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1、.第一节第一节 数列的概念及其表示法数列的概念及其表示法考 点 串 串 讲1数列的定义(1)定义按一定顺序排成的一列数叫做数列如a1，a2，a3，an，简记为an，数列中的一个数叫做数列的项，项所在的位置叫做项的序号，也叫项数，用下标表示，如 a3 表示第 3 项，a10 表示第 10 项，an 表示第 n 项(2)对数列定义的理解：()数列an与集合a1，a2，an，不同，前者是借用集合符号表示数列，如数列1111，23n11n1可记为，它表示数列，而数列那么表示数列n211n0,1,0,1,0,1，2从数列中可以看出数列中项的值可以重复，而集合中是不允许的a1，a2，an，表示集合，其中的
2、元素是a1，a2，an，这些数，它们是互不相等的，根据集合的意义，这些元素可以在集合中的任何一个位置，即它们在集合中是无序的，然而数列中每一个数它们的位置是固定的，因为数列中的数是按一定顺序排列而成的 如数列13，1，2，22与数列131，2，22这两个数列虽然它们都是由同样的几个数组成，但由于它们所处的位置不同，因此这是两个不同的数列()an 与an不同根据定义 an 表示数列的第 n 项，如 a1 表示第 1 项，an1 表示第 n1 项，所以 an 也叫做数列的通项而an是数列 a1，a2，an，的一种简写的形式特别地，当 an 可以用一个解析式子表示时，可以直接将这个式子写在花括号内来
3、表示数列所以an 与an是数列的第 n 项与整个数列的关系()多少个数才能称为“一列数两个数不能称为一列，三个或三个以上(可以重复)的数，才能称为一列数，所以数列的项数n 最少为 3.()数列的本质是函数从数列的定义中，可以看出，在一个数列中，其中任一项的值，由这个项的“序号唯一确定，也就是说数列中每个项的值是其项的序号的函数，即anf(n)，nN.如此看来，数列就可看作是定义在正整数集N或其有限真子集1,2，n上的函数，当自变量 n 从小到大依次取值时对应的一列函数值这种从“函数的观点看待数列的思想使我们有可能借助熟悉的研究函数的方法来研究数列 但是要特别注意：对数列来说，定义域不是 1 个
4、或几个区间，而是正整数集N或某个真子集，这就是数列的个性特征.专心.反思数列的定义可以看出：数列最突出的特点是其项的离散性和有序性 因此，关注每个项的“下标(项的序号)就成了研究数列的最重要的切入点2数列的表示法(1)列举法把数列an的项依次列举出来：a1，a2，a3，an，这种方法称为列举法，其中 an(n1,2,3，)叫做第 n 项(又叫通项)，列举法在提出问题与分析问题时广泛使用，如1111问题一：等比数列，求数列的前 n 项和24816问题二：等差数列1,4,7,10，求这个数列的通项等等，这些数列都是用列举法形式给出用列举法给出的数列直观，由于规律隐含在前面给出的这些项中，所以又很抽
5、象分析或解1决问题时，要从中抽象出通项来如从问题一的数列中抽象出 an，nN，从问题二2n的数列中抽象出 an3n2，nN.(2)图象法和函数一样，在直角坐标平面内描绘出数列an的一系列散点图，这也是给出数列的一种方式这种表示方法也具有很强的直观性，可以直接从图象上了解到项an 与自变量 n 之间的变化趋势，但是确定的函数关系并不清楚如果要求通项anf(n)可以像拟合函数一样来拟合数列(3)解析法数列的通项公式把数列an的第 n 项 an 用 n 的解析式表示出来，这种方法称为解析法这个解析式叫做数列的通项公式，即 anf(n)，nN.通项公式表达了数列的本质规律，它在计算或讨论数列的性质时，
6、有独特的直接作用，因此成为人们经常使用的一种方法如同有的函数找不到解析式一样，不是所有的数列都能用解析法表示(4)递推法数列an还可用它的第一项(或前几项)和一个由连续几项构成的递推式 an1f(an，an1，)联合给出，这种方法称为递推法如 a12，an1an1(nN)，从 n1 开始从小到大依次可以写出数列的全部项3数列的分类不同的标准导致不同的分类(1)按数列的项数多少可分为有穷数列与无穷数列注意有穷数列与无穷数列的列举法表示111如 1，为有穷数列，这个数列只有4 项248111而 1，为无穷数列，有无穷多项248(2)按邻项的大小来分类可分为常数列、单调数列与摆动数列一般地，对于数列
7、an：假设恒有 anan1(nN)an为递增数列；假设恒有 anan1(nN)an为常数列；假设恒有 anan1(nN)an为递减数列；.专心.假设相邻大小顺序不固定an为摆动数列递增数列与递减数列统称为单调数列，假设数列是单调数列，那么称这个数列具有单调性(3)周期数列：如果对所有的nN，都有 ankan(k 为常数)，那么称an为以 k 为周期的周期数列(4)有界数列：如果对所有的nN，都有|an|M 或|an|M，那么称an为有界数列，否那么称an为无界数列(5)正项数列：如果数列an中所有的项都满足 an0，那么数列an叫做正项数列4Sn 求 an数列的前 n 项和公式，求数列的通项公
8、式，其方法是 anSnSn1(n2)这里常常因为忽略了 n2 的条件而出错，即由 anSnSn1 求得 an 时的 n 是从 2 开始的自然数否那么会出现当 n1 时，Sn1S0 而与前 n 项和定义矛盾可见 anSnSn1 不一定是数列an的通项公式，只有验算了由anSnSn1 所确定的 an，当(n1，nN*)n1 时的 a1与 S1 相等时，an 才是通项公式，否那么要用分段函数表示为n1S1，anSnSn1.n2.典 例 对 对 碰题型一 由数列的前几项写出通项公式例 1 写出下面数列的一个通项公式1111(1)2，4，6，8，；24816(2)10,11,10,11,10,11，；8
9、1524(3)1，.57911111解析(1)这是个混合数列，可看成2，4，6，8，.故通项公式 an2n.248162n(2)该数列中各项每两个元素重复一遍，可以利用这个周期性求 an.原数列可变形为：100,1011n1,100,101，.故其一个通项为 an10.23(3)通项符号为(1)n，如果把第一项1 看作，那么分母为 3,5,7,9，分母通项为 2n31；分子为 3,8,15,24，分子通项为(n1)21 即 n(n2)，所以原数列通项为 an(n22n1)n.2n1点评仅给出函数的前n 项，其通项公式并非唯一，如(2)中通项公式可为an10|sin.专心.n1|，但是，假设给出
10、数列通项公式，那么数列被唯一确定.2.变式迁移 1写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，；1371531(2)，；248163231313(3)1，；23456210172637(4)，1，；3791113(5)3,33,333,3333，.解析(1)各项减去 1 后为正偶数，所以 an2n1.2n1(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列 21,22,23,24，所以 an.2n(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为 1，偶数项为 3，即奇数项为 221n1，偶数项为 21
11、，所以 an(1)n.n也可写为 an3n，n为正偶数.1，n为正奇数，n(4)偶数项为负，奇数项为正，故通项公式必含因子(1)n1，观察各项绝对值组成的数列，由第 3 项到第 6 项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子那么是321,421,521,62121221n211，按照这样的规律第1、2 两项可改写为，所以 an(1)n1.212212n19999999999(5)将数列各项改写为：，分母都是 3，而分子分别是 101,1021,103333311,1041，所以 an(10n1).3题型二 由递推公式写出数列前几项例 2 数列an中，a11，a23，a2 n1anan
12、2(1)n，求数列的前 5 项a2 n11n解析把条件写成 an2，有ana2 2a11，a23，a3a2 3a4a2 4a51a21a31a1132110，12102133，333321109，10故前 5 项分别为 1,3,10,33,109.专心.变式迁移 2数列an中，a11，对所有 n2，都有 a1a2a3ann2，那么 a3a5_.答案6116449解析令 n2，得 a1a2224，故 a2 4；令 n3，得 a1a2a3329，故 a3a11a1a291616；令 n4，得 a1a2a3a44216，故 a4；再令 n5，得 a1a2a3a4a5524a1a2a3925，故 a5
13、252592561.从而 a3a5.a1a2a3a41641616题型三 与数列的性质有关的问题n2例 3 数列的通项公式为 an，n21(1)0.98 是不是它的项？(2)判断此数列的增减性和有界性n2解析(1)令0.98，解得 n7，所以 0.98 是此数列的第 7 项n21(2)an1ann12n2n121n212n10，n121n21an1an，故此数列是递增数列；n21又|11，n21n21此数列是有界数列.变式迁移 310数列an的通项 an(n1)()n(nN*)试问该数列an有没有最大项？假设有，求出最11大项和最大项的项数；假设没有，说明理由1010109n解析an1an(n
14、2)()n1(n1)()n()n，11111111当 n9 时，an1an0，即 an1an；当 n9 时，an1an0，即 an1an.当 n9 时，an1an0，即 an1an.故 a1a2a9a10a11a1210数列an的最大项为 a9 或 a10，其值为 10()9，其项数为 9 或 10.11题型四 由递推公式求通项公式例 4 数列an满足 a11，an3n1an1(n2)，求通项公式 an.解析解法一：由 a11，an3n1an1(n2)得.专心.a11，a231a1，a332a2，an13n2an2，an3n1an1.等式两端对应分别相加得an13323n13n1所以 an.2
15、解法二：由 an3n1an1 得an3n1an13n13n2an23n13n23n3an33n13n232a23n13n23231a13n13n2323113n1.2点评解法一是抓住了等式两端 an 与 an1 系数相等这一特点；解法二是一种常见的重要方法，它的关键是依次将 an1，an2，a2，a1 代入，抓住式子特点，转化为等比数列前 n 项和.变式迁移 42an数列an中，a11，an1，求该数列的通项公式 an.an22an解析由 an1得 2an2an1anan1，an2111两边同除以 anan1，得，an1an2111所以数列是以1 为首项，为公差的等差数列，ana12111所以
16、(n1)，ana121n12即，所以 an.an2n1题型五 数列的前 n 项和 Sn 与通项 an3例 5 设 Sn 为数列an的前 n 项和，且 Sn(an1)(nN*)求数列an的通项公式23解析Sn(an1)，23当 n1 时，S1a1(a11)2.专心.3n1，2.解得 a13.当 n2 时，33anSnSn1(an1)(an11)22得an3，an1当 n2 时，数列an是以 3 为公比的等比数列，且首项 a23a19.n2 时，an93n23n.显然，当 n1 时也成立故数列的通项公式为an3n(nN*).变式迁移 5下面各数列an的前 n 项和 Sn 的公式，求an的通项公式(
17、1)Sn2n23n；(2)Sn3n2.解析(1)a1S11，当 n2 时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5.由于 a1 也适合此等式，因此an4n5(nN*)(2)a1S11，当 n2 时，anSnSn1(3n2)(3n12)23n1.n1，1an23n1n2.【教师备课资源】题型六 数列的周期性问题例 6 数列an的前 4 项分别为 2008,2009,2010,2011，且对于任意非零自然数 n，都有 an4an3an2an1an，那么 a2009()A2008B2009C2010D2011解析an4an3an2an1an，an5an4an3an2an1，以上两式相
18、加得 an5an，故 an10an5an，即数列an是周期为 10 的周期数列，a2009a9a42011，选 D.答案D点评数列的通项公式是一种特殊的函数关系式，因此周期数列的定义形式与周期函数的定义形式很相似，由递推关系推导数列的周期性可以类比函数周期性的推导，关键是脚标的数字特征及转化技巧，对于大部分选择题来说，我们只需要由递推公式求出前几项，就可以猜测出数列的周期，不需要推理证明.变式迁移 6假设数列an满足.专心.an12an1，65A.B.7731C.D.77答案B12an，0an21an126，且 a1，那么 a20 的值为()76165515331解析由 a1 ，1)，知 a2
19、2 1；由 ，1)，知 a32 1；由 0，)，7277727772365知 a42 ；.据此可知an是周期为 3 的周期数列a20a2.777题型七 数列与图形例 7 如下图，一条螺旋线用如下方法画成：ABC 是边长为 1 的正三角形，曲线CA1、A1A2、A2A3 分别是以 A、B、C 为圆心，AC、BA1、CA2 为半径画的弧，曲线CA1A2A3 称为螺旋线旋转一圈然后又以A 为圆心，AA3为半径画弧，这样旋转到第 n 圈，那么所得螺旋线的长度ln_.(用 表示即可)分析此题将螺旋线的弧长作为数列的通项来求解，考查了数列通项与求和的知识223n解析ln(1233n)33答案(3n2n)2
20、点评此题错误率的最高点在于将此螺旋线的长度视作是 n 条弧长的和，计算得 ln(132n23n)31nn2n23.13n(3n2n).2变式迁移 7根据以下 5 个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有_个点.专心.答案n2n1解析图(1)中为 120；图(2)中为 221；图(3)中为 322；图(4)中为 423；图(5)中为524，故第 n 个图中为 n2(n1)n2n1.专题由递推关系式求数列通项公式的问题(一)形如 an1panr(p 为常数，p0，p1)的一阶递推数列的通项求法(1)an1panr(p 为常数，p0，p1，r 为常数)的递推数列的通项例如 a12，an1
21、2an1，求数列an的通项 an.方法一：(迭代法)a12，an12an1an2an112(2an21)122an22122(2an31)2123an322212n1a12n22n3212n(12222n2)2n112n212n2n112n11.说明迭代法就是根据递推公式从an 开始不断地反复地代入递推下去，直到 a1 为止，达到求出 an 的目的使用迭代法，要善于观察过程中每一项与项数的规律，这样才能保证递推的正确性方法二：(阶差法)由 an12an1，得an2an11(n2)，an1an2(anan1)，令 bnan1an，那么bn2bn1(n2)，a12，a22a112213.b1a2a
22、1321，bn2n1.即an1an2n1.(注：也可不必累加，见题后说明)a2a11，a3a22，a4a322，anan12n2.以上 n1 个等式相加，得ana112222n22n11即 an22n11.21.专心.说明将递推式上升一阶或下降一阶后作差，其目的就是为了消去常数项，通过换元构造一个新的等比数列，求出连续两项的差再用叠加(或称累加)法求出通项 an.此题中在得到阶差 an1an2n1 后将 an12an1 代入得 an2n11，这里表达了一种方程思想方法三：由 an12an1，得an1an1()n1.2n12n2an令 bn，得2n1bn1bn()n121b2b1()221b3b
23、2()321bnbn1()n2以上 n1 个等式相加，得bnb1111()2()3()n2221111 1()2()n2422211n121 411211(1)22n111bnb1 22na111 222n111 22n11，22nan11即，2n22nan2n11.说明对于形如 an1panr(p0，p1，p 为常数)的递推数列，可以将递推式的两边同除以 pn1，得.专心.an1an1r()n1.ppn1pnan1令 bn，得 bn1bnr()n1.pnp然后赋值累加，得r111bnb1(1)p2pp2pn211pn1rb1p211pana1pnppr1(1)p1pn1rran(a1)pn1
24、(nN)p1p1注意同除以 pn 的目的是为了形成连续两项差的形式！方法四：(拆分法)由 an12an1，得 an112(an1)令 bnan1，那么 b1a11211，bn12bn，数列bn为等比数列，首项为 1，公比为 2.bn12n12n1，即 an12n1.an2n11.说明这里是将常数项1 拆分成21，拆分的目的是为了构造新的等差或等比数列，便于运用公式求解方法五：(待定系数法)令 an12(an)，得an12an.和原递推式比较对应项得1，an112(an1)以下同方法四说明有时拆分目标不明确，因此采用这种待定系数法方便，同样可以起到转化的目的方法六：(特征方程法)根据 an12a
25、n1，令 x2x1，解得 x1.递推公式可以化为an112(an1)以下同方法一说明方法六与方法五比较，免去了待定系数变换的过程，而是直接由一个方程求出 的值这个方程 x2x1 叫做递推式 an12an1 的特征方程一般一阶递推公式 an1panr(p、r 为常数，p0，p1)的特征方程为 xpxr.r解这个方程，得 x.1prran1p(an)1p1p.专心.rr令 bnan，得 b1a1.1p1pbn1pbn.r数列bn为等比数列，首项为a1，公比为 p.1prbn(a1)pn1.1prr即 an(a1)pn1.1p1prran(a1)pn1(nN)1p1p说明采用特征方程的目的是为了将递
26、推式转化为新的等比数列bn，其中 bnan 的形式，而 就是特征方程 xpxr 的根小结在以上的六种方法中，除方法四外都具有一般性 方法一与方法二运算麻烦，方法三虽然有点麻烦，但构造新数列很特别，具有使用和推广的重要价值，方法四虽然特殊，但如果能一下子将递推式拆分成 an1p(an)的形式时可不必去用待定系数法去解特征方程从方法四到方法六，这三种方法都是在围绕如何迅速找到，使得an1p(an)，方法五是用待定系数法，方法六是用特征方程求.比较起来，六种方法中，特征方程既方便，又快捷(2)an1panknr(p、k、r 为常数，p0，k0)例如 a11，an12an3n1，求数列an的通项解由
27、an12an(3n1)得an1an3n1.2n12n2n1an令 bn，得2n1bn1bn(3n1)()n1，21b2b14()221b3b27()321bnbn1(3n2)()n.2将以上 n1 个等式相加，得111bnb14()27()3(3n2)()n2221111即 bn 4()27()3(3n2)()n222211111 bn()24()3(3n5)()n(3n2)()n122222得.专心.111111bn 3()23()33()n(3n2)()n122222211n12131 (3n2)()n12412121311 1()n1(3n2)()n1222211bn13(1)(3n2)
28、()n22n13n44.2n3n4an即4.2n2nan2n23n4(nN)说明当递推公式是 an1panknr(p、k、r 为常数且 p0，k0)时，假设 p1 我们可以像(1)中的方法三那样，两边同除以pn1 得到an1an1(knr)()n1.ppn1pnan令 bn，得pn1bn1bn(knr)()n1.p赋值，累加，得111bnb1(kr)()2(2kr)()3(n1)kr()n，pppan再用错位相减法，求出 bn，再由 bn，得 anbnpn.pn假设 p1，可直接由 an1anknr，赋值，累加求出 an.(3)递推式为 an1pancqn(c、p、q 为常数，且 c0，p0，
29、q0,1)解将递推式两边同除以pn1，得an1anc q()n，pn1pnp panc q令 bn，得 bn1bn()n，pnp pc q再将递推式 bn1bn()n，p p从 n1 到 n1 赋值累加得c qqqbnb1()()2()n1p ppp假设 pq，那么bn为等差数列，cbnb1(n1)p.专心.1(cna1c)，p此时 anpn1(cna1c)假设 pq，那么q1n1pa1cqbnpp2q1pa1ppncq(pn1qn1)pqcqana1pn1(pn1qn1)pq(a1cqcqn)pn1pqpq综合，得pn1na11pq.ancqcqna1pn1pqpqpq(二)形如 an2pa
30、n1qan(p、q 为常数，且 p0，q0)的二阶递推数列的通项求法如 a11，a22，an22an13an(nN)，求数列an的通项方法一：(拆分法)由 an22an13an，得an2an13(an1an)令 bnan1an，得 b1a2a13.bn13bn，bn为等比数列，且首项 b13，公比 q3.bn3n，即 an1an3n.an1an3n.两边同除以(1)n1，得an11n1令 Cnan(3)n1nan，得 Cn1Cn(3)n，1nC2C1(3)，C3C2(3)2，CnCn1(3)n1，以上 n1 个等式相加，得CnC1(3)(3)2(3)n133n33nC11441(3)n14.专
31、心.an1(3)n11n41n3n1.4即an说明(1)也可以这样来拆分，即an23an1(an13an)令 bnan13an，得 bn1bn.数列bn为等比数列，公比为1，首项为 b1a23a11，bn(1)n，即 an13an(1)n.两边同除以 3n1 得an1an11()n.3n13n33以下同方法一(2)拆分的目的是为了能够构造新的等比数列，将二阶递推降为一阶递推，使之转化为我们已经熟悉的 an1panr 的形式(3)两种不同的拆分都与 3 和1 这两个数有关而 3 和1 正好是方程 x22x30 的两个根因此我们把方程 x22x3 叫做由递推公式 an22an13an 给出的数列a
32、n的特征方程一般地，我们希望存在两个实数1 与 2，使得 an21an12(an11an)对任意的正整数 n 都成立由此，得到 an2(12)an112an.比较递推公式中，对应项的系数，得12p，12q.1，2 是方程 x2pxq0 的两个实根我们把这个方程就叫做由递推公式 an2pan1qan 给出的二阶递推数列的特征方程，1 与 2 叫特征根有时用拆分法很难找到特征根，因此采用特征方程求特征根既省时，又方便例如裴波那契数列，a1a21，an2an1an 求 an.解(特征方程法)特征方程为 x2x1.1 5解之，得 x，21 51 51 51 5即 1，2或 1，2.2222随便取一组，
33、得1 51 51 5an2an1(an1an)2221 51 51 51 5令 bnan1an，得 b1a2a1，bn1bn.22221 51 5bn为等比数列，且首项为，公比为.221 5bn()n.21 51 5即 an1an()n.22.专心.1 5两边同除以()n1，得2an11 5n12令 Cn5153an()n221 5n2an，得1 5n25153()n225153()，22Cn1CnC2C1C3C2CnCn15153()2，225153()n1.22以上 n1 个等式相加，得CnC1又 C151535353()2()n1222251a1，21 52515353531()2()n
34、12222Cn531n25125312即5351()n5253an51()n521 5n21 55 1 5()n()n(nN)522an这就是著名的裴波那契数列的通项公式an(三)形如 an1(r、p 为常数，且 rp0)的简单分式递推数列的通项求法ranp1p1将递推公式化为r 的形式，令 bn，那么 bn1pbnr.anan1an1假设 p1，那么 bn1bnr(常数)1此时bn为等差数列，首项为 b1，公差为 r.a1.专心.1bn(n1)ra111即(n1)rana1an11a1.n1r2假设 p1，由 bn1pbnr，且 r 为常数r解特征方程，xpxr，得 x.1prrbn1p(b
35、n)1p1prr1r令 Cnbn，C1b1，Cn1pCn.1p1pa11p1rCn是等比数列，首项为，公比为 p.a11p1rCn()pn1.a11pr1r即 bn()pn1.1pa11pr1rbn()pn1.1pa11panr1p(nN)1rpn1a11p1(四)由递推式 an1f(n)an(nN)给出的数列an的通项形如 an1f(n)an(nN)的递推数列没有一般的求解法那么，但有一些这样的递推数列还是可求的n1例如(1)在数列an中，a12，an1an，求通项 an；n(2)在数列an中，a11，an1(n1)an，求通项 an；(3)在数列an中，a11，an12nan，求通项 an
36、.an1n1解(1)，anna2 a3an2 3n n，a1 a2an11 2n1an即n，an2n(nN)a1an1(2)n1ana2 a3 a4an234n，a1 a2 a3an1an即234n，a1.专心.ana1234nn!an1(3)2n，ana2 a3ana1 a2an121222n1212(n1)2n nn n1 12 2，an即a12n nn n1 12 2.ana1(nN)说明从上面可以看出，如果f(n)的前 n 项的积可求，那么由递推式 an1f(n)an 可用累乘法求通项 an.(五)与 Sn 有关的递推数列an的通项在数列an中，Sn32an，求 an.2S2 n在数列
37、an中，a11，an(n2)，求 an.2Sn1解anSnSn1(32an)(32an1)2an2an1(n2)，an2an1，an是等比数列，公比为2，首项为 a1S13.an32n1(n1)2S2 nanSnSn1(n2)，2Sn1(SnSn1)(2Sn1)2S2 n，整理，得 Sn1Sn2Sn1Sn.1112，又 a1S11，那么1.SnSn1S11是等差数列，首项为1，公差为 2.Sn11(n1)22n1，Sn2n nn n1 12 22n nn n1 12 21Sn(nN)2n1当 n1 时，a1S11.12当 n2 时，将 Sn代入原递推式中，得 an.2n12n12n3.专心.将
38、 n1 代入，设 a121.1n1an22n12n3n2说明在由递推式 Snf(an)中，有时是消去Sn，如，有时是消去an，如.要灵活运用公式 anSnSn1(n2).方 法 路 路 通1数列具有函数的本质特征是指数列是由定义在自然数集或其有限真子集上的函数，当自变量 n 从小到大依次取值时，所对应的一列函数值 离散性和有序性是数列的两个重要特征，这是数列有别于一般函数的最重要的两点2通项公式是给出数列的一种重要方法，抓住通项公式是解决数列问题的关键3递推公式也是给出数列的一种方法，灵活地运用递推公式表达了递推思想4求数列的最大项与最小项与求函数的最值相似，既可用单调法，还可以根据数列的离散
39、anan1性与有序性的特点，用(n2)这种方法来求，不过要注意使用条件有两个：一是anan1各项符号一致，即不是摆动数列；二是注意所求的an 应与首项 a1 单独比较5给出数列的几项求通项时，常用特征分析法和化归法，所求的通项并不唯一6数列的通项 an 和数列的前 n 项和 Sn 是数列中两个重要的量，要注意各自的意义和相互间的关系在使用公式 anSnSn1 时切不可忽略 n2 的条件7数列是一类特殊的函数，数列的有关概念应在函数的观点下加深理解，在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍适用性，又要注意数列方法的特殊性8数列的通项公式的一般求法(1)数列的前几项，写出数列的通项公式，主要从以下几
40、个方面来考虑：负号用(1)n 或(1)n1 来调节，这是因为 n 和 n1 奇偶交错分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决此类问题虽无固定模式，但也有其规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较的数列)、归纳、转化(转化为等差或等比数列)等方法(2)递推公式求通项，可把每相邻两项的关系列出来，抓住它们的特征进行适当的处理9在处理有关递推数列的问题时，一个核心的理念是转化与化归采用相关的方法，如阶差法、累加(乘)法、构造法、换元法、分解通项法，等等使问题朝着等差、等比数列以及正整数方幂数列方向转化，最
41、终用这三种数列的知识去求解10递推思想与方法是求解递推数列的一种重要的途径，特别是当数列结构尚不明确时，递推能够起到“投石问路的作用但要注意这种递推的方法常与数学归纳法联合起来，即递推解决归纳猜想，而数学归纳法那么起到严格证明的作用.正 误 题 题 辨例数列an的前 n 项和 Snaqn(a0，q1，q 为非零常数)，那么数列an()A是等差数列B是等比数列C既不是等差数列，又不是等比数列D既是等差数列又是等比数列.专心.错解an1Sn1Snaqn1aqnaqn(q1)anSnSn1aqn1(q1)，an1q(常数)an数列an为等比数列应选B.点击忽略了 anSnSn1 中隐含条件 n2.正解当 n1 时，a1S1aq当 n2 时，anSnSn1aqn1(q1)an1aqn(q1)，an1q(n2)为常数ana2但q1qa1数列an从第二项起为等比数列，但整体不等比，应选C.答案C.专心.