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1、用解排列技巧第1页，本讲稿共26页解排列问题的常用技巧解排列问题的常用技巧 解排列问题解排列问题:首先必须认真审题首先必须认真审题,明确问题是否是排明确问题是否是排列问题列问题;其次是抓住问题的本质特征其次是抓住问题的本质特征,灵活运用基本原理灵活运用基本原理和公式进行分析解答和公式进行分析解答;同时同时,还要注意讲究一些基本策略还要注意讲究一些基本策略和方法技巧和方法技巧,使一些看似复杂的问题迎刃而解。使一些看似复杂的问题迎刃而解。下面就不同的题型介绍几种常用的解题技巧。下面就不同的题型介绍几种常用的解题技巧。第2页，本讲稿共26页总的原则总的原则合理分类和准确分步合理分类和准确分步 解排列
2、问题，应按元素的性质进行分类，事情发生的解排列问题，应按元素的性质进行分类，事情发生的连续过程应分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不连续过程应分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。重不漏。分析：先安排甲，按照要求对其进行分类，分两类：分析：先安排甲，按照要求对其进行分类，分两类：根据分步及分类计数原理，不同的站法共有根据分步及分类计数原理，不同的站法共有示例示例1.1.今有今有6 6个同学和个同学和2 2个老师排成一排照相个老师排成一排照相,2,2个老师站中间个老师站中间,学生甲不站排头学生甲不站排头,学生乙不站排尾学生乙不站排尾,共有多少种不同的排法？共有多少种不同的排法？1
3、1）若甲在排尾上，则剩下的）若甲在排尾上，则剩下的5 5人可自由安排，有人可自由安排，有 种方法种方法.2)若甲在第若甲在第2、3、6、7位，位，则则排法有排法有 种种,第第1位的排法有位的排法有 种种,第第2、3、6、7位的排法有位的排法有 种种，根据分步计数原理，根据分步计数原理，不同的站法有不同的站法有 种。种。再安排老师，有再安排老师，有2 2种方法种方法。第3页，本讲稿共26页（1）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字的可组成多少个无重复数字的五位偶数？五位偶数？个位数为零：个位数为零：个位数为个位数为2或或4：所以所以练练 习习 一下一下（2 2）0 0，1 1，2 2，3
4、 3，4 4，5 5可组成多少个无重复数字且能可组成多少个无重复数字且能被五整除的五位数？被五整除的五位数？分类：后两位数字为分类：后两位数字为5或或0：个位数为个位数为0：个位数为个位数为5：第4页，本讲稿共26页（3 3）0 0，1 1，2 2，3 3，4 4，5 5可组成多少个无重复数字且大可组成多少个无重复数字且大于于3125031250的五位数？的五位数？分类：分类：（4 4）3125031250是由是由0 0，1 1，2 2，3 3，4 4，5 5组成的无重复组成的无重复数字的五位数中从小到大第几个数？数字的五位数中从小到大第几个数？方法一：（排除法）方法一：（排除法）方法二：（直
5、接法）方法二：（直接法）第5页，本讲稿共26页（一）特殊元素的（一）特殊元素的“优先安排法优先安排法”对于特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑对于特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其它元素。其它元素。例例2 2 用用0 0，1 1，2 2，3 3，4 4这五个数，组成没有重复数字这五个数，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（的三位数，其中偶数共有（）A.24 B.30 C.40 D.60 A.24 B.30 C.40 D.60 分析：由于该三位数是偶数，所以末尾数字必须是偶数，分析：由于该三位数是偶数，所以末尾数字必须是偶数，又因为又因为0 0不能排首位，
6、故不能排首位，故0 0就是其中的就是其中的“特殊特殊”元素，应优先安排。按元素，应优先安排。按0 0排在末排在末尾和不排在末尾分为两类；尾和不排在末尾分为两类；1)1)0 0排在末尾时，有排在末尾时，有 个；个；2)2)0 0不排在末尾时，先用偶数排个位，再排百位，最后排不排在末尾时，先用偶数排个位，再排百位，最后排十位有十位有 个；个；由分类计数原理，共有偶数由分类计数原理，共有偶数 30 30 个个.B B解题技巧解题技巧第6页，本讲稿共26页 例例3 3 用用0 0，1 1，2 2，3 3，4 4这五个数，组成没有重复这五个数，组成没有重复数字的三位数，其中数字的三位数，其中1 1不在个
7、位的数共有不在个位的数共有_种。种。（二）总体淘汰法（二）总体淘汰法(间接法）间接法）对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的减对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的减去，此时应注意既去，此时应注意既不能多减又不能少减不能多减又不能少减。分析分析：五个数组成三位数的全排列有五个数组成三位数的全排列有 个，个，0 0排在首位的排在首位的有有 个个 ，1 1排在末尾的有排在末尾的有 ，减掉这两种不合条件的排，减掉这两种不合条件的排法数，再加回百位为法数，再加回百位为0 0同时个位为同时个位为1 1的排列数的排列数 （为什么？）（为什么？）故共有故共有 种。种。第7页，本讲
8、稿共26页(1)(1)五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，乙不站第五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，乙不站第2 2个个位置，那么不同的站法有（位置，那么不同的站法有（）A.120 B.96 C.78 D.72 A.120 B.96 C.78 D.72直接直接练练 习一下习一下第8页，本讲稿共26页 （2 2）0,1,2,3,4,50,1,2,3,4,5这六个数字可组成多少个无重复数字这六个数字可组成多少个无重复数字且个位数字不是且个位数字不是4 4的五位数？的五位数？（3 3）用）用间接法解例间接法解例1 1“6“6个同学和个同学和2 2个老师排成一排照相，个老师排成一排照相，2 2个老
9、师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有个老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？多少种不同的排法？”第9页，本讲稿共26页1)1)特殊元素、特殊位置问题特殊元素、特殊位置问题例例3 3：用：用0,1,2,3,4,50,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数字的可组成多少个无重复数字的1)1)五位数五位数;2);2)六位偶数六位偶数;3);3)大于大于213045213045的自然数的自然数1 1)解法解法(1)(1)位置分析法位置分析法：首位是特殊位置，：首位是特殊位置，0 0不能排，有不能排，有5 5种排法，其余种排法，其余4 4个位置有个位置有A A4 4
10、5 5种排法，由乘法原理知共有种排法，由乘法原理知共有:5A5A4 45 5=55432=600=55432=600种种.解法解法(2)(2)元素分析法元素分析法：0 0是特殊元素，可先考虑，第一类是是特殊元素，可先考虑，第一类是五位数中不含五位数中不含0 0有有A A5 55 5个个，第二类五位数中含第二类五位数中含0,0,则第一步则第一步先排先排0 0有有4 4种排法种排法,第二步有第二步有A A4 45 5种排法种排法,由加法原理和乘法原由加法原理和乘法原理知共有理知共有 A A5 55 5+4A+4A4 45 5=600=600种种.第10页，本讲稿共26页前两种解法都是直接法前两种解
11、法都是直接法解法解法3(3(间接法间接法)6)6个数中取个数中取5 5个数的排列中有不满足要求的个数的排列中有不满足要求的数如数如0213402134等等,0,0这样的数这样的数 共有共有A A5 56 6-A-A4 45 5=600=600种种2)2)可分为两类：第一类是个位为可分为两类：第一类是个位为0 0的有的有A A5 55 5个，个，第二类个位不是第二类个位不是0,0,个位有两种排法，首位有个位有两种排法，首位有4 4种排法，中种排法，中间四位有间四位有A A4 44 4种排法种排法.第二类共有第二类共有24A24A4 44 4=192,=192,由加法原理共有由加法原理共有A A5
12、 55 5+192=312+192=312第11页，本讲稿共26页形如形如21342134,2135,2135的数有的数有A A1 12 2AA2 22 2形如形如2105421054有一个有一个故满足要求的数共有故满足要求的数共有449449个个3)3)形如形如3 3,4,4,5,5,这样的数都是满足这样的数都是满足条件的数共有条件的数共有A A1 13 3AA5 55 5种；种；形如形如 23 23，2424，2525这样的数都是满足这样的数都是满足条件的数共有条件的数共有A A1 13 3AA4 44 4种；种；形如形如214214,215,215这样的数都是满足条件的数共这样的数都是满
13、足条件的数共有有A A1 12 2AA4 44 4种；种；第12页，本讲稿共26页解法二；六节课全排列共有解法二；六节课全排列共有A A6 66 6种排法，最后一节排数种排法，最后一节排数学有学有A A5 55 5种排法，第一节排体育有种排法，第一节排体育有A A5 55 5种排法，第一节排体育种排法，第一节排体育且最后一节排数学有且最后一节排数学有A A4 44 4种排法，种排法，共有共有A A6 66 6-2A-2A5 55 5+A+A4 44 4=504=504种种EX3EX3某班一天由语文、数学、外语、物理政治、体育六节课，要某班一天由语文、数学、外语、物理政治、体育六节课，要求数学不
14、排在最后一节，体育不排在最后一节，共有多少种不同求数学不排在最后一节，体育不排在最后一节，共有多少种不同的排法。的排法。解法一：解法一：若第一节排数学共有若第一节排数学共有A A5 55 5种排法，种排法，若数学不若数学不排在第一节，则数学有四种排法，体育有四种排法，其排在第一节，则数学有四种排法，体育有四种排法，其余有余有A A4 44 4种排法，因此共有种排法，因此共有44A44A4 44 4因此共有因此共有A A5 55 5+44A+44A4 44 4=504=504种种第13页，本讲稿共26页（三）相邻问题（三）相邻问题捆绑法捆绑法对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素对于
15、某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑捆绑”在一起，看作一个在一起，看作一个“大大”的元素（组），与其它元的元素（组），与其它元素排列，然后再对相邻的元素（组）内部进行排列。素排列，然后再对相邻的元素（组）内部进行排列。例例4 4 现有现有7 7人站成一排照相人站成一排照相,要求甲、乙、丙三人相邻，分别有多要求甲、乙、丙三人相邻，分别有多少种站法？少种站法？分析：先将甲，乙，丙三人捆绑在一起看作一个元素，分析：先将甲，乙，丙三人捆绑在一起看作一个元素，与其余与其余4 4人共有人共有5 5个元素做全排列个元素做全排列,有有 种排法，然后种排法，然后对甲，乙，丙三人进行全排列。对甲，
16、乙，丙三人进行全排列。由分步计数原理可得由分步计数原理可得 种不同排法。种不同排法。第14页，本讲稿共26页（四）不相邻问题（四）不相邻问题插空法插空法 对于某几个元素不相邻得排列问题，可先将其它对于某几个元素不相邻得排列问题，可先将其它元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可。之间及两端的空隙之间插入即可。例例5 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻，分人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻，分别有多少种站法？别有多少种站法？分析：可先让其余分析：可先让其余4人站好，共有人站好，共有 种排法，再在种排法，再在
17、这这4人之间及两端的人之间及两端的5个个“空隙空隙”中选三个位置让甲、中选三个位置让甲、乙、丙插入，则有乙、丙插入，则有 种方法，这样共有种方法，这样共有 种不种不同的排法。同的排法。第15页，本讲稿共26页(1)(1)三个男生，四个女生排成一排，男生、女生各站一三个男生，四个女生排成一排，男生、女生各站一起，有几种不同方法？起，有几种不同方法？(2)(2)三个男生，四个女生排成一排，男生之间、女生之三个男生，四个女生排成一排，男生之间、女生之间不相邻，有几种不同排法？间不相邻，有几种不同排法？捆绑法：捆绑法：插空法：插空法：(3)(3)如果有两个男生、四个女生排成一排，要如果有两个男生、四个
18、女生排成一排，要 求男生之求男生之间不相邻，有几种不同排法？间不相邻，有几种不同排法？插空法：插空法：练练 习习 一下一下第16页，本讲稿共26页例例6 有有4名男生，名男生，3名女生。名女生。3名女生名女生高矮互不等，高矮互不等，将将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？排列，有多少种排法？（五）顺序固定问题用（五）顺序固定问题用“除法除法”对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的排列数除个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的排列数除以
19、这几个元素的全排列数以这几个元素的全排列数.所以共有所以共有 种。种。分析：先在分析：先在7个位置上作全排列，有个位置上作全排列，有 种排法。其中种排法。其中3个女生因要求个女生因要求“从矮到高从矮到高”排，只有一种顺序故排，只有一种顺序故 只只对应一种排法，对应一种排法，第17页，本讲稿共26页（1 1）五人排队，甲在乙前面的排法有几种？）五人排队，甲在乙前面的排法有几种？练练 习习 一下一下（2 2）三个男生，四个女生排成一排，其中甲、乙、丙三人的顺）三个男生，四个女生排成一排，其中甲、乙、丙三人的顺序不变，有几种不同排法？序不变，有几种不同排法？分析：若不考虑限制条件，则有分析：若不考虑
20、限制条件，则有 种排法，而甲，种排法，而甲，乙之间排法有乙之间排法有 种，故甲在乙前面的排法只有一种种，故甲在乙前面的排法只有一种符合条件，故符合条件，故符合条件的排法有符合条件的排法有 种种.第18页，本讲稿共26页（六）实验法（六）实验法 题中附加条件增多，直接解决困难时，用实验逐步寻求规题中附加条件增多，直接解决困难时，用实验逐步寻求规律有时也是行之有效的方法。律有时也是行之有效的方法。例例8 将数字将数字1，2，3，4填入标号为填入标号为1，2，3，4的四的四个方格内，每个方格填个方格内，每个方格填1个，则每个方格的标号与所个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有（填的数字
21、均不相同的填法种数有（）A.6 B.9 C.11 D.23分析：此题考查排列的定义，由于附加条件较多，解法较为困难，可用实分析：此题考查排列的定义，由于附加条件较多，解法较为困难，可用实验法逐步解决。验法逐步解决。第一方格内可填第一方格内可填2或或3或或4。如填。如填2，则第二方格中内可填，则第二方格中内可填1或或3或或4。若第二方格内填若第二方格内填1，则第三方格只能填，则第三方格只能填4，第四方格应填，第四方格应填3。若第二方格内填若第二方格内填3，则第三方格只能填，则第三方格只能填4，第四方格应填，第四方格应填1。同理，若第二方格内填同理，若第二方格内填4，则第三方格只能填，则第三方格只
22、能填1，第四方格应填，第四方格应填3。因而，第一格填因而，第一格填2有有3种方法。种方法。不难得到，当第一格填不难得到，当第一格填3或或4时也各有时也各有3种，所以共有种，所以共有9种。种。第21页，本讲稿共26页（七）住店法（七）住店法解决解决“允许重复排列问题允许重复排列问题”要注意区分两类元素：要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作作“客客”，能重复的元素看作，能重复的元素看作“店店”，再利用乘法原理直，再利用乘法原理直接求解。接求解。例例9 9 七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获七名学
23、生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有（得冠军的可能的种数有（）A.B.C D.分析：因同一学生可以同时夺得分析：因同一学生可以同时夺得n n项冠军，故学生可重复排列，将项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作七名学生看作7 7家家“店店”，五项冠军看作，五项冠军看作5 5名名“客客”，每个，每个“客客”有有7 7种住宿法，由乘法原理得种住宿法，由乘法原理得 种。种。注：对此类问题，常有疑惑，为什么不是注：对此类问题，常有疑惑，为什么不是 呢？呢？用分步计数原理看，用分步计数原理看，5 5是步骤数，自然是指数。是步骤数，自然是指数。第22页，本讲稿共26页解法解法2 2
24、：可以画一个树状图，知满足要求的拿法有：可以画一个树状图，知满足要求的拿法有9 9种种3)3)其他问题其他问题同室同室4 4名学生各写一张贺卡，放在一起，然后各人从中各名学生各写一张贺卡，放在一起，然后各人从中各拿一张，但均不能拿自己写的那张，共有多少种拿法？拿一张，但均不能拿自己写的那张，共有多少种拿法？解法解法1 1：第一步第一个同学从中拿一张贺卡：第一步第一个同学从中拿一张贺卡,满足要求的拿法满足要求的拿法有有3 3种种,第二步考虑被第一个同学拿走贺卡的那个同学也有第二步考虑被第一个同学拿走贺卡的那个同学也有3 3种拿法，第三步、第四步各有一种拿法，由乘法原理共有种拿法，第三步、第四步各
25、有一种拿法，由乘法原理共有3311=93311=9第24页，本讲稿共26页例例1 1：某小组某小组7 7人排队照相，以下各有几种不同的排法？人排队照相，以下各有几种不同的排法？1 1）若排成两排，前排）若排成两排，前排3 3人，后排人，后排4 4人；人；2 2）若排成两排，前排）若排成两排，前排3 3人，后排人，后排4 4人，甲必排在前排，人，甲必排在前排，乙必排在后排；乙必排在后排；3 3）甲不在左端，乙不在右端；）甲不在左端，乙不在右端；4 4）甲乙不相邻；）甲乙不相邻；5 5）甲、乙、丙均不相邻；）甲、乙、丙均不相邻；6 6）甲乙必须间隔）甲乙必须间隔2 2人；人；7 7）甲、乙、丙不能都站一起；甲、乙、丙不能都站一起；第25页，本讲稿共26页例例1 1：某小组某小组7 7人排队照相，以下各有几种不同的排法？人排队照相，以下各有几种不同的排法？8 8）若甲乙相邻，但与丙不相邻；）若甲乙相邻，但与丙不相邻；9）甲、乙、丙三人中，有两人相邻但这三人不同时相邻）甲、乙、丙三人中，有两人相邻但这三人不同时相邻 10 10）若甲乙丙三人顺序一定）若甲乙丙三人顺序一定；1111）7 7人围成一圈；人围成一圈；1212）7 7人围成一圈，其中甲乙丙三人不相邻；人围成一圈，其中甲乙丙三人不相邻；第26页，本讲稿共26页