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1、高度 角度 距离 有关三角形计算距离的测量 1、正弦定理：知 识 点 小 结 可以解决的有关解三角形问题：（1）已知两角和任一边；（2）已知两边和其中一边的对角。a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB c2=a2+b2-2abcosC 可以解决的有关解三角形的问题：（1）已知三边；（2）已知两边和他们的夹角。2、余弦定理：经纬仪，测量水平角和竖直角的仪器。是根据测角原理设计的。目前最常用的是光学经纬仪。光学经纬仪钢卷尺引例：如图，A,B两点在河两岸，现有经纬仪和钢卷尺两种工具，如何测量A,B两点距离？练习1.如图在铁路建设中需要确定隧道两端A,B的距离，请你设计一种
2、测量A,B距离的方法？练习2.如图河流的一岸有条公路，一辆汽车在公路上匀速行驶，某人在另一岸的C点看到汽车从A点到B点用了t秒，请你设计方案求汽车的速度？分析：用引例的方法，可以计算出AC,BC的距离，再测出BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。公路河流公路河流解：在岸边选定一点D，测得CD=a,并且在C、D两点分别测得BCA=,ACD=,CDB=,BDA=.在ADC和BDC中，应用正弦定理得计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离测量问题之一：水平距离的测量两点间不能到达，又不能相互看到。(如图1所示)需要测量CB、CA的长和角C的大小，由余弦
3、定理,可求得AB的长。两点能相互看到，但不能到达。(如图2所示)需要测量BC的长、角B和角C的大小，由三角形的内角和，求出角A然后由正弦定理，可求边AB的长。图1图2两点都不能到达1、分析：理解题意，画出示意图2、建模：把已知量与求解量集中在一个三角形中3、求 解：运用正弦定理和余弦定理，有顺序地解这些三子角形，求得数学模型的解。4、检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。实际问题数学问题（三角形）数学问题的解（解三角形）实际问题的解解应用题的一般步骤是：小结练 习1 如 图，为 测 量 河 对 岸 A，B 两 点 间 的 距 离，沿 河 岸 选 取相 距40 米 的 C，D
4、 两 点，测 得ACB 60，BCD45，ADB60，ADC30，则A，B 两点的距离是答案 解析数学作业：1.A，B 两 点 在 河 的 两 岸，一 测 量 者 与 A 在 河 的 同 侧，在 所 在 的 河 岸 边先 确 定 一 点 C，测 出 A，C 的 距 离 为50 m，ACB 45，CAB 105 后，求AB 两点的距离。2.某 人 向 东 方 向 走 了 x 千 米，然 后 向 右 转120，再 朝 新 方 向 走 了3千 米，结果他离出发点恰好 千米，求x 的值。3.如 图，为 了 测 量 A，C 两 点 间 的 距 离，选 取 同 一 平 面 上 B，D 两 点，测出 四 边
5、 形 ABCD 各 边 的 长 度(单 位：km)：AB 5，BC 8，CD 3，DA5，A，B，C，D 四点共圆，求AC 的长.2.如 图 所 示，设 A，B 两 点 在 河 的 两 岸，一 测 量 者 与 A 在 河 的 同 侧，在 所在 的 河 岸 边 先 确 定 一 点 C，测 出 A，C 的 距 离 为50 m，ACB 45，CAB 105 后，就可以计算出A，B 两点的距离为答案 解析 B 180 45 105 30，1 2 33.某 人 向 东 方 向 走 了 x 千 米，然 后 向 右 转120，再 朝 新 方 向 走 了3千 米，结果他离出发点恰好 千米，那么x 的值是_.由
6、 余 弦 定 理，得 x293x 13，整理得x23x 40，解得x 4.4答案 解析4.如 图，为 了 测 量 A，C 两 点 间 的 距 离，选 取 同 一 平 面 上 B，D 两 点，测出 四 边 形 ABCD 各 边 的 长 度(单 位：km)：AB 5，BC 8，CD 3，DA5，A，B，C，D 四点共圆，则AC 的长为_ km.7答案 解析高度 角度 距离 有关三角形计算高度和角度的测量解应用题中的几个角的概念1、仰角、俯角的概念：在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫做俯角。如图：2、方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水
7、平角，如图 问 题 的 本 质 如 图，已 知AEC 为 直 角，CD m，用、m 表示AE 的长，所得结果再加上h.梳理BEAHGD C练习1:在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角 60，在塔底C处测得A处的俯角 30。已知铁塔BC部分的高为28m，求出山高CD.分析：根据已知条件，应该设法计算出AB或AC的长DABCCD=BD-BC=42-28=14(m)答：山的高度约为14米。解：在ABC中，BCA=90+,ABC=90-,BAC=-,BAD=.根据正弦定理，例2 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北测远处一山顶D在西偏北15的方向上，行驶5km后到达B处，测
8、得此山顶在西偏北25的方向上，仰角为8，求此山的高度CD.梳理问 题 本 质 是：如 图，已 知 三 棱 锥 D ABC，DC平面ABC，AB m，用、m、表示DC 的长练 习 如 图 所 示，A、B 是 水 平 面 上 的 两 个 点，相 距800 m，在 A 点 测 得山 顶 C 的 仰 角 为45，BAD 120，又 在 B 点 测 得ABD 45，其 中 D 点是点C 到水平面的垂足，求山高CD.解答例3、某巡逻艇在A处发现北偏东450相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东750的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿
9、什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？答：巡逻艇应该沿北偏东830方向去追，经过1.5小时才追赶上该走私船.跟 踪 训 练1 甲 船 在 A 点 发 现 乙 船 在 北 偏 东60 的 B 处，乙 船 以 每 小 时 a海 里 的 速 度 向 北 行 驶，已 知 甲 船 的 速度 是 每 小 时 海 里，问 甲 船 应 沿 着 什 么 方 向 前 进，才能最快与乙船相遇？解答当堂训练1 江 岸 边 有 一 炮 台 高30 m，江 中 有 两 条 船，船 与 炮 台 底 部 在 同 一 水 面上，由 炮 台 顶 部 测 得 俯 角 分 别 为45 和30，而 且 两 条 船 与 炮 台 底
10、 部 连 线成30 角，则两条船相距_ m.设两条船所在位置分别为A、B 两点，炮台底部所在位置为C 点，30所以AB 30(m).答案 解析1 2 32.甲、乙 两 楼 相 距20米，从 乙 楼 底 望 甲 楼 顶 的 仰 角 为60，从 甲 楼 顶 望乙楼顶的俯角为30，则甲、乙两楼的高分别是_.答案 解析 3 如 图，为 测 得 河 对 岸 塔 AB 的 高，先 在 河 岸 上 选 一 点 C，使 C 在 塔 底 B的 正 东 方 向 上，测 得 点 A 的 仰 角 为60，再 由 点 C 沿 北 偏 东15 方 向 走10 m到位置D，测得BDC45，则塔AB 的高是答案 解析4.一 艘 海 轮 从 A 处 出 发，以40 n mile/h 的 速 度 沿 南 偏 东40 方 向直 线 航 行，30 min 后 到 达 B 处，在 C 处 有 一 座 灯 塔，海 轮 在 A 处观 察 灯 塔，其 方 向 是 南 偏 东70，在 B 处 观 察 灯 塔，其 方 向 是北偏东65，那么B，C 两点间的距离是1 2 3答案 解析