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1、学习必备 欢迎下载 排列组合题型总结 排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。因而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。一 直接法 1 特殊元素优先法 例 1 用 1，2，3，4，5，6 这 6 个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字 1 不排在个位和千位 （2）数字 1 不在个位，数字 6 不在千位。分析：（1）个位和千位有 5 个数字可供选择，其余 2 位有四个可供选择，由乘法原理：=240 2特殊位置法（2）当 1 在千位时余下三位有=60，1
2、 不在千位时，千位有种选法，个位有种，余下的有，共有=192 所以总共有 192+60=252 二 间接法 当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法=252 例 2 有五张卡片，它的正反面分别写 0 与 1，2 与 3，4 与 5，6 与 7，8 与 9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？分析：此例正面求解需考虑 0 与 1 卡片用与不用，且用此卡片又分使用 0 与使用 1，类别较复杂，因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数个，其中 0 在百位的有个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数-=432（个）三 插空法 当需排元
3、素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。例 3 在一个含有 8 个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？分析：原有的 8 个节目中含有 9 个空档，插入一个节目后，空档变为 10 个，故有19P110P=90 中插入方法。四 捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。例 4有 4 名男生和 3 名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有44P种排法，而男生之间又有44P种排法，又乘法原理满足条件的排法有：44P44P=576 练习 1 四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则
4、不同的放法有 种（3324PC=36）练习 2 某市植物园要在 30 天内接待 20 所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观 2 天，其余只参观一天，则植物园 30 天内不同的安排方法有（129C1928P）.（注意连续参观 2 天，即需把 30 天中的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有129C其余的就是 19 所学校选28 天进行排列）五 隔板法 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采隔板用法 学习必备 欢迎下载 例 5 某校准备组建一个由 12 人组成篮球队，这 12 个人由 8 个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种。分析：此例的实质
5、是 12 个名额分配给 8 个班，每班至少一个名额，可在 12 个名额种的 11 个空当中插入 7 块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有711C=330 种 练习 1.(a+b+c+d)15有多少项？解析 1：当项中只有一个字母时，有14C种（即 a.b.c.d而指数只有 15 故01414CC。当项中有 2 个字母时，有24C,而指数和为 15，即将 15 分配给 2 个字母时，由隔板法一分为 2，得114C即11424CC;当项中有 3 个字母时，字母组合数为34C，指数 15 分三组给字母即可，从而得不同组合数为：当项中 4 个字母都在时 四者都相加即可 314442143411
6、42401414CCCCCCCC=816。解析 2：用 15 个相同的小球代表幂指数 15,用 4 个标有1x、2x、4x的 4 个不同的盒子表示数1x、2x、4x，将 15 个相同的小球放入 4 个不同的盒子中，把标有ix（i=1,2,4）每个盒子得到的小球数ik（i=1，2，4;ikN），记作ix的ik次方。这样，将 15 个相同的小球放入 4 个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项。由隔板法知，这样的放法共有318C种，故15421)(xxx的展开式中共有318C项。318C=123161718=816（种）。所以，15421)(xxx展开式中共有 816 项。练习 2有
7、20 个不加区别的小球放入编号为 1，2，3 的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少于编号数，问有多少种不同的方法？（216C=120）练习 3不定方程 X1+X2+X3+X50=100 中不同的正整数解有（4999C）；不定方程 X1+X2+X3+X50=100 中不同的非负整数解有（49149C）；六 平均分堆问题 例 6把 6 本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？分析：分出三堆书（a1,a2）,(a3,a4)，（a5,a6）由于顺序不同可以有33P=6 种，而这 6 种分法只算一种分堆方式，故 6 本不同的书平均分成三堆方式有33222426PCCC=15 种 练习：16 本书分
8、三份，2 份 1 本，1 份 4 本，则有不同分法？（15 种）2 某年级 6 个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则不同的分派方法的种数有（90）。七 合并单元格解决染色问题 准确求解一直接法特殊元素优先法例用这个数字组成无重复的四位数试殊位置法当在千位时余下三位有不在千位时千位有种选法个位有种余下一起组成三位数共可组成多少个不同的三位数分析此例正面求解需考虑学习必备 欢迎下载 例 7 （全国卷（文、理）如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不 得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字作答）。分析：颜色相同的区域可能
9、是 2、3、4、5 下面分情况讨论:()当 2、4 颜色相同且 3、5 颜色不同时，将 2、4 合并成一 个单元格，此时不同的着色方法相当于 4 个元素24的全排列数44P；（）当 2、4 颜色不同且 3、5 颜色相同时，与情形()类似同理可得44P 种着色法（）当 2、4 与 3、5 分别同色时，将 2、4；3、5 分别合并，这样仅有三个单元格2435，从 4 种颜色中选 3种来着色这三个单元格，计有34P种方法 由加法原理知：不同着色方法共有 244P+34P=48+24=72（种）练习 1（天津卷（文）将 3 种作物种植在如图的 5 块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一
10、作物，不同的种植方法共 种（以数字作答）（72）2（江苏、辽宁、天津卷（理）某城市中心广场建造一个花圃，花圃 6 分为个部分（如图 3），现要栽种 4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 种（以数字作答）（120）图 3 图 4 解析：颜色相同的区域可能是 2、3、4、5、6 下面分情况讨论:()当 6、4 颜色相同，5 有 2 种颜色可以选择，将 2、3 颜色一定相异，此时不同的着色方法为22121314PCCC；（）当 6、4 颜色不同，此时 5 只有一种颜色可选，此时考虑 2、3 着色。2 着的颜色与 4 同色，则 3 有二种颜色可以选择；2 着的颜
11、色与 4 不同色，则 3 只有一种颜色可以选择。故此时不同的着色方法为)12(121314CCC 由加法原理知：不同着色方法共有22121314PCCC+)12(121314CCC=120（种）3如图 4，用不同的 5 种颜色分别为 ABCDE 五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数（540）4如图 5：四个区域坐定 4 个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是 种（84）2 4 3 1 5 准确求解一直接法特殊元素优先法例用这
12、个数字组成无重复的四位数试殊位置法当在千位时余下三位有不在千位时千位有种选法个位有种余下一起组成三位数共可组成多少个不同的三位数分析此例正面求解需考虑学习必备 欢迎下载 图 5 图 6 5将一四棱锥(图 6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共 种（420）八 递推法 例八 一楼梯共 10 级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这 10 级楼梯，共有多少种不同的走法？分析：设上 n 级楼梯的走法为 an种，易知 a1=1,a2=2,当 n2 时，上 n 级楼梯的走法可分两类：第一类：是最后一步跨一级，有 an-1种走法，第二类是最后一步
13、跨两级，有 an-2种走法，由加法原理知：an=an-1+an-2,据此，a3=a1+a2=3,a4=a#+a2=5,a5=a4+a3=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=55,a10=89.故走上 10 级楼梯共有 89 种不同的方法。例。一个楼梯共 10 个台阶 7 步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法 解析：要 7 步登完 10 个台阶，只有其中 3 步每步登两个台阶，还有 4 步每步登一个台阶，转化为 4 个相同的白球和 3 个相同的黑球排成一排的问题，故有3537C（种）。九.几何问题 1 四面体的一个顶点为 A,从其它顶点与各棱中点取 3 个
14、点，使它们和点 A在同一平面上，不同的取法有 种。（335C+3=33）2.四面体的棱中点和顶点共 10 个点；(1)从中任取 3 个点确定一个平面，共能确定多少个平面？(2)以这 10 个点为顶点，共能确定多少格凸棱锥？分析：问题（1）的解决可考虑间接法，即从 3 个点的组合扣除 3 点共线、四点共面和六点共面的情形，并注意到每条棱包含于两个面；问题（2）首先要对凸棱锥的类型做出判断，然后分类统计 解析：（1）四面体的每一个面上的 6 个点只能确定同一个平面（注意其中六条棱上的三点被二个面各使用了一次，要补上），六个中点中又有 3 对互相平行的连线，每一条棱上的三个点和棱外的点只能确定一个平
15、面（注意六条棱上的三点又被使用了一次,要补上），由间接解法，共能确定不同平面个数为：)666()33()644(343436310CCCC=29；（2）依四面体的性质，若从 10 个点中取顶点作棱锥，只能是三棱锥和四棱锥每一组不共面的 4 点确定一个三棱锥，每一无三点共线的共面 4 点与该平面外一点确定一个四棱锥。对于三棱锥的个数，即不考虑限制后，减去 4 个面上 4 点共面虚构的、6 条棱上三点共线虚构的和 3 对平行中位线 4 点共面虚构的三棱锥所以三棱锥有C104-4C64-6C44-3C44=141（个）。又每一面上 6 点，仅确定 6 个不同凸四边形，再以不在该面上的另外 4 点之一
16、为第 5 个顶点，可做成四棱锥，所以共有 46 4 个；又每对平行的中位线段为四边形二边可确定一个底面四边形，另取其余 6 点之一为第 5 个顶点，可做四棱锥，所以共有 3 6 个，即共有不同四棱锥 644+36=114（个）。所以共能做成不同的棱锥 141114255 个 点评：处理几何计数问题时，必须综合运用相应的几何概念，发挥空间想象和图形分析能力，要特别重视对应关系及对重复现象的判断问题（1）的解决也可采用分类穷举法 十 先选后排法 例 9 有甲乙丙三项任务，甲需 2 人承担，乙丙各需 1 人承担，从 10 人中选派 4 人承担这三项任务，不同的选派方法有（）A.1260 种 B.20
17、25 种 C.2520 种 D.5054 种 准确求解一直接法特殊元素优先法例用这个数字组成无重复的四位数试殊位置法当在千位时余下三位有不在千位时千位有种选法个位有种余下一起组成三位数共可组成多少个不同的三位数分析此例正面求解需考虑学习必备 欢迎下载 分析：先从 10 人中选出 2 人承担甲任务，再在余下 8 人中选择 1 人承担乙任务，最后在余下 7 人中选一个承担丙任务。1718210CCC=2520（种）。选 C。十一用转换法解排列组合问题 例 10某人连续射击 8 次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种 解 把问题转化为四个相同的黑球与四个相同
18、白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题25P=20 种 例 11现有 5 个人参加秋游，一共带了 10 瓶饮料，每人至少带 1 瓶，一共有多少钟不同的携带饮料的方法 解：把问题转化为 5 个相同的白球不相邻地插入已经排好的 10 个相同的黑球间的 9 个空隙的排列问题49C=126种。例 12从 1，2，3，1000 个自然数中任取 10 个自然数，其中任意二个都不连续的自然数，问有多少种不同的取法？解 把问题转化为 10 个相同的黑球与 990 个相同白球排成一排，其中黑球不相邻的排列问题：10991C。注意，如果只是要求 10 个不连续，但允许其中有二个可以相连的或三个相连等等，那么不同的取
19、法有991101000C。例 13 某城市街道呈棋盘形，南北向大街 5 条，东西向大街 4 条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种 解：无论怎样走必须经过三横四纵。因此，问题转化为 3 个相同的白球与四个相同的黑球的排列问题：37C=35（种）例 14 一个楼梯共 18 个台阶 12 步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法 解 根据题意要想 12 步登完只能 6 个一步登一个台阶，6 个一步登两个台阶，因此，把问题转化为 6 个相同的黑球与 6 个相同的白球的排列问题612C=924（种）例 15 求（a+b+c）10的展开式的项数 解 展开式中的项为
20、abc,且+=10，因此，把问题转化为 2 个相同的黑球与 10 个相同的白球的排列问题212C=66（种）例 16 亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有 5 名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由 1 号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方 2 号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程那么所有可能出现的比赛过程有多少种？解 设亚洲队队员为 a1,a2，,a5,欧洲队队员为 b1，b2，b5，下标表示事先排列的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序比赛过程转化为这 10 个字母互相穿插的一个排列，当然最后获胜队中可能有没有上场的队员。所以比赛过程可表示为个相同的白球和 5 个相同
21、黑球排列问题，比赛过程的总数为510C=252（种）。十二转化命题法 例 17 圆周上共有 15 个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少各？分析：因两弦在圆内若有一交点，则该交点对应于一个以两弦的四端点为顶点的圆内接四边形，则问题化为圆周上的 15 个不同的点能构成多少个圆内接四边形，因此这些现在圆内的交点最多有415C=1365（个）十三概率法 例 18 一天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该准确求解一直接法特殊元素优先法例用这个数字组成无重复的四位数试殊位置法当在千位时余下三位有不在千位时千位有种选法个位有种余下
22、一起组成三位数共可组成多少个不同的三位数分析此例正面求解需考虑学习必备 欢迎下载 天的课程表有多少种排法？分析：在六节课的排列总数中，体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等，均为21，故本例所求的排法种数就是所有排法的21，即2166P=360 种 十四除序法 例 19 用 1，2，3，4，5，6，7 这七个数字组成没有重复数字的七位数中，（1）若偶数 2，4，6 次序一定，有多少个？（2）若偶数 2，4，6 次序一定，奇数 1，3，5，7 的次序也一定的有多少个？解（1）=840；（2）=35。十五错位排列 例 20 同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的卡片，则不同的分配方法有 种。答：9 公式 1）an=(n-1)(an-1+an-2)n=4 时 a4=3(a3+a2)=9 种 即三个人有两种错排，两个人有一种错排 2）an=111!(1)2!3!nnn （n2）.练习 有五位客人参加宴会，他们把帽子放在衣帽寄放室内，宴会结束后每人戴了一顶帽子回家，回家后，他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子，问 5 位客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？（44）准确求解一直接法特殊元素优先法例用这个数字组成无重复的四位数试殊位置法当在千位时余下三位有不在千位时千位有种选法个位有种余下一起组成三位数共可组成多少个不同的三位数分析此例正面求解需考虑