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1、20212021 年江苏省镇江市中考数学试卷年江苏省镇江市中考数学试卷一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 1212 小题）小题）1.5的绝对值是_【答案】5【解析】【分析】根据绝对值的定义计算即可【详解】解：|-5|=5，故答案为：5【点睛】本题考查了绝对值的定义，掌握知识点是解题关键2.使x7有意义的x 的取值范围是_【答案】x7【解析】【分析】直接利用二次根式被开方数是非负数，进而得出答案【详解】解：解得：x7故答案为：x7【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式被开方数是非负数是解题关键3.8 的立方根是_【答案】2【解析】【分析】利用立方根的定义计算即可得到结
2、果【详解】解：8 的立方根为 2，故答案为：2【点睛】此题主要考查立方根的求解，解题的关键是熟知立方根的定义4.如图，花瓣图案中的正六边形 ABCDEF 的每个内角的度数是_x7有意义，则 x70，【答案】120【解析】【分析】多边形的内角和可以表示成(n2)180，因为所给多边形的每个内角均相等，可设这个正六边形的每一个内角的度数为 x，故又可表示成 6x，列方程可求解【详解】解：设这个正六边形的每一个内角的度数为 x，则 6x(62)180，解得 x120故答案为：120【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式及求正多边形的内角的度数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理5.一
3、元二次方程x(x1)0的解是_【答案】x1 0,x2 1【解析】【分析】根据 x（x-1）=0 得到两个一元一次方程 x=0，x-1=0，求出方程的解即可【详解】x(x1)=0，x=0 或 x+1=0，x1 0,x2 1故答案为 x=0 或 x=-1.【点睛】此题考查解一元二次方程、解一元一次方程，解题关键在于运用因式分解法.6.小丽的笔试成绩为 100 分，面试成绩为 90 分，若笔试成绩、面试成绩按 6：4 计算平均成绩，则小丽的平均成绩是_分【答案】96【解析】【分析】根据加权平均数的公式计算可得【详解】解：小丽的平均成绩是故答案为：96【点睛】本题考查的是加权平均数的求法本题易出现的错
4、误是求 100，90 这两个数的平均数，对平均数的理解不正确7.某射手在一次训练中共射出了 10 发子弹，射击成绩如图所示，则射击成绩的中位数是_环100690496（分），64【答案】9【解析】【分析】根据统计图中的数据，可以得到中间的两个数据是 9，9，然后计算它们的平均数即可得到相应的中位数【详解】解：由统计图可得，中间的两个数据是 9，9，故射击成绩的中位数是（9+9）29（环），故答案为：9【点睛】本题考查条形统计图、中位数，解答本题的关键是明确中位数，会计算一组数据的中位数8.如图，点 D，E 分别在ABC 的边 AC，AB 上，ADEABC，M，N 分别是 DE，BCSADEAM
5、1的中点，若，则_SABC2AN【答案】【解析】14DE，根据相似三角形面积的比等BC【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出于相似比的平方解答即可【详解】解：M，N 分别是 DE，BC 的中点，AM、AN 分别为ADE、ABC 的中线，ADEABC，DEAM1，2BCANSADE(SABCDE21)，BC414故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应中线的比等于相似比是解题的关键9.如图，点 A，B，C，O 在网格中小正方形的顶点处，直线 l 经过点 C，O，将ABC 沿 l平移得到MNO，M 是 A 的对应点，再将这两个三
6、角形沿 l 翻折，P，Q 分别是 A，M 的对应点已知网格中每个小正方形的边长都等于 1，则 PQ 的长为_【答案】10【解析】【分析】连接 PQ，AM，根据 PQAM 即可解答【详解】解：连接 PQ，AM，由图形变换可知：PQAM，由勾股定理得：AM1232 10，PQ10故答案为：10【点睛】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理等知识，明确翻折前后对应线段相等是解题的关键10.已知一次函数的图象经过点(1，2)，且函数值 y 随自变量 x 的增大而减小，写出符合条件的一次函数表达式_（答案不唯一，写出一个即可）【答案】yx+3【解析】【分析】由函数值 y 随自变量 x 的增大而减小，利用一次
7、函数的性质可得出 k0，取k1，由一次函数的图象经过点（1，2），利用一次函数图象上点的坐标特征可得出 21+b，解之即可得出 b 值，进而可得出符合条件的一次函数表达式【详解】解：设一次函数表达式为 ykx+b函数值 y 随自变量 x 的增大而减小，k0，取 k1又一次函数的图象经过点（1，2），21+b，b3，一次函数表达式为 yx+3故答案为：yx+3【点睛】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，牢记“k0，y 随x 的增大而增大；k0，y 随 x 的增大而减小”是解题的关键11.一只不透明的袋子中装有 1 个黄球，现放若干个红球，它们与黄球除颜色外都相同，搅匀后从中任
8、意摸出两个球，使得 P（摸出一红一黄）P（摸出两红），则放入的红球个数为_【答案】3【解析】【分析】分别假设放入的红球个数为 1、2 和 3，画树状图列出此时所有等可能结果，从中找到摸出一红一黄和两个红球的结果数，从而验证红球的个数是否符合题意【详解】解：（1）假设袋中红球个数为 1，此时袋中由 1 个黄球、1 个红球，搅匀后从中任意摸出两个球，P（摸出一红一黄）1，P（摸出两红）0，不符合题意（2）假设袋中的红球个数为 2，列树状图如下：由图可知，共有 6 种情况，其中两次摸到红球的情况有 2 种，摸出一红一黄的有 4 种结果，P（摸出一红一黄）=4221=，P（摸出两红）=，不符合题意，6
9、363（3）假设袋中的红球个数为 3，画树状图如下：由图可知，共有 12 种情况，其中两次摸到红球的情况有 6 种，摸出一红一黄的有 6 种结果，P（摸出一红一黄）=P（摸出两红）=所以放入的红球个数为 3，故答案为：3【点睛】本题考查了列表法和树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比12.如图，等腰三角形 ABC 中，ABAC，BC6，cosABC61=，符合题意，1221，点 P 在边 AC 上运动（可3与点 A，C 重合），将线段 BP 绕点 P 逆时针旋转 120，得到线段 DP，连接 BD，则 BD 长的最大值为_【答案】93【解析】【分析】由旋转知BPD 是顶角为
10、120的等腰三角形，可求得BD3BP，当 BP 最大时，BD 取最大值，即点 P 与点 A 重合时，BPBA 最大，求出 AB 的长即可解决问题【详解】解：将线段 BP 绕点 P 逆时针旋转 120，得到线段 DP，BPPD，BPD 是等腰三角形，PBD30，过点 P 作 PHBD 于点 H，BHDH，cos30BH3，BP2BH3BP，2BD3BP，当 BP 最大时，BD 取最大值，即点 P 与点 A 重合时，BPBA 最大，过点 A 作 AGBC 于点 G，ABAC，AGBC，BG1BC3，2cosABC1，3BG1，AB3AB9，BD 最大值为：3BP93故答案为：93【点睛】本题主要考
11、查了等腰三角形的性质和判定，三角函数等知识，证明出 BD=3BP是解题的关键二、选择题（本大题共二、选择题（本大题共 6 6 小题，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合小题，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）13.如图所示，该几何体的俯视图是（）A.正方形【答案】C【解析】B.长方形C.三角形D.圆【分析】根据俯视图的定义，从上面看该几何体，所得到的图形进行判断即可【详解】解：从上面看该几何体，所看到的图形是三角形故选：C【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义，掌握俯视图的概念是正确判断的前提14.2021 年 14 月份，全国规模以上工业企业利润总额超 25
12、900 亿元，其中 25900 用科学记数法表示为（A.25.91032.59105【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正整数；当原数的绝对值1 时，n 是负整数【详解】解：259002.59104，故选：B【点睛】此题考查科学记数法的表示方法 科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要定 a 的值以及 n 的值15.如图，BAC36，点 O 在边 AB 上，O 与边 A
13、C 相切于点 D，交边 AB 于点 E，F，连接 FD，则AFD 等于（）B.2.59104C.0.259105D.A.27【答案】A【解析】B.29C.35D.37【分析】连接 OD，根据切线的性质得到ADO90，根据直角三角形的性质得到 AOD903654，根据圆周角定理即可得到结论【详解】解：连接 OD，O 与边 AC 相切于点 D，ADO90，BAC36，AOD903654，AFD故选：A【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键16.如图，输入数值1921，按所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），输出的结
14、果为（）11AOD5427，22A.1840【答案】D【解析】B.1921C.1949D.2021【分析】把 1921 代入程序中计算，判断即可得到结果【详解】解：把 1921 代入得：（19211840+50）（1）1311000，把131 代入得：（1311840+50）（1）19211000，则输出结果为 1921+1002021故选：D【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清程序中的运算过程是解本题的关键圆锥的母线长为 l，满足 2r+l6，这样的圆锥的侧面积（17.设圆锥的底面圆半径为 r，）A.有最大值94B.有最小值94C.有最大值92D.有最小值92【答案】C【解析】【分析】由
15、 2r+l6，得出 l62r，代入圆锥的侧面积公式：S侧rl，利用配方法整理得出，S侧2(r329)+，再根据二次函数的性质即可求解22【详解】解：2r+l6，l62r，圆锥的侧面积 S侧rlr(62r)2(r23r)2(r329)2(r42329)+，22当 r39时，S侧有最大值22故选：C【点睛】本题考查了圆锥的计算,二次函数的最值,圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.熟记圆锥的侧面1积:S 2rl rl是解题的关键218.如图，小明在 33 的方格纸上写了九个式子（其中的 n 是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为 A1，A2
16、，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为 B1，B2，B3，其中，值可以等于 789 的是（）A.A1【答案】B【解析】B.B1C.A2D.B3【分析】把 A1，A2，B1，B3的式子表示出来，再结合值等于 789，可求相应的 n 的值，即可判断【详解】解：由题意得：A12n+1+2n+3+2n+5789，整理得：2n260，则 n 不是整数，故 A1的值不可以等于 789；A22n+7+2n+9+2n+11789，整理得：2n254，则 n 不是整数，故 A2的值不可以等于 789；B12n+1+2n+7+2n+13789，整理得：2n25628，则 n 是整数，故 B1的值可以等于 78
17、9；B32n+5+2n+11+2n+17789，整理得：2n252，则 n 不是整数，故 B3的值不可以等于 789；故选：B【点睛】本题主要考查规律型：数字变化类，解答的关键是理解清楚题意，得出相应的式子三、三、解答题（本大题共解答题（本大题共1010 小题，解答时应写出文字说明、小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）证明过程或演算步骤）19.（1）计算：（12）02sin45+2；（2）化简：（x21）（1【答案】（1）1；（2）x2【解析】【分析】（1）根据零指数幂的意义、特殊角的锐角三角函数值即可求出答案（2）根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案【详解】解：（1）（
18、12）02sin45+2121（2）（x21）（11）xx2221）xxx1（x+1）（x1）xx（x+1）（x1）x（x+1）xx2【点睛】本题考查整式的运算以及分式的运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算法则20.（1）解方程：xxx1320；xx23x1x1（2）解不等式组：x44x2【答案】（1）x6；（2）x2【解析】【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集即可【详解】解：（1）320 xx2去分母得：3（x2）2x0，去括号得：
19、3x62x0，解得：x6，检验：把 x6 代入得：x（x2）240，分式方程的解为 x6；（2）3x1x1x44x2，由得：x1，由得：x2，则不等式组的解集为 x2【点睛】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握分式方程的解法以及不等式组的解法是解本题的关键21.甲、乙、丙三人各自随机选择到 A，B 两个献血站进行爱心献血求这三人在同一个献血站献血的概率【答案】【解析】【分析】首先根据题意画树状图，然后根据树状图即可求得所有等可能的结果和满足条件的结果数，再根据概率公式求解即可【详解】解：画树状图得：14共 8 种等可能情况，其中这三人在同一个献血站献血的有 2 种结果，所以这
20、三人在同一个献血站献血的概率为2184【点睛】此题考查了树状图法求概率注意树状图法适台两步或两步以上完成的事件，树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比22.如图，四边形 ABCD 是平行四边形，延长 DA，BC，使得 AECF，连接 BE，DF（1）求证：ABECDF；（2）连接 BD，130，220，当ABE时，四边形 BFDE 是菱形【答案】（1）见解析；（2）当ABE10时，四边形 BFDE 是菱形【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性子和“SAS”可证ABECDF；（2）先证明四边形 BFDE 是平行四边形，再通过证明 BEDE，
21、可得结论【详解】解：（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，BADBCD，1DCF，在ABE 和CDF 中，AECF1 DCF，ABCDABECDF（SAS）；（2）当ABE10时，四边形 BFDE 是菱形，理由如下：ABECDF，BE=DF，AE=CF，BF=DE，四边形 BFDE 是平行四边形，1=30，2=20，ABD=1-2=10，DBE=20，DBE=EDB=20，BE=DE，平行四边形 BFDE 是菱形，故答案为 10【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的判定是解题的关键23.九章算术被历代数学家尊为“算经之首”下面是
22、其卷中记载的关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出 400 钱，会剩余 3400 钱；每人出 300 钱，会剩余 100 钱合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题【答案】共 33 人合伙买金，金价为 9800 钱【解析】【分析】设共 x 人合伙买金，金价为 y 钱，根据“每人出 400 钱，会剩余 3400 钱；每人出300 钱，会剩余 100 钱”，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论【详解】解：设共 x 人合伙买金，金价为 y 钱，400 x3400y依题意得：，300 x1
23、00y解得：x33y9800答：共 33 人合伙买金，金价为 9800 钱【点睛】本题考查了二元-次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键24.如表是第四至七次全国人口普查的相关数据年份我国大陆人口总数1133682501126583000013397248521411778724其中具有大学文化程度的人数1612467845710000119636790218360767每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数142236118930154671990 年2000 年2010 年2020 年（1）设下一次人口普查我国大陆人口共 a 人，其中具有大学文化程度
24、的有 b 人，则该次人口普查中每 10 万大陆人口中具有大学文化程度的人数为；（用含有 a，b 的代数式表示）（2）如果将 2020 年大陆人口中具有各类文化程度（含大学、高中、初中、小学、其他）的人数分布制作成扇形统计图，求其中表示具有大学文化程度类别的扇形圆心角的度数；（精确到 1）（3）你认为统计“每 10 万大陆人口中具有大学文化程度的人数”这样的数据有什么好处？（写出一个即可）【答案】（1）100000b；（2）56；（3）比较直观的反应出“每 10 万大陆人口中具有大学a文化程度的人数”的大小，说明国民素质和文化水平的情况【解析】【分析】（1）根据“每 10 万大陆人口中具有大学文
25、化程度的人数”的意义求解即可；（2）求出 2020 年，“具有大学文化程度的人数”所占总人数的百分比，即可求出相应的圆心角度数；（3）根据“每 10 万大陆人口中具有大学文化程度的人数”的实际意义得出结论【详解】解：（1）由题意得，下一次人口普查中每 10 万大陆人口中具有大学文化程度的人数为100000b，a100000b；a21836076756，1411778724故答案为：（2）360答：表示具有大学文化程度类别的扇形圆心角的度数大约为 56；（3）比较直观的反应出“每 10 万大陆人口中具有大学文化程度的人数”的大小，说明国民素质和文化水平的情况【点睛】本题考查扇形统计图,频数分布表
26、，掌握扇形统计图的制作方法是正确解答的前提，理解“每 10 万大陆人口中具有大学文化程度的人数”的实际意义是正确判断的关键25.如图，点 A 和点 E(2，1)是反比例函数 y数 yk（x0）图象上的两点，点 B 在反比例函x6（x0）的图象上，分别过点A，B 作 y 轴的垂线，垂足分别为点 C，D，ACBD，x；连接 AB 交 y 轴于点 F（1）k（2）设点 A 的横坐标为 a，点 F 的纵坐标为 m，求证：am2；（3）连接 CE，DE，当CED90时，直接写出点 A 的坐标：【答案】（1）2；（2）见解析；（3）(【解析】63，)55【分析】（1）将 E 点坐标代入函数解析式即可求得
27、k 值；（2）根据 AAS 可证BDFACF，根据全等三角形面积相等即可得证结论；（3）设A 点坐标为（a，即可求得 A 点的坐标【详解】解：（1）点 E（2，1）是反比例函数 y226），则可得 C（0，），D（0，），根据勾股定理求出 a 值，aaak（x0）图象上的点，xk1，2解得 k2，故答案为：2；（2）在BDF 和ACF 中，ACF BDFCFA BFD，ACBDBDFACF（AAS），SBDFSACF，即2611a（m）a（+m），22aa2），a整理得 am2；（3）设 A 点坐标为（a，则 C（0，26），D（0，），aaE（2，1），CED90，CE2+DE2CD2，即
28、22+（1222626）+2+（1+）2（+）2，aaaa6，5解得 a2（舍去）或 aA 点的坐标为(63，)55【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识，熟练掌握反比例函数图象上点的特征是解题的关键26.如图 1，正方形 ABCD 的边长为 4，点 P 在边 BC 上，O 经过 A，B，P 三点（1）若 BP3，判断边 CD 所在直线与O 的位置关系，并说明理由；（2）如图 2，E 是 CD 的中点，O 交射线 AE 于点 Q，当 AP 平分EAB 时，求 tanEAP的值【答案】（1）相切，见解析；（2）【解析】512【分析】（1）如图 1 中，连接
29、 AP，过点 O 作 OHAB 于 H，交 CD 于 E求出 OE 的长，与半径半径，可得结论（2）如图 2 中，延长 AE 交 BC 的延长线于 T，连接 PQ利用面积法求出 BP，可得结论【详解】解：（1）如图 11 中，连接 AP，过点 O 作 OHAB 于 H，交 CD 于 E四边形 ABCD 是正方形，ABAD4，ABP90，APAB2 BP242325，OHAB，AHHB，OAOP，AHHB，OH31PB，22DDAHAHE90，四边形 AHED是矩形，OECE，EHAD4，OEEHOH4OEOP，直线 CD 与O 相切（2）如图 2 中，延长 AE 交 BC 的延长线于 T，连接
30、 PQ35，22DECT90，DEEC，AEDTEC，ADETCE（ASA），ADCT4，BTBC+CT4+48，ABT90，ATAB2 BT2428245，AP 是直径，AQP90，PA平分EAB，PQAQ，PBAB，PBPQ，设 PBPQx，SABTSABP+SAPT，1114845x+4x，222x252，tanEAPtanPABPBAB512【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，正方形的性质，解直角三角形、相似三角形判定和性质等知识，解题的关键是掌握切线的证明方法：已知垂直证半径，已知半径证垂直，利用三角形面积不同的表示方法构建方程解决问题是难点27.将一张三角形纸片 ABC 放置在如
31、图所示的平面直角坐标系中，点 A(6，0)，点 B(0，2)，点 C(4，8)，二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象经过点 A，B，该抛物线的对称轴经过点 C，顶点为 D（1）求该二次函数的表达式及点 D 的坐标；（2）点 M 在边 AC 上（异于点 A，C），将三角形纸片 ABC 折叠，使得点 A 落在直线 AB 上，且点 M 落在边 BC 上，点 M 的对应点记为点 N，折痕所在直线 l 交抛物线的对称轴于点 P，然后将纸片展开请作出图中点 M 的对应点 N 和折痕所在直线 l；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）连接 MP，NP，在下列选项中：A折痕与 AB 垂直，B折痕与
32、MN 的交点可以落在抛物线的对称轴上，C.MN3MN，D.2，所有正确选项的序号是MP2MP点 Q 在二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象上，当PDQPMN 时，求点 Q 的坐标【答案】（1）y10，216124x+x2，D(4，)；（2）见解析；A，D；(2，)或(336316)3【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可（2）根据要求作出图形即可如图 2 中，设线段 MN 的垂直平分线交抛物线对称轴于 P，交 MN 于点 Q，过点 M 作MHCD，过点 Q 作 QJCD 于 J，QTMH 于 T想办法证明PMN 是等腰直角三角形，可得结论设 P（4，m）由PDQPMN，PMN 是等
33、腰直角三角形，推出PDQ 是等腰直角三角形，推出DPQ90，DPPQm+可【详解】解（1）二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象经过点 A(6，0)，点 B(0，2)，且抛物线的对称轴经过点 C(4，8)，210，推出 Q（+m，m），构建方程求出 m 即3336a6b20c2，b 42a解之得：a y14,b,c 2.，63124x+x2，63142(4)2(4)2，633当 x4 时，yD(4，2)3（2）如图 1 中，点 N，直线 l 即为所求如图 2 中，设线段 MN 的垂直平分线交抛物线对称轴于 P，交 MN 于点 Q，过点 M 作MHCD，过点 Q 作 QJCD 于 J，QTM
34、H 于 T由题意 A（6，0），B（0，2），C（4，8），直线 AC 的解析式为 y4x+24，直线 AB 的解析式为 y1x+2，直线 BC 的解析式为 y33x+2，21x+t，3MNAB，可以假设直线 MN 的解析式为 y3t721xyxt11由，解得，312t24yy4x2411M（3t 7212t 24，），11113126ty x2x211由解得，149t yxty311N（126t49t，），1111603t21t 20，），2222603t283t21t 2024t 48283t+4，QT，2222222222Q（QJCD，QTMH，QJQJQT，PJQMTQ90，QPJQM
35、T，QJQT，PJQMTQ（AAS），PQMQ，PQM90，PMNMPQ45，PMPN，PMNPNM45，MPN90，PMN 是等腰直角三角形，MN2，故选项 D 正确，B，C 错误，MP将三角形纸片 ABC 折叠，使得点 A 落在直线 AB 上，且点 M 落在边 BC 上，折痕与 AB 垂直，故选项 A 正确，故答案为：A，D设 P（4，m）PDQPMN，PMN 是等腰直角三角形，PDQ 是等腰直角三角形，DPQ90，DPPQm+2，3Q（4+m+210，m），即 Q（+m，m），33124110410 x x2，得到，m(m)2+(m)2，636333把 Q 的坐标代入y 整理得，9m24
36、2m320，解得 m162或（舍弃），3316），316）也满足条件，31616)或(10，)33Q（2，根据对称性可知 Q（10，综上所述，满足条件的点 Q 的坐标为(2，【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，证明PMN 是等腰直角三角形是本题的突破点28.如图 1，ABCDEF90，AB，FE，DC 为铅直方向的边，AF，ED，BC 为水平方向的边，点 E 在 AB，CD 之间，且在 AF，BC 之间，我们称这样的图形为“L 图形”，记作“L 图形 ABCDEF”若直
37、线将 L 图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线为该 L 图形的面积平分线【活动】小华同学给出了图 1 的面积平分线的一个作图方案：如图 2，将这个 L 图形分成矩形 AGEF、矩形 GBCD，这两个矩形的对称中心 O1，O2所在直线是该 L 图形的面积平分线请用无刻度的直尺在图 1 中作出其他的面积平分线（作出一种即可，不写作法，保留作图痕迹）【思考】如图 3，直线O1O2是小华作的面积平分线，它与边 BC，AF 分别交于点 M，N，过MN 的中点 O 的直线分别交边 BC，直线 PQAF 于点 P，Q，的面积平分线（填“是”或“不是”）L 图形 ABCDEF【应用】在 L 图形 ABC
38、DEF 形中，已知 AB4，BC6（1）如图 4，CDAF1该 L 图形的面积平分线与两条水平的边分别相交于点 P，Q，求 PQ 长的最大值；该 L 图形的面积平分线与边 AB，CD 分别相交于点 G，H，当 GH 的长取最小值时，BG的长为（2）设CDt（t0），在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，如果只有与AF边 AB，CD 相交的面积平分线，直接写出 t 的取值范围【答案】【活动】见解析；【思考】是；【应用】（1）5；【解析】123；（2）t433【分析】活动如图 1，根据题意把原本图形分成左右两个矩形，这两个矩形的对称中心O1，O2所在直线是该 L 图形的面积平分线；思考如图
39、 2，证明OQNOPM（AAS），根据割补法可得直线 PQ 是 L 图形 ABCDEF的面积平分线；应用（1）建立平面直角坐标系，分两种情况：如图 31 和 32，根据中点坐标公式和待定系数法可得面积平分线的解析式，并计算 P 和 Q 的坐标，利用两点的距离公式可得 PQ 的长，并比较大小可得结论；当 GHAB 时，GH 最小，设 BGx，根据面积相等列方程，解出即可；（2）如图5，由已知得：CDtAF，直线DE 将图形分成上下两个矩形，当上矩形面积小于下矩形面积时，在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边 AB，CD 相交的面积平分线，列不等式可得 t 的取值【详解】解：【活动
40、】如图 1，直线 O1O2是该 L 图形的面积平分线；【思考】如图 2，AB90，AFBC，NQOMPO，点 O 是 MN 的中点，ONOM，在OQN 和OPM 中，NQO MPONOQ MOP，ONOWOQNOPM（AAS），SOQNSOPM，S梯形ABMNSMNFEDC，S梯形ABMNSOPMSMNFEDCSOQN，即 SABPONSCDEFQOM，SABPON+SOQNSCDEFQOM+SOPM，即 S梯形ABPQSCDEFQP，直线 PQ 是 L 图形 ABCDEF 的面积平分线故答案为：是；【应用】（1）如图 31，以直线 OC 为 x 轴，OA 为 y 轴，以 B 为原点，建立平面
41、直角坐标系，同理确定 L 图形 ABCDEF 的面积平分线：直线 O1O2，AB4，BC6，AFCD1，B（0，0），F（1，4），D（6，1），K（1，0），线段 BF 的中点 O1的坐标为（711，2），线段 DK 的中点 O2的坐标为（，），222设直线 O1O2的解析式为：ykx+b，11kb2k 22则，解得：，719kbb242直线 O1O2的解析式为：y当 y0 时，91x+，24991x+0，解得：x，242Q（9，0），2591x+1，解得：x，224当 y1 时，P（5，1），2PQ()2(10)25；如图 32，同理确定平面直角坐标系，画出 L 图形 ABCDEF 的面积
42、平分线：直线 O3O4，9252G（0，1），F（1，4），C（6，0），线段 GF 的中点 O3的坐标为（511，），线段 CG 的中点 O4的坐标为（3，），222设直线 O3O4的解析式为：ymx+n，451m mn252则，解得：，1293mnn210直线 O3O4的解析式为：y当 y0 时，429x+，51042929x+0，解得：x，5108Q（29，0），8194291，解得：x，x+5108当 y1 时，P（19，1），82919241；)(10)2884PQ(415；4PQ 长的最大值为5；如图 4，当 GHAB 时 GH 最短，过点 E 作 EMAB 于 M，设 BGx，则
43、 MG1x，根据上下两部分面积相等可知，6x（41）1+（1x）6，解得 x33，即 BG；443；4故答案为：（2）CDt（t0），AFCDtAF，在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边 AB，CD 相交的面积平分线，如图 5，直线 DE 将图形分成上下两个矩形，当上矩形面积小于下矩形面积时，在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边 AB，CD 相交的面积平分线，即（4tAF）AF6tAF，AF46，t0AF6，0466，t12 t 3312t33故答案为：【点睛】本题是四边形的综合题，考查了应用与设计作图，矩形的性质和判定，四边形面积的平分，三角形全等的性质和判定等知识，并结合平面直角坐标系计算线段的长，明确面积平分线的画法，并熟练掌握矩形面积平分线是过对角线交点的性质是解题的关键