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1、第 1 页 共 6 页 2003?年河南省普通高等学校 2003?年河南省普通高等学校 选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试 选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试 高等数学试卷 题号 一 二 三 四 五 六 总分 核分人 分数 一.单项选择题一.单项选择题（每题 2 分，共计 50 分）在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内.不选、错选或多选者，该题无分.1.集合5,4,3的所有子集共有（）A.5B.6C.7D.8解：子集个数Dn8223。2.函数xxxf3)1arcsin()(的定义域为（）A.3,0B.2,0C.3,2D.3,1 解：Bxxx2003111。3.当
2、0 x时，与x不等价的无穷小量是()A.x2 B.xsin C.1xe D.)1ln(x 解：根据常用等价关系知，只有x2与x比较不是等价的。应选 A。4.当0 x 是函数xxf1arctan)(的 （）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点解：21arctanlim0 xx；Cxx21arctanlim0。5.设)(xf 在1x处可导，且1)1(f，则hhfhfh)1()21(lim0的值为（）A.-1 B.-2C.-3 D.-4 解：Cfhfhfhhfhfhh3)1(3)1()21(2lim)1()21(lim00。6.若函数)(xf在区间),(ba内有0)(,0)(xfx
3、f，则在区间),(ba内，)(xf图形（）A单调递减且为凸的 B单调递增且为凸的 C单调递减且为凹的 D单调递增且为凹的 解：0)(xf单调增加；0)(xf凸的。应选 B。7.曲线31xy的拐点是（）A.)1,0(B.)0,1(C.)0,0(D.)1,1(解：006xxy)1,0(，应选 A。8.曲线2232)(xxxf的水平渐近线是（）A.32y B.32y C.31y D.31y解：Cyxxx313132lim22。9.4002tanlimxtdtxx（）A.0 B.21C.2D.1 解：Bxxxxxdxxxx214tan2limtanlim3204002。10.若函数)(xf是)(xg的
4、原函数，则下列等式正确的是（）A.Cxgdxxf)()(B.Cxfdxxg)()(C.Cxfdxxg)()(D.Cxgdxxf)()(解：根据不定积分与原函数的关系知，Cxfdxxg)()(。应选 B。11.dxx)31cos(（）A.Cx)31sin(31B.Cx)31sin(31C.Cx)31sin(D.Cx)31sin(3解：ACxxdxdxx)31sin(31)31()31cos(31)31cos(。12.设xdttty0)3)(1(，则)0(y（）A.-3 B.-1 C.1 D.3解：)3)(1(xxyDy3)0(。13.下列广义积分收敛的是（）A.1xdxB.1xdxC.1xxdx
5、D.10 xxdx得分 评卷人 第 2 页 共 6 页 解：由p积分和q积分的收敛性知，1xxdx收敛，应选 C。14.对不定积分dxxx22cossin1，下列计算结果错误是 （）A.Cxxcottan B.Cxxtan1tan C.Cxxtancot D.Cx2cot 解：分析结果，就能知道选择 C。15.函数2xy 在区间3,1 的平均值为 （）A.326 B.313 C.8 D.4 解：badxxfab)(1 Bxdxx313621313312。16.过Oz轴及点)4,2,3(的平面方程为 （）A.023 yx B.02 zy C.032 yx D.02 zx 解：经过Oz轴的平面可设
6、为0 ByAx，把点)4,2,3(代入得032 yx应选 C。也可以把点)4,2,3(代入所给的方程验证，且不含z。17.双曲线014322yzx绕z轴旋转所成的曲面方程为 （）A.143222zyx B.143222zyx C.143)(22zyx D.14)(322zyx 解：把14322zx中2x换成22yx 得143222zyx，应选 A。18.xyxyyx93lim00 （）A.61 B.61 C.0 D.极限不存在 解：Bxyxyxyxyxyxyyxyxyx61931lim)93(lim93lim000000。19.若yxz，则)1,(eyz （）A.e1 B.1 C.e D.0
7、解：Ceeexxyzeyelnln)1,()1,(。20.方程 132 xzyz所确定的隐函数为),(yxfz，则xz （）A.xzyz322 B.yxzz232 C.xzyz32 D.yxzz23 解：令132xzyzF2332;xzzyFzFzxzxFFxzxzyz322，应选 A。21.设C为抛物线2xy 上从)0,0(到)1,1(的一段弧，则Cdyxxydx22 （）A.-1 B.0 C.1 D.2 解：C：xxyxx,2从 0 变到 1，1032142CdxxdyxxydxC。22.下列正项级数收敛的是 （）A.2131nn B.2ln1nnn C.22)(ln1nnn D.21nn
8、nn 解：对级数2ln1nnn、22)(ln1nnn需要利用积分判别法，超出大纲范围。级数2)(ln1npnn有结论：当1p时收敛，当1p时发散。级数2131nn、21nnnn与级数21nn利用比较判别法的极限形式来确定-发散的，应选 C。23.幂级数01)1(31nnnx的收敛区间为 （）A.)1,1(B.)3,3(C.)4,2(D.)2,4(解：令tx1，级数化为0131nnnt0331nnt收敛区间为)3,3(，即 第 3 页 共 6 页 Dxx)2,4()3,3(1。24.微分xeyyyxcos23 特解形式应设为y （）A.xCexcos B.)sincos(21xCxCex C.)
9、sincos(21xCxCxex D.)sincos(212xCxCexx 解：i1 不是特征方程的特征根，特解应设为)sincos(21xCxCex。应选 B。25.设函数)(xfy 是微分方程xeyy2 的解，且0)(0 xf，则)(xf在0 x处（）A.取极小值 B.取极大值 C.不取极值 D.取最大值 解：有Aexfexfxfxx 0)()()(0020200。二、填空题二、填空题（每题 2 分，共 30 分）26.设52)(xxf，则 1)(xff_.解：1343)52(23)(25)1)(2 1)(xxxfxfxff。27.!2limnnn_.解：构造级数0!2nnn，利用比值判别
10、法知它是收敛的，根据收敛级数的必要条件0!2limnnn。28.若函数02203)(4xaxxexfx，在0 x处连续，则a_.解：63)(lim;2)(lim00axfaxfxx。29.已知曲线22xxy上点M处的切线平行于直线15 xy，则点M的坐标为 _ 解：)4,2(42512Myxxy。30.设12)(xexf，则)0()2007(f_ 解：12)(2)(xnnexf 12007)2007(2)0(ef。31.设12132ttytx，则1tdxdy_ 解：314tdxdy 11tdxdy。32.若函数bxaxxf2)(在1x处取得极值 2，则a_，b_ 解：0202)(babaxxf
11、；4;22baba。33.dxxfxf)()(_ 解：Cxfxfxdfdxxfxf|)(|ln)()()()(。341021dxx_ 解：4411102圆Sdxx。35.向量kjia43的模|a_ 解：261169|43|kji。36.已知平面1：0752zyx与平面2：01334mzyx垂直，则m_ 解：20564,3,4;5,2,121mmmnn。37.设22),(yxxyyxf，则),(yxf_ 解：xyyxyxxyyxf2)(),(222yxyxf2),(2。38.已知I21220),(yydxyxfdy，交换积分次序后，则I_ 解：21,220|),(yxyyyxD 210,122|
12、),(0,220|),(xyxyxxyxyx，所以次序交换后为2101220220),(),(xxdyyxfdxdyyxfdx。39.若级数11nnu收敛，则级数1111nnnuu的和为 _ 解：111322111111111nnnnuuuuuuuuS，而01lim1nnu，所以11limuSSnn。40.微分方程02 yyy的通解为_ 解：有二重特征根 1，故通解为xxxeCeCy21（21,CC为任意常数）。得分 评卷人 第 4 页 共 6 页 三、判断题（三、判断题（每小题 2 分，共 10 分）你认为正确的在题后括号内划“”，反之划“”.41.若数列 nx单调，则 nx必收敛.()解：
13、如数列 n单调，但发散，应为。42.若函数)(xf在区间ba,上连续，在),(ba内可导，且)()(bfaf，则一定不存在),(ba，使0)(f.()解：如2xy 在3,1满足上述条件，但存在 3,10，使得0)(f，应为。43.1sinsinlimcos1cos1limsinsinlimxxxxxxxxxxx由洛比达法则.()解：第二步不满足00或，是错误的，事实上1sin1sin1limsinsinlimxxxxxxxxxx。应为。44.2ln23102ln02dxex.()解：因1102 xe，由定积分保序性知：2ln232ln102ln02dxex，应为。45.函数),(yxf在点),
14、(yxP处可微是),(yxf在),(yxP处连续的充分条件.()解：),(yxf在点),(yxP处可微可得),(yxf在点),(yxP处连续，反之不成立，应为应为。四、计算题 四、计算题（每小题 5 分，共 40 分）46求xxxsin0lim.解：xxxxxxxxxxxxxeeexlnlimsinlnsinlimlnsin0sin000limlim 10lim11lim1lnlim0200eeeexxxxxxxx。47.求函数3211xxxy的导数dxdy.解：两边取自然对数得|1|ln|1|ln31|ln2|lnxxxy，-（1 分）两边对x求导得：xxxyy11113121，-（3 分）
15、即)1(31)1(312xxxyy，-（4 分）故 dxdy)1(31)1(3121132xxxxxx。-（5 分）48.求不定积分dxxex)1ln(2.解：dxxxdedxxexx)1ln()2(21)1ln(22-（1 分）dxxxxxex1)1ln(212-（3 分）dxxxxex111)1ln(212-（4 分）Cxxxxex)1ln()1ln(212。-（5 分）49.计算定积分dxx02cos22.解：因xxx2cos4)2cos1(22cos22，所以 0020|cos|2cos42cos22dxxdxxdxx-（2 分）220cos2cos2xdxxdx-（4 分）422si
16、n2sin2220 xx。-（5 分）50.设)3,sin(2yxyefzx，且),(vuf为可微函数，求dz.解：令vyxuyex23,sin，有),(vufz，利用微分的不变性得 )3()sin(),(),(2yxdfyedfdvvufduvufdzvxuvu-（3 分）)36()cossin(2dyxxydxfydyeydxefvxxu-（4 分）dyfxf yedxfxyf yevuxvux)3cos()6sin(2-（5 分）51计算Ddxdyx2，其中D为圆环区域：4122yx.解：积分区域D如图 07-1 所示：D的边界122 yx、422 yx用极坐标表示分别为1r，2r；故积
17、分区域D在极坐标系系下为 得分 评卷人 得分 评卷人 第 5 页 共 6 页 21,20|),(rr，-（2 分）故rdrrddxdyxD2021222cos-（3 分）202214202132cos4cosdrdrrd 202202cos2815cos415dd-（4 分）415)2sin21(815)2cos1(8152020d。-（5 分）52将242xx展开为x的幂级数，并写出收敛区间.解：因)21(21)21(212121422xxxxxx；-（2 分）)1,1(110 xxxnn。所以)2,2(22110 xxxnn；)2,2(22110 xxxnn。-（3 分）故)2,2(2)1
18、(12212214201002xxxxxxnnnnnnnn-（4 分）)2,2(2101212xxnnn。-（5 分）53求微分方程0)2(22dxxxyydyx的通解.解：方程可化为1212yxxy，这是一阶线性非齐次微分方程，-（1 分）它对应的齐次方程0212yxxy的通解为xeCxy12，-（2 分）设原方程有通解xexxCy12)(，代入方程得1)(12xexxC，即 xexxC121)(，-（3 分）所以 CedxexxCxx1121)(，-（4 分）故所求方程的通解为212xeCxyx。-（5 分）五五、应用题、应用题（每题 7 分，共计 14 分）54.某工厂欲建造一个无盖的长
19、方题污水处理池，设计该池容积为V 立方米，底面造价每平方米a元，侧面造价每平方米b元,问长、宽、高各为多少米时，才能使污水处理池的造价最低？解：设长方体的长、宽分别为yx,，则高为xyV，又设造价为z，-（1 分）由题意可得 )0,0(22)(2yxxbVybVaxyxyVyxbaxyz；-（3 分）而;22xbVayxz;22ybVaxyz在定义域内都有意义.令020222ybVaxyzxbVayxz得唯一驻点32abVyx，-（5 分）由题可知造价一定在内部存在最小值，故32abVyx就是使造价最小的取值，此时高为322baV。所以，排污无盖的长方体的长、宽、高分别为32abV、32abV
20、、322baV时，工程造价最低。-（7 分）55.设平面图形 D 由曲线xey,直线ey 及 y 轴所围成.求：（1）平面图形 D 的面积;(2)平面图形 D 绕 y 轴旋转一周所成的旋转体的体积.解：平面图形 D 如图 07-2 所示：-（1 分）取x为积分变量，且 1,0 x（1）平面图形 D 的面积为 dxeeSx10)(-（3 分）1)(10 xeex。-（4 分）（2）平面图形 D 绕y轴旋转一周所生成 得分 评卷人 x y 2r 1r o 图 07-1 x y xey 1 1 o e 图 07-2 第 6 页 共 6 页 旋转体的体积为 101010222dxxexdxedxeex
21、Vxxy 10101010222222dxexeexdexexxx )2(2210eeeex。-（7 分）或eeeyydyyydyyV11212ln2)(ln)(ln eeedyyyeydye1112ln2ln2 )2()1(22eeee。六六、证明题、证明题（6 分）56.若)(xf 在,ba上连续，则存在两个常数m与M，对于满足bxxa21的任意两点21,xx，证明恒有)()()()(121212xxMxfxfxxm.证明：因)(xf 在,21xx有意义，从而)(xf在,21xx上连续且可导，即)(xf在,21xx上满足拉格朗日中值定理的条件，-（2 分）故存在),(21xx，使得)()()(1212fxxxfxf，-（3 分）又因)(xf 在,ba上连续，根据连续函数在闭区间上最值定理知，)(xf 在,ba上既有最大值又有最小值，不妨设Mm,分别是最小值和最大值，从而),(bax时，有Mxfm)(。-（5 分）即 Mxxxfxfm1212)()(，故)()()()(121212xxMxfxfxxm。-（6 分）得分 评卷人