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1、Linear Algebra Exordium线性代数线性代数 绪论绪论上页上页下页下页这节课我们主要解决以下三个问题：这节课我们主要解决以下三个问题：1 1、什么是线性代数？、什么是线性代数？2 2、为什么要学线性代数？、为什么要学线性代数？3 3、怎么做才能学好线性代数？、怎么做才能学好线性代数？上页上页下页下页 一、什么是线性代数一、什么是线性代数？（一）线性（一）线性线性线性linear，指量与量之间按比例、成直线的关系，指量与量之间按比例、成直线的关系线性就是一次，只有线性就是一次，只有数乘和加减数乘和加减线性就是变量都是一次的，没有变量之间的乘法线性就是变量都是一次的，没有变量之间
2、的乘法一元线性函数在平面直角坐标系中的关系描述为一元线性函数在平面直角坐标系中的关系描述为一条直线，所以把这种函数形象地称为一条直线，所以把这种函数形象地称为“线性线性”函数，显然，过原点的直线是最简单的线性函数。函数，显然，过原点的直线是最简单的线性函数。上页上页下页下页 对于线性问题，将含变量的项放在等式的一端，对于线性问题，将含变量的项放在等式的一端，不含变量的项放在另一端；若不含变量的项为零，则不含变量的项放在另一端；若不含变量的项为零，则称为齐次线性问题，否则，称为非齐次线性问题。称为齐次线性问题，否则，称为非齐次线性问题。非齐次线性非齐次线性非线性非线性非齐次线性非齐次线性齐次线性
3、齐次线性非线性非线性上页上页下页下页 代数学的代数学的英英文名称是文名称是algebra，是，是9 9世纪阿拉伯世纪阿拉伯数学家花拉子米的一部著作的名称。原意是数学家花拉子米的一部著作的名称。原意是“还原还原与对消的科学与对消的科学”。什么叫做对消，大家知道的有正。什么叫做对消，大家知道的有正负对消，就是解方程时所谓的移项，所谓还原，就负对消，就是解方程时所谓的移项，所谓还原，就是把本来淹没在方程中的是把本来淹没在方程中的x把它暴露出来，还原了把它暴露出来，还原了x的本来面目，所以的本来面目，所以方程是和代数紧密联系的方程是和代数紧密联系的，所，所以我们一说到代数，就会联系到解方程以我们一说到
4、代数，就会联系到解方程。“代数代数”这一词在我国出现较晚，在清代时才这一词在我国出现较晚，在清代时才传传入中国，当时被人们译成入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉阿尔热巴拉”，直到，直到18591859年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为成为“代数学代数学”，一直沿用至今。，一直沿用至今。（二）代数（二）代数上页上页下页下页3 3、已知一个变化着的圆的直径，试写出它的、已知一个变化着的圆的直径，试写出它的 面积面积。请大家尝试做如下三件事：1、试用等式一般地表示加法交换律、试用等式一般地表示加法交换律2 2、试用算式直接表示：、试用算式直接
5、表示：5 5 加上什么数等于加上什么数等于3 3；实际问题向实际问题向“表示数的数字表示数的数字”提出了挑战。提出了挑战。要表示任意的数、未知（待求）的数、变化要表示任意的数、未知（待求）的数、变化的数，数字就无能为力了。因为它们只能表示单的数，数字就无能为力了。因为它们只能表示单个的数、已知的数、固定的数。个的数、已知的数、固定的数。上页上页下页下页于是人们被迫用文字词汇、用问号于是人们被迫用文字词汇、用问号“？”表示数。表示数。但这样既零乱又难写，于是人们希望用统一但这样既零乱又难写，于是人们希望用统一的、简单好写的符号表示这些数。的、简单好写的符号表示这些数。于是想到字母于是想到字母 没
6、想到这个小小的无奈之举，竟然是种瓜得豆没想到这个小小的无奈之举，竟然是种瓜得豆:先是须研究代数式（从而导致代数学）先是须研究代数式（从而导致代数学）进而有代换、迭代（字母代式），有变化、进而有代换、迭代（字母代式），有变化、联系（函数的研究），联系（函数的研究），进一步是整个数学的符号化、抽象化、形式化进一步是整个数学的符号化、抽象化、形式化 最后，再拓展字母所代表的事物：最后，再拓展字母所代表的事物：图形、集合、法则图形、集合、法则 直到抽象的元素，使数学高速发展。直到抽象的元素，使数学高速发展。上页上页下页下页 可见，由小小的可见，由小小的“字母代数字母代数”这个举措，及由这个举措，及由它
7、的发展形成的它的发展形成的“代数思想代数思想”，实在是太重要了。，实在是太重要了。所以说所以说人类记数的高级阶段是用字母表示数。人类记数的高级阶段是用字母表示数。用文字代表数，即设某量为用文字代表数，即设某量为x这样的做法这样的做法,只只是运用代数方法的第一步。它后面进一步的是是运用代数方法的第一步。它后面进一步的是“式式”的运算，有的运算，有“式式”参与运算就是参与运算就是代数代数。代数是用抽象的字母代替具体的数字进行运算代数是用抽象的字母代替具体的数字进行运算分析，因此，分析，因此，抽象是代数的特点抽象是代数的特点，学好代数可以发，学好代数可以发展抽象化形式化的思想和运用数学符号运算推理的
8、展抽象化形式化的思想和运用数学符号运算推理的能力。能力。上页上页下页下页 历史上历史上线性代数线性代数的第一个问题是关于解线的第一个问题是关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促成性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。最这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。最初的线性方程组问题大都是来源于生活实践，正是初的线性方程组问题大都是来源于生活实践，正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。另外，近现代数
9、学分析与几何学等数学分支的另外，近现代数学分析与几何学等数学分支的要求也促使了要求也促使了线性代数线性代数的进一步发展。的进一步发展。线性代数研究的都是线性问题（线性代数研究的都是线性问题（加法和数乘加法和数乘）上页上页下页下页（一）线性方程组：（一）线性方程组：求解线性方程组是数学问题中最重要的问题，求解线性方程组是数学问题中最重要的问题，超过超过75%75%的科学研究和工程应用中的数学问题，在的科学研究和工程应用中的数学问题，在某个阶段都涉及线性方程组的求解。某个阶段都涉及线性方程组的求解。早在公元早在公元2 2世纪之前，我国的世纪之前，我国的九章算术九章算术一一书中就有介绍线性方程组的章
10、节书中就有介绍线性方程组的章节“方程章方程章”。书中的。书中的方程组是用算筹布列的，可以看作最古老的方程组是用算筹布列的，可以看作最古老的矩阵矩阵。书中的解法与现在的加减消元法相仿。这是人类历书中的解法与现在的加减消元法相仿。这是人类历史上最早出现的线性方程组。史上最早出现的线性方程组。二、为什么要学线性代数：二、为什么要学线性代数：上页上页下页下页例例1 1：求解线性方程组：求解线性方程组（1）利用消去法来求解：利用消去法来求解：第二个方程减去第一个方程乘以第二个方程减去第一个方程乘以2 2后，后，原方程组变为：原方程组变为：线性方程组的求解我们在中学甚至小学就已线性方程组的求解我们在中学甚
11、至小学就已经开始学习，可能大家觉得是一件非常简单的事经开始学习，可能大家觉得是一件非常简单的事情。没什么值得再研究学习的，是这样的吗？情。没什么值得再研究学习的，是这样的吗？上页上页下页下页由第二个方程可直接得到：由第二个方程可直接得到：将其代入第一个方程可得：将其代入第一个方程可得：将方程组将方程组(1)中第二个方程中的第二个未知量中第二个方程中的第二个未知量的系数改为的系数改为4，可得到下述方程组：，可得到下述方程组：（2）用相同的处理方法可得到：用相同的处理方法可得到：上页上页下页下页则该方程组的解可取作：则该方程组的解可取作：该方程组有无穷多的解；该方程组有无穷多的解；再将方程组再将方
12、程组（2）的第二个方程右端项的的第二个方程右端项的6改为改为4，即：即：（3）还用相同的处理方法可得：还用相同的处理方法可得：无解无解上页上页下页下页将方程组将方程组（3）的第二个方程右端项的的第二个方程右端项的4改为改为不等于不等于6的任意常数的任意常数a （代数化）（代数化）,即：即：（4）还用相同的处理方法可得：还用相同的处理方法可得：两个未知量不论怎么取值，方程组都不可能成立，两个未知量不论怎么取值，方程组都不可能成立，即该方程组也无解。即该方程组也无解。上页上页下页下页 这就迫使我们研究方程组在什么情况下有解，这就迫使我们研究方程组在什么情况下有解，什么情况下无解，有解的话在什么情况
13、下有唯一什么情况下无解，有解的话在什么情况下有唯一解什么情况下有无穷多解？解什么情况下有无穷多解？要进行一般的讨论，就需要将方程组进一步要进行一般的讨论，就需要将方程组进一步“代数化代数化”即系数和等式右端项用一般的字母代替后，即系数和等式右端项用一般的字母代替后，即为求解下面的问题：即为求解下面的问题：例例2：求解线性方程组：求解线性方程组上页上页下页下页还用消元法来求解：还用消元法来求解：首先首先,假设假设,将第二个方程里将第二个方程里的系数的系数化为零，化为零，即，即，此时原方程组变为：，此时原方程组变为：假设假设第二个方程里未知量的系数不为零，第二个方程里未知量的系数不为零，则从第二个
14、方程可得：则从第二个方程可得：上页上页下页下页利用相同的原理，可将第一个方程中利用相同的原理，可将第一个方程中的的系数化为零，从而可得：系数化为零，从而可得：我们把上述两个解称作我们把上述两个解称作代数解代数解。在这个问题的求解过程中，我们做了两个假在这个问题的求解过程中，我们做了两个假设，得到了方程组的解。那么如果假设不成立呢设，得到了方程组的解。那么如果假设不成立呢？是不是有解？有的话是唯一解还是无穷多解？是不是有解？有的话是唯一解还是无穷多解？（回过头来分析一下刚才的四个方程组）（回过头来分析一下刚才的四个方程组）上页上页下页下页 对于线性方程组我们主要研究三个问题对于线性方程组我们主要
15、研究三个问题:例子中方程组有两个未知量，那如果有五个，例子中方程组有两个未知量，那如果有五个，十个，一百个十个，一百个把未知量的个数再把未知量的个数再代数代数一下，一下，n个个未知量呢？未知量呢？1 1、是否有解、是否有解?2 2、有唯一解还是有无穷多解、有唯一解还是有无穷多解?3 3、有无穷多解的话通解怎么表示、有无穷多解的话通解怎么表示?(通解是指线性方程组所有解的通解是指线性方程组所有解的代数表示代数表示)上页上页下页下页 看图看图61632135101189712415141每一行之和为每一行之和为34，每一列之和为每一列之和为34，对角线之和为对角线之和为34，小方格里数字之和为小方
16、格里数字之和为34，四个角上的数字之和为四个角上的数字之和为34.该魔方出现在德国著名艺术家杜勒该魔方出现在德国著名艺术家杜勒1514年创造年创造的版画上的版画上.上页上页下页下页v一般一般4阶杜勒魔方：阶杜勒魔方：行和行和=列和列和=对角线之和对角线之和=四个小方格数字之和四个小方格数字之和=四个角上的数字之和四个角上的数字之和问你会写出一个问你会写出一个4阶杜勒魔方吗？阶杜勒魔方吗？4阶杜勒魔方有多少个？如何构造出所有杜勒魔方？阶杜勒魔方有多少个？如何构造出所有杜勒魔方？上页上页下页下页 中学代数中学代数和和线性代数线性代数 多项式代数多项式代数 上页上页下页下页行列式理论行列式理论克莱姆
17、法则克莱姆法则上页上页下页下页矩阵理论矩阵理论n维向量、维向量、n维向量空间维向量空间上页上页下页下页（二）行列式：（二）行列式：近代线性方程组的研究是在近代线性方程组的研究是在16781678年由莱布尼兹年由莱布尼兹开创的；开创的；行列式的概念最早则是由日本数学家关孝和在行列式的概念最早则是由日本数学家关孝和在 16831683年提出来的年提出来的 ；16931693年，莱布尼兹使用指标数的系统集合来表年，莱布尼兹使用指标数的系统集合来表示方程组的系数，并得到现在称为结式的一个行列示方程组的系数，并得到现在称为结式的一个行列式。式。1750 1750 年，瑞士数学家克莱姆年，瑞士数学家克莱姆
18、 在其著作在其著作线性线性代数分析导引代数分析导引中，对行列式的定义和展开法则给中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了由系数行列出了比较完整、明确的阐述，并给出了由系数行列式来确定线性方程组解的式来确定线性方程组解的克莱姆法则克莱姆法则。上页上页下页下页 1815 1815 年，法国数学家柯西首先提出年，法国数学家柯西首先提出行列式行列式这这个名称，第一个把行列式的元素排成方阵，采用双个名称，第一个把行列式的元素排成方阵，采用双重足标标记法；重足标标记法；1841 1841 年，英国数学家凯莱首先创年，英国数学家凯莱首先创用了行列式记号用了行列式记号 。上页上页下页下
19、页 在行列式的发展史上，第一个对行列式理论在行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人，是法国数学家范德蒙方程组求解相分离的人，是法国数学家范德蒙 ，17721772年，他给出了用二阶子式和它们的余子式来年，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则。就对行列式本身进行研究这展开行列式的法则。就对行列式本身进行研究这一点而言，他是行列式理论的奠基人。一点而言，他是行列式理论的奠基人。同年，法国数学家拉普拉斯在同年，法国数学家拉普拉斯在对积分和世对积分和世界体系的探讨界体系的探讨中，证明了范
20、德蒙的一些规则，中，证明了范德蒙的一些规则，并推广了他的展开行列式的方法，用并推广了他的展开行列式的方法，用r阶子式及阶子式及其余子式来展开行列式，这个方法现在仍然以他其余子式来展开行列式，这个方法现在仍然以他的名字命名。的名字命名。18411841年，雅可比给出了当行列式的元素是年，雅可比给出了当行列式的元素是t t的的函数时，它的导数公式，引出了函数行列式，即函数时，它的导数公式，引出了函数行列式，即“雅可比行列式。雅可比行列式。上页上页下页下页（三）矩阵：（三）矩阵：用行列式只能讨论线性方程组中方程个数和未用行列式只能讨论线性方程组中方程个数和未知量个数相等的情况，这对线性方程组的解的研
21、究知量个数相等的情况，这对线性方程组的解的研究来说有很大的局限性。来说有很大的局限性。18501850年西尔威斯特首先提出矩阵的概念，年西尔威斯特首先提出矩阵的概念，18581858年卡莱建立了矩阵的运算法则。利用矩阵来研究线年卡莱建立了矩阵的运算法则。利用矩阵来研究线性方程组的解得到了很大的发展。性方程组的解得到了很大的发展。在此基础上，矩阵的相关理论也得到了长足的在此基础上，矩阵的相关理论也得到了长足的发展。矩阵论也逐渐成为数学的一个重要分支。哈发展。矩阵论也逐渐成为数学的一个重要分支。哈密尔顿、夫罗贝纽斯、约当、梅茨勒等人对矩阵论密尔顿、夫罗贝纽斯、约当、梅茨勒等人对矩阵论都作出了出色的
22、工作。都作出了出色的工作。上页上页下页下页 矩阵相关理论知识在解决实际问题中也发挥着矩阵相关理论知识在解决实际问题中也发挥着越来越重要的作用：越来越重要的作用：用矩阵知识可以做投入产出分析、价格矩阵、产销用矩阵知识可以做投入产出分析、价格矩阵、产销矩阵及破译密码、编写复杂的密码等方面应用；矩阵及破译密码、编写复杂的密码等方面应用；数字图像处理的实质就是矩阵的运算，每一幅灰度数字图像处理的实质就是矩阵的运算，每一幅灰度图像就对应着一个矩阵；图像就对应着一个矩阵；著名的搜索引擎著名的搜索引擎GoogleGoogle则应用了矩阵的特征值和特则应用了矩阵的特征值和特征向量理论；征向量理论；矩阵相似于对
23、角阵的理论是机械振动、线性电路分矩阵相似于对角阵的理论是机械振动、线性电路分析及自动控制理论中不可缺少的工具。析及自动控制理论中不可缺少的工具。上页上页下页下页 1990 1990 年美国在合理利用与滥用太平洋的西北部年美国在合理利用与滥用太平洋的西北部大面积森林问题上，北方的斑点猫头鹰成为一个争大面积森林问题上，北方的斑点猫头鹰成为一个争论的焦点。论的焦点。环境保护学家试图说服联邦政府如果采伐原始环境保护学家试图说服联邦政府如果采伐原始森林的行为得不到制止的话，猫头鹰将濒临灭绝的森林的行为得不到制止的话，猫头鹰将濒临灭绝的危险，因为猫头鹰喜好在那里居住；危险，因为猫头鹰喜好在那里居住；而木材
24、行业却说，如果政府出台制止伐木政策而木材行业却说，如果政府出台制止伐木政策的话，的话，预计将失去预计将失去3 3 万到万到10 10 万个工作岗位。万个工作岗位。最终由数学家进行调研，采用了矩阵的特征值最终由数学家进行调研，采用了矩阵的特征值特征向量的方法给予解决。特征向量的方法给予解决。上页上页下页下页（四）向量、向量组、向量空间：（四）向量、向量组、向量空间：对矩阵的进一步分析研究产生了向量的相关对矩阵的进一步分析研究产生了向量的相关理论，有了向量，向量组，向量空间的相关概念理论，有了向量，向量组，向量空间的相关概念知识后，得以使我们将代数与几何联系起来。知识后，得以使我们将代数与几何联系
25、起来。进一步的，我们可以对代数有了直观的理解。进一步的，我们可以对代数有了直观的理解。这种关系在我们学过相关知识后会有一个更清晰这种关系在我们学过相关知识后会有一个更清晰的认识。的认识。综上所述，我们可以得到这样的结论：综上所述，我们可以得到这样的结论：线性代数线性代数，不仅仅是用来研究线性方程组，不仅仅是用来研究线性方程组的求解的，而且还是其他很多研究工作的研究工具。的求解的，而且还是其他很多研究工作的研究工具。上页上页下页下页三、怎么做才能学好线性代数：三、怎么做才能学好线性代数：（一）学好（一）学好线性代数线性代数要注意的几点问题：要注意的几点问题：1 1、线性代数是大学几门数学里相对来
26、说最容易的线性代数是大学几门数学里相对来说最容易的，这门课对数学的基础要求很低，只要认真学，每，这门课对数学的基础要求很低，只要认真学，每个人都可以学好，它与中学里的数学基础并无多大个人都可以学好，它与中学里的数学基础并无多大关系。因此，现在每个同学是在相同的起跑线上的关系。因此，现在每个同学是在相同的起跑线上的，要对自己有信心。，要对自己有信心。2 2、抽象性抽象性是线性代数的最大特点。面对抽象性，是线性代数的最大特点。面对抽象性，我们要能做到使抽象具体化。所谓的抽象，主要我们要能做到使抽象具体化。所谓的抽象，主要指的是我们研究的全是指的是我们研究的全是代数代数，不是具体的数。因，不是具体的
27、数。因此，当我们把代数用具体的数来代替时，自然就此，当我们把代数用具体的数来代替时，自然就不抽象了。不抽象了。上页上页下页下页3 3、概念多、定理多、符号多、运算规律多、内容概念多、定理多、符号多、运算规律多、内容相互纵横交错，知识前后紧密联系是线性代数课程相互纵横交错，知识前后紧密联系是线性代数课程的主要特点，故应充分理解概念，掌握定理的条件的主要特点，故应充分理解概念，掌握定理的条件、结论、应用，熟悉符号意义，掌握各种运算规律、结论、应用，熟悉符号意义，掌握各种运算规律、计算方法，并及时进行总结，抓联系，使所学知、计算方法，并及时进行总结，抓联系，使所学知识能融会贯通，举一反三。识能融会贯
28、通，举一反三。具体在学习过程中，希望大家做到以下几点：具体在学习过程中，希望大家做到以下几点：1 1、课前预习，认真听讲，课后复习：、课前预习，认真听讲，课后复习：2 2、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算：运用基本方法及基本运算：上页上页下页下页3、知识要成网线性代数主要研究了三种对象：矩阵、方程组和线性代数主要研究了三种对象：矩阵、方程组和向量组。向量组。这三种对象的理论是密切相关的，大部分问题在这三种对象的理论是密切相关的，大部分问题在这三种理论中都有等价说法。因此，熟练地从一这三种理论中都有等价说法。因此，熟练地从一种理论的叙述转移到另一种去，是学习线性代数种理论的叙述转移到另一种去，是学习线性代数时应养成的一种重要习惯和素质。时应养成的一种重要习惯和素质。谢谢大家!