大一高数基础练习题.pdf

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1、大一高数基础练习题大一高数基础练习题LTLT高等数学高等数学（理工类）（理工类）1.1.设设y f(x)的定义域为的定义域为(0,1，(x)1ln x，则复合函，则复合函数数y f(x)的定义域为的定义域为_；0 ln x 1,x1,e)ax2.2.已知已知x 0时，时，arctan3x与与cos是等价无穷小，则是等价无穷小，则xa 3x3_；limarctan1,axax0a 3；_；3 3 函函 数数y sin2x cosx6，则则d y 1(2cos 2x sin2x)dxx2；的的 拐拐 点点 为为 _；24 4 函函 数数y xexy ex(x 2)0,x 2，(2,2e)，当，当a

2、=_=_时，时，f(x)在在5 5设函数设函数x sin x,x 2f(x)a x,x 212；处连续；处连续；2y6.6.设设y y(x)是由方程是由方程ey则则y _；e xy xy 2 0所确定的隐函数，所确定的隐函数，7 7函函数数f(x)11ex1x的的跳跳跃跃间间断断点点是是_；f(1)0,f(1)1,x 1；第第 2 2 页页 共共 27 27 页页8 8定积分定积分11(1 x2sin x)dx_；2101 x2dx 29 9已已知知点点空空间间三三个个点点M(1,1,1),A(2,2,1),B(2,1,2),则则 AMBAMB=_；3；1010 已知已知a (2,3,1)1

3、1求极限求极限b (1,2,3)，则则ab_。(7，51)，。3二、计算题（每小题二、计算题（每小题 6 6 分，共分，共 4242 分）分）ln(1 x2)1limx0arcsin2x222 2求极限求极限limx0sin3x0etdtxsin x=3sin2xesinlimx01cos xx 63 3设设y ex2sin x,求求dy.。dy exdxdxdydx2(2xsin x cosx)d2ydx2x ln 1t24 4、设、设y arctan t求求以及以及1dy1t21tdxt1t2。解解1x ln(1t2)2，d2y1t2 32dxtx)5 5计算不定积分计算不定积分ln(ln

4、dx。x解解ln(lnx)d lnx ln xln(lnx)1dx ln x(ln(ln x)1)Cx6 6、计计算算不不定定积积分分1sec2x1113tan xdxdx d 3 tan xarctan C3 cos2x3sec2x 123tan x 4232 37 7计算定积分计算定积分第第 3 3 页页 共共 27 27 页页第第 4 4 页页 共共 27 27 页页第第 5 5 页页 共共 27 27 页页2 2、设设函函数数ax2f(x)1x 2x 2在在x 2处处连连续续,则则a（）；A；、1；B、0；41C、；D、1、23 3、设设f(x)在在a,b上可导，上可导，且且f(x)0

5、.若若(x)f(t)dt，则则下列说法正确的是（下列说法正确的是（）；C；A、(x)在在a,b上单调减少；上单调减少；B、(x)在在a,b上上单调增加；单调增加；C、(x)在在a,b上为凹函数；上为凹函数；D、(x)在在a,b上上为凸函数。为凸函数。4 4、下列不定积分计算正确的是（、下列不定积分计算正确的是（）；D；Ax0AC、x dx x23c；B、11dx c2xx；、sin xdx cosx c；D、cosxdx sin x c。5 5、设、设f(x)在在a,b上连续，则下列论断不正确的上连续，则下列论断不正确的是（是（）。A；A、f(x)dx是是f(x)的一个原函数；的一个原函数；.

6、B、babxaf(t)dt在在(a,b)内是内是f(x)的一个原函数的一个原函数.；C、f(t)dt在在(a,b)内是内是 f(x)的一个原函数；的一个原函数；D、f(x)x在在(a,b)上可积。上可积。二、填空题（二、填空题（每空每空 3 3 分，共分，共 1515 分分）第第 6 6 页页 共共 27 27 页页6 6、若若2lim1x2lim f(x)2,x则则lim(x21x21)f(x)x；x 1x 12 0；在点在点(；3,2)7 7、曲线、曲线y _；y 2 x21的切线方程为：的切线方程为：_3(x 3)28 8、曲线、曲线y sin x在在(0,2)内的拐点为内的拐点为；(,

7、e)；19 9、当、当p满足条件满足条件_时时,反常积分反常积分收敛；收敛；p 1dxxp；(y)4(y)3 2y x 11010、微微 分分 方方 程程_._.2；的的 阶阶 数数 是是三、计算题（共三、计算题（共 45 45 分）分）1111、求下列函数极限、求下列函数极限(每题每题 6 6 分，共分，共 1212 分分)：(1)(1)limx0 x 111sin3x6x0(2)(2)limx0sint2dtx3sin x21 limx03x231212、求下列函数导数（每题、求下列函数导数（每题 6 6 分，共分，共 1212 分）分）：第第 7 7 页页 共共 27 27 页页(1)(

8、1)设函数设函数y xe解解y etan xtan x1 ln5x 11(x 1)2,求求y；(1 xsec2x)x y ln y 4x 05(2)(2)设函数设函数y fx由方程由方程2定，求定，求y(5,1)；解解1 yy4x yy5所确所确，将将x 5,y 1代入得代入得y(5,1)351313、求下列函数积分（每题、求下列函数积分（每题 7 7 分，共分，共 2121 分）分）：(1)(1)(2)(2)e1x1 x2dx 1 x2C1e1xln xdx ln xdx2(x2ln x2121125e1e112e211)(e21)xdx)(e 2241 x2dx(3)(3)(1 x xco

9、s x x)dx 2102四四、证明题证明题(每小题每小题 8 8 分，共分，共 1616 分）分）x1414、证明：设、证明：设ln(x1)arctan1 xx 0，证证明明设设1f(x)(1 ln x)1 01 x2f(x)(x 1)(1 ln x)arctan x x 0 x则则f(x)f(0)0，ln(x1)arctan1 x第第 8 8 页页 共共 27 27 页页x 01515、设、设f(x)在在0,1上连续，在上连续，在(0,1)上可导，且上可导，且f(1)0，求证在求证在(0,1)内至少存在一点内至少存在一点,使得使得3f()f()0成成立立.证明证明设设F(x)x且且F(0)

10、F(1)03f(x)在在0,1上连续，在上连续，在(0,1)上可导，上可导，3f()f()0，y y由由 罗罗 尔尔 中中 值值 定定 理理 得得，即有，即有F()32f()3f()0五、应用题（共五、应用题（共 9 9 分）分）1616、求曲线求曲线y解解y 2 x与过该曲线上的点与过该曲线上的点(4,2)的切线及的切线及y14轴所围成的图形的面积轴所围成的图形的面积S.2yy 1，y(4,2)，切线方程，切线方程y 2 1(x 4)4，1x 1440340S 62xdx 6x2323第第 9 9 页页 共共 27 27 页页高等数学（上）高等数学（上）一、单项选择题（本题共一、单项选择题（

11、本题共 2020 分，每小题分，每小题 2 2 分）分）1 1、函数、函数y 1；ln(2 x)的定义域为（的定义域为（）D；xAD、x 0且且x 2；B B、B、x 0；C、x 2；、x 2且且x 0。x2 2、lim xsin1；（）C；xAD、；B B、不存在；、不存在；C、1 1；、0 0。3 3、按给定的、按给定的x的变化趋势，下列函数为无穷小的变化趋势，下列函数为无穷小量的是（量的是（）；A；A、x2x x 1x4(x)；B、11 1xx(x )；Cx、12(x 0)；D、sin(x 0)；x4 4、设、设ex,x 0fxa x,x 0要使要使fx在在x 0处连续，则处连续，则a

12、第第 10 10 页页 共共 27 27 页页（）；B；AD、2 2；B、1 1；C、0 0；、-1-1在在(a,b)内（内（）A；A、单调上升，向上凸；、单调上升，向上凸；5 5、设函数、设函数f(x)在在(a,b)内恒有内恒有f(x)0,f(x)0，则曲线，则曲线y f(x)BC、单调下降，向上凸；、单调下降，向上凸；、单调上升，向上凹；、单调上升，向上凹；D、单调下降，、单调下降，向上凹。向上凹。6 6、设、设f(x)(x1)(x2)(x3)(x4)，则方程，则方程f(x)0在实数范围在实数范围内根的个数是（内根的个数是（）；B；AD、4 4；B、3 3；C、2 2；、1 1。1 x2,

13、x 0f(x)xe,x 07 7、设、设，则，则31f(x2)dx（）；B；2x 4x 5,x 2f(x 2)ex2,x 2A11、e1；B、e；C、；333D、2e。8 8、设函数、设函数f(x)在在a,b上是连续的，下列等式中正上是连续的，下列等式中正确的是（确的是（）；C；第第 11 11 页页 共共 27 27 页页AC、(、(baxaf(x)dx)f(x)f(x)dx)f(x)；B、(f(x)dx)f(x)C；D；f(x)dx f(x)。2k19 9、当、当n 时，时，sin1与与为等价无穷小，则为等价无穷小，则k=nn（）；C；A、1；B、1 1；C、2 2；210；-2-2。10

14、10、已知、已知f01，f1 2，f 13，则，则DBADxf xdx（）；、1 1；B、2 2；C、3 3；、4 4。二、填空题（本题共二、填空题（本题共 1010 分，每空分，每空 2 2 分）分）1 1、设、设f(x)2 2x2asintdt,(0 a x),t则则f(2)。；n32)(4n3)2 2、极限、极限lim(2n1)(3n；4；6n3 3、设、设xy esin2x，则，则d2ydx2x0。1；第第 12 12 页页 共共 27 27 页页4 4、函函 数数x 1x,fxx 1,1 x 23 x,x 2的的 不不 连连 续续 点点为为。x 111 x5 5、设、设f，则，则。f

15、x _ xx2三、计算题三、计算题1.1.（8 8 分）求分）求lim3xx9x212x1 lim12x13x9x 12x12x 22 2、（7 7 分）分）4x21 cos2x1lim2 2limx02x0 xxsin xdxcostdtsint3 3、（7 7 分）分）设设dyeysintdx1 eysintx lnsinty eysint 1求求。dydx，dyeycostdt1 eysint，cos x4 4、（8 8 分）设分）设y (sin x)解解设设,求dydx。ln y cosxlnsin x，两两 边边 同同 时时 求求 导导 得得dycos2xcosx(sin x)(si

16、n xlnsin x)dxsin x1115 5、（7 7 分）分）x1cos1dx cosd sin Cxxxx26 6、（7 7 分）分）2220 x cosxdx2x d sin x x sin x0220 22xsin xdx0第第 13 13 页页 共共 27 27 页页24 22xd cos x024 22cos xdx 024 2，7 7、（8 8分）分）cost 3x1x x 92dx令令x 3sect,x29 3tant,dx 3secttantdt，t13dx C arccosCx x2933x1四、综合题四、综合题1 1、（9 9 分）分）求由曲线求由曲线y e,y e,

17、x 0所围平面图形绕所围平面图形绕xx轴旋转的旋转体的体积。轴旋转的旋转体的体积。V e2e2xdx e2012(e21)32(e21)只有一个正根只有一个正根.,x 02 2、（9 9 分）分）证证明方程明方程x证证 明明设设函函数数f(0)1 0 x cos xf(t)t3t cost在在t 0,x连连续续，2令令f(t)3t 1 sint 0，f(t)为单调递增函数，为单调递增函数，又又lim f(x)lim(x xcosx)，由零点定理可知，由零点定理可知f(t)在在3xxf(t)只存在一点在只存在一点在0,x，使在，使在只有一个正根。只有一个正根。f()0，则方程，则方程x3 x c

18、os x第第 14 14 页页 共共 27 27 页页理工高等数学理工高等数学一、填空题（本题共一、填空题（本题共 1515 分，每小题分，每小题 3 3 分）分）1.1.函函数数(,1)(1,1)fx(1,)1x21的的连连续续区区间间是是，a，b均为常数，则均为常数，则a，a 1,b 1；42.2.若若b x2lim ax b 0 xx 1 x2(1 a)x2(a b)x b 0lim ax blimxxx 1x 13.3.设函数设函数y f(x)由方程由方程xy 2ln x y所确定，则曲线所确定，则曲线y f(x)在点（在点（1 1，1 1）处的切线方程是）处的切线方程是_y xy2

19、4y3yx，y(1,1)1，y x24.4.设设y ln(ln x)sec(2x)，则则y.1 4sec xtan xxln x25.5.设设 f af(x)在在x a可可 导导，则则limx0f(a x)f(a)x二二.求下列各题极限（共求下列各题极限（共 2828 分）分）1.1.limx01 x 1 x12xlim1xx0e 12x第第 15 15 页页 共共 27 27 页页2.2.3.3.lim(2sin x cosx)lim1(2sin x cosx 1)ex0 x01x1xx0lim2sin xcos x1x e2limtanx sin xx(1sin x 1)32x0 limt

20、an x(1cosx)3x0122xx3n4.4.(3)n 4nlimn1n(3)4n1 3114 limn343()n 44三计算题（共三计算题（共 3232 分）分）5.5.设设y xarctan3x，求，求y.3xy arctan3x 19x2，6319x2y 319x2(19x2)2(19x2)26.6.设设y xsin xarcsin(ln x)，求，求y.1x 1(lnx)2y xsin x(sin xlnx)arcsin x xsin x(cosxln x sin x1)arcsin x 2xx 1(ln x)7.7.求由参数方程求由参数方程dyd2ydxdx2x ln(1t2)

21、y t arctant所确定的函数的导数所确定的函数的导数,.；t()d y1t222tdx24t1t2212dyt1t2tdx21t21.8.8.1dy d2y设函数y y(x)是由方程x y sin y 0确定的求,22dx dx第第 16 16 页页 共共 27 27 页页解解方方 程程 两两 边边 同同 时时 求求 导导 得得y 22cos y11 ycos y y 02，y 2sin y y4sin y(2 cos y)2(2 cos y)3四综合题（共四综合题（共 2727 分）分）ax bx 09.9.求常数求常数a,b的值，的值，使函数使函数f(x)在在x 0处处ln(1 x)

22、x 0一阶可导一阶可导.x0lim f(x)lim(axb)b f(0)x0，lim f(x)limln(1 x)0，b 0；x0 x0f(x)limx0ax ax，f(x)limln(1x x)1,x0a 1。10.10.求函数的求函数的f(x)x类型类型.f(x)x 22所有间断点，并指出其所有间断点，并指出其3x 2x 2lim f(x)，lim f(x)1，lim f(x)1，(x 2)(x 1)x1x2x211.11.设设x2n1 ax2bxf(x)limnx2n1为连续函数，求为连续函数，求a,b第第 17 17 页页 共共 27 27 页页一、填空题（每空一、填空题（每空 3 3

23、 分，共分，共 1515 分）分）1 1、已知、已知f(x)的定义域是的定义域是0,1，则函数，则函数f(ln x)的定义的定义域为域为_；1,e；2 2、设 f(x)连续可导,则f(2x)d x _；1f(2x)c；23 3、积积 分分I1ln xdx 12与与I2ln2xdx 12的的 大大 小小 关关 系系 是是_；I4 4、设曲线y ax3 9(，)2 231 I2；.；bx2以点(1，3)为拐点,则数组(a,b)；a 1b3解解f(x)6ax 2bf(1)6a 2b 0又又ab 3fx ax3 bx239a ,b 22时时1,3为曲线为曲线的拐点。的拐点。，则，则dy.第第 18 1

24、8 页页 共共 27 27 页页5 5、设、设y x x x71x8dx8。二、选择题（每空二、选择题（每空 3 3 分，共分，共 1515 分）分）1 1、曲线、曲线xy eDADxy1在在(0,0)(0,0)点的切线斜率是（点的切线斜率是（）；1；、1 1；B、e；C、0 0；、-1 1。x2 2、设、设f(x)2A3x2，则当，则当x0时，有（时，有（）；B；、f(x)与与x是等价无穷小；是等价无穷小；B、f(x)与与x是是、f(x)是比是比x高阶的无穷小；高阶的无穷小；D、f(x)是比是比x同阶但非等价无穷小；同阶但非等价无穷小；C低阶无穷小。低阶无穷小。3 3、设函数、设函数f(x)

25、在在a，b上具有连续的导函数，且上具有连续的导函数，且；A；则xf(x)f(x)dx（）f(x)dx 1，f(a)f(b)0，b2baaA11、；B、；C、0；22D、1。、14 4、下列积分发散的有（、下列积分发散的有（）；A；Aln xdxxexdx；B、。01dx1 x2；C、.10dx1 x2；D、05 5、设设114f(x)cosx,P(x)1x2x224第第 19 19 页页 共共 27 27 页页能能 使使 极极 限限 式式limx0f(x)P(x)0nx成立，则成立，则正整数n的最大值是（）。C。A.A.Dn 6；B、；C、；n 4n 5、n 3；三、计算下列各题（共三、计算下

26、列各题（共 5252 分）分）1 1、（7 7 分）已知分）已知xaba3a b xy 3 b x ax13xab，求，求y的导数。的导数。b aba a b xy bxb x aab1 a b x y 3b x axabbaba23 ax aba axba1lnx(ba)xbbblim2 2、（7 7 分）分）计算极限0 x2x20sintdtx0(1 cos t)ln(1t)dt解解原式 limx02xsin xsin x1 lim limx0ln(1 x)x01 cosx 2x(1 cosx)ln(1 x)x a(t sint)3 3、（7 7 分）分）已知参数方程：已知参数方程：，（t

27、 2n,nZ），y a(1cost)求所确定的函数求所确定的函数y y(x)的二阶导数。的二阶导数。解：解：dydydtasintsintdxdxa(1cost)1costdtddy2d ydt(dx)1 dxdx2a(1cost)2dt（t 2n,nZ）第第 20 20 页页 共共 27 27 页页dy3x 24 4、(7(7 分）已知分）已知y f(5.),f(x)arctan x,求求dxx 22x03x 2解解:令令u 5,x 2则则y uf(u)3(5x 2)5(3x 2)3x 22dyarctg()25x 2(5x 2)dx,x0 4arctan1.5 5、（8 8 分）计算不定积

28、分分）计算不定积分(arcsinx)dx.2解：解：(arcsinx)dx=x(arcsin x)22 2xarcsin x1 x22dx x(arcsin x)22arcsin xd(1 x2)=x(arcsin x).41 2 1 x2arcsin x 2dx=x(arcsinx)2 2 1 x2arcsinx 2x c6 6、（8 8 分）计算定积分分）计算定积分解：令解：令x 4x t2dx1x.则则x t,dx 2tdt,且且 当当x 1时时,t 1当当2122tdt192 2(1)dt 2t ln(1t)1 2ln11t1t4时时t 241于是于是dx1x7 7、求由曲线求由曲线y

29、 1sin x与直线与直线y 0,x 0,x 围成的曲边围成的曲边梯形绕梯形绕x轴旋转所成的旋转体的体积轴旋转所成的旋转体的体积（8 8 分）分）V(1sin x)dx(1 2sin x sin x)dx2200sin2x323x 2cos x 44022第第 21 21 页页 共共 27 27 页页四、证明题（每小题四、证明题（每小题 9 9 分，共分，共 1818 分）分）1 1、（9 9 分）当分）当0 x 时，时，sinxtanx 2x.2证：证：令令f(x)sin x tan x2x,(cosx secx)2 0f(x)cos x sec2x 2 cos2x sec2x 2,当当0

30、x 时，时，f(x)在在(0,)内单调增加内单调增加.22而而f(x)f(0)0 x(0,)2即当即当0 x 时，时，sinxtanx 2x.22 2、（9 9 分）分）设函数设函数fx和和gx在在a,b上存在二阶导数，上存在二阶导数，且且gx 0,fa fb ga gb 0，证明，证明(1)(1)在在(a a,b),b)内内gx 0；（2 2）f gg1在在(a a,b),b)内至少存在一点内至少存在一点，使，使f.1证：证：（1 1）反证法）反证法.设设(a，b)内存在一点内存在一点x使使g(x)0，则在则在a,x上有上有g(a)g(x)0,由罗尔定理知在由罗尔定理知在(a,x)内内111

31、至少存在一点至少存在一点，使使g()0，同理在同理在(x,b)内也至少内也至少111存在一点存在一点使使g()0，则，则g()g()0，由罗尔，由罗尔2212定理，在定理，在(,)内至少存在一点内至少存在一点使使g()0，这与，这与1233g(x)0矛盾，故在矛盾，故在a,b内内gx 0。（2 2）令）令F(x)f(x)g(x)g(x)f(x)第第 22 22 页页 共共 27 27 页页由题设条件可知，由题设条件可知，F(x)在在a,b上连续，在上连续，在(a，b)内内可导，可导，且且F(a)F(b)0,由罗尔定理可知，由罗尔定理可知，存在存在a,b使得使得F 0，即，即fg f g 0，由

32、于由于g 0,g 0，故，故一、一、填空题（每空填空题（每空 3 3 分，共分，共 2424 分）分）1 1、要要 使使a f ggf。(x 5)ex,x 0f(x)2a x x,x 0在在x 0处处 连连 续续，则则_；5 5；f(x)332 2、设设的的 一一 个个 原原 函函 数数 为为x x，则则f(sinx)cosxdx；sin x sin x C；3 3、设、设y 3，则，则dy _；4ln 33xdx；4 4、函数函数f(x)x sin x是是sin x当当x 0时的时的_ _同阶同阶_ _无穷小无穷小量。量。（填等价，同阶或高阶）（填等价，同阶或高阶）。arctan xdx _

33、；0 0；5 5、(1 x)2x22x2311226 6、若、若x3 ax 4lim bx1x 1，则，则a _，b _；3,6第第 23 23 页页 共共 27 27 页页7 7、函数、函数y lnxx的单调增加区间为的单调增加区间为_。(e,)二、求极限（每小题二、求极限（每小题 5 5 分，共分，共 1010 分）分）。xln(1 x)1x ln(1 x)1 1、（5 5 分）分）limln(11 x)1 lim limx2xxln(1 x)x0 x0 x022 2、（5 5 分）分）x32xlimx lim12x0 x0 x(xsin x)t(t sint)dt00 x2t dt32三

34、、求导数（每小题三、求导数（每小题 6 6 分，共分，共 1818 分）分）。1 1、（6 6 分）求由方程分）求由方程xy ln x ln y 1所确定的隐函数所确定的隐函数y f(x)的一阶导数的一阶导数和和dydxd2ydx2。y 0，解：方程两边同时对解：方程两边同时对 x x 求导，得求导，得y xy1xy整理得整理得yy x，d2y2y2dx2xx t 2sinty t cost2 2、（6 6 分）设函数分）设函数y y(x)的参数方程为的参数方程为求求，解：解：dydx，d2ydx2。，1sint tcostd2y1 cost1 costdx21 cost3sin xdyyt1

35、sintdxxt1 cost3 3、（6 6 分）已知分）已知xy 1 x，求，求dy。dx第第 24 24 页页 共共 27 27 页页解：方程两边取对数，得解：方程两边取对数，得ln y sin xln x ln(1 x)两两边边同同时时对对x x求求导导，y11 cosxln x ln(1 x)sin xyx1 xy ycosxlnxsin x1 xx(1 x)得得四、求积分（每小题四、求积分（每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分）。1 1、（5 5 分）计算分）计算x1 x2dx 1122d(1 x)1 x C221 x1 x t，2 2、（5 5 分）分）计算计算1dx 2

36、tdtdx；解：解：令令1 x，则则x t21式式1 x ln(11 x)C原原t 11dt 2 2t ln(1 t)C 2=21tdt t1 t3 3、（5 5 分）计算分）计算1sin(lnx)dx。解：令解：令lnx t，则，则x e，当，当x 1时，t 0，x e时，t 1，原式原式=sinte dt sintee d sint esin1ecos11sinte dtte1tt11t1t0000ecos11原式原式esin124 4、（5 5 分）计算分）计算4cosd222解：解：220224cosd 8cosd824 2五、证明题（每小题五、证明题（每小题 8 8 分，共分，共 1

37、616 分）分）第第 25 25 页页 共共 27 27 页页1 1、（8 8证明：设证明：设f(x)ln(1 x)x x2，f(0)0当当x 0时，时，1x2f(x)1 x 01 x1 xxln(1 x)x 分）证明不等式：当分）证明不等式：当x 0时，时，222。2得证。得证。2 2、（8 8 分）若分）若f(x)在在00，11上有二阶导数，且上有二阶导数，且f(1)f(0)0,F(x)x f(x)，证明在（证明在（0 0，1 1）内至少存在一点）内至少存在一点，使得，使得F()0。证明：证明：f(x)在在00，11上有二阶导数，上有二阶导数，则则F(x)x f(x)在在00，11上有二阶

38、导数，上有二阶导数，F(1)F(0)0，由罗尔定理，由罗尔定理，在在（0 0，1 1）至至少少存存在在一一点点，使使得得F()0，F(x)2xf(x)x f(x)，F(0)0，由罗尔定理，在，由罗尔定理，在(0,)内内至少存在一点至少存在一点，使得，使得F()0。六、应用题（六、应用题（1212 分）在曲线分）在曲线y x（x 0）上某点）上某点B处作一切线，使之与曲线、处作一切线，使之与曲线、x轴所围平面图形的轴所围平面图形的1面积为面积为12，试求：，试求：（1 1）切点）切点B的坐标；的坐标；（2 2）由上）由上述所围图形绕述所围图形绕x轴旋转一周所得立体的体积。轴旋转一周所得立体的体积

39、。解：解：（1 1）设切点）设切点B的坐标为的坐标为(a,a)，则过点，则过点B的切的切2xf(x)在0,）上单调增加，单调增加，f(x)f(0)0，即即ln(1 x)x 2，2222线斜率为线斜率为yxa 2a，于是切线方程为，于是切线方程为y aa02 2a(xa)，和和x x轴交点为轴交点为(a,0)，由，由A 2（2 2）V 10a2aa12x dx 221212，得得a 1，因此切点坐标为，因此切点坐标为(1,1)。切线方程。切线方程y 2x 1，y2dx 1(2x 1)2dx21=10 x4dx 11 2(2x 1)2dx 30第第 26 26 页页 共共 27 27 页页或或V 1x4dx 111()3003 256第第 27 27 页页 共共 27 27 页页