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1、学习必备 欢迎下载 第六章 弯曲变形 6.4 用叠加法求弯曲变形 6.5 简单超静定梁 6.6 提高弯曲刚度的措施 教学时数：2 学时 教学目标：1.要求会应用叠加法求复杂外力作用或复杂结构状态下的指定截面处的位移。2.了解小挠度近似微分方程，反映了梁微段受力与变形的关系是叠加原理的理论基础。3.应用提高梁的抗弯刚度措施来解决梁设计中三方面问题。教学重点：1.重点掌握应用叠加法求梁指定截面的位移。2.掌握提高梁的抗弯刚度的每一项措施的理论根据。3.掌握用变形比较法求解简单静不定梁。教学难点：教学方法：板书PowerPoint,采用启发式教学和问题式教学法结合，通过提问，引导学生思考，让学生回答
2、问题，激发学生的学习热情。教 具：教学步骤：（复习提问）（引入新课）（讲授新课）6.4 用叠加法求弯曲变形 在材料服从胡克定律和小变形的条件下，由小挠度曲线微分方程得到的挠度和转角均与载荷成线性关系。因此，当梁承受复杂载荷时，可将其分解成几种简单载荷，利用梁在简单载荷作用下的位移计算结果（刘鸿文教材 P.188 表6.1），叠加后得到梁在复杂载荷作用下的挠度和转角，这就是叠加法。例 1 车床主轴如图 a 所示。在图示平面内，已知切削力kN21P，啮合力kN12P；主轴的外径mm80D，内径mm40d，mm400l，mm200a；C处的许用 挠 度lv0 0 0 1.0，轴 承B处 的 许 用
3、转 角r a d0 0 1.0；材料的弹性模量GPaE210。试校核其刚度。学习必备 欢迎下载 解：将主轴简化为如图 b 所示的外伸梁，外伸部分的抗弯刚度EI近似地视为与主轴相同。（1）计算变形 主轴横截面的惯性矩为 4944444m101885mm188500040806464dD 由表 7-1查得，因1P而引起的C端的挠度和截面B的转角（图 c）分别为：alEIaPvPc3)(211 3399623102001040010188510210310200102 mm0404.0m100404.03 rad101347.010188510210310400102001023)(39933311
4、EIalPPB 因2P而引起的截面B的转角（图 d）为 rad100253.010188510210161040010116)(399623222EIlPPB 因2P而引起的C端的挠度为 mm00506.0200100253.0)()(322avPBPC 最后由叠加法可得，C端的总挠度为 mm0353.000506.00404.0)()(21PCPCCvvv B处截面的总转角为 rad101094.0100253.0101347.0)()(33321PBPBB（2）校核刚度 主轴的许用挠度核许用转角为：mm04.04000001.00001.0lv rad101001.03 而mm04.0mm
5、0353.0vvc rad101rad101094.033B 故主轴满足刚度条件。本题要点：（1）叠加法求梁的变形（2）刚度计算 例 2 梁受力如图 a 所示，试绘出其内力图。力与变形的关系是叠加原理的理论基础应用提高梁的抗弯刚度措施来解教学难点教学方法板书采用启发式教学和问题式教学法结合通过提问引线微分方程得到的挠度和转角均与载荷成线性关系因此当梁承受复杂载学习必备 欢迎下载 解：（1）该梁为一次静不定。将中间支座 C 去掉，以简支梁作为静定基（图 b）。在静定基上作用均布载荷q和多余约束力CR，成为原静不定梁的相当系统（图 c）。（2）相当系统在c点的挠度应为零，即0cv。根据此变形条件可
6、写出求解静不定梁的补充方程式：038454843EIqlEIlRc 求得 qlRC85（3）利用静力平衡条件求得其他支座反力（图 d）qlRRBA163 画出静不定梁的Q、M图，如图 e、f 所示。静不定梁的2max321qlM，而简支梁的2max81qlM，前者仅为后者的41。本题要点 用变形比较法求解简单静不定梁。要点讨论 1平面弯曲时，梁变形后的位移用挠度和转角度量。在小变形和材料为线弹性的条件下，且忽略剪力对变形的影响，则挠度曲线上任一点切线的斜率即为该处截面的转角，因此分析梁变形的关键是，求出梁轴线变形后的挠度曲线方程 xv。2小挠度近似微分方程 EIxMdxvd22，反映了梁微段受
7、力与变形的关系。将各微段的变形叠加起来即为梁的整体变形，CdxEIxMdxdvx DCxdxdxEIxMxv 但梁变形后的位移还与支承条件有关，这反映在根据边界条件和连续条件确定积分常数C、D上。力与变形的关系是叠加原理的理论基础应用提高梁的抗弯刚度措施来解教学难点教学方法板书采用启发式教学和问题式教学法结合通过提问引线微分方程得到的挠度和转角均与载荷成线性关系因此当梁承受复杂载学习必备 欢迎下载 3用叠加法求梁的变形时，要注意到梁的挠度曲线既与受力（弯矩）有关，又与梁的支承条件有关。4用变形比较法解静不定梁时，n次静不定必有n个多余约束，除去这些多余约束，则有n个多余约束力，必须有n个补充方
8、程才能解出这些多余约束力。由于相当系统的受力（包括载荷和多余约束力）和变形与原静不定梁相同，在那里拆除约束，则在那里找变形条件和建立相应的补充方程式。6.5 简单静不定梁 静不定梁：约束反力数目多于静力平衡方程数目的梁称为静不定梁。两者数目的差称为静不定次数。静定基：指将静不定梁上的多余约束除去后所得到的“静定基本系统”。相当系统：在静定基上加上外载荷以及多余约束力，便得到受力和变形与静不定梁完全相同的相当系统。将相当系统与静不定梁相比较，在多余约束处，找到变形协调条件，进而得到求解静不定问题所需的补充方程。通过静力平衡方程和补充方程可联立求解静不定问题。例如图 7-5a中，车削工件的左端由卡
9、盘夹紧，右端由尾顶针顶住，计算简图如图 7-5b所示。此为一次静不定问题。图 7-5c为静定基。图 7-5d为相当系统，支座反力由BR表示，静力平衡方程为 0X，0AH 0Y，0BARRP 0Am，0ABMlRPa 在多余约束B处建立变形协调条件 0BRBPBBvvv 利用表 7-1可知 alEIPavPB362 EIlRvBRBB33 因此332232lalaPRB 利用平衡方程可解得，AR和AM，画出其弯矩图如图 7-5g所示。6.6 提高梁刚度的措施 从挠曲线的近似微分方程及其积分可以看出，弯曲变形与弯矩大小、跨度长短、支座条件，梁截面的惯性矩 I、材料的弹性模量 E有关。故提高梁刚度的
10、措施为：（1）改善结构形式，减小弯矩 M；力与变形的关系是叠加原理的理论基础应用提高梁的抗弯刚度措施来解教学难点教学方法板书采用启发式教学和问题式教学法结合通过提问引线微分方程得到的挠度和转角均与载荷成线性关系因此当梁承受复杂载学习必备 欢迎下载（2）增加支承，减小跨度 l；（3）选用合适的材料，增加弹性模量 E。但因各种钢材的弹性模量基本相同，所以为提高梁的刚度而采用高强度钢，效果并不显著；（4）选择合理的截面形状，提高惯性矩 I，如工字形截面、空心截面等。本章小结 1本章是在小变形和材料为线弹性的条件下研究梁的变形，并且忽略剪力的影响，平面假设仍然成立。变形后梁横截面的形心沿垂直梁轴线方向
11、的位移称为挠度v；横截面变形前后的夹角称为转角。梁的轴线在变形后成为一条连续光滑的曲线，称为挠度曲线)(xv。挠度曲线)(xv的一阶导数即为转角dxxdvx)()(。2根据小挠度微分方程EIxMdxxvd)()(22，对)(xM积分一次，求得 CdxEIxMdxxdvx)()()(积分二次，求得 DCxdxdxEIxMxv)()(若)(xM分为 n段，则应分 n段进行积分，出现 n2个积分常数。积分常数根据边界条件和连续条件确定。由以上运算可以看出，梁的挠度曲线取决于两个因素：受力（弯矩）和边界条件。3在小变形和弹性范围内，梁的位移与载荷为线性关系，可以用叠加法求梁的位移：将梁的载荷分为若干种
12、简单载荷，分别求出各简单载荷的位移，将它们叠加起来即为原载荷产生的位移。4若梁的未知约束反力的数目多于了静力平衡方程的数目，则称为静不定梁。两者数目的差值n为静不定次数。n次静不定必须列出n个补充方程。根据相当系统的挠曲线和原静不定梁的挠曲线完全相同，可以在解除约束处找到相应的变形条件，利用变形条件建立补充方程式，求出多余约束反力，进而利用静力平衡方程求出其他约束反力和内力。5根据求梁挠曲线的积分计算可以看出，提高梁刚度主要措施为：减小梁的跨度和弯矩；提高梁的抗弯刚度 EI。（课堂小节）作业布置：6.10(a)(b)6.33 6.34 力与变形的关系是叠加原理的理论基础应用提高梁的抗弯刚度措施来解教学难点教学方法板书采用启发式教学和问题式教学法结合通过提问引线微分方程得到的挠度和转角均与载荷成线性关系因此当梁承受复杂载