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1、第六章 计 数 原 理章前引言汽车号码牌的序号一般是从汽车号码牌的序号一般是从2626个英文字母、个英文字母、1010个阿拉伯数字中选出若个阿拉伯数字中选出若干个，并按照适当顺序排列而成。随着人们生活水平的提高，家庭汽车拥干个，并按照适当顺序排列而成。随着人们生活水平的提高，家庭汽车拥有量迅速增长，汽车号码序号需要扩容，那么，交通管理部门应如何确定有量迅速增长，汽车号码序号需要扩容，那么，交通管理部门应如何确定序号的组成方法，才能满足民众的需求呢？这就需要序号的组成方法，才能满足民众的需求呢？这就需要“数出数出”某种汽车号某种汽车号码牌序号组成的方案下所有可能的序号数，这就是计数。码牌序号组成
2、的方案下所有可能的序号数，这就是计数。比如比如：日常生活、生产中类似的问题大量存在：日常生活、生产中类似的问题大量存在 .例如，幼儿会通过一个例如，幼儿会通过一个一个地数的方法，计算自己拥有玩具的数量；学校要举行班际篮球比赛，一个地数的方法，计算自己拥有玩具的数量；学校要举行班际篮球比赛，在确定赛制后，体育组的老师需要知道共需要举行多少场比赛在确定赛制后，体育组的老师需要知道共需要举行多少场比赛.又比如又比如：用红、黄、绿三面旗帜组成航海信号，颜色的不同排列表示不同：用红、黄、绿三面旗帜组成航海信号，颜色的不同排列表示不同的信号，需要知道共可以组成多少种不同的信号的信号，需要知道共可以组成多少
3、种不同的信号如果问题中数量很少，如果问题中数量很少，一个一个地数也不失为一种计数的好方法一个一个地数也不失为一种计数的好方法.但但如果问题中数量很多如果问题中数量很多，我我们还一个一个地去数吗？们还一个一个地去数吗？在小学我们学了加法和乘法，这是将若干个“小”的数结合成“较大”的数最基本的方法.这两种方法经过推广就成了本章将要学习的分类加法计数原理和分步乘法计数原理.这两个原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，利用两个计算原理还可以得到两类特殊计数问题的计数公式排列数公式和组合数公式，应用公式就可以方便地解决一些计数问题.作为计数原理与计数公式的一个应用，本章我们还将学习在数学上有广泛应用
4、的二项式定理.章前引言第六章 计数原理6.1 6.1 分类加法计数原理与分类加法计数原理与 分步乘法计数原理分步乘法计数原理第第 一课时一课时一二三学习目标通过实例，归纳总结分类加法、分步乘法原理能正确理解“完成一件事”的正确含义，能根据事件完成的特征，正确选择“分类”加法、分步乘法进行计算能利用分类加法、分步乘法计数原理解决相关问题新课导入 计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法，但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高，能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢？本节课，我们会分析一些简单的问题（实例），并尝试从中得出巧妙的计数方法.新知探究：分类加法计数原理问题
5、1 用一个大写的英文字母用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码号，总共能编出多少种不同的号码?完成一件什么事完成一件什么事怎么完成这件事怎么完成这件事英文字母英文字母有什么要求有什么要求给一个座位编号给一个座位编号用一个英文字用一个英文字母母或一个阿拉一个阿拉伯伯数字数字数字数字方案方案1 1：方案方案2 2：用英文字母编号用英文字母编号用阿拉伯数字编号用阿拉伯数字编号列举法：列举法：A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O,P,Q,R,S,T
6、,U,V,W,X,Y,Z,N,O,P,Q,R,S,T,U,V,W,X,Y,Z,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.262626261010101026+10=3626+10=3626+10=3626+10=36这就是分类加法计数原理这就是分类加法计数原理这就是分类加法计数原理这就是分类加法计数原理概念生成完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法分类加法计数原理：注意：两类不同方案中的方法互不相同.典例解析例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕在填写高考志
7、愿表时，一名高中毕业生了解到，业生了解到，A A，B B两所大学各有一些自两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如右表己感兴趣的强项专业，如右表.A大学大学B大学大学生物学生物学数学数学化学化学会计学会计学医学医学信息技术学信息技术学物理学物理学法学法学工程学工程学问 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？完成一件什么事完成一件什么事怎么完成这件事怎么完成这件事英文字母英文字母有什么要求有什么要求选一个专业选一个专业两所大学中的两所大学中的一所大学里选一所大学里选一个专业一个专业方案方案1 1：方案方案2 2：在在A A大学强项专业里选大学强项专业里选在在B B大学强项专业里选大
8、学强项专业里选5 5 5 54 4 4 4N N=5+4=9=5+4=9巩固练习变式1 在填写高考志愿表时，一名高中在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，毕业生了解到，A A，B,CB,C三三所大学各有一所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如右表些自己感兴趣的强项专业，如右表.A大学大学B大学大学C大学大学生物学生物学数学数学数学数学化学化学会计学会计学自动化自动化医学医学信息技术学信息技术学经济学经济学物理学物理学法学法学工程学工程学问 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？完成一件什么事完成一件什么事怎么完成这件事怎么完成这件事英文字母英文字母有什么要求有什么要求选一个专
9、业选一个专业两所大学中的两所大学中的一所大学里选一所大学里选一个专业一个专业方案方案1 1：方案方案2 2：方案方案3 3：在在A A大学强项专业里选大学强项专业里选在在B B大学强项专业里选大学强项专业里选5 5 5 54 4 4 4在在C C大学强项专业里选大学强项专业里选3 3 3 3N N=5+4+3-1=11=5+4+3-1=11巩固练习变式2 在填写高考志愿表时，一名高中在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，毕业生了解到，A A，B,CB,C三三所大学各有一所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如右表些自己感兴趣的强项专业，如右表.A大学大学B大学大学C大学大学生物学生物学数学数
10、学金融学金融学化学化学会计学会计学自动化自动化医学医学信息技术学信息技术学经济学经济学物理学物理学法学法学工程学工程学问 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？完成一件什么事完成一件什么事怎么完成这件事怎么完成这件事英文字母英文字母有什么要求有什么要求选一个专业选一个专业两所大学中的两所大学中的一所大学里选一所大学里选一个专业一个专业方案方案1 1：方案方案2 2：方案方案3 3：在在A A大学强项专业里选大学强项专业里选在在B B大学强项专业里选大学强项专业里选5 5 5 54 4 4 4在在C C大学强项专业里选大学强项专业里选3 3 3 3N N=5+4+3=12=5+4+
11、3=12概念升华完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 Nmn种不同的方法分类加法计数原理：分类加法计数原理的推广：完成一件事有n类不同方案，在第 1 类方案中有 m1 种不同的方法，在第 2类方案中有 m2 种不同的方法，在第 n类方案中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 Nm1m2mn种不同的方法分类计数结论将完成一件事的办法分成若干类求出每一类中的方法数将每一类中的方法数相加得最终结果利用分类加法计数原理解题的一般思路：注意：确定分类标准时要确保每一类都能独立地完成这件事.方法归纳新知探究：分步乘
12、法计数原理完成一件什么事完成一件什么事怎么完成这件事怎么完成这件事英文字母英文字母有什么要求有什么要求给一个座位编号给一个座位编号用一个英文字用一个英文字母母和一个阿拉一个阿拉伯伯数字数字数字数字第第1 1步：步：第第2 2步：步：用英文字母编号用英文字母编号用阿拉伯数字编号用阿拉伯数字编号6 6 6 69 9 9 9N N=6=699=54=54新知探究：分步乘法计数原理法一：列举法：将编号一个一个列举出来，注意顺序，注意不要遗漏法二：树状图A123456789A1A2A3A4A5A6A7A8A9与字母与字母A对应对应的编号有的编号有9种种能用树状能用树状图列出所图列出所有可能的有可能的号码
13、吗？号码吗？B123456789B1B2B3B4B5B6B7B8B99种种.概念生成分步乘法计数原理：分步乘法计数原理：一般地，完成一件事需要一般地，完成一件事需要两个步骤两个步骤，做第，做第1步有步有m种不同的方种不同的方法，做第法，做第2步有步有n种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，那么完成这件事共有 Nmn种不同的方法种不同的方法.注意：无论第注意：无论第1步采用哪步采用哪种方法，与之对应的第种方法，与之对应的第2步都有相同的方法数步都有相同的方法数.注意：注意：各个步骤相互依存各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了只有各个步骤都完成了,这件事才这件事才算完成算完成,将各个步骤
14、的方法数相乘得到完成这件事的方法总数将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数,又称乘法原理又称乘法原理.典例解析例2 某班有男生某班有男生3030名，女生名，女生2424名名.从中选出男、女生各从中选出男、女生各1 1名代表班级参加名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？比赛，共有多少种不同的选法？完成一件什么事完成一件什么事怎么完成这件事怎么完成这件事英文字母英文字母有什么要求有什么要求选两名班级代表选两名班级代表1 1名男生名男生和1 1名名女生女生第第1 1步：步：第第2 2步：步：从男生中选从男生中选1 1名名从女生中选从女生中选1 1名名3030303024242424N N
15、=30=302424=720=720 巩固练习例2 某班有男生某班有男生3030名，女生名，女生2424名名.从中选出男、女生各从中选出男、女生各1 1名代表班级参加名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？比赛，共有多少种不同的选法？完成一件什么事完成一件什么事怎么完成这件事怎么完成这件事英文字母英文字母有什么要求有什么要求变式：该班有该班有1010名任课老师，若要从中名任课老师，若要从中增派增派1 1名老师作为领队，共有名老师作为领队，共有多少种不同的选法？多少种不同的选法？选两名班级代表选两名班级代表和一名带队老师和一名带队老师1 1名男生名男生1 1名女名女生生和1 1名老师名老师第第
16、1 1步：步：第第2 2步：步：第第3 3步：步：从男生中选从男生中选1 1名名从女生中选从女生中选1 1名名3030303024242424从老师中选从老师中选1 1名名10101010N N=30=3024102410=7200=7200概念升华完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 Nmn种不同的方法分步乘法计数原理：分步乘法计数原理的推广：完成一件事需要有n个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的方法，做第 2步有 m2 种不同的方法，做第 n步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 Nm1m2mn种不同的方法典例
17、解析例3 书架上第书架上第1层放有层放有4本不同的计算机书本不同的计算机书,第第 2层放有层放有3本不同的文艺书本不同的文艺书,第第3层放有层放有2本不同的体育书本不同的体育书.(1)从书架上任取从书架上任取1本书本书,有多少种不同的取法有多少种不同的取法?(2)从书架的第从书架的第1层层、第第2层层、第第3层各取层各取1本书本书,有多少种不同取法有多少种不同取法?问：分别是在完成一件什么事？怎么完成？是方法的分类还是过程的分步？分析:(1)要完成的一件事是“从书架上取1本书”，可以分从第1层、第2层和第3层中取三类方案；（分类加法）分析:(2)要完成的一件事是“从书架第1层、第2层、第3层中
18、各取1本书”，可以分三个步骤完成.（分步乘法）典例解析例3 书架上第书架上第1层放有层放有4本不同的计算机书本不同的计算机书,第第 2层放有层放有3本不同的文艺书本不同的文艺书,第第3层放有层放有2本不同的体育书本不同的体育书.(1)从书架上任取从书架上任取1本书本书,有多少种不同的取法有多少种不同的取法?(2)从书架的第从书架的第1层层、第第2层层、第第3层各取层各取1本书本书,有多少种不同取法有多少种不同取法?解：(1)从书架上任取1本书，有三类方案：第1类方案,从第1层中任取一本计算机书,有4种方法;第2类方案,从第2层中任取一本文艺书,有3种方法;第3类方案：从第3层中任取一本体育书,
19、有2种方法.根据根据分类加法计数原理分类加法计数原理,不同取法种数是不同取法种数是N=4+3+2=9 典例解析例3 书架上第书架上第1层放有层放有4本不同的计算机书本不同的计算机书,第第 2层放有层放有3本不同的文艺书本不同的文艺书,第第3层放有层放有2本不同的体育书本不同的体育书.(1)从书架上任取从书架上任取1本书本书,有多少种不同的取法有多少种不同的取法?(2)从书架的第从书架的第1层层、第第2层层、第第3层各取层各取1本书本书,有多少种不同取法有多少种不同取法?(2)从书架的第1,2,3层各取1本书,可以分成三个步骤完成：第1步:从第1层中任取一本计算机书,有4种方法;第2步:从第2层
20、中任取一本文艺书,有3种方法;第3步:从第3层中任取一本体育书,有 2 种方法；根据根据分步乘法计数原理分步乘法计数原理,不同取法种数是不同取法种数是N=432=24 分步计数结论将完成一件事的过程分成若干步求出每一步中的方法数将每一步中的方法数相乘得最终结果利用分步乘法计数原理解题的一般思路：注意：确定分步标准时要确保每一步都不能独立地完成这件事.方法归纳典例解析例3 书架上第书架上第1层放有层放有4本不同的计算机书本不同的计算机书,第第 2层放有层放有3本不同的文艺书本不同的文艺书,第第3层放有层放有2本不同的体育书本不同的体育书.变式：从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？从
21、书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？需先分类再分步.第一类：从一、二层各取一本，有第二类：从一、三层各取一本,有第三类：从二、三层各取一本,有根据两个基本原理，不同的取法总数是N=43+42+32=26答:从书架上取2本不同种的书,有26种不同的取法.43=12种方法；42=8种方法；32=6种方法；巩固练习1.填空题填空题 (1)一项工作可以用一项工作可以用2种方法完成，有种方法完成，有5人只会用第人只会用第1种方法完成，另有种方法完成，另有4人只会用第人只会用第2种方法完成，从中选出种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种人来完成这项工作，不同选法的种数是数是_；(
22、2)从从A村去村去B村的道路有村的道路有3条，从条，从B村去村去C村的道路有村的道路有2条，从条，从A村经村经B村村去去C村，不同路线的条数是村，不同路线的条数是_.96课本课本P53.书架上层放有书架上层放有6本不同的数学书，下层放有本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书本不同的语文书.(1)从书架上任取从书架上任取1本书，有多少种不同的取法本书，有多少种不同的取法?(2)从书架上任取数学书和语文书各从书架上任取数学书和语文书各1本，有多少种不同的取法本，有多少种不同的取法?4.现有高一年级的学生现有高一年级的学生3名，高二年级的学生名，高二年级的学生5名，高三年级的学生名，高三年级的学生
23、4名名.(1)从三个年级的学生中任选从三个年级的学生中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法选法?(2)从三个年级的学生中各选从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法选法?解：解：(1)11种；种；(2)30种种.解：解：(1)12种；种；(2)60种种.课本课本P6巩固练习2.如图，从甲地到乙地有如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有条路，从乙地到丁地有3条路，从甲地到丙地条路，从甲地到丙地有有4条路，从丙地到丁地有条路，从丙地到丁地有2条路，从甲地到丁地共有多少条不同路线？条路，从甲
24、地到丁地共有多少条不同路线？N=23+42=14巩固练习课本课本P11课堂小结1.解答计数问题的一般思路：完成一件什么事完成一件什么事怎么完成这件事怎么完成这件事英文字母英文字母有什么要求有什么要求方法的分类方法的分类过程的分步过程的分步利用加法原理进行计数利用加法原理进行计数利用乘法原理进行计数利用乘法原理进行计数分类加法计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理分步乘法计数原理相同点相同点区别区别注意注意都是用来计算都是用来计算“完成一件事完成一件事”的不同方法种数的问题的不同方法种数的问题类类独立，不重不漏类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整步步相依，步骤完整课堂小结2.两个原理的异同点：分类完成，类类相加分类完成，类类相加分步完成，步步相乘分步完成，步步相乘任何一类中的任何一种方任何一类中的任何一种方法都能独立完成这件事法都能独立完成这件事只有依次完成每一个步骤，才只有依次完成每一个步骤，才能完成这件事（能完成这件事（每步中的每一每步中的每一种方法不能独立完成这件事种方法不能独立完成这件事）