物料的质量，车架与车轮的质量。如料斗弹簧按 的规律作铅垂运动，试求料车对水平直线轨道的最大压力与最小压力。第16 页，本讲稿共18 页 5-6 如图5.11 所示，质量 的小球，放在倾角 的光滑面上，并用平行于斜
13、面的绳将小球固定在图示位置。如斜面以 的加速度向左运动，求绳的拉力 及小球对斜面的压力；欲使绳的张力为零，加速度a应为多大？5-7 如图5.12所示，质量为m 的球A，用两根长为l 的杆支撑。支撑架以匀角速度 绕铅直轴BC 转动。已知BC=2a；杆AB 及AC 的两端均为铰接，杆重忽略不计。求杆AB、AC 所受的力。第17 页，本讲稿共18 页 5-8 如图5.13所示，半径为R，内壁光滑的环形管，在水平面内以匀角速度 绕铅垂轴A 转动。质量为m 的小球M 在管内运动。初始时，小球在环形管C 点处()，相对速度为零。试建立小球的运动微分方程，求管壁侧面作用在小球上的力，并证明小球的运动范围为。5-9 如图5.14所示，质点M 的质量为m，放在内壁光滑的容器ABO 里，开始时系统处于静止状态，若容器以等角速度 绕对称轴Oz 转动，由于外界的干扰。求质点M 相对容器静止时的位置(用 和r 表示)。第18 页，本讲稿共18 页