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1、工程力学 力偶系2023/5/13第1页，本讲稿共41页力偶力偶力偶的定义力偶的定义由两个由两个等值、反向、不共线的（平行）力等值、反向、不共线的（平行）力组成的力组成的力系称为力偶，记作系称为力偶，记作F1F2第三章第三章 力偶系力偶系2023/5/13第2页，本讲稿共41页即即力偶作用面力偶作用面力偶中两力所在平面。力偶中两力所在平面。力偶臂力偶臂力偶两力之间的垂直距离。力偶两力之间的垂直距离。力偶矩力偶矩等于力偶中力的大小与力偶臂的乘积，它是代数量。等于力偶中力的大小与力偶臂的乘积，它是代数量。量纲：量纲：力力长度，牛顿长度，牛顿 米（米（N N m m）.力偶对刚体的运动效应是力偶对刚
2、体的运动效应是只只产生产生转动效应转动效应力和力偶是静力学的二力和力偶是静力学的二基本要素基本要素力对刚体产生平移效应（力过刚体质心）或同力对刚体产生平移效应（力过刚体质心）或同时产生平移和转动效应（力不通过刚体的质心）时产生平移和转动效应（力不通过刚体的质心）。第三章第三章 力偶系力偶系2023/5/13第3页，本讲稿共41页3-1、力对点之矩矢、力对点之矩矢力对点之矩矢力对点之矩矢2023/5/13第4页，本讲稿共41页力对物体可以产生力对物体可以产生移动效应移动效应-取决于力的大小、方向取决于力的大小、方向转动效应转动效应-取决于力矩的大小、方向取决于力矩的大小、方向3-1、力对点之矩矢
3、、力对点之矩矢一一.平面力系中力对点之矩（代数量）平面力系中力对点之矩（代数量）简称力矩简称力矩1.1.现象现象2.2.定义定义力矩作用面力矩作用面两个要素：两个要素：大小：力大小：力F与力臂的乘积与力臂的乘积方向：转动方向方向：转动方向o o 力力矩矩中中心心d d 力臂力臂2023/5/13第5页，本讲稿共41页3-1、力对点之矩矢、力对点之矩矢3.3.正负号规定正负号规定当力当力F F沿作用线滑动时沿作用线滑动时 Mo(F)不变不变同一力对不同点之矩是不同的同一力对不同点之矩是不同的4.4.结论：结论：力矩与矩心位置有关力矩与矩心位置有关 是代数量。是代数量。当当F=0=0或或d=0=0
4、时时，=0 =0。是影响转动的独立因素。是影响转动的独立因素。=2 =2AOB=F d,2 2倍倍形面积。形面积。说明：说明：F F,d d转动效应明显。转动效应明显。单位单位N N m m，工程单位，工程单位kgfkgf m m。2023/5/13第6页，本讲稿共41页3-1、力对点之矩矢、力对点之矩矢二二.力对点之矩矢力对点之矩矢1.1.空间中力对点之矩的三要素空间中力对点之矩的三要素（1 1）转动轴的方位转动轴的方位(即力矩平面的法线方位即力矩平面的法线方位)（2 2）转向转向(即在力矩平面内绕转轴的转向即在力矩平面内绕转轴的转向)（3 3）转动效应的强度转动效应的强度(力矩的大小力矩的
5、大小)Mo(F)=FdFxyzABod2023/5/13第7页，本讲稿共41页3-1、力对点之矩矢、力对点之矩矢2.2.力对点之矩矢力对点之矩矢 空间中力对点之矩用始于矩心的空间中力对点之矩用始于矩心的定位矢量定位矢量表示表示（1 1）力对点之矩矢的力对点之矩矢的矢积式矢积式大小大小方向方向 由由右手螺旋法则右手螺旋法则确定确定 比较：比较：在平面中：力对点的矩是代数量。在平面中：力对点的矩是代数量。在空间中：力对点的矩是矢量，而且是一个在空间中：力对点的矩是矢量，而且是一个定位矢量定位矢量。d力矢力矢矩心矩心O，xyzO作用点作用点 矢量矢量作用在作用在O点点,垂直于垂直于r r 和和F F
6、 所在的平面所在的平面2023/5/13第8页，本讲稿共41页3-1、力对点之矩矢、力对点之矩矢（2 2）力对点之矩矢的力对点之矩矢的解析表达式解析表达式力对点力对点O的矩的矩 在在三个坐标轴上的投影：三个坐标轴上的投影：力对力对力对力对 x x 轴之矩轴之矩轴之矩轴之矩力对力对力对力对 y y 轴之矩轴之矩轴之矩轴之矩力对力对力对力对 z z 轴之矩轴之矩轴之矩轴之矩2023/5/13第9页，本讲稿共41页3-1、力对点之矩矢、力对点之矩矢（3 3）力对点之矩矢的力对点之矩矢的基本性质基本性质作用于刚体上的二力对刚体产生的绕一点的转动效应，可以用作用于刚体上的二力对刚体产生的绕一点的转动效应
7、，可以用该点该点的一个矩矢来度量，这个矩矢等于二力分别对的一个矩矢来度量，这个矩矢等于二力分别对该点该点之矩矢的之矩矢的矢量和。矢量和。即即推广：推广：力系（力系（F1，F2，-，Fn）对刚体产生的绕一点的转动）对刚体产生的绕一点的转动效应，也可用该点的一个矩矢来度量，这个矩矢等于力系各力效应，也可用该点的一个矩矢来度量，这个矩矢等于力系各力分别对该点之矩矢的矢量和。分别对该点之矩矢的矢量和。注意：注意：力系（力系（F1，F2，-，Fn）绕刚体上）绕刚体上同同一点产生的的转一点产生的的转动效应，才服从矢量的合成法则。动效应，才服从矢量的合成法则。2023/5/13第10页，本讲稿共41页F2d
8、2FRd汇交力系汇交力系汇交力系汇交力系Od1F13-1、力对点之矩矢、力对点之矩矢(4)(4)汇交力系的合力矩定理汇交力系的合力矩定理合力对任一点之矩矢等于各分力对同一点之矩矢的矢量和。合力对任一点之矩矢等于各分力对同一点之矩矢的矢量和。若汇交力系（若汇交力系（F1，F2，-，Fn）可合成为一个合力）可合成为一个合力FR，则，则合力对合力对O点的转动效应点的转动效应各力对各力对O点的转动效应点的转动效应即即对于平面力系对于平面力系（矢量和）（矢量和）（代数和）（代数和）2023/5/13第11页，本讲稿共41页例例3-1-13-1-1：已知力作用点：已知力作用点A(x,y)A(x,y)，力的
9、投影，力的投影F Fx x、F Fy y，求，求M Mo o(F)(F)Mo(F F)=Mo(F Fy)+Mo(F Fx)=x Fy-y FxoxyFFxdyxABFyFxFy解：3-1、力对点之矩矢、力对点之矩矢江苏工业学院机械系力学教研室江苏工业学院机械系力学教研室2023/5/13第12页，本讲稿共41页例例3-1-23-1-2求:解:按合力矩定理已知:F=1400=1400N,直接按定义3-1、力对点之矩矢、力对点之矩矢2023/5/13第13页，本讲稿共41页3-2、力对轴之矩、力对轴之矩力对轴之矩力对轴之矩2023/5/13第14页，本讲稿共41页3-2、力对轴之矩、力对轴之矩一、
10、力对轴之矩的概念一、力对轴之矩的概念 力对轴的矩是度量刚体绕轴转动效应的物理量，它是一个力对轴的矩是度量刚体绕轴转动效应的物理量，它是一个代数量代数量，其大小等于这个力在垂直于该轴的平面上的投影对于这个平面与其大小等于这个力在垂直于该轴的平面上的投影对于这个平面与该轴交点的矩该轴交点的矩。1.1.实例实例2.2.定义定义2023/5/13第15页，本讲稿共41页3-2、力对轴之矩、力对轴之矩从从z z轴的正向看若力使物体逆时针旋转，取为正号；反之为负。轴的正向看若力使物体逆时针旋转，取为正号；反之为负。用右手螺旋法则来确定。用右手螺旋法则来确定。符号规定：符号规定：3.3.单位单位 Nm或或k
11、Nm 以以Mz(F)=0为例为例4.4.力对轴之矩等于零的情形力对轴之矩等于零的情形（1 1）力）力FzFz轴轴（2 2）力）力F F与与z z轴相交轴相交2023/5/13第16页，本讲稿共41页3-2、力对轴之矩、力对轴之矩5.5.5.5.力对任意力对任意力对任意力对任意l l l l 轴（方向轴（方向轴（方向轴（方向l l l l）之矩）之矩）之矩）之矩A为为l 轴上任意一点轴上任意一点xyzA l 轴 定理：定理：力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影投影等于这力对于该等于这力对于该轴的矩。轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系。这就是力对点
12、之矩与对通过该点轴之矩的关系。特例：当特例：当l 轴为直角坐标轴轴为直角坐标轴X轴时，轴时，当当l 轴为直角坐标轴轴为直角坐标轴Y轴时，轴时，当当l 轴为直角坐标轴轴为直角坐标轴Z轴时，轴时，对任意对任意l 轴之矩的几何意义轴之矩的几何意义2023/5/13第17页，本讲稿共41页3-2、力对轴之矩、力对轴之矩二二.力对直角坐标轴之矩力对直角坐标轴之矩力力F 在三根轴上的在三根轴上的 分力分力Fx、Fy、Fz ，力力 F 作用点的坐标作用点的坐标 x,y,z，求：求：力力F 对对 z轴的矩。轴的矩。同理：同理：My（F)=Mx（F）=2023/5/13第18页，本讲稿共41页3-2、力对轴之矩
13、、力对轴之矩空间力对点的矩与空间力对轴的矩的关系（力矩关系定理）空间力对点的矩与空间力对轴的矩的关系（力矩关系定理）:即即力对点之矩矢在通过该点之轴上的投影，等于力对该轴之矩力对点之矩矢在通过该点之轴上的投影，等于力对该轴之矩。2023/5/13第19页，本讲稿共41页例例 3-2-1 3-2-1例例 3-2-2 3-2-2例例 3-2-3 3-2-3例例 3-2-4 3-2-43-2、力对轴之矩、力对轴之矩江苏工业学院机械系力学教研室江苏工业学院机械系力学教研室2023/5/13第20页，本讲稿共41页3-2、力对轴之矩、力对轴之矩力对点之矩、力对轴之矩的计算力对点之矩、力对轴之矩的计算力对
14、点之矩、力对轴之矩的计算力对点之矩、力对轴之矩的计算利用合力矩定理利用合力矩定理计算力对点之矩计算力对点之矩方向垂直于方向垂直于 与与 组成平面组成平面计算力对轴之矩计算力对轴之矩利用定义利用定义 利用合力对轴之矩定理利用合力对轴之矩定理2023/5/13第21页，本讲稿共41页力偶矩矢力偶矩矢3-3、力偶矩矢、力偶矩矢2023/5/13第22页，本讲稿共41页3-3、力偶矩矢、力偶矩矢(1)力偶关于力偶作用力偶关于力偶作用面内面内任意一点的力矩任意一点的力矩结论：结论：力偶关于一点的矩与这一点的定位无关。力偶关于一点的矩与这一点的定位无关。由于空间力偶除大小、转向外，还必须确定力偶的作用面，
15、由于空间力偶除大小、转向外，还必须确定力偶的作用面，所以空间力偶矩必须用矢量表示。所以空间力偶矩必须用矢量表示。1.1.力偶矩用矢量表示：力偶矩用矢量表示：力偶矩矢是力偶使刚体产生力偶矩矢是力偶使刚体产生转动效应的量度转动效应的量度当当O3点在两力中间点在两力中间当当O2点在两力另一侧点在两力另一侧O O2 2O32023/5/13第23页，本讲稿共41页3-3、力偶矩矢、力偶矩矢(2)力偶关于力偶作用力偶关于力偶作用面外面外任意一点的力矩任意一点的力矩OAB结论：结论：力偶关于一点的矩与这一点的定位无关。力偶关于一点的矩与这一点的定位无关。称为称为力偶矩矢力偶矩矢，它是力偶使刚体产生，它是力
16、偶使刚体产生转动效应的度量转动效应的度量力偶矩矢为自由矢量！力偶矩矢为自由矢量！力偶矩矢为自由矢量！力偶矩矢为自由矢量！2023/5/13第24页，本讲稿共41页3-3、力偶矩矢、力偶矩矢(3)力偶的三要素：力偶的三要素：作用面作用面两个力所在的平面两个力所在的平面力偶的转向力偶的转向在力偶的作用面内，在力偶的作用面内，由右手螺旋法则确定。由右手螺旋法则确定。力偶矩的大小力偶矩的大小力偶矩的大小只取决于乘积力偶矩的大小只取决于乘积力偶矩的大小只取决于乘积力偶矩的大小只取决于乘积Fd!Fd!Fd!Fd!OAByxzd(4)力偶矩矢的解析表达式力偶矩矢的解析表达式2023/5/13第25页，本讲稿
17、共41页3-3、力偶矩矢、力偶矩矢(5)平面平面力偶作用的效应可用代数量力偶作用的效应可用代数量M来度量来度量力偶的符号力偶的符号:逆时针转动时为正；逆时针转动时为正；顺时针转动的为负。顺时针转动的为负。平面力偶矩的表达：平面力偶矩的表达：2023/5/13第26页，本讲稿共41页OxyzC(0,0,c)B(0,b,0)A(a,0,0)已知：已知：a=5m,b=4m,c=3m,二力大力大小相等方向相反，求力偶矩。小相等方向相反，求力偶矩。3-3、力偶矩矢、力偶矩矢例例 3-3-1 3-3-12023/5/13第27页，本讲稿共41页3-3、力偶矩矢、力偶矩矢解：解：OxyzC(0,0,c)B(
18、0,b,0)A(a,0,0)543江苏工业学院机械系力学教研室江苏工业学院机械系力学教研室2023/5/13第28页，本讲稿共41页力偶的等效条件和性质力偶的等效条件和性质3-4、力偶的等效条件和性质、力偶的等效条件和性质2023/5/13第29页，本讲稿共41页3-4、力偶的等效条件和性质、力偶的等效条件和性质一、力偶的等效条件：一、力偶的等效条件：两个力偶等效的条件是它们的力偶矩矢相等。两个力偶等效的条件是它们的力偶矩矢相等。二、力偶的性质：二、力偶的性质：（1 1）力偶在任一轴上的投影等于零，力偶的合力为零，但力偶不）力偶在任一轴上的投影等于零，力偶的合力为零，但力偶不是平衡力系。是平衡
19、力系。（2 2）力偶不能与一个力等效，力偶只能与力偶平衡，即力和力偶是）力偶不能与一个力等效，力偶只能与力偶平衡，即力和力偶是两个独立的力学元素。两个独立的力学元素。（3 3）力偶中的两力对任意点之矩之和恒等于力偶矩矢，而与）力偶中的两力对任意点之矩之和恒等于力偶矩矢，而与矩心位置矩心位置无关无关。此为力偶矩与力矩的主要区别。此为力偶矩与力矩的主要区别。性质一：力偶不能与一个力等效（即力偶无合力），因此也不能性质一：力偶不能与一个力等效（即力偶无合力），因此也不能与一个力平衡。与一个力平衡。2023/5/13第30页，本讲稿共41页性质二：性质二：力偶等效性力偶等效性的含义的含义同时改变力偶中
20、力的大小与力偶臂的长短同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短保持力偶矩矢不变保持力偶矩矢不变xyxy100N100N2M200N200N1M100N100N2M100N100N2M100N100N力偶可在其作用面内任意力偶可在其作用面内任意转动转动力偶作用面在空间任意力偶作用面在空间任意移动移动力偶可在其作用面内任意力偶可在其作用面内任意移动移动3-4、力偶的等效条件和性质、力偶的等效条件和性质2023/5/13第31页，本讲稿共41页结论：结论：力偶矩矢是力偶对刚体的作用效应的唯一度量。力偶矩力偶矩矢是力偶对刚体的作用效应的唯一度量。力偶矩矢是矢是自由矢量自由矢量。力偶可在其作用面内用一段带箭
21、头的弧线表示。力偶可在其作用面内用一段带箭头的弧线表示。3-4、力偶的等效条件和性质、力偶的等效条件和性质2023/5/13第32页，本讲稿共41页三三.力偶矩矢与力偶对轴之矩的关系力偶矩矢与力偶对轴之矩的关系 力偶矩矢在某轴上的投影等于该力偶对该轴之矩力偶矩矢在某轴上的投影等于该力偶对该轴之矩3-4、力偶的等效条件和性质、力偶的等效条件和性质定位矢量定位矢量自由矢量自由矢量滑移矢量滑移矢量四四.力对点的矩与力偶矩的区别：力对点的矩与力偶矩的区别：不同处：不同处：力对点的矩可随矩心的位置改变而改变，但一个力对点的矩可随矩心的位置改变而改变，但一个 力偶的矩是常量。力偶的矩是常量。联联 系：系：
22、力偶中的两个力对任一点的之和是常量，等于力力偶中的两个力对任一点的之和是常量，等于力 偶矩。偶矩。相同处：相同处：力矩的量纲与力偶矩的相同。力矩的量纲与力偶矩的相同。力对点之矩力对点之矩力力力偶矩矢（搬来搬去，滑来滑去）力偶矩矢（搬来搬去，滑来滑去）2023/5/13第33页，本讲稿共41页力偶系的合成力偶系的合成3-5、力偶系的合成、力偶系的合成2023/5/13第34页，本讲稿共41页=3-5、力偶系的合成、力偶系的合成一一.力偶系的合成力偶系的合成1.1.力偶系的定义和分类力偶系的定义和分类力偶系空间力偶系平面力偶系2.2.力偶系的合成力偶系的合成（1 1）合力偶矩矢合力偶矩矢即即等于各
23、分力偶矩矢的矢量和。等于各分力偶矩矢的矢量和。2023/5/13第35页，本讲稿共41页3-5、力偶系的合成、力偶系的合成（2 2）计算合力偶矩矢大小和方向的解析法）计算合力偶矩矢大小和方向的解析法 已知空间力偶系中任一分力偶矩矢已知空间力偶系中任一分力偶矩矢M Mi i及其方向角及其方向角i,i,i,i,i i（i=1,2,i=1,2,n),n).求合力偶矩矢的投影求合力偶矩矢的投影.求合力偶矩矢的大小和方向求合力偶矩矢的大小和方向.求各分力偶矩矢的投影求各分力偶矩矢的投影2023/5/13第36页，本讲稿共41页3.3.平面力偶系的合成平面力偶系的合成（1 1）平面问题中力偶矩可视为代数量
24、）平面问题中力偶矩可视为代数量 M=Fd M=Fd 正负号规定正负号规定（2 2）平面力偶系的合成）平面力偶系的合成代数和代数和3-5、力偶系的合成、力偶系的合成2023/5/13第37页，本讲稿共41页3-5、力偶系的合成、力偶系的合成例例 3-5-1 3-5-1例例 3-5-2 3-5-2例例 3-5-3 3-5-3江苏工业学院机械系力学教研室江苏工业学院机械系力学教研室2023/5/13第38页，本讲稿共41页力偶系的平衡条件力偶系的平衡条件3-6、力偶系的平衡条件、力偶系的平衡条件2023/5/13第39页，本讲稿共41页3-6、力偶系的平衡条件、力偶系的平衡条件力偶系的平衡条件力偶系
25、的平衡条件1.1.力偶系作用下刚体平衡的充要条件是力偶系作用下刚体平衡的充要条件是合力偶矩矢等于零合力偶矩矢等于零3.3.平面力偶系平衡方程平面力偶系平衡方程2.2.空间力偶系平衡的解析条件空间力偶系平衡的解析条件平衡方程平衡方程 即即即即力偶系各力偶矩矢分别在三个坐标轴投影的代数和等于零力偶系各力偶矩矢分别在三个坐标轴投影的代数和等于零。即即力偶系各力偶矩的代数和等于零力偶系各力偶矩的代数和等于零。2023/5/13第40页，本讲稿共41页平面力偶系例题平面力偶系例题例题例题3-6-13-6-1例题例题3-6-23-6-2例题例题3-6-33-6-3例题例题3-6-43-6-4例题例题3-6-53-6-5例题例题3-6-63-6-63-6、力偶系的平衡条件、力偶系的平衡条件空间力偶系例题空间力偶系例题例题例题3-6-73-6-7例题例题3-6-83-6-8江苏工业学院机械系力学教研室江苏工业学院机械系力学教研室2023/5/13第41页，本讲稿共41页