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1、二次函数的知识点整理 知识考点梳理 考点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果2(,0)yaxbxc a b ca是常数，那么y叫做x的二次函数。2(,0)yaxbxc a b ca是常数，叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于2bxa 对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。3、二次函数图像的画法 五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点 M，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线2yaxbxc与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点 A,B 及抛物线与y轴的交点
2、 C，再找到点 C 的对称点 D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点 C 及对称点 D。由C、M、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点 A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。考点二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：2(,0)yaxbxc a b ca是常数，（2）顶点式：2()(,0)ya xhk a h ka是常数，（3）交点式：当抛物线2yaxbxc与x轴有交点时，即对应二次好方程20axbxc 有 实 根1
3、x和2x存 在 时，根 据 二 次 三 项 式 的 分 解 因 式212()()axbxca xxxx，二 次 函 数2yaxbxc可 转 化 为 两 根 式12()()ya xxxx。如果没有交点，则不能这样表示。考点三、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当2bxa 时，244acbya最值。如果自变量的取值范围是12xxx，那么，首先要看2ba是否在自变量取值范围12xxx 内，若在此范围内，则当2bxa 时，244acbya最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在12xxx 范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当2x
4、x时，222yaxbxc最大，当1xx时，211yaxbxc最小；如果在此范围内，y 随 x 的增大而减小，则当1xx时，211yaxbxc最大，当2xx时，222yaxbxc最小。考点四、二次函数的性质 1、二次函数的图像与性质 二次函数2(,0)yaxbxc a b ca是常数，a0 a0 y 0 x y 0 x （1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是2bxa，顶点坐标是（2ba，244acba）；（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是2bxa，顶点坐标是（2ba，244acba）；（3）在对称轴的左侧，即当2bxa 时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当
5、2bxa 时，y随x的增大而增大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当2bxa 时，y有最小值，244acbya最小值（3）在对称轴的左侧，即当 x,，或=”）（黄埔 2010）20.已知二次函数22yxbxc的图像经过点1,1与 1,9.（1）求此函数的解析式；（2）用配方法求此函数图像的顶点坐标.（杨浦区）20（本题满分 10 分）已知二次函数cbxaxy2的图像经过点（-1，3）、（1，3）和（2，6），求这个二次函数的解析式，并写出它的图像的顶点坐标和对称轴 （卢湾区 2011）已知抛物线24yaxaxc与y轴交于点 0,3A，点B是抛物线上的点，且满足ABx轴，点C是抛物线的顶点.
6、（1）求抛物线的对称轴及B点坐标；（2）若抛物线经过点 2,0，求抛物线的表达式；（3）对（2）中的抛物线，点D在线段AB上，若以点A、C、D为顶点的三角形与AOC相似，试求点D的坐标.（嘉定区 2010）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(10,0)，点B在第二象限，10OB，cot3AOB（如图 11），一个二次函数2yaxb的图像经过点A、B （1）试确定点B的坐标；（2）求这个二次函数的解析式；（3）设这个二次函数图像的顶点为C，ABO绕着点O按顺 时针方向旋转，点B落在y轴的正半轴上的点D，点A落在点 E上，试求sinECD的值 x y 图 11 A B O 1 1-1-1（奉贤区
7、 2010）24（本题满分 12 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 6 分）如图，已知抛物线与x轴交于点(2 0)A，(4 0)B，与 y 轴交于点(0 8)C，（1）求抛物线的解析式及其顶点 D 的坐标；（2）设直线 CD 交x轴于点 E在线段 OB 的垂直平分线上是否 存在点 P，使得点 P 到直线 CD 的距离等于点 P 到原点 O 的距离？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由；A B C O x y 第 24 题图（闸北 2011）24（本题满分 12 分）小强在一次投篮训练中，从距地面高 1.55 米处的 O 点投出一球向篮圈中心 A 点投去，球的飞行路线为抛物
8、线，当球达到离地面最大高度 3.55 米时，球移动的水平距离为 2 米 现以 O 点为坐标原点，建立直角坐标系（如图 13 所示），测得 OA 与水平方向 OC 的夹角为30o，A、两点相距 1.5 米（1）求点 A 的坐标；（2）求篮球飞行路线所在抛物线的解析式；（3）判断小强这一投能否把球从 O 点直接投入篮圈 A 点（排除篮板球），如果能的，请说明理由；如果不能，那么前后移动多少米，就能使刚才 那一投直接命中篮圈 A 点了(结果可保留根号)O Cx y A(图 13)（徐汇区 2011）（长宁区）22.（本题满分 10 分）如图，在平面直角坐标系中，OBOA，且2OBOA，1,2A （1）分别过点A、B作x轴的垂线，垂足是C、D求证；ACOODB（2）求B点的坐标；（3）设过A、B、O三点的抛物线的对称轴为直线l，在直线l上求点P，使得ABPABOSS xyBAO