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1、学习必备 欢迎下载 排列、组合、二项式定理解题技巧 排列组合问题是高考必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，备考有效方法是题型与解法归类、识别模式、熟练运用，本文介绍十二类典型排列组合题的解答策略 1相邻问题并组法 题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列【例 16】A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果A、B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有 A60 种 B48 种 C36 种 D24 种 分析 把 A、B视为一人，且 B固定在 A的右边，则本题相当于 4 人全排列，种，故选P24D44 2相离问题插空法 元素相离(即不相邻)问题
2、，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端【例 17】七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是 A1440 B3600 C4820 D4800 分析 5P6PP P3600B55625562除甲、乙外，其余个排列数为种，再用甲、乙去插个空位有种，不同排法种数是种，故选 3定序问题缩倍法 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法【例 18】A、B、C、D、E 五个人并排站成一排，如果 B 必须站 A的右边(A、B 可不相邻)，那么不同的排法种数有 A24 种 B60 种 C90 种 D120 种 分析 B
3、 在 A右边与 B在 A左边排法数相同，所以题设的排法只是 560B个元素全排列数的一半，即种，故选 1255P 4标号排位问题分步法 把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成【例 19】将数字 1，2，3，4 填入标号为 1，2，3，4 的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 A6 种 B9 种 C11 种 D23 种 分析 先把 1 填入方格，符合条件的有 3 种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有 3319 种填法，故选 B
4、 5有序分配问题逐分法 有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，可用逐步下量分组法【例 20】有甲、乙、丙三项任务，甲需 2 人承担，乙丙各需 1 人承担，从 10 人中选出 4 人承担这三项任务，不同的选法总数有 A1260 种 B2025 种 C2520 种 D5040 种 分析 先从 10 人中选出 2 个承担甲项任务，再从剩下 8 个中选 1 人承担乙项任务，第三步从另外 7 人中选 1个承担两项任务，不同的选 法共有种，故选CC C10181712520C 学习必备 欢迎下载 6多元问题分类法 元素多，取出的情况也有多种，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后总计【例 21
5、】由数字 0，1，2，3，4，5 组成且没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有 A210 个 B300 个 C464 个 D600 个 分析 按题意，个位数字只可能是 0，1，2，3，4 共 5 种情况，分别有个，个、个、个、个，合并总计得个，故选 P300B55P P PP P PP P PP P4131333131332131333133【例 22】从 1，2，3，100 这 100 个数中，任取两个数，使它们的乘积能被 7 整除，这两个数的取法(不计顺序)共有多少种？分析 被取的两个数中至少有一个能被 7 整除时，它们的乘积就能被 7 整除，将这 100 个数组成的集合视为
6、全集，能被 7 整除的数的集合记作 A，则 A7，14，98共有 14 个元素，不能被 7 整除 的数的集合，共有个元素由此可知，从中任取两数的取法，共有种；从中任取一个数又从中任取一个数的取法，共有种，两种情形共得符合要求的取法有A129910086ACAAC1295142142CCCC141861141861【例 23】从 1，2，100 这 100 个数中，任取两个数，使其和能被 4 整除的取法(不计顺序)有多少？分析 将1，2，100分成四个不相交的子集，能被 4 整除的数集 A4，8，100 ；被 4除余 1 的数集 B1，5，97；被 4 除余 2 的数集为 C2，6，98；被 4
7、 除余 3 的数集为 D3，7，99，易见这四个集合，每一个都含 25 个元素；从 A中任取两个数符合要求；从 B、D中各取一个数的取法也符合要求；从 C中任取两个数的取法同样符合要求；此外其它取法都 不符合要求由此即可得符合要求的取法共有种 C252+CC+C()251251252 7交叉问题集合法 某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式 n(AB)n(A)n(B)n(AB)【例 24】从 6 名运动员中选出 4 个参加 4100m接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？分析 设全集6 人中任取 4 人参赛的排列，A甲第一棒的排列，B乙跑第四棒的排
8、列，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：n()n(A)n(B)n(AB)252()种 PPPP64535342 8定位问题优先法 某个(或几个)元素要排在指定位置，可先排这个(几个)元素，再排其他元素【例 25】1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端，则有不同的排法有_种 分析 P44PP P7231443144老师在中间三个位置上选一个位置，有种；然后名同学在其余个位置上有种，共种 9多排问题单排法 把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑，再分段处理【例 26】6 个不同的元素排成前后两排，每排 3 个元素，那么不同的排法种数是 A36 B120 C720 D144
9、0 分析 前后两排可看成一排的两段，因此本题可视为 6 个不同元素 排成一排，共种，故选 P720C66【例 27】8 个不同的元素排成前后两排，每排 4 个元素，其中某 2 个元素要排在前排，某 1 个元素要排在后略相邻问题并组法题目中规定相邻的几个元素并为一个组当作一个元素插空法元素相离即不相邻问题可先把位置要求的几个元素全排列再把规用甲乙去插个空位有种不同排法种数是种故选定序问题缩倍法在排列问学习必备 欢迎下载 排，有多少种排法？(高中代数甲种本第三册 P82，23)分析 22P1P55PP P57604241554142看成一排，某个元素在前半段四个位置中选排个，有种；某个元素在后半段
10、四个位置中选一个，有种；其余个元素任排在剩余的个位置上有种，故共有种排法P55 10“至少”问题间接法 关于“至少”类型组合问题，用间接法较方便【例28】从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有 A140 种 B80 种 C70 种 D35 种 分析 逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取 另一种型号的电视机，故不同取法共有种故选CCC93435370C 11选排问题先取后排法 从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法【例 29】四个不同的球放入编号为 1，2，3，4 的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共
11、有_种 分析 CPC C14442434243先取四个球中的二个为一组，另二组各一个球的方法有种；再排：在四个盒中每次排三个有种，故共有种【例 30】9 名乒乓球运动员，其中男 5 名，女 4 名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同分组法？分析 C CPC C P524222524222先取男、女运动员各二名，有种；这四名运动员混双练习有种排法，故共有种分组法 12部分合条件问题排除法 在选取总数中，只有一部分合条件，可从总数中减去不合条件数，即为所求【例 31】以一个正方体顶点为顶点的四面体共有 A70 个 B64 个 C58 个 D52 个 分析 正方体个顶点，从中每次取四点，理论上可构成个四 8C84面体，但 6 个表面和 6 个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有个，故选C1258 C84【例 32】正六边形中心和顶点共 7 个点，以其中 3 个点为顶点的三角形共有_个 分析 7CC3327373个点中取三点的取法有种，但有三组三点共线不能构成三角形，故所求三角形 个 略相邻问题并组法题目中规定相邻的几个元素并为一个组当作一个元素插空法元素相离即不相邻问题可先把位置要求的几个元素全排列再把规用甲乙去插个空位有种不同排法种数是种故选定序问题缩倍法在排列问