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1、.第一部分第一部分集合集合1 1理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？；2 2数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；3 3（1）含n 个元素的集合的子集数为2n,真子集数为 2n1；非空真子集的数为 2n2；（2）A B A B A A B B;注意：讨论的时候不要遗忘了A 的情况。4 4是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。第二部分第二部分函数与导数函数与导数1 1映射：映射：注意 第一个集合中的元素必须
2、有象；一对一，或多对一。2 2函数值域的求法：函数值域的求法：分析法；配方法；判别式法；利用函数单调性；换元法；利用均值不等式ab a ba2b222；利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；利用函数有界性（ax、sin x、cosx等）；导数法3 3复合函数的有关问题复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法：若 f(x)的定义域为a，b,则复合函数 fg(x)的定义域由不等式.ag(x)b 解出 若 fg(x)的定义域为a,b,求 f(x)的定义域，相当于 xa,b时，求 g(x)的值域。（2）复合函数单调性的判定：首先将原函数y fg(x)分解为基本函数：内函数u g(x)
3、与外函数y f(u)；分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。4 4分段函数：分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。5 5函数的奇偶性函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件必要条件；f(x)是奇函数f(x)=f(x)；f(x)是偶函数f(x)=f(x)奇函数f(x)在原点有定义，则f(0)0；在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；6 6函数的单调性函数的单调性单调性的定义：f(x)在 区 间
4、M上 是 增 函 数 x1,x2M,当x1 x2时 有.f(x1)f(x2)；f(x)在 区 间M上 是 减 函 数 x1,x2M,当x1 x2时 有f(x1)f(x2)；单调性的判定 定义法：一般要将式子f(x1)f(x2)化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；导数法（见导数部分）；复合函数法；图像法。注：证明单调性主要用定义法和导数法。7 7函数的周期性函数的周期性(1)周期性的定义：对定义域内的任意x，若有f(x T)f(x)（其中T为非零常数），则称函数f(x)为周期函数，T为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。（2）
5、三角函数的周期y sin x:T 2；y cosx:T 2；y tan x:T；y Asin(x),y Acos(x):T 2|；.y tanx:T|；(3)与周期有关的结论f(x a)f(x a)或f(x 2a)f(x)(a 0)f(x)的周期为2a；8 8基本初等函数的图像与性质基本初等函数的图像与性质幂函数：y x（R)；指数函数：y ax(a 0,a 1)；对数函数:y logax(a 0,a 1)；正弦函数:y sin x；余弦函数：y cosx；（6）正切函数：y tan x；一元二次函数：ax2bx c 0；其它常用函数：正比例函数：y kx(k 0)；反比例函数：y kx(k
6、0)；函数y x ax(a 0)；9 9二次函数：二次函数：解析式：一般式：f(x)ax2bx c；顶点式：f(x)a(x h)2 k，(h,k)为顶点；零点式：f(x)a(x x1)(x x2)。.二次函数问题解决需考虑的因素：开口方向；对称轴；端点值；与坐标轴交点；判别式；两根符号。二次函数y ax2bx c的图象的对称轴方程是x b2a，顶点坐标是b4ac b22a，4a。1010函数图象：函数图象：图象作法：描点法（特别注意三角函数的五点作图）图象变换法导数法图象变换：平移变换：)y f(x)y f(x a)，(a 0)左“+”右“”；)y f(x)y f(x)k,(k 0)上“+”下
7、“”；对称变换：y f(x)(0,0)y f(x)；y f(x)y0 y f(x)；y f(x)x0y f(x)；y f(x)yxx f(y)；.翻转变换：)y f(x)y f(|x|)右不动，右向左翻（f(x)在y左侧图象去掉）；)y f(x)y|f(x)|上不动，下向上翻（|f(x)|在x下面无图象）；1111函数图象（曲线）对称性的证明函数图象（曲线）对称性的证明(1)证明函数y f(x)图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（2）证明函数y f(x)与y g(x)图象的对称性，即证明y f(x)图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在y g(x)
8、的图象上，反之亦然；注：曲线 C1:f(x,y)=0 关于点（0,0）的对称曲线 C2方程为：f(x,y)=0;曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 x=0 的对称曲线 C2方程为：f(x,y)=0;曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 y=0 的对称曲线 C2方程为：f(x,y)=0;曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 y=x 的对称曲线 C2方程为：f(y,x)=0f(a+x)=f(bx)（xR）y=f(x)图像关于直线 x=a b2对称；特别地：f(a+x)=f(ax)（xR）y=f(x)图像关于直线 x=a 对称；1212函数零点的求法：函数零点的求法：.直接法（求f(x)0的
9、根）；图象法；二分法.(4)零点定理：若 y=f(x)在a,b上满足 f(a)f(b)0；6 6圆的方程的求法：圆的方程的求法：待定系数法；几何法。7 7点、直线与圆的位置关系：点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）（主要掌握几何法）点与圆的位置关系：（d表示点到圆心的距离）d R 点在圆上；d R 点在圆内；d R 点在圆.外。直线与圆的位置关系：（d表示圆心到直线的距离）d R 相切；d R 相交；d R 相离。圆与圆的位置关系：（d表示圆心距，R,r表示两圆半径，且R r）d R r 相离；d R r 外切；R r d R r 相交；d R r 内切；0 d R r 内含。8、直线与
10、圆相交所得弦长|AB|2 r2d2第六部分第六部分圆锥曲线圆锥曲线1 1定义：定义：椭圆：|MF1|MF2|2a,(2a|F1F2|)；双曲线：|MF1|MF2|2a,(2a|F1F2|)；抛物线：|MF|=d2 2结论结论焦半径：椭圆：PF1 a ex0,PF2 a ex0（e 为离心率）；（左“+”右“-”）；抛物线：PF x0p2弦长公式：AB 1 k2 x2 x1(1 k2)(x1 x2)2 4x1x2注：抛物线：ABx1+x2+p；通径（最短弦）：椭圆、双曲线：.2b2；抛物线：2p。a过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：mx2 ny21（m,n同时大于 0 时表示椭圆，mn 0时表
11、示双曲线）；当点P与椭圆短轴顶点重合时F1PF2最大；双曲线中的结论：双曲线x222y21（a0,b0）的渐近线：x2ya2b2 0；a2b共渐进线y bax的双曲线标准方程为x2a2y2b2(为参数，0）；双曲线为等轴双曲线e 2 渐近线为y x渐近线互相垂直；焦点三角形问题求解：利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解。3 3直线与圆锥曲线问题解法：直线与圆锥曲线问题解法：直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。注意以下问题：联立的关于“x”还是关于“y”的一元二次方程？直线斜率不存在时考虑了吗？判别式验证了吗？设而不求（代点相减法）：-处理弦中点问题步骤如下：设点 A(x
12、1，y1)、B(x2,y2)；作差得ky1 y2ABxx；12.解决问题。4 4求轨迹的常用方法：求轨迹的常用方法：（1）定义法：利用圆锥曲线的定义；（2）直接法（列等式）；（3）代入法（相关点法或转移法）；待定系数法；（5）参数法；（6）交轨法。第七部分第七部分平面向量平面向量设 a a=(x1,y1),b b=(x2,y2)，则：a ab b(b b0 0)a a=b b（R)x1y2x2y1=0；a ab b(a a、b b0 0)a ab b=0 x1x2+y1y2=0a ab b=|a a|b b|cos=x2+y1y2；注：|a a|cos叫做 a a 在 b b 方向上的投影；|
13、b b|cos叫做 b b 在 a a 方向上的投影；a ab b的几何意义：a ab b等于|a a|与|b b|在a a方向上的投影|b b|cos的乘积。cos=ab|a|b|；三 点 共 线 的 充 要 条 件：P，A，B三 点 共 线OP xOA yOB且x y 1；（理理科科）P，A，B，C四点共面OP xOA yOB zOC,且x y z 1。第八部分第八部分数列数列.1 1定义：定义：等差数列1.q 1时，Sn na1;a1(1 qn)2.q 1时，Sn1 qa anq11 q性质an=am+(nm)d,an=amqn-m;m+n=p+q 时 am+an=ap+aqm+n=p+
14、q 时 aman=apaqan an1 an d(d为常数）2an an1 an1(n 2,nN*)an kn b sn An2 Bn；等比数列anan12 q(q 0)an an-1an1(n 2,n N)anSk,S2k Sk,S3k S2k,成APSk,S2k Sk,S3k S2k,成 GPak,akm,ak2m,成 AP,d mdak,akm,ak2m,成m2 2等差、等比数列性质等差、等比数列性质等差数列等比数列通项公式GP,q qan a1(n 1)d3 3数列通项的求法：数列通项的求法：定义法（利用 AP,GP的定义）；累加法（an1 an cn型）；an a1qn1前n项和S1
15、an=SnSn-n(a1 an)n(n 1)Sn na1da22累乘法（n1 cn型）；构造法（an1 kanb型）；an间接法（例如：an1 an 4anan1公式法：11 4）；（理科）anan1.数学归纳法。4 4前前n项和的求法：项和的求法：分组求和法；裂项法；错位相减法。5 5等差数列前等差数列前 n n 项和最值的求法：项和最值的求法：an 0 或aan 0；利用二次函数的图象与性质。n1 0an1 0第九部分第九部分不等式不等式21 1均值不等式：均值不等式：ab a ba2b22ab (ab2a2b2注意：一正二定三相等；变形，2)2。2 2绝对值不等式：绝对值不等式：|a|b
16、|a b|a|b|3 3不等式的性质：不等式的性质：a b b a；a b,b c a c；a b a c bc；a b,c d a c b d；a b,c 0 ac bd；a b,c 0 ac bc；a b 0,c d 0 ac bd;a b 0 an bn 0(n N);a b 0 na nb(n N).线性规划类：线性规划类：nnxnniyixiyii*b i11i1nn2nx2ixii1i1a y bxnxxyi yiyi nxyxii1*b n2nx2inxxi x2i1i1a y bx导数类：导数类：kxb,kC,0（C为常数）x,1x2,2x11,1x x2xxax,axlnaa
17、 0,且a 1ex,exlogax,1exloga 1xlnaa 0,且a 1.ln x,1xsin x,cos xcos x,sin xfx gx,f,x g,xCfx,Cf,xC为常数fxgx,f,xgx fxg,x,fxf,xgx fxg,xgxg2xgx 0第十部分第十部分复数复数1 1概念：概念：z=a+biRb=0(a,bR)z=z z20；z=a+bi 是虚数b0(a,bR)；z=a+bi 是纯虚数a=0 且 b0(a,bR)zz0（z0）z20 时，变量x,y正相关；r0 时，变量x,y负相关；|r|越接近于 1，两个变量的线性相关性越强；|r|接近于 0 时，两个变量之间几乎
18、不存在线性相关关系。4 4回归分析中回归效果的判定：回归分析中回归效果的判定：n总偏差平方和：(yi y)2残差：ei yi yi；残差平方i1；.n和：(yi yi)2；i1nn回归平方和：(yi y)2i1(yi yi)2；相关指数i1ni y2i)R21(yi1n。(yi yi)2i1注：注：R2得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；R2越接近于 1，则回归效果越好。5 5独立性检验（分类变量关系）独立性检验（分类变量关系）：随机变量K2越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。第十三部分第十三部分算法初步算法初步1 1程序框图：程序框图：图形符号：终端框（起止况）；输入
19、、输出框；处理框（执行框）；判断框；流程线；.程序框图分类:顺序结构：条件结构：循环结构：r=0?否求n 除以 i 的余数输入 n是n 不是质素n 是质数i=i+1i=2in 或 r=0?否是注：循环结构分为：当型（while 型）先判断条件，再执行循环体；直到型（until 型）先执行一次循环体，再判断条件。2 2基本算法语句：基本算法语句：输入语句：INPUT“提示内容”；变量；输出语句：PRINT“提示内容”；表达式赋值语句：变量=表达式条件语句：IF 条件 THENIF条件THEN语句体语句体 1.END IFELSE语句体 2END IF循环语句：当型：直到型:WHILE 条件DO循
20、环体循环体WENDLOOP UNTIL条件第十四部分第十四部分常用逻辑用语与推理证明常用逻辑用语与推理证明1 1 四种命题：四种命题：原命题：若 p 则 q；逆命题：若 q 则 p；否命题：若p 则q；逆否命题：若q 则p注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。2 2充要条件的判断：充要条件的判断：（1）定义法-正、反方向推理；（2）利用集合间的包含关系：例如：若A B，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；若 A=B，则 A 是 B 的充要条件；3 3逻辑连接词：逻辑连接词：且(and)：命题形式 pq；pqpqpqp或（or）：命题形式 pq；真真真真假非（not）：
21、命题形式p.真假假真假假真假真真假假假假.真4 4全称量词与存在量词全称量词与存在量词全称量词-“所有的”、“任意一个”等，用表示；全称命题 p：xM,p(x)；全称命题 p 的否定p：xM,p(x)。存在量词-“存在一个”、“至少有一个”等，用表示；特称命题 p：xM,p(x)；特称命题 p 的否定p：xM,p(x)；第十五部分第十五部分推理与证明推理与证明1 1推理：推理：合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推
22、理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。注：类比推理是特殊到特殊的推理。演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。.注：演绎推理是由一般到特殊的推理。“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提-已知的一般结论；小前提-所研究的特殊情况；结论-根据一般原理，对特殊情况得出的判断。二证明直接证明综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推
23、导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。2 2间接证明-反证法一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。附：数学归纳法（仅限理科）附：数学归纳法（仅限理科）一般的证明一个与正整数n有关的一个命题，可按以下步骤进行：证明当n取第一个值n0是命题成立；假设当n k(k n0,k N)命题
24、成立，证明当n k 1时命题也成立。那么由就可以判定命题对从n0开始所有的正整数都成立。这种证明方法叫数学归纳法。注：注：数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严.格按步骤进行；n0的取值视题目而定，可能是1，也可能是 2 等。第十六部分第十六部分理科选修部分理科选修部分1 1 排列、组合和二项式定理排列、组合和二项式定理排列数公式:Amn!n=n(n-1)(n-2)(n-m1)=(nm)!(mn,m、nN*),当m=n 时为全排列Ann=n(n-1)(n-2)3.2.1=n!组合数公式：CmAmnn(n 1)(n m 1)nm!m(m 1)(m 2)321（mn）,C0Cn
25、nn1；组合数性质：CmmnCnn;Cmm1nCnCmn1；二项式定理：(a b)n C0n1n11Cknkknnna Cnabnab Cnb(n N)通项：Trnrrr1 Cnab(r 0,1,2,.,n);注意二项式系数与系数的区别；二项式系数的性质：与首末两端等距离的二项式系数相等；若 n 为偶数，中间一项（第nn1n121 项）二项式系数最大；若 n 为奇数，中间两项（第2和21 项）二项式系数最大；.012n0213Cn CnCnCn 2n;Cn Cn CnCn 2n1;条件概率：称P(B|A)P(AB)为在事件 A 发生的条件下，事件 B 发P(A)(6)求二项展开式各项系数和或奇
26、（偶）数项系数和时，注意运用赋值法。2.2.概率与统计概率与统计随机变量的分布列：随机变量分布列的性质：pi0,i=1,2,；p1+p2+=1;离散型随机变量：XPx1P1X2P2xnPn生的概率。注：0P（B|A）1；P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A)。独立事件同时发生的概率：P（AB）=P（A）P（B）。正态总体的概率密度函数：f(x)12e(x)222,xR,式中,是参数，分别表示总体的平均数（期望值）与标准差；（6）正态曲线的性质：曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交；曲线是单峰的，关于直线x对称；曲线在 x处达到峰值期望：EX x1p1+x2p2+xnpn+;方差：DX12
27、；曲线与 x 轴之间的面积为 1；(x1 EX)p1(x2 EX)p2(xn EX)pn;注：E(aX b)aEX b;D(aX b)a DX；二项分布（独立重复试验）：若 XB（n,p）,则 EXnp,DXnp（1-p）;注：kkP(X k)Cnp(1 p)nk。222 当一定时，曲线随质的变化沿 x 轴平移；当一定时，曲线形状由确定：越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越集中；越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越分散。注：P(x)=0.6826；P(2 x 2)=0.9544P(3 x 3)=0.99742.三角函数公式三角函数公式1.1.正弦定理：正弦定理：-sinsincoscostan
28、tancotcot-ctgR2sinAbca=2R（R 为三角形外接圆半径）-sin+cos-tgsinBsin Asin BsinC2.2.余弦定理：余弦定理：a2=b2+c2-2bc cos A b2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosCcos A b2 c2 a22bc3.3.S Ssinsincoscostantancotcot=12ah12+cos+sin+ctg+tga=2absinC+cos-sin=12-ctg-tg2bc3sinA=2-cos-sin+ctg+tg12ac3-cos+sin-ctg-tgsinB=2abc4R=2.sinC-+sin-co
29、s-tg-ctg=a2sinBsinC+-sin-cos+tg+ctg2sin A2 2-sin+cos-tg-ctg=b2sin AsinC2k2k+sin+cos+tg+ctg2sinB=c2sin AsinB2sinC=pr=pr=p(pa)(pb)(pc)(其中p 12(a bc),r 为三角形内切圆半径)4.4.诱导公试诱导公试三角函数值等于的同名三角函数值，前面加上一个把看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限.三角函数值等于的异名三角函数值，前面加上一个把看作锐角时，原三角函数值的符号;即：函数名改变，符号看象限5.5.和差角公式和差角公式sin()sincos
30、 cossincos()coscos sinsintg()tg tg1 tgtgtg tg tg()(1 tgtg)6.6.二倍角公式：二倍角公式：(含万能公式含万能公式).sin2 2sincos2tg1 tg2cos2 cos2sin2 2cos211 2sin21 tg21 tg2tg22tg1 tg2sin2tg21 tg21 cos22cos21 cos227.7.半角公式：半角公式：（符号的选择由（符号的选择由2所在的象限确定）所在的象限确定）sin1 cos1cos2 2sin222coscos2 12cos221 cos1cos 2sin2221 cos 2cos221sin(cos2sin2)2 cos2sin2.tg1 cossin2 1 cos1 cos1 cossin8.8.积化和差公式：积化和差公式：sincos12sin()sin()cossin12sin()sin()coscos12cos()cos()sinsin 12cos()cos9.9.和差化积公式：和差化积公式：sinsin 2sin2cos2sinsin 2cos2sin2cos cos 2cos2cos2coscos 2sin2sin2.