《2023年二次函数专题训练正方形的存在性问题含超详细解析超详细解析超详细解析答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年二次函数专题训练正方形的存在性问题含超详细解析超详细解析超详细解析答案.pdf（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、二次函数专题训练（正方形的存在性）1 1如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 的图象经过点 A（l，0），B（3，0），与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点为 D，对称轴与 x 轴相交于点 E，连接 BD（1）求抛物线的解析式（2）若点 P 在直线 BD 上，当 PE=PC 时，求点 P 的坐标（3）在（2）的条件下，作 PFx 轴于 F，点 M 为 x 轴上一动点，N 为直线 PF 上一动点，G 为抛物线上一动点，当以点 F，N，G，M 四点为顶点的四边形为正方形时，求点 M 的坐标 二次函数专题训练（正方形的存在性）2 2如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B，与
2、y 轴交于点 C，点 B 坐标为（6，0），点 C 坐标为（0，6），点 D 是抛物线的顶点，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为 E，连接 BD（1）求抛物线的解析式及点 D 的坐标；（2）点 F 是抛物线上的动点，当FBA=BDE 时，求点 F 的坐标；（3）若点 M 是抛物线上的动点，过点 M 作 MNx 轴与抛物线交于点 N，点 P 在 x 轴上，点 Q 在坐标平面内，以线段 MN 为对角线作正方形 MPNQ，请写出点 Q 的坐标 一动点当以点四点为顶点的四边形为正方形时求点的坐标二次函数专题训练正方形的存在性如图抛物线与轴交于点和抛物线上的动点当时求点的坐标若点是抛物线上的动点过点作轴
3、与抛物线交于点点在轴上点在坐标平面内以线段为对轴交直线于点交轴于点过点作轴垂足为点求二次函数的表达式若点是抛物线上对称轴右侧的点且四边形为正方形求该二次函数专题训练（正方形的存在性）3 3如图，已知抛物线 y=ax2+bx3 过点 A（1，0），B（3，0），点 M、N 为抛物线上的动点，过点 M作 MDy 轴，交直线 BC 于点 D，交 x 轴于点 E过点 N 作 NFx 轴，垂足为点 F（1）求二次函数 y=ax2+bx3 的表达式；（2）若 M 点是抛物线上对称轴右侧的点，且四边形 MNFE 为正方形，求该正方形的面积；（3）若 M 点是抛物线上对称轴左侧的点，且DMN=90，MD=MN
4、，请直接写出点 M 的横坐标 一动点当以点四点为顶点的四边形为正方形时求点的坐标二次函数专题训练正方形的存在性如图抛物线与轴交于点和抛物线上的动点当时求点的坐标若点是抛物线上的动点过点作轴与抛物线交于点点在轴上点在坐标平面内以线段为对轴交直线于点交轴于点过点作轴垂足为点求二次函数的表达式若点是抛物线上对称轴右侧的点且四边形为正方形求该二次函数专题训练（正方形的存在性）4 4.(2015 贵州省毕节地区)如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0），B（3，0）两点，顶点 M 关于 x 轴的对称点是 M （1）求抛物线的解析式；（2）若直线 AM 与此抛物线的另一个交点为 C，
5、求CAB 的面积；（3）是否存在过 A，B 两点的抛物线，其顶点 P 关于 x 轴的对称点为 Q，使得四边形 APBQ 为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由 一动点当以点四点为顶点的四边形为正方形时求点的坐标二次函数专题训练正方形的存在性如图抛物线与轴交于点和抛物线上的动点当时求点的坐标若点是抛物线上的动点过点作轴与抛物线交于点点在轴上点在坐标平面内以线段为对轴交直线于点交轴于点过点作轴垂足为点求二次函数的表达式若点是抛物线上对称轴右侧的点且四边形为正方形求该二次函数专题训练（正方形的存在性）5 5.(2016 辽宁省铁岭市)如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴
6、交于点 A，点 B，与 y 轴交于点 C，点 B坐标为（6，0），点 C 坐标为（0，6），点 D 是抛物线的顶点，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为 E，连接 BD （1）求抛物线的解析式及点 D 的坐标；（2）点 F 是抛物线上的动点，当FBA=BDE 时，求点 F 的坐标；（3）若点 M 是抛物线上的动点，过点 M 作 MNx 轴与抛物线交于点 N，点 P 在 x 轴上，点 Q 在平面内，以线段 MN 为对角线作正方形 MPNQ，请直接写出点 Q 的坐标 一动点当以点四点为顶点的四边形为正方形时求点的坐标二次函数专题训练正方形的存在性如图抛物线与轴交于点和抛物线上的动点当时求点的坐标若点
7、是抛物线上的动点过点作轴与抛物线交于点点在轴上点在坐标平面内以线段为对轴交直线于点交轴于点过点作轴垂足为点求二次函数的表达式若点是抛物线上对称轴右侧的点且四边形为正方形求该二次函数专题训练（正方形的存在性）6 6.(2016 广东省茂名市)如图，抛物线 y=x2+bx+c 经过 A（1，0），B（3，0）两点，且与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴 DE 交 x 轴于点 E，连接 BD（1）求经过 A，B，C 三点的抛物线的函数表达式；（2）点 P 是线段 BD 上一点，当 PE=PC 时，求点 P 的坐标；（3）在（2）的条件下，过点 P 作 PFx 轴于点 F，G
8、为抛物线上一动点，M 为 x 轴上一动点，N 为直线PF 上一动点，当以 F、M、G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点 M 的坐标 一动点当以点四点为顶点的四边形为正方形时求点的坐标二次函数专题训练正方形的存在性如图抛物线与轴交于点和抛物线上的动点当时求点的坐标若点是抛物线上的动点过点作轴与抛物线交于点点在轴上点在坐标平面内以线段为对轴交直线于点交轴于点过点作轴垂足为点求二次函数的表达式若点是抛物线上对称轴右侧的点且四边形为正方形求该二次函数专题训练（正方形的存在性）7 二次函数专题训练（正方形的存在性问题）参考答案 1如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 的图象经过点 A（l，0），B（3
9、，0），与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点为 D，对称轴与 x 轴相交于点 E，连接 BD（1）求抛物线的解析式（2）若点 P 在直线 BD 上，当 PE=PC 时，求点 P 的坐标（3）在（2）的条件下，作 PFx 轴于 F，点 M 为 x 轴上一动点，N 为直线 PF 上一动点，G 为抛物线上一动点，当以点 F，N，G，M 四点为顶点的四边形为正方形时，求点 M 的坐标 【解答】解：（1）抛物线 y=x2+bx+c 的图象经过点 A（1，0），B（3，0），抛物线的解析式为 y=x2+2x3；（2）由（1）知，抛物线的解析式为 y=x2+2x3；C（0，3），抛物线的顶点 D（1，4），E
10、（1，0），设直线 BD 的解析式为 y=mx+n，直线 BD 的解析式为 y=2x6，设点 P（a，2a6），C（0，3），E（1，0），根据勾股定理得，PE2=（a+1）2+（2a6）2，PC2=a2+（2a6+3）2，PC=PE，（a+1）2+（2a6）2=a2+（2a6+3）2，a=2，y=2（2）6=2，P（2，2），（3）如图，作 PFx 轴于 F，F（2，0），设 M（d，0），G（d，d2+2d3），N（2，d2+2d3），以点 F，N，G，M 四点为顶点的四边形为正方形，必有 FM=MG，|d+2|=|d2+2d3|，d=或 d=，点 M 的坐标为（，0），（，0），（，0）
11、，（，0）一动点当以点四点为顶点的四边形为正方形时求点的坐标二次函数专题训练正方形的存在性如图抛物线与轴交于点和抛物线上的动点当时求点的坐标若点是抛物线上的动点过点作轴与抛物线交于点点在轴上点在坐标平面内以线段为对轴交直线于点交轴于点过点作轴垂足为点求二次函数的表达式若点是抛物线上对称轴右侧的点且四边形为正方形求该二次函数专题训练（正方形的存在性）8 2如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B，与 y 轴交于点 C，点 B 坐标为（6，0），点 C 坐标为（0，6），点 D 是抛物线的顶点，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为 E，连接 BD （1）求抛物线的解析式及点
12、D 的坐标；（2）点 F 是抛物线上的动点，当FBA=BDE 时，求点 F 的坐标；（3）若点 M 是抛物线上的动点，过点 M 作 MNx 轴与抛物线交于点 N，点 P 在 x 轴上，点 Q 在坐标平面内，以线段 MN 为对角线作正方形 MPNQ，请写出点 Q 的坐标【解答】解：（1）把 B、C 两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，抛物线解析式为 y=x2+2x+6，y=x2+2x+6=（x2）2+8，D（2，8）；（2）如图 1，过 F 作 FGx 轴于点 G，设 F（x，x2+2x+6），则 FG=|x2+2x+6|，FBA=BDE，FGB=BED=90，FBGBDE，=，B（6，0），D
13、（2，8），E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，BG=6x，=，当点 F 在 x 轴上方时，有=，解得 x=1 或 x=6（舍去），此时 F 点的坐标为（1，）；当点 F 在 x 轴下方时，有=，解得 x=3 或 x=6（舍去），此时F 点坐标为（3，）；综上可知 F 点的坐标为（1，）或（3，）；（3）如图 2，设对角线 MN、PQ 交于点 O，点 M、N 关于抛物线对称轴对称，且四边形 MPNQ 为正方形，点 P 为抛物线对称轴与 x 轴的交点，点 Q 在抛物线的对称轴上，设 Q（2，2n），则 M 坐标为（2n，n），点 M 在抛物线 y=x2+2x+6 的图象上，一动点当以点四
14、点为顶点的四边形为正方形时求点的坐标二次函数专题训练正方形的存在性如图抛物线与轴交于点和抛物线上的动点当时求点的坐标若点是抛物线上的动点过点作轴与抛物线交于点点在轴上点在坐标平面内以线段为对轴交直线于点交轴于点过点作轴垂足为点求二次函数的表达式若点是抛物线上对称轴右侧的点且四边形为正方形求该二次函数专题训练（正方形的存在性）9 n=（2n）2+2（2n）+6，解得 n=1+或 n=1，满足条件的点 Q 有两个，其坐标分别为（2，2+2）或（2，22）3如图，已知抛物线 y=ax2+bx3 过点 A（1，0），B（3，0），点 M、N 为抛物线上的动点，过点 M作 MDy 轴，交直线 BC 于点
15、 D，交 x 轴于点 E过点 N 作 NFx 轴，垂足为点 F（1）求二次函数 y=ax2+bx3 的表达式；（2）若 M 点是抛物线上对称轴右侧的点，且四边形 MNFE 为正方形，求该正方形的面积；（3）若 M 点是抛物线上对称轴左侧的点，且DMN=90，MD=MN，请直接写出点 M 的横坐标 【解答】解：（1）把 A（1，0），B（3，0）代入 y=ax2+bx3，得：，解得，故该抛物线解析式为：y=x22x3；（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x22x3=（x1）24，该抛物线的对称轴是 x=1，顶点坐标为（1，4）如图，设点 M 坐标为（m，m22m3），其中 m1，ME=|m2+
16、2m+3|，M、N 关于 x=1 对称，且点 M 在对称轴右侧，点 N 的横坐标为 2m，MN=2m 2，四边形 MNFE 为正方形，ME=MN，|m2+2m+3|=2m2，分两种情况：当m2+2m+3=2m2 时，解得：m1=、m2=（不符合题意，舍去），当 m=时，正方形的面积为（22）2=248；当m2+2m+3=22m 时，解得：m3=2+，m4=2（不符合题意，舍去），当 m=2+时，正方形的面积为2（2+）22=24+8；综上所述，正方形的面积为 24+8或 248（3）设 BC 所在直线解析式为 y=px+q，把点 B（3，0）、C（0，3）代入表达式，得：，解得：，直线 BC
17、的函数表达式为 y=x3，设点 M 的坐标为（t，t22t3），其中 t1，则点 N（2t，t22t3），点 D（t，t3），MN=2tt=22t，MD=|t22t3t+3|=|t23t|MD=MN，|t23t|=22t，分两种情况：当 t23t=22t 时，解得 t1=1，t2=2（不符合题意，舍去）一动点当以点四点为顶点的四边形为正方形时求点的坐标二次函数专题训练正方形的存在性如图抛物线与轴交于点和抛物线上的动点当时求点的坐标若点是抛物线上的动点过点作轴与抛物线交于点点在轴上点在坐标平面内以线段为对轴交直线于点交轴于点过点作轴垂足为点求二次函数的表达式若点是抛物线上对称轴右侧的点且四边形为
18、正方形求该二次函数专题训练（正方形的存在性）10 当 3tt2=22t 时，解得 t3=，t2=（不符合题意，舍去）综上所述，点 M 的横坐标为1 或 4.(2015 贵州省毕节地区)如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0），B（3，0）两点，顶点 M 关于 x 轴的对称点是 M （1）求抛物线的解析式；（2）若直线 AM 与此抛物线的另一个交点为 C，求CAB 的面积；（3）是否存在过 A，B 两点的抛物线，其顶点 P 关于 x 轴的对称点为 Q，使得四边形 APBQ 为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由 分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析
19、式；（2）根据轴对称，可得 M 的坐标，根据待定系数法，可得 AM 的解析式，根据解方程组，可得 B 点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；（3）根据正方形的性质，可得 P、Q 点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式 解答：解：（1）将 A、B 点坐标代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式 y=x22x3；（2）将抛物线的解析式化为顶点式，得 y=（x1）24，M 点的坐标为（1，4），M 点的坐标为（1，4），设 AM 的解析式为 y=kx+b，将 A、M 点的坐标代入，得，解得，AM 的解析式为 y=2x+2，联立 AM 与抛物线，得，解得，C 点坐标为（5，12）SABC=4 12=
20、24；（3）存在过 A，B 两点的抛物线，其顶点 P 关于 x 轴的对称点为 Q，使得四边形 APBQ 为正方形，由 ABPQ 是正方形，A（1，0）B（3，0），得 P（1，2），Q（1，2），或 P（1，2），Q（1，2），当顶点 P（1，2）时，设抛物线的解析式为 y=a（x1）22，一动点当以点四点为顶点的四边形为正方形时求点的坐标二次函数专题训练正方形的存在性如图抛物线与轴交于点和抛物线上的动点当时求点的坐标若点是抛物线上的动点过点作轴与抛物线交于点点在轴上点在坐标平面内以线段为对轴交直线于点交轴于点过点作轴垂足为点求二次函数的表达式若点是抛物线上对称轴右侧的点且四边形为正方形求该二
21、次函数专题训练（正方形的存在性）11 将 A 点坐标代入函数解析式，得 a（11）22=0，解得 a=，抛物线的解析式为 y=（x1）22，当 P（1，2）时，设抛物线的解析式为 y=a（x1）2+2，将 A 点坐标代入函数解析式，得 a（11）2+2=0，解得 a=，抛物线的解析式为 y=（x1）2+2，综上所述：y=（x1）22 或 y=（x1）2+2，使得四边形 APBQ 为正方形 5.(2016 辽宁省铁岭市)如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A，点 B，与 y 轴交于点 C，点 B坐标为（6，0），点 C 坐标为（0，6），点 D 是抛物线的顶点，过点 D 作 x
22、轴的垂线，垂足为 E，连接 BD （1）求抛物线的解析式及点 D 的坐标；（2）点 F 是抛物线上的动点，当FBA=BDE 时，求点 F 的坐标；（3）若点 M 是抛物线上的动点，过点 M 作 MNx 轴与抛物线交于点 N，点 P 在 x 轴上，点 Q 在平面内，以线段 MN 为对角线作正方形 MPNQ，请直接写出点 Q 的坐标 分析（1）由点 B、C 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法将抛物线解析式变形成顶点式即可得出结论；（2）设线段 BF 与 y 轴交点为点 F，设点 F 的坐标为（0，m），由相似三角形的判定及性质可得出点 F的坐标，根据点 B、F 的坐标利用待定
23、系数法可求出直线 BF 的解析式，联立直线 BF 和抛物线的解析式成方程组，解方程组即可求出点 F 的坐标；（3）设对角线 MN、PQ 交于点 O，如图 2 所示根据抛物线的对称性结合正方形的性质可得出点 P、Q的位置，设出点 Q 的坐标为（2，2n），由正方形的性质可得出点 M 的坐标为（2n，n）由点 M 在抛物线图象上，即可得出关于 n 的一元二次方程，解方程可求出 n 值，代入点 Q 的坐标即可得出结论 解答解：（1）将点 B（6，0）、C（0，6）代入 y=x2+bx+c 中，得：，解得：，抛物线的解析式为 y=x2+2x+6 y=x2+2x+6=（x2）2+8，点 D 的坐标为（2
24、，8）（2）设线段 BF 与 y 轴交点为点 F，设点 F 的坐标为（0，m），如图 1 所示 FBO=FBA=BDE，FOB=BED=90，FBO BDE，点 B（6，0），点 D（2，8），一动点当以点四点为顶点的四边形为正方形时求点的坐标二次函数专题训练正方形的存在性如图抛物线与轴交于点和抛物线上的动点当时求点的坐标若点是抛物线上的动点过点作轴与抛物线交于点点在轴上点在坐标平面内以线段为对轴交直线于点交轴于点过点作轴垂足为点求二次函数的表达式若点是抛物线上对称轴右侧的点且四边形为正方形求该二次函数专题训练（正方形的存在性）12 点 E（2，0），BE=64=4，DE=80=8，OB=6，
25、OF=OB=3，点 F（0，3）或（0，3）设直线 BF 的解析式为 y=kx 3，则有 0=6k+3 或 0=6k3，解得：k=或 k=，直线 BF 的解析式为 y=x+3 或 y=x3 联立直线 BF 与抛物线的解析式得：或，解方程组得：或（舍去），点 F 的坐标为（1，）；解方程组得：或（舍去），点 F 的坐标为（3，）综上可知：点 F 的坐标为（1，）或（3，）（3）设对角线 MN、PQ 交于点 O，如图 2 所示 点 M、N 关于抛物线对称轴对称，且四边形 MPNQ 为正方形，点 P 为抛物线对称轴与 x 轴的交点，点 Q 在抛物线对称轴上，设点 Q 的坐标为（2，2n），则点 M
26、的坐标为（2n，n）点 M 在抛物线 y=x2+2x+6 的图象上，n=+2（2n）+6，即 n2+2n16=0，解得：n1=1，n2=1 点 Q 的坐标为（2，1）或（2，1）6.(2016 广东省茂名市)】如图，抛物线 y=x2+bx+c 经过 A（1，0），B（3，0）两点，且与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴 DE 交 x 轴于点 E，连接 BD（1）求经过 A，B，C 三点的抛物线的函数表达式；（2）点 P 是线段 BD 上一点，当 PE=PC 时，求点 P 的坐标；（3）在（2）的条件下，过点 P 作 PFx 轴于点 F，G 为抛物线上一动点，M 为 x
27、轴上一动点，N 为直线PF 上一动点，当以 F、M、G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点 M 的坐标 分析（1）利用待定系数法求出过 A，B，C 三点的抛物线的函数表达式；一动点当以点四点为顶点的四边形为正方形时求点的坐标二次函数专题训练正方形的存在性如图抛物线与轴交于点和抛物线上的动点当时求点的坐标若点是抛物线上的动点过点作轴与抛物线交于点点在轴上点在坐标平面内以线段为对轴交直线于点交轴于点过点作轴垂足为点求二次函数的表达式若点是抛物线上对称轴右侧的点且四边形为正方形求该二次函数专题训练（正方形的存在性）13（2）连接 PC、PE，利用公式求出顶点 D 的坐标，利用待定系数法求出直线 BD
28、 的解析式，设出点 P 的坐标为（x，2x+6），利用勾股定理表示出 PC2和 PE2，根据题意列出方程，解方程求出 x 的值，计算求出点 P 的坐标；（3）设点 M 的坐标为（a，0），表示出点 G 的坐标，根据正方形的性质列出方程，解方程即可 解答解：（1）抛物线 y=x2+bx+c 经过 A（1，0），B（3，0）两点，解得，经过 A，B，C 三点的抛物线的函数表达式为 y=x2+2x+3；（2）如图 1，连接 PC、PE，x=1，当 x=1 时，y=4，点 D 的坐标为（1，4），设直线 BD 的解析式为：y=mx+n，则，解得，直线 BD 的解析式为 y=2x+6，设点 P 的坐标为
29、（x，2x+6），则 PC2=x2+（3+2x6）2，PE2=（x1）2+（2x+6）2，PC=PE，x2+（3+2x6）2=（x1）2+（2x+6）2，解得，x=2，则 y=2 2+6=2，点 P 的坐标为（2，2）；（3）设点 M 的坐标为（a，0），则点 G 的坐标为（a，a2+2a+3），以 F、M、G 为顶点的四边形是正方形，FM=MG，即|2a|=|a2+2a+3|，当 2a=a2+2a+3 时，整理得，a23a1=0，解得，a=，当 2a=（a2+2a+3）时，整理得，a2a5=0，解得，a=，当以 F、M、G 为顶点的四边形是正方形时，点 M 的坐标为（，0），（，0），（，0），（，0）一动点当以点四点为顶点的四边形为正方形时求点的坐标二次函数专题训练正方形的存在性如图抛物线与轴交于点和抛物线上的动点当时求点的坐标若点是抛物线上的动点过点作轴与抛物线交于点点在轴上点在坐标平面内以线段为对轴交直线于点交轴于点过点作轴垂足为点求二次函数的表达式若点是抛物线上对称轴右侧的点且四边形为正方形求该