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1、 1 一元二次不等式及其解法 1.一元一次不等式解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为 axb(a0)的形式.当 a0 时，解集为 ；当 a0 时，解集为 .2.一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为_不等式.(2)使某个一元二次不等式成立的 x 的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的_.(3)一元二次不等式的解：函数与不等式 0 0 0 二次函数 yax2bxc(a0)的图象 一元二次方程 ax2bxc0(a0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1x2)有两相等实根
2、x1x2b2a 无实根 ax2bxc0(a0)的解集 R ax2bxc0(a0)的解集 x|x1xx2 3.分式不等式解法(1)化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为 0，左边化为f（x）g（x）的形式.(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：f（x）g（x）0 f(x)g(x)0；f（x）g（x）0 f(x)g(x)0；f（x）g（x）0 f（x）g（x）0，g（x）0；f（x）g（x）0 f（x）g（x）0，g（x）0.(2014课标)已知集合 Ax|x22x30，Bx|2x2，则 AB()A.2，1 B.1，2)C.1，1 D.1，2)解：Ax|x3 或 x1，Bx|2x2
3、，ABx|2x12，1.故选 A.2 设 f(x)x2bx1 且 f(1)f(3)，则 f(x)0 的解集为()A.x|xR B.x|x1，xR C.x|x1 D.x|x1 解：f(1)1b12b，f(3)93b1103b，由 f(1)f(3)，得 2b103b，解出 b2，代入原函数，f(x)0 即 x22x10，x 的取值范围是 x1.故选 B.已知121x2，则 x 的取值范围是()A.2x0 或 0 x12 B.12x2 C.x2 D.x12 解：当 x0 时，x12；当 x0 时，x2.所以 x 的取值范围是 x12，故选 D.不等式12xx10 的解集是 .解：不等式12xx10
4、等价于(12x)(x1)0，也就是x12(x1)0，所以1x12.故填x|1x12，xR.(2014 武汉调研)若一元二次不等式 2kx2kx380 对一切实数 x 都成立，则 k的取值范围为_.解：显然 k0.若 k0，则只须(2x2x)max38k，解得 k；若 k0，则只须38k(2x2x)min，解得 k(3，0).故 k的取值范围是(3，0).故填(3，0).类型一 一元一次不等式的解法 已知关于 x 的不等式(ab)x2a3b0 的解集为，13，求关于 x 的不等式(a3b)xb2a0 的解集.解：由(ab)x3b2a 的解集为，13，得 ab0，且3b2aab13，从而 a2b，
5、则 ab3b0，即 b0，将 a2b 代入(a3b)xb2a0，得bx3b0，x3，故所求解集为(，3).点拨：3 一般地，一元一次不等式都可以化为 axb(a0)的形式.挖掘隐含条件 ab0 且3b2aab13是解本题的关键.解关于 x 的不等式：(m24)xm2.解：(1)当 m240 即 m2 或 m2 时，当 m2 时，原不等式的解集为，不符合 当 m2 时，原不等式的解集为 R,符合(2)当 m240 即 m2 或 m2 时，x1m2.(3)当 m240 即2m2 时，x1m2.类型二 一元二次不等式的解法 解下列不等式：(1)x27x120;(2)x22x30；(3)x22x10;
6、(4)x22x20.解：(1)x|x3 或 x4.(2)x|3x1.(3).(4)因为 0，可得原不等式的解集为 R.(2013金华十校联考)已知函数 f(x)x1，x0，x1，x0，则不等式 x(x1)f(x1)1 的解集是()A.x|1x 21 B.x|x1 C.x|x 21 D.x|21x 21 解：由题意得不等式 x(x1)f(x1)1 等价于 x10，x（x1）（x1）11 或 x10，x（x1）（x1）11，解不等式组得 x1；解不等式组得1x 21.故原不等式的解集是x|x 21.故选 C.类型三 二次不等式、二次函数及二次方程的关系 已知关于 x 的不等式 x2bxc0 的解集
7、是x|5x1，求实数 b，c 的值.解：不等式 x2bxc0 的解集是x|5x1，x15，x21 是 x2bxc0 的两个实数根，由韦达定理知51b，51c，b4，c5.已知不等式 ax2bxc0 的解集为x|2x3，求不等式 cx2bxa0 的 4 解集.解：不等式 ax2bxc0 的解集为x|2x3，a0，且 2 和 3 是方程 ax2bxc0 的两根，由根与系数的关系得 ba23，ca23，a0.即b5a，c6a，a0.代入不等式 cx2bxa0，得 6ax25axa0(a0).即 6x25x10，所求不等式的解集为x|12x13.类型四 含有参数的一元二次不等式 解关于 x 的不等式：
8、mx2(m1)x10.解：(1)m0 时，不等式为(x1)0，得 x10，不等式的解集为x|x1；(2)当 m0 时，不等式为 mx1m(x1)0.当 m0，不等式为x1m(x1)0，1m1，不等式的解集为x|x1m或x1.当 m0，不等式为x1m(x1)0.()若1m1 即 m1 时，不等式的解集为x|1mx1；()若1m1 即 0m1 时，不等式的解集为x|1x1m；()若1m1 即 m1 时，不等式的解集为.点拨：当 x2的系数是参数时，首先对它是否为零进行讨论，确定其是一次不等式还是二次不等式，即对 m0 与 m0 进行讨论，这是第一层次；第二层次：x2的系数正负(不等号方向)的不确定
9、性，对 m0 与 m0 进行讨论；第三层次：1m与 1 大小的不确定性，对 m1、m1 与 m1 进行讨论.解关于 x 的不等式 ax222xax(aR).解：不等式整理为 ax2(a2)x20，当 a0 时，解集为(，1.当 a0 时，ax2(a2)x20 的两根为1，2a，所以当 a0 时，5 解集为(，12a，；当2a0 时，解集为2a，1；当 a2 时，解集为x|x1；当 a2 时，解集为1，2a.类型五 分式不等式的解法 (1)解不等式x12x11.解：x12x11 x12x110 x22x10 x22x10.x22x10 （x2）（2x1）0，2x10.得xx12或 x2.(2)不
10、等式x2x23x20 的解集是 .解：x2x23x20 x2（x2）（x1）0(x2)(x2)(x1)0，数轴标根得x|2x1 或 x2，故填x|2x1 或 x2.点拨：分式不等式可以先转化为简单的高次不等式，再利用数轴标根法写出不等式的解集，如果该不等式有等号，则要注意分式的分母不能为零.用“数轴标根法”解不等式的步骤：(1)移项：使得右端为 0(注意：一定要保证 x 的最高次幂的项的系数为正数).(2)求根：就是求出不等式所对应的方程的所有根.(3)标根：在数轴上按从左到右(由小到大)依次标出各根(不需标出准确位置，只需标出相对位置即可).(4)画穿根线：从数轴“最右根”的右上方向左下方画
11、线，穿过此根，再往左上方穿过“次右根”，一上一下依次穿过各根,“奇穿偶不穿”来记忆.(5)写出不等式的解集：若不等号为“”，则取数轴上方穿根线以内的范围；若不等号为“”，则取数轴下方穿根线以内的范围；若不等式中含有“”号，写解集时要考虑分母不能为零.(1)若集合 Ax|12x13，Bx|x2x0，则 AB()A.x|1x0 B.x|0 x1 C.x|0 x2 D.x|0 x1 解：易知 Ax|1x1，B 集合就是不等式组x（x2）0，x0 的解集，求出 Bx|0 x2，所以 ABx|0 x1.故选 B.6(2)不等式x12x10 的解集为()A.12，1 B.12，1 C.，121，)D.，1
12、21，)解：x12x10（x1）（2x1）0，2x10 得12x 1.故选 A.类型六 和一元二次不等式有关的恒成立问题 (1)若不等式 x2ax10 对于一切 x0，12成立，则 a 的最小值为()A.0 B.2 C.52 D.3 解：不等式可化为 axx21，由于 x0，12，ax1x.f(x)x1x在0，12上是减函数，x1xmax52.a52.(2)已知对于任意的 a1，1，函数 f(x)x2(a4)x42a 的值总大于 0，则 x 的取值范围是()A.1x3 B.x1 或 x3 C.1x2 D.x1 或 x2 解：记 g(a)(x2)ax24x4，a1，1，依题意，只须g（1）0，g
13、（1）0 x23x20，x25x60 x1 或 x3，故选 B.点拨：对于参数变化的情形，大多利用参变量转换法，即参数转换为变量；变量转换为参数，把关于 x 的二次不等式转换为关于 a 的一次不等式，化繁为简，然后再利用一次函数的单调性，求出 x 的取值范围.对于满足|a|2 的所有实数 a，求使不等式 x2ax12xa 成立的 x 的取值范围.解：原不等式转化为(x1)ax22x10，设 f(a)(x1)ax22x1，则 f(a)在2，2上恒大于 0，故有：f（2）0，f（2）0 即x24x30，x210 解得x3或x1，x1或x1.x1 或 x3.类型七 二次方程根的讨论 若方程 2ax2
14、x10 在(0，1)内有且仅有一解，则 a 的取值范围是()A.a1 7 C.1a1 D.0a1 解法一：令 f(x)2ax2x1，则 f(0)f(1)0，即1(2a2)0，解得 a1.解法二：当 a0 时，x1，不合题意，故排除 C，D；当 a2 时，方程可化为 4x2x10，而 1160，无实根，故 a2 不适合，排除 A.故选 B.1.不等式x2x10 的解集是()A.(，1)(1，2 B.1，2 C.(，1)2，)D.(1，2 解：x2x10()x1()x2 0，且 x1，即 x(1，2，故选 D.2.关于 x 的不等式(mx1)(x2)0，若此不等式的解集为x|1mx2，则 m 的取
15、值范围是()A.m0 B.0m2 C.m12 D.m0 解：由不等式的解集形式知 m0.故选 D.3.(2013安徽)已知一元二次不等式 f(x)0 的解集为x|x12，则 f(10 x)0 的解集为()A.x|xlg2 B.x|1xlg2 D.x|xlg2 解：可设 f(x)a(x1)x12(a0 可得(10 x1)10 x120，从而 10 x12，解得 x0 在(1，4)内有解，则实数 a 的取值范围是()A.a4 C.a12 D.a0 对 x(1，2)恒成立，则实数 k的取值范围是_.解：x(1，2)，x10.则 x2kxk1(x1)(x1k)0，等价于 x1k0，即 kx1 恒成立，
16、由于 2x13，所以只要 k2 即可.故填(，2.7.(2014江苏)已知函数 f(x)x2mx1，若对于任意 xm，m1，都有 f(x)0 成立，则实数 m 的取值范围是_.解：由题可得 f(x)0 对于 xm，m1恒成立，即f（m）2m210，f（m1）2m23m0，解得22m0.故填22，0.8.若关于 x 的不等式 x2axa3 的解集不是空集，求实数 a 的取值范围.解：x2axa3 的解集不是空集x2axa30 的判别式 0，解得 a6或 a2.9.已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a，且不等式 f(x)2x 的解集为(1，3).(1)若方程 f(x)6a0 有两个相等的实根，
17、求 f(x)的解析式；(2)若 f(x)的最大值为正数，求 a 的取值范围.解：(1)f(x)2x0 的解集为(1，3)，f(x)2xa(x1)(x3)，且 a0.因而 f(x)a(x1)(x3)2x ax2(24a)x3a.由方程 f(x)6a0 得 ax2(24a)x9a0.因为方程有两个相等的实根，所以 (24a)24a9 a0，即 5a24a10，解得 a1 或 a15.由于 a0，舍去 a1，将 a15代入得 f(x)的解析式 f(x)15x265x35.(2)由 f(x)ax22(12a)x3aax12aa2a24a1a，及 a0，可得 f(x)的最大值为a24a1a.由a24a1a0，a0，解得 a2 3或2 3a0.故当 f(x)的最大值为正数时，实数 a 的取值范围是(，2 3)(2 3，0).9 10.解关于 x 的不等式：a（x1）x21(a0).解：(x2)(a1)x2a0，当 a1 时有(x2)xa2a10，若a2a12，即 0a1 时，解集为x|2xa2a1；若a2a12，即 a0 时，解集为；若a2a12，即a0 时，解集为x|a2a1x2.