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1、第第5章章 质点动力学的基本方程质点动力学的基本方程 5.1 5.1 动力学的基本定律与惯性参考系动力学的基本定律与惯性参考系动力学的基本定律与惯性参考系动力学的基本定律与惯性参考系 5.1.1 5.1.1 动力学基本定律动力学基本定律动力学基本定律动力学基本定律(牛顿定律牛顿定律牛顿定律牛顿定律)5.1.2 5.1.2 惯性参考系惯性参考系惯性参考系惯性参考系 5.2 5.2 质点的运动微分方程及其应用质点的运动微分方程及其应用质点的运动微分方程及其应用质点的运动微分方程及其应用 5.2.1 5.2.1 质点运动微分方程质点运动微分方程质点运动微分方程质点运动微分方程 5.2.2 5.2.2
2、 质点动力学的两类基本问题质点动力学的两类基本问题质点动力学的两类基本问题质点动力学的两类基本问题 5.2.3 5.2.3 应用举例应用举例应用举例应用举例 本章习题本章习题本章习题本章习题 5.1 5.1 动力学的基本定律与惯性参考系动力学的基本定律与惯性参考系动力学的基本定律与惯性参考系动力学的基本定律与惯性参考系 动力学是研究作用在物体上的力与物体运动状态变化之动力学是研究作用在物体上的力与物体运动状态变化之间关系的学科。动力学的研究对象是运动速度远小于光速的间关系的学科。动力学的研究对象是运动速度远小于光速的宏观物体，属经典力学。动力学是物理学和天文学的基础，宏观物体，属经典力学。动力
3、学是物理学和天文学的基础，也是许多工程学科的基础。也是许多工程学科的基础。动力学的研究以牛顿运动定律为基础；牛顿运动定律的动力学的研究以牛顿运动定律为基础；牛顿运动定律的建立则以实验为依据。动力学是牛顿力学建立则以实验为依据。动力学是牛顿力学(又称经典力学又称经典力学)的的一部分，但自一部分，但自20世纪以来，动力学又常被人们理解为侧重于世纪以来，动力学又常被人们理解为侧重于工程技术应用方面的一个力学分支。工程技术应用方面的一个力学分支。质点是具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不质点是具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计的物体。质点是物体最简单、最基础的模型，是构成复杂计的物体。
4、质点是物体最简单、最基础的模型，是构成复杂物体系统的基础。动力学可分为质点动力学和质点系动力学，物体系统的基础。动力学可分为质点动力学和质点系动力学，前者是后者的基础。前者是后者的基础。5.1.1 5.1.1 动力学基本定律动力学基本定律动力学基本定律动力学基本定律(牛顿定律牛顿定律牛顿定律牛顿定律)牛顿第一定律牛顿第一定律牛顿第一定律牛顿第一定律(惯性定律惯性定律惯性定律惯性定律)任何物体，如果不受外力作用任何物体，如果不受外力作用(包括所受合外力为零的情况包括所受合外力为零的情况)，将保持静止或匀速直线运动状态。这是物体的固有属性，称，将保持静止或匀速直线运动状态。这是物体的固有属性，称为
5、惯性。这个定律定性地表明了物体受力与运动之间的关系，为惯性。这个定律定性地表明了物体受力与运动之间的关系，即力是改变物体运动状态的根本原因。即力是改变物体运动状态的根本原因。牛顿第二定律牛顿第二定律(力与加速度之间的关系定律力与加速度之间的关系定律)物体受到外力作用时，所产生的加速度的大小与作用力的物体受到外力作用时，所产生的加速度的大小与作用力的大小成正比，而与物体的质量成反比，加速度的方向与力的方大小成正比，而与物体的质量成反比，加速度的方向与力的方向相同。用方程表示为向相同。用方程表示为或或 (5-1)式中，式中，F为质点所受的力；为质点所受的力；m为质点的质量；为质点的质量；a为质点在
6、力为质点在力F作用下产生的加速度。作用下产生的加速度。该表达式又称质点动力学基本方程。该表达式又称质点动力学基本方程。牛顿第三定律牛顿第三定律(作用与反作用定律作用与反作用定律)两物体间相互作用的作用力和反作用力，总是大小相等、两物体间相互作用的作用力和反作用力，总是大小相等、方向相反、沿着同一直线。这一定律是静力学的公理之一，适方向相反、沿着同一直线。这一定律是静力学的公理之一，适用任何受力或任何运动状态的物体。用任何受力或任何运动状态的物体。作用与反作用定律对研究质点系动力学问题具有重要意义。作用与反作用定律对研究质点系动力学问题具有重要意义。因为牛顿第二定律只适用于单个质点，而本章将要研
7、究的问题因为牛顿第二定律只适用于单个质点，而本章将要研究的问题大多是关于质点系的，牛顿第三定律给出了质点系中各质点间大多是关于质点系的，牛顿第三定律给出了质点系中各质点间相互作用的关系，从而使质点动力学的理论能推广应用于质点相互作用的关系，从而使质点动力学的理论能推广应用于质点系。系。5.1.2 5.1.2 惯性参考系惯性参考系惯性参考系惯性参考系 动力学基本定律涉及质点的不同运动状态动力学基本定律涉及质点的不同运动状态静止、匀速直静止、匀速直线运动和加速运动等运动状态，所给出的结论只有在惯性参考系线运动和加速运动等运动状态，所给出的结论只有在惯性参考系中才是正确的。中才是正确的。在某参考系中
8、，若观测某个所受合外力等于零的质点的运动，在某参考系中，若观测某个所受合外力等于零的质点的运动，如果此质点正好处于静止或匀速直线运动状态，则该参考系称为如果此质点正好处于静止或匀速直线运动状态，则该参考系称为惯性参考系。惯性参考系。5.2 5.2 质点的运动微分方程及其应用质点的运动微分方程及其应用质点的运动微分方程及其应用质点的运动微分方程及其应用 5.2.1 5.2.1 质点运动微分方程质点运动微分方程质点运动微分方程质点运动微分方程 在解决工程实际问题时，常将动力学的基本方程在解决工程实际问题时，常将动力学的基本方程(5-1)改写改写为其他不同形式，以便应用。为其他不同形式，以便应用。1
9、.质点运动微分方程的矢量形式质点运动微分方程的矢量形式 如图如图5.1所示，设有质量为所示，设有质量为m的质的质点点M受到力受到力F1，F2，Fn的作用做的作用做曲线运动，合力为曲线运动，合力为FR，用，用r表示质点的表示质点的位矢，则质点的运动微分方程为位矢，则质点的运动微分方程为(5-2)应用矢量形式微分方程进行理论分析非常方便，但有时求解应用矢量形式微分方程进行理论分析非常方便，但有时求解某些具体问题时很困难，而且所得到结果的力学意义也不很明显。某些具体问题时很困难，而且所得到结果的力学意义也不很明显。因此，多数问题的求解仍需根据具体问题选择合适的坐标形式。因此，多数问题的求解仍需根据具
10、体问题选择合适的坐标形式。2.质点运动微分方程的直角坐标形式质点运动微分方程的直角坐标形式 由矢量方程由矢量方程(5-2)在图在图5.1中的直角坐标系上投影，可得到质中的直角坐标系上投影，可得到质点的运动微分方程的直角坐标形式点的运动微分方程的直角坐标形式 (5-3)直角坐标形式的运动微分方程，原则上适用于所有问题，也直角坐标形式的运动微分方程，原则上适用于所有问题，也是最常用的形式。但对某些具体问题仍有不便之处，如质点沿球是最常用的形式。但对某些具体问题仍有不便之处，如质点沿球面或柱面运动时，用直角坐标就不如用球坐标或柱坐标方便。面或柱面运动时，用直角坐标就不如用球坐标或柱坐标方便。3.质点
11、运动微分方程的自然坐标形式质点运动微分方程的自然坐标形式 当质点的运动轨迹已知时，如图当质点的运动轨迹已知时，如图5.2所所示，在点上建立由切线、主法线、副法线示，在点上建立由切线、主法线、副法线组成的自然坐标系。由点的运动学可知，组成的自然坐标系。由点的运动学可知，点的加速度在密切面内，而在副法线上的点的加速度在密切面内，而在副法线上的投影为零。将矢量方程投影为零。将矢量方程(5-2)投影到自然坐投影到自然坐标系上，可得到质点运动微分方程的自然标系上，可得到质点运动微分方程的自然坐标形式坐标形式 (5-4)式中，式中，为质点运动轨迹的曲率半径；为质点运动轨迹的曲率半径；为质点的切向加速为质点
12、的切向加速度；度；为质点的法向加速度。为质点的法向加速度。除了以上几种常见的质点运动微分方程外，根据点的运动除了以上几种常见的质点运动微分方程外，根据点的运动特点，还可以应用其他形式，如柱坐标、球坐标、极坐标等。特点，还可以应用其他形式，如柱坐标、球坐标、极坐标等。正确分析研究对象的运动特点，选择一组合适的微分方程，会正确分析研究对象的运动特点，选择一组合适的微分方程，会使问题的求解过程大为简化。使问题的求解过程大为简化。5.2.2 5.2.2 质点动力学的两类基本问题质点动力学的两类基本问题质点动力学的两类基本问题质点动力学的两类基本问题第一类基本问题：已知质点的运动，求解此质点所受的力。第
13、一类基本问题：已知质点的运动，求解此质点所受的力。第二类基本问题：已知作用在质点上的力，求解此质点的运动。第二类基本问题：已知作用在质点上的力，求解此质点的运动。一般来说，第一类基本问题需用微分和代数方法求解，第二一般来说，第一类基本问题需用微分和代数方法求解，第二类基本问题需用积分方法求解。对于含有非线性函数的运动微类基本问题需用积分方法求解。对于含有非线性函数的运动微分方程，大多数情况下很难得到解析解，通常只能应用数值方分方程，大多数情况下很难得到解析解，通常只能应用数值方法求解。此外，求解微分方程时将出现积分常数，这些积分常法求解。此外，求解微分方程时将出现积分常数，这些积分常数通常根据
14、质点运动的初始条件数通常根据质点运动的初始条件(如初始速度和初始位置等如初始速度和初始位置等)来确来确定。因此，对于这类问题，除了作用于质点的力外，还必须知定。因此，对于这类问题，除了作用于质点的力外，还必须知道质点运动的初始条件。道质点运动的初始条件。5.2.3 5.2.3 应用举例应用举例应用举例应用举例【例【例5.1】曲柄连杆机构如图曲柄连杆机构如图5.3(a)所示。所示。曲柄曲柄OA以匀角速度以匀角速度 转动，其中转动，其中OA=r、AB=l，当，当 比较小时，以比较小时，以O为坐标为坐标原点，滑块原点，滑块B的运动方程可近似写为的运动方程可近似写为 。如滑块的质量为如滑块的质量为m，
15、忽略摩擦及连杆，忽略摩擦及连杆AB的质量，试求当的质量，试求当 和和 时，连时，连杆杆AB所受的力。所受的力。解：以滑块解：以滑块B为研究对象，当为研究对象，当 时，受力如图时，受力如图5.3(b)所示。由于不计所示。由于不计连杆质量，连杆连杆质量，连杆AB 为二力杆，则它为二力杆，则它对滑块对滑块B的力的力F沿沿AB方向。方向。写出滑块沿写出滑块沿x轴的运动微分方程轴的运动微分方程 由题设的运动方程，可以求得由题设的运动方程，可以求得 当当 时，时，且，且 ，得，得AB杆受拉力杆受拉力当当 时，时，则有，则有得得AB杆受压力杆受压力 【例【例5.2】如图如图5.4所示，小球质量为所示，小球质
16、量为m，悬挂于长为悬挂于长为l的细绳上，绳重不计。小球在铅的细绳上，绳重不计。小球在铅垂面内摆动时，在最低处的速度为垂面内摆动时，在最低处的速度为v；摆到最；摆到最高处时，绳与铅垂线夹角为高处时，绳与铅垂线夹角为 ，此时小球速，此时小球速 度为零。试分别计算小球在最低和最高位置度为零。试分别计算小球在最低和最高位置时绳的拉力。时绳的拉力。解：如图解：如图5.4所示，由于小球做圆周运动，小所示，由于小球做圆周运动，小球在最低处受重力球在最低处受重力G=mg和绳拉力和绳拉力F1。此时。此时有法向加速度有法向加速度 ，由质点运动微分方，由质点运动微分方程沿法向的投影式，有程沿法向的投影式，有 则绳的
17、拉力则绳的拉力 小球在最高处小球在最高处 角时，受力分析如图角时，受力分析如图5.4所示，由于小球此所示，由于小球此时速度为零，法向加速度为零，则其运动微分方程沿法向投影时速度为零，法向加速度为零，则其运动微分方程沿法向投影式为式为 则绳的拉力则绳的拉力 思思 考考 题题 5-1 一宇航员体重为一宇航员体重为700N，在太空中漫步时，他的体重，在太空中漫步时，他的体重与在地球上一样吗？与在地球上一样吗？5-2 什么是惯性？是否任何物体都具有惯性？正在加速什么是惯性？是否任何物体都具有惯性？正在加速运动的物体，其惯性是仍然存在还是已经消失？运动的物体，其惯性是仍然存在还是已经消失？5-3 如图如
18、图5.5所示，绳子通过两个定滑所示，绳子通过两个定滑轮，在绳的两端分别挂着两个质量完轮，在绳的两端分别挂着两个质量完全相同的物体，开始时处于静止状态。全相同的物体，开始时处于静止状态。若给右边的物体一水平速度，则左边若给右边的物体一水平速度，则左边物体应该物体应该_。5-4 质质点点的的运运动动方方向向是是否否一一定定与与质质点点受受合合力力的的方方向向相相同同？某某瞬瞬时时，质质点点的的加加速速度度大大，是是否否说说明明该该质质点点所所受受的的作作用用力力也也一定大？一定大？5-5 质质量量相相同同的的两两物物体体A和和B，其其初初速速度度相相同同均均为为v0。现现在在两两物物体体上上分分别
19、别作作用用力力FA和和FB，若若FAFB，经经过过相相同同的的时时间间间间隔后，则有隔后，则有_。A B C D 不能确定不能确定 5-6 质量为质量为m的质点在力的质点在力F作用下沿曲线运动，如图作用下沿曲线运动，如图5.6所示。所示。根据动力学基本方程的描述，选出质点运动与所受力的关系不根据动力学基本方程的描述，选出质点运动与所受力的关系不可能出现的应是可能出现的应是_。5-7 若知道一质点的质量和所受到的力，能否知道它的运若知道一质点的质量和所受到的力，能否知道它的运动规律？动规律？习习 题题 5-1 质点质点M的质量为的质量为m，运动方程为，运动方程为 ，其中其中b、d、为常量。求作用
20、在此质点上的力。为常量。求作用在此质点上的力。5-2 如图如图5.7所示，在均匀静止的液体所示，在均匀静止的液体中，质量为中，质量为m的物体的物体M从液面处无初速度下从液面处无初速度下沉，如图所示。假设液体阻力沉，如图所示。假设液体阻力 ，其中其中 为阻尼系数。试分析该物体的运动为阻尼系数。试分析该物体的运动规律规律 5-3 如图如图5.8所示，起重机上吊车吊着质量所示，起重机上吊车吊着质量 的物体，的物体，沿轨道以角度度沿轨道以角度度 做匀速运动。因故紧急制动后，重做匀速运动。因故紧急制动后，重物由于惯性绕悬点物由于惯性绕悬点O向前摆动。已知绳长向前摆动。已知绳长l=3m，若不计绳的质，若不
21、计绳的质量，求制动后绳子的最大拉力。量，求制动后绳子的最大拉力。5-4 如图如图5.9所示的机构中，偏心轮绕轴所示的机构中，偏心轮绕轴O以匀角速度以匀角速度w 转动，推动挺杆转动，推动挺杆AB沿铅垂滑道沿铅垂滑道运动，挺杆顶部放有质量为运动，挺杆顶部放有质量为m的物快的物快D。设偏。设偏心轮偏心距心轮偏心距OC=e，轮心，轮心C在运动开始时位于在运动开始时位于铅垂线铅垂线ABO上，试求在任意瞬时物块上，试求在任意瞬时物块D对挺杆对挺杆的压力和保证物块的压力和保证物块D不离开挺杆的偏心轮的转不离开挺杆的偏心轮的转动角速度的最大值动角速度的最大值 。5-5 如图如图5.10所示，料车的料斗连所示，
22、料车的料斗连同所载物料的质量同所载物料的质量 ，车架与，车架与车轮的质量车轮的质量 。如料斗弹簧按。如料斗弹簧按 的规律作铅垂运动，试求的规律作铅垂运动，试求料车对水平直线轨道的最大压力与最小料车对水平直线轨道的最大压力与最小压力。压力。5-6 如图如图5.11所示，质量所示，质量 的的小球，放在倾角小球，放在倾角 的光滑面上，并的光滑面上，并用平行于斜面的绳将小球固定在图示位用平行于斜面的绳将小球固定在图示位置。如斜面以置。如斜面以 的加速度向左运的加速度向左运动，求绳的拉力动，求绳的拉力 及小球对斜面的压力；及小球对斜面的压力；欲使绳的张力为零，加速度欲使绳的张力为零，加速度a应为多大应为
23、多大？5-7 如图如图5.12所示，质量为所示，质量为m的球的球A，用两，用两根长为根长为l的杆支撑。支撑架以匀角速度的杆支撑。支撑架以匀角速度 绕铅绕铅直轴直轴BC转动。已知转动。已知BC=2a；杆；杆AB及及AC的两端的两端均为铰接，杆重忽略不计。求杆均为铰接，杆重忽略不计。求杆AB、AC所受所受的力。的力。5-8 如图如图5.13所示，半径为所示，半径为R，内壁光滑，内壁光滑的环形管，在水平面内以匀角速度的环形管，在水平面内以匀角速度 绕铅垂绕铅垂轴轴A转动。质量为转动。质量为m的小球的小球M在管内运动。在管内运动。初始时，小球在环形管初始时，小球在环形管C点处点处()，相对，相对速度为零。试建立小球的运动微分方程，求速度为零。试建立小球的运动微分方程，求管壁侧面作用在小球上的力，并证明小球的管壁侧面作用在小球上的力，并证明小球的运动范围为运动范围为 。5-9 如图如图5.14所示，质点所示，质点M的质量为的质量为m，放在内壁光滑的容器放在内壁光滑的容器ABO里，开始时系统处里，开始时系统处于静止状态，若容器以等角速度于静止状态，若容器以等角速度 绕对称轴绕对称轴Oz转动，由于外界的干扰。求质点转动，由于外界的干扰。求质点M相对容相对容器静止时的位置器静止时的位置(用用 和和r表示表示)。