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1、知识点总结：一元二次方程 知识框架 知识点、概念总结 1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。2.一元二次方程有四个特点：(1)含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是 2；(3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为 ax2+bx+c=0(a0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。（4）将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0 时，应满足（a0）3.一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式 a
2、x2+bx+c=0（a0）。一个一元二次方程经过整理化成 ax2+bx+c=0（a0）后，其中 ax2是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。4.一元二次方程的解法（1）直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如bax2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，ax是 b 的平方根，当0b时，bax，bax，当b0 时，方程没有实数根。（2）配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式222)(2baba
3、ba，把公式中的 a 看做未知数 x，并用 x 代替，则有222)(2bxbbxx。配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为 1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q 的形式，如果 q0，方程的根是 x=-pq；如果 q0,方程无实根（3）公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程)0(02acbxax的求根公式：)04(2422acbaacbbx（4）因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二
4、次方程最常用的方法。5.一元二次方程根的判别式 根的判别式：一元二次方程)0(02acbxax中，acb42叫做一元二次方程)0(02acbxax的根的判别式，通常用“”来表示，即acb42 6.一元二次方程根与系数的关系 如 果 方 程)0(02acbxax的 两 个 实 数 根 是21xx，那 么abxx21，acxx21。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。7.分式方程 分母里含有未知数的方程叫做分式方程。8.分式方程的一般解法 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程
5、”。它的一般解法是：（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母（2）解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。（参考教材：初中数学九年级人教版）知识点 1.只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程。例题：1、判别下列方程是不是一元二次方程，是的打“”，不是的打“”，并说明理由.(1)2x2-x-3=0.(2)4y-y2=0.(3)t2=0.(4)x3-x2=1.(5)x2-2y-1=0.(6)21x-3=0.(7)xx32=2.(8)(x+2)(x-2)=(x+1)2.(9)3x2-x4+6=0
6、.(10)3x2=4x-3.1、若关于 x 的方程 a(x1)2=2x22 是一元二次方程，则 a 的值是 （）（A）2 （B）2 （C）0 （D）不等于 2 2、已知关于x的方程 03122pxnxm，当 时，方程为一次方程；当 时，两根中有一个为零a。3、已知关于x的方程2220mmxxm ：（1）m 为何值时方程为一元一次方程；（2）m 为何值时方程为一元二次方程。知识点二.一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是：200axbxca ，其中2ax是二次项，a叫二次项系数；bx是一次项，b叫一次项系数，c是常数项。特别警示：（1）“0a”是一元二次方程的一般形式的一个重要组成部分
7、；（2）二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式。例题：1、指出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.2(2)5102.20 xx 2(3)2150 x 2(4)30 xx (5)3)2(2x 2、关于x的方程06232xx中a是 ；b是 ；c是 。知识点三.一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解。例题：1、已知方程2390 xxm 的一个根是 1，则 m 的值是 。2、设a是一元二次方程052 xx的较大根，b是0232 xx较小根，那么ba 的值是 （）（A）-4 （B）-3
8、 （C）1 （D）2 3、已知关于x的一元二次方程220 xkx 的一个解与方程131xx的解相同。（1）求k的值；（2）求方程220 xkx 的另一个解。知识点四.一元二次方程的解法 一元二次方程的四种解法：（1）直接开平方法：如果20 xk k，则xk（2）配方法：要先把二次项系数化为 1，然后方程两变同时加上一次项系数一半的平方，配成左边是完全平方式，右边是非负常数的形式，然后用直接开平方法求解；（3）公 式 法：一 元 二 次 方 程200axbxca 的 求 根 公 式 是242bbacxa 240bac；（4）因式分解法：如果 0 xaxb 则12,xa xb。温馨提示：一元二次方
9、程四种解法都很重要，尤其是因式分解法，它使用的频率最高，在具体应用时，要注意选择最恰当的方法解。例题：解方程：1、方程220 xx的解是：（）A.121xx B.121,3xx C.122,0 xx D.122,0 xx 2、方 程 25115xx 的较 简便 的 解 法 应 选用 。解为 3、解下列方程：（1）2331xx （2）2230 xx （3）2230 xx （4）yy32322 （5）1211312xx （6）2252)3(xx (7)2222263yyy 知识点五.一元二次方程根的判别式 对于一元二次方程200axbxca 的根的判别式是24bac：（1）当240bac时，方程有
10、两个不相等的实数根；（2）当240bac时，方程有两个相等的实数根；（3）当240bac时，方程无实数根。温馨提示：若方程有实数根，则有240bac。例题：1、已知方程230 xxk 有两个不相等的实数根，则 k=。2、当m 满足何条件时，方程 019122mxmmx有两个不相等实根？有两个相等实根？有实根？3、关于x的方程05222mxmmx无实根，试解关于x的方程02252mxmxm。4、已知关于x的一元二次方程 241210 xmxm，求证：不论 m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根。知识点六.一元二次方程根与系数的关系 若 一 元 二 次 方 程200axbxca 的 两 个 实
11、 数 根 为12,x x，则1212,bcxxx xaa。温馨提示：利用根与系数的关系解题时，一元二次方程必须有实数根。例题：1、关于x的一元二次方程22430 xkxk 的两个实数根分别是12,x x，且满足1212xxx x，则 k 的值为：（）（A）314或 （B）1 （C）34 （D）不存在 2、已知,是关于x的一元二次方程22230 xmxm的两个不相等的实数根，且满足111 ，则 m 的值是 （）（A）3 或-1 （B）3 （C）1 （D）-3或 1 3、方程2360 xx 与方程2630 xx 的所有根的乘积是 4、两个不相等的实数 m,n 满足2264,64mmnn，则 mn
12、的值为 。5、设12,x x是关于x的一元二次方程20 xpxq 的两个根，121,1xx是关于x的一元二次方程20 xqxp 的两个根，则,p q的值分别等于多少？知识点七.一元二次方程的实际应用 列一元二方程解应用题的一般步骤：（1）审题（2）设未知数（3）列方程（4）解方程（5）检验（6）写出答案。在检验时，应从方程本身和实际问题两个方面进行检验。1、有一个两位数，十位数字比个位数字大 3，而此两位数比这两个数字之积的二倍多 5，求这个两位数。2、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后，由每盒 200 元下调至 128 元，求这种药品平均每次降价的
13、百分率是多少？3、将一条长 20m 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形。(1)要使这两个正方形的面积之和等于 17 平方米，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？(2)两个正方形的面积之和可能等于 12 平方米吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。一元二次方程综合复习 1、下列方程中，关于x的一元二次方程是 （）A.23121xx B.2112 0 xx C.20axbx c D.2221xxx 2、方程（m21）x2mx50 是关于 x 的一元二次方程，则 m 满足的条件是（）（A）m1 （B）m0 （C）|m|1 （D）m1 3、若1x 是 一 元 二
14、次 方 程220axbx 的 一 个 根，则ab 。4、实数aacbb242是方程 的根 （）（A）02cbxax （B）02cbxax（C）02cbxax （D）02cbxax 5、方程2250 x 的解是：（）A.125xx B.1225xx C.125,5xx D.1225,25xx 6、关于x的一元二次方程2210kxx 两个不相等的实数根，则 k 的取值 范围是 （）（A）1k （B）1k （C）0k （D）10kk 且 7、在下列方程中，有实数根 的是 （）A）2310 xx B）411x C）2230 xx D）111xxx 8、关于x的一元二次方程222310 xxm 有两个实
15、数根12,x x，且12124x xxx，则m 的取值范围是 （）（A）53m （B）12m （C）53m （D）5132m 9.若（x+y）（1xy）+6=0，则 x+y 的值是（）A2 B3 C2 或 3 D2 或3 10、若（m+1）(2)1m mx+2mx1=0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值是_ _ 11、填上适当的数，使等式成立：xx52 x(2)12、当x=时，代数式23xx比代数式221xx 的值大 2 13、某商品原价每件 25 元，在圣诞节期间连续两次降价，现在商品每件 16 元，则该玩具平均每次降价的百分率是 。14.有一人患了流感，经过两轮传染后共有 121
16、人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，方程为 15、参加一次聚会的没两个人都握了一次手，所有人共握手 36 次，设有 x 人参加聚会，方程为 16解下列方程：1.02522）（x直接开平方法 2.0542 xx（配方法）3 x2-5x+6=0（因式分解法）4.03722 xx（公式法）17、设12,x x是关于x的方程 2100 xmxmm 的两个根，且满足121123xx，求 m 的值。QPDCBA18、求证：二次三项式x2+4x5 的值恒小于 0.并求出它的最大值。19、已知关于 x 的一元二次方程210 xkx。(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设的方程有两根分别
17、为12,x x，且满足1212xxxx 求 k的值。20、已知,是关于x的一元二次方程22230 xmxm的两个不相等的实数根，且满足111 ，则 m 的值是 （）（A）3 或-1 （B）3 （C）1 （D）-3或 1 21.已 知：ABC的 两 边 AB、AC的 长 是 关 于x的 一 元 二 次 方 程2223320 xkxkk 的两个实数根，第三边 BC 的长为 5，问：k取何值时，ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形？22、一块长方形铁皮的长是宽的倍，四角各截去一个正方形，制成高是cm，容积是cm3的无盖长方体容器。求这块铁皮的长和宽。23、如图，有一面积为 150 m2的长方形鸡场
18、，鸡场的一边靠墙（墙长 18 m），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为 35 m，求鸡场的长与宽各为多少米？24、西瓜经营户以 2 元/千克的价格购进一批小型西瓜，以 3 元/千克的价格出售，每天可售出 200 千克，为了促销，该经营户决定降价，经调查发现，这种小西瓜每降价 0.1 元/千克，每天可多售出 40 千克，另外，每天的房租等固定成本共 24 元，该经营户要想每天盈利 200 元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？25、在矩形 ABCD 中，AB=6cm，BC=3cm。点 P 沿边 AB 从点 A 开始向点 B以 2cm/s 的速度移动，点 Q 沿边 DA 从点 D 开始向点 A 以 1cm/s 的速度移动。如果 P、Q 同时出发，用 t（s）表示移动的时间（0t3）。那么，当 t 为何值时，QAP 的面积等于 2cm2