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1、函数周期性分类解析函数周期性分类解析一定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x，使f(x T)f(x)恒成立则f(x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。二重要结论1、fx fxa，则y fx是以T a为周期的周期函数；2、若函数(x)满足f()(x)(a0),则 f(x)为周期函数且 2a 是它的一个周期。3、若函数fxa fxa，则fx是以T 2a为周期的周期函数4、(x)满足f()=1(a0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个fx周期。5、若函数(x)满足f()=1(a0),则fxf(x)为周期函数且 2a 是它的一个周期。6、f(xa)1 f(x)，则fx是以T 2a为周
2、期的周期函数.1 f(x)7、f(xa)1 f(x)，则fx是以T 4a为周期的周期函数.1 f(x)8、若函数(x)满足f()=1 f(x)(xR，a0),则1 f(x)f(x)为周期函数且 4a 是它的一个周期。9、若函数(x)的图像关于直线(ba)都对称,则f(x)为周期函数且 2（）是它的一个周期。10、函数y f(x)xR的图象关于两点Aa,y0、Bb,y0a b都对称，则函数f(x)是以2ba为周期的周期函数；11、函数y f(x)xR的图象关于Aa,y0和直线x ba b都对称，则函数f(x)是以4ba为周期的周期函数；12、若偶函数(x)的图像关于直线对称，则f(x)为周期函数
3、且2a是它的一个周期。13、若奇函数(x)的图像关于直线对称，则f(x)为周期函数且 4a是它的一个周期。14、若函数(x)满足f(x)()()(a0),则f(x)为周期函数,6a 是它的一个周期。15、若奇函数(x)满足f()(x)(xR，T0),则f()=0.T2函数的周期性练习题高一函数的周期性练习题高一一选择题（共一选择题（共 1515 小题）小题）1定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）=f（x），f（x2）（2）且 x（1，0）时，f（x）=2，则 f（220）=（）A1 BC1D2 设偶函数 f（x）对任意 xR，都有 f（3）=，且当 x3，2时，f（x）=4x，则 f（
4、107.5）=（）A10BC10 D3 设偶函数 f（x）对任意 xR 都有 f（x）=且当 x3，2时 f（x）=4x，则 f（119.5）=（）A10 B10C D4若f（x）是R 上周期为 5 的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=3，则 f（8）f（4）的值为（）A1 B1 C2D25已知f（x）是定义在 R 上周期为 4 的奇函数，当 x（0，2时，f（x）=22x，则 f（2015）=（）A2BC2D56设 f（x）是定义在 R 上的周期为 3 的期函数，如图表示该函数在区间（2，1的图象，则 f（2014）（2015）=（）周上A3 B2 C1 D07 已知 f（x）是定义在
5、R 上的偶函数，并满足：当 2x3，f（x），则 f（5.5）=（）A5.5 B5.5C2.5D2.5，8奇函数 f（x）满足 f（2）=f（x），当 x（0，1）时，f（x）=3，则 f（354）=（）A2BCD29定义在R 上的函数 f（x）满足f（x）（x）=0，且周期是4，若 f（1）=5，则 f（2015）（）A5 B5C0 D310f（x）对于任意实数 x 满足条件 f（2）=5，则f（f（5）=（）A5B，若 f（1）=C D511 已知定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（5）（x5），且 0 x5时，f（x）=4x，则 f（1003）=（）A1B0 C1 D212函数f（x
6、）是R 上最小正周期为 2 的周期函数，当0 x2时 f（x）x，则函数（x）的图象在区间0，6上与 x 轴的交点个数为（）A6 B7 C8 D9213已知函数 f（x）是定义在（，+）上的奇函数，若对于任意的实数 x0，都有 f（2）（x），且当 x0，2）时，f（x）2（1），则 f（2014）（2015）（2016）的值为（）A1B2C2 D114已知f（x）是定义在R 上且周期为 3 的函数，当 x0，3）时，f（x）2x 41|，则方程 f（x）=在3，4解的个数（）A4B8C9D1015已知最小正周期为 2 的函数 f（x）在区间1，1上的解析式是 f（x），则函数 f（x）在实数
7、集 R 上的图象与函数（x）的图象的交点的个数是（）A3 B4 C5 D6522二填空题（共二填空题（共 1010 小题）小题）16已知定义在 R 上的函数 f（x），满足 f（1）=，且对任意的x 都有f（3）=，则 f（2014）=17若（x）是定义在 R 上周期为 2 的周期函数，且 f（x）是偶函数，当 x0，1时，f（x）=2 1，则函数 g（x）（x）5的零点个数为x18 定义在R上的函数（f x）满足f（x）=则 f（2013）的值为，19定义在 R 上的函数 f（x）的图象关于点（，0）对称，且满足 f（x）=f（），f（1）=1，f（0）=2，则f（1）（2）（3）+（201
8、0）的值为=20定义在 R 上的函数 f（x）满足：2，当 x（0，4）时，f（x）1，则 f（2011）=21定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（6）（x）当3x12时，f（x）=（2），当1x3 时，f（x）则 f（1）（2）（3）+（2012）=22若函数 f（x）是周期为 5 的奇函数，且满足 f（1）=1，f（2）=2，则 f（8）f（14）=23设 f（x）是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数，若 f（2）1，f（2014）=，则实数 a 的取值范围是24设 f（x）是周期为 2 的奇函数，当 0 x1 时，f（x）=2x（1x），则25若 f（2）=三解答题（共三解答题（
9、共 5 5 小题）小题）26设 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x 恒有 f（2）=f（x），当 x0，2时，f（x）=2xx（1）求证：f（x）是周期函数；（2）当 x2，4时，求 f（x）的解析式；（3）计算：f（0）（1）（2）+（2004）2=，则 f（+2）f（14）27函数 f（x）是以 2 为周期的偶函数，且当 x0，1时，f（x）=3 1（1）求 f（x）在1，0上的解析式；（2）求x的值28已知定义域为 R 的函数 f（x）为奇函数，且满足 f（4）（x），当 x0，1时，f（x）=2 1（1）求 f（x）在1，0）上的解析式；（2）求 f（x24）的值29
10、已知函数（f x）既是奇函数又是周期函数，周期为 3，且 x0，1时，f（x）2，求 f（2014）的值30定义在2R 上的奇函数 f（x）有最小正周期 2，且当 x（0，1）时，f（x）=22（1）求 f（x）在1，0）上的解析式；（2）判断 f（x）在（2，1）上的单调性，并给予证明x函数的周期性练习题高一参考答案与试题解析函数的周期性练习题高一参考答案与试题解析一选择题（共一选择题（共 1515 小题）小题）1【解答】解：定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）=f（x），函数 f（x）为奇函数又f（x2）（2）函数 f（x）为周期为 4 是周期函数又23222021642205f（
11、220）（2204）（2）=f（2）=f（2）又x（1，0）时，f（x）=2，f（2）=1故 f（220）=1故选 C2【解答】解：因为 f（3）=，故有 f（6）=（x）函数 f（x）是以 6 为周期的函数=f（107.5）（617+5.5）（5.5）=故选 B3【解答】解：函数 f（x）对任意 xR 都有 f（x）=f（3）=则 f（6）（x），即函数 f（x）的周期为 6，f（119.5）（2060.5）（0.5）=又偶函数 f（x），当 x3，2时，有 f（x）=4x，f（119.5）=C=，=故选：4【解答】解：f（x）是 R 上周期为 5 的奇函数，f（x）=f（x），f（1）=f
12、（1），可得 f（1）=f（1）=1，因为 f（2）=f（2），可得 f（2）=f（2）=3，f（8）（85）（3）（35）（2）=3，f（4）（45）（1）=1，f（8）f（4）=3（1）=2，故选 C；5【解答】解：f（x）的周期为 4，2015=45041，f（2015）（1），又 f（x）是定义在 R 上的奇函数，所以 f（2015）=f（1）=2 21=2，故选：A6【解答】解：由图象知 f（1）=1，f（1）=2，f（x）是定义在 R 上的周期为 3 的周期函数，f（2014）（2015）（1）（1）=1+2=3，故选：A7【解答】解：（x），1f（4）（x），即函数 f（x）的一
13、个周期为 4f（5.5）（1.5+4）（1.5）f（x）是定义在 R 上的偶函数f（5.5）（1.5）（1.5）（1.5+4）（2.5）当 2x3，f（x）f（2.5）=2.5f（5.5）=2.5故选 D8【解答】解：f（2）+2=f（2）（x），f（x）是以 4 为周期的奇函数，又，f（354）=2，故选：A9【解答】解：在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）（x）=0则：f（x）=f（x）所以函数是奇函数由于函数周期是 4，所以 f（2015）（50441）（1）=f（1）=5故选：B10【解答】解：f（2）=f（2+2）（x）f（x）是以 4 为周期的函数f（5）（1+4）（1）=5f
14、（f（5）（5）（5+4）（1）又f（1）f（f（5）=故选 B11【解答】解：f（5）（x5），f（10）（x），则函数 f（x）是周期为 10 的周期函数，则 f（1003）（1000+3）（3）=43=1，故选：C12【解答】解：当 0 x2 时，f（x）0 解得 0 或 1，因为 f（x）是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，故 f（x）=0 在区间0，6）上解的个数为 6，又因为 f（6）（0）=0，故 f（x）=0 在区间0，6上解的个数为7，即函数（x）的图象在区间0，6上与 x 轴的交点的个数为 7，故选：B13【解答】解：f（2）（x），f（2014）（2016）（0）21
15、=0，f（x）为R 上的奇函数，f（2015）=f（2015）=f（1）=1f（2014）（2015）（2016）=01+0=1故选 A214【解答】解：由题意知，f（x）是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x0，3）时，f（x）2x 41|，在同一坐标系中画出函数 f（x）与 的图象如下图：2由图象可知：函数（x）与 在区间3，4上有 10 个交点（互不相同），所以方程 f（x）=在3，4解的个数是 10 个，故选：D15【解答】解：函数 f（x）的最小正周期为 2，f（2）（x），f（x），（x）5作图如下：2函数 f（x）在实数集R 上的图象与函数（x）5的图象的交点的个数为 5，
16、故选：C二填空题（共二填空题（共 1010 小题）小题）16【解答】解：对任意的 x 都有 f（3）=f（6）（x），函数 f（x）为周期函数，且周期 6，f（2014）（3356+4）（4）（1+3）5故答案为：5x17【解答】解：当x0，1时，f（x）=2 1，函数（x）的周期为 2，x1，0时，f（x）=2 1，可作出函数的图象；图象关于y 轴对称的偶函数5函数（x）的零点，即为函数图象交点横坐标，当 x5 时，51，此时函数图象无交点，如图：又两函数在 x0 上有 4 个交点，由对称性知它们在 x0 上也有4 个交点，且它们关于直线 y 轴对称，可得函数 g（x）（x）5的零点个数为
17、8；故答案为 8；x18【解答】解：由分段函数可知，当 x0 时，f（x）（x1）f（x2），f（1）（x）f（x1）（x1）f（x2）f（x1），f（1）=f（x2），即 f（3）=f（x），f（6）（x），即当 x0 时，函数的周期是 6f（2013）（3356+3）（3）=f（0）=2（80）=28=3，故答案为：319【解答】解：由 f（x）=f（）得 f（3）（）+=f（）（x）.所以可得 f（x）是最小正周期3 的周期函数；由 f（x）的图象关于点（，0）对称，知（x，y）的对称点是（x，y）即若（x），则必（x），或f（x）而已知 f（x）=f（），故 f（x）（），今以 x 代
18、，得 f（x）（x），故知 f（x）又是 R 上的偶函数于是有：f（1）（1）=1；f（2）（23）（1）=1；f（3）（0+3）（0）=2；f（1）（2）（3）=0，以下每连续 3 项之和为 0而 2010=3670，于是 f（2010）=0；故答案为 020【解答】解：由题意知，定义在 R 上的函数 f（x）有，则令 2 代入得，f（4）函数 f（x）是周期函数且 4，f（2011）（4502+3）（3），当 x（0，4）时，f（x）1，f（3）=8即 f（2011）=8故答案为：821【解答】解：当3x1 时，f（x）=（2），f（3）=1，f（2）=0，当1x3 时，f（x），f（1）
19、=1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=2，又f（6）（x）故 f（3）=1，f（4）=0，f（5）=1，f（6）=0，又2012=3356+2，故 f（1）（2）（3）+（2 012）=335f（1）（2）（3）（4）（5）（6）（1）（2）=335+1+2=338，故答案为：33822（x），22【解答】解：由题意可得，f（8）（810）（2）=f（2）=2，f（14）（1415）（1）=f（1）=1，故有 f（8）f（14）=2（1）=1，故答案为123【解答】解：解：由 f（x）是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数，则 f（3）（x），f（x）=f（x），f（2014）（367
20、22）（2）=f（2），又 f（2）1，f（2014）1，即1，即为0，即有（3a2）（1）0，解得，1a，故答案为：24【解答】解：f（x）是周期为2 的奇函数，当 0 x1 时，f（x）=2x（1x），（）=f（）=2（1）=，故答案为：25【解答】解：由题意可得 f（6）=，+2）同理可得 f（14）（16+2）216=4，f（+2）f（14）=4=，故答案为：三解答题（共三解答题（共 5 5 小题）小题）26【解答】（1）证明：f（2）=f（x），f（4）=f（2）（x），f（x）是周期为 4 的周期函数；（2）解：当 x2，0时，x0，2，由已知得 f（x）=2（x）（x）=2xx，
21、又 f（x）是奇函数，f（x）=f（x）=2xx，f（x）+2x，又当 x2，4时，x42，0，f（x4）=（x4）+2（x4），又 f（x）是周期为 4 的周期函数，f（x）（x4）=（x4）+2（x4）68，从而求得 x2，4时，f（x）68；（3）解：f（0）=0，f（2）=0，f（1）=1，f（3）=1，又 f（x）是周期为 4 的周期函数，f（0）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）=（2 000）（2 001）（2 002）（2 003）=0f（0）（1）（2）+（2 004）=0（2004）=027【解答】解：（1）当x1，0时，x0，1，又f（x）是偶函数则，x1，022
22、222222（2），1320，1，即，28【解答】解：（1）令 x1，0），则x（0，1，f（x）=2 1又f（x）是奇函数，f（x）=f（x），f（x）（x）=2 1，xx（2）f（4）（x），f（x）是以 4 为周期的周期函数，29【解答】解：函数 f（x）的周期为 3，f（2014）（67131）（1），函数 f（x）是奇函数，f（1）=f（1）=（1 1+2）=2，f（2014）=22，30【解答】解；（1）因为奇函数 f（x）的定义域为 R，周期为2，所以 f（1）（1+2）（1），且 f（1）=f（1），于是 f（1）=0（2 分）当 x（1，0）时，x（0，1），f（x）=f（x）=（2x2）=2 2（5 分）xx所以 f（x）在1，0）上的解析式为（7 分）（2）f（x）在（2，1）上是单调增函数（9 分）先讨论 f（x）在（0，1）上的单调性设 0 x1x21，则因为 0 x1x21，所以，于是从而 f（x1）f（x2）0，所以 f（x）在（0，1）上是单调增函数（12 分）因为 f（x）的周期为 2，所以 f（x）在（2，1）上亦为单调增函数（14 分）