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1、工程力学应力状态分析第1页，本讲稿共29页第十三章第十三章第十三章第十三章 应力状态分析应力状态分析应力状态分析应力状态分析 131 应力状态的概念应力状态的概念132 平面应力状态分析平面应力状态分析解析法解析法133 平面应力状态分析平面应力状态分析图解法图解法134 三向应力状态简介三向应力状态简介135 复杂应力状态下的应力复杂应力状态下的应力-应变关系（应变关系（广义虎克定律）广义虎克定律）第2页，本讲稿共29页13 应力状态的概念应力状态的概念一、引言一、引言1 1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？P铸铸铁铁压压缩缩铸铸
2、铁铁扭扭转转铸铸铁铁拉拉伸伸低低碳碳钢钢扭扭转转第3页，本讲稿共29页三、单元体三、单元体：单元体单元体构件内的点的代表物，是包围被研究点构件内的点的代表物，是包围被研究点 的无限小的几何体，常用的是正六面体。的无限小的几何体，常用的是正六面体。二、一点的应力状态：二、一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态（为这点的应力状态（State of Stress at a a Given Point）。）。xyz x z y x y单元体的性质单元体的性质 a a、平行面上，应力均布；、平行面上
3、，应力均布；b b、平行面上，应力相等。、平行面上，应力相等。第4页，本讲稿共29页六、主单元体、主平面、主应力：六、主单元体、主平面、主应力：六、主单元体、主平面、主应力：六、主单元体、主平面、主应力：主单元体主单元体主单元体主单元体(Principal bidyPrincipal bidy)：各侧面上剪应力均为零的单元体。各侧面上剪应力均为零的单元体。各侧面上剪应力均为零的单元体。各侧面上剪应力均为零的单元体。主平面主平面主平面主平面(Principal PlanePrincipal Plane)：剪应力为零的截面。剪应力为零的截面。剪应力为零的截面。剪应力为零的截面。主应力主应力主应力主
4、应力(Principal StressPrincipal Stress ）：）：）：）：主平面上的正应力。主平面上的正应力。主平面上的正应力。主平面上的正应力。主应力排列规定：按代数值大小，主应力排列规定：按代数值大小，主应力排列规定：按代数值大小，主应力排列规定：按代数值大小，1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3x xy yz z x x y y z z第5页，本讲稿共29页单向应力状态（单向应力状态（Unidirectional State of Stress）：）：一个主应力不为零的应力状态。一个主应力不为零的应力状态。二向应力状态（二向应力状态（Plane State of
5、Stress）：）：一个主应力为零的应力状态。一个主应力为零的应力状态。三向应力状态（三向应力状态（ThreeDimensional State of Stress）：）：三个主应力都不为零的应力状态。三个主应力都不为零的应力状态。第6页，本讲稿共29页132 平面应力状态分析平面应力状态分析解析法解析法 x x yxyzxy x x yO第7页，本讲稿共29页规定：截面外法线同向为正；绕研究对象顺时针转为正；逆时针为正。图1设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：一、任意斜截面上的应力一、任意斜截面上的应力xy x y yO y y x a a a aa axyOn图2第8页，本讲稿共29页图1
6、xy x xy yO y xy x a a a aa axyOn图2考虑剪应力互等和三角变换，得：同理：第9页，本讲稿共29页133 平面应力状态分析平面应力状态分析图解法图解法对上述方程消去参数（2），得：一、应力圆（一、应力圆（Stress Circle）y xy x a a a aa axyOnxy x x yO此方程曲线为圆应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：Otto Mohr引入）第10页，本讲稿共29页建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）二、应力圆的画法二、应力圆的画法在坐标系内画出点A(x，x)和B(y，y)AB与 轴的交点C便是圆心。以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆；x
7、 x yxyOn a a a aa aO a a a aCA(x,x)B(y,y)x2a anD(a a,a a)第11页，本讲稿共29页 x x yxyOn a a a aa aO a a a aCA(x,x)B(y,y)x2a anD(a a,a a)三、单元体与应力圆的对应关系三、单元体与应力圆的对应关系面上的应力(，)应力圆上一点(，)面的法线 应力圆的半径两面夹角 两半径夹角2；且转向一致。第12页，本讲稿共29页四、在应力圆上标出极值正应力四、在应力圆上标出极值正应力OC a a a aA(x,x)B(y,y)x2a a1 12a a0 0 1 2 3方位角方位角第13页，本讲稿共
8、29页三、主应力大小及方向三、主应力大小及方向xy x x yO 0第14页，本讲稿共29页xy x xy yO四、最大剪应力四、最大剪应力第15页，本讲稿共29页例例2 分析受扭构件的破坏规律。解：确定危险点并画单元体求主应力及最大剪应力 xC yMCxyO xy yx第16页，本讲稿共29页破坏分析低碳钢铸铁 x y 0第17页，本讲稿共29页 3例例3 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)AB 1 2解：主应力坐标系如图AB的垂直平分线与 轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆0 1 2BAC20 (MPa)(MPa)O20MPa在坐标系内画出点第18页，
9、本讲稿共29页 3 1 2BAC20 (MPa)(MPa)O20MPa主应力及主平面如图 10 2AB第19页，本讲稿共29页解法2解析法：分析建立坐标系如图60 xyO第20页，本讲稿共29页12345P1P2q例例4 如图，已知梁发生剪切弯曲（横力弯曲），某截面上如图，已知梁发生剪切弯曲（横力弯曲），某截面上M、Q0，试确定此截面上各点主应力大小及主平面位置。，试确定此截面上各点主应力大小及主平面位置。解：由梁弯曲应力公式：x y x第21页，本讲稿共29页2 21 1 1 1 3 3 3 33 3 1 1 3 34 4 1 1 1 1 3 35 50450 A1A2D2D1CO A2D2
10、D1CA1O 20 D2D1CD1O20=90 D2A1O 20CD1A2 A2D2D1CA1O第22页，本讲稿共29页134 三向应力状态简介三向应力状态简介 2 1xyz 31 1、空间应力状态、空间应力状态第23页，本讲稿共29页2 2、三向应力分析、三向应力分析弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。图图a图图b整个单元体内的最大剪应力为：max 2 1xyz 3第24页，本讲稿共29页例例4 求图示单元体的主应力和最大剪应力。（MPa）解：由单元体图知：y z面为主面建立应力坐标系如图，画应力圆和点1,得:5040 xyz3010 (
11、M Pa)a a（M Pa）a aABCAB 1 2 3 max第25页，本讲稿共29页135 复杂应力状态下的应力复杂应力状态下的应力 -应变关系应变关系 （广义虎克定律）广义虎克定律）一、单拉下的应力一、单拉下的应力-应变关系应变关系二、纯剪的应力二、纯剪的应力-应变关系应变关系xyz xxyz x第26页，本讲稿共29页三、复杂状态下的应力三、复杂状态下的应力 -应变关系应变关系依叠加原理,得:xyz z y x x第27页，本讲稿共29页主应力主应力 -主应变关系主应变关系四、平面状态下的应力四、平面状态下的应力-应变关系应变关系:1 3 2第28页，本讲稿共29页例例7 已知应力状态如图a所示，试求45方向的正应变。已知材料的弹性模量E，泊松比。解：45及-45斜截面上的正应力分别为：第29页，本讲稿共29页