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1、 第三章 一元一次方程知识要点梳理 一.元一次方程及解的概念 1、一元一次方程的概念 只含有一个未知数，并且未知数的次数都是 1 的方程叫做一元一次方程。一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中 x 是未知数，a,b 是已知数，且 a0)。2、方程的解 使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解 注意：（1）一元一次方程必须满足的 3 个条件：只含有一个未知数；未知数的次数是 1 次；整式方程（2）判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等 二.方程变形解方程的重要依据 1、等式的基本性质（也叫做方程的同解原理）等式的性质 1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结
2、果仍相等。即：如果，那么；(c 为一个数或一个式子)。等式的性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等。即：如果，那么；如果，那么 2、分数的基本的性质 分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为 0 的数，分数的值不变。即：（其中 m 0）注：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如方程：=1.6，将其化为的形式：=1.6。方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。三.解一元一次方程的一般步骤 1、解一元一次方程的基本思路 通过对方程变形，把含有未知数的项归到方程的一边，把常数项归到方程的另一边，最终把 方程“转化”成 xa 的
3、形式。2、解一元一次方程的一般步骤是 变形名称 具体做法 变形依据 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 等式基本性质 2 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 去括号法则、分配律 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)等式基本性质 1 合并同类项 把方程化成 axb(a 0)的形式 合并同类项法则 系数化成 1 在方程两边都除以未知数的系数 a，得到方程 的解 x 等式基本性质 2 四.列一元一次方程解应用题的一般步骤 1、列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系（2）
4、设未知数，一般求什么就设什么为 x，但有时也可以间接设未知数（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程（4）解方程（5）检验，看方程的解是否符合题意（6）写出答案 2、解应用题的书写格式：设根据题意解这个方程答。(1)在一道应用题中，往往含有几个未知数量，应恰当地选择其中的一个，用字母 x 表示出来，即所设的未知数，然后根据数量之间的关系，将其它几个未知数量用含 x 的代数式表示。(2)解应用题时，不能漏掉“答”，“设”和“答”中都必须写清单位名称。(3)列方程时，要注意方程两边是同一个量，并且单位要统一。五.常见的一些等量关系 常见列方程解应用题的几种类型：类
5、型 基本数量关系 等量关系(1)和、差、倍、分问题 较大量较小量多余量 总量倍数倍量 抓住关键性词语(2)行程问题 相遇问题 路程速度时间 甲走的路程乙走的路程两地距离 追及问题 同地不同时出发：前者走的路程追者走的路程 同时不同地出发：前者走的路程两地距离追者所走的路程 顺逆流问题 顺流速度静水速度水流速度 逆流速度静水速度水流速度 顺流的距离逆流的距离(3)劳力调配问题 从调配后的数量关系中找相等关系，要抓住“相等”“几倍”“几分之几”“多”“少”等关键词语(4)工程问题 工作总量工作效率工作时间 各部分工作量之和1(5)利润率问题 商品利润商品售价商品进价 商品利润率100 售价进价(1
6、 利润率)抓住价格升降对利润率的影响来考虑(6)数字问题 设一个两位数的十位上的数字、个位上的数字分别为 a，b，则这个两位数可表示为 10ab 抓住数字所在的位置、新数与原数之间的关系(7)储蓄问题 利息=本金利率时间；本息和本金利息(8)按比例分配问题 甲乙丙abc 全部数量各种成分的数量之和(设一份为 x)4.1.1 立体图形和平面图形 一、几何图形 1、概念：我们把实物中抽象出的各种图形统称为几何图形。2、分类：几何图形分为立体图形和平面图形（1）立体图形：图形所表示的各个部分不在同一个平面内，这样的图形称为立体图形。（2）平面图形：图形所表示的各个部分在同一个平面内，这样的图形称为平
7、面图形。【注意】（1）任何图形都可以说是几何图形，但我们所研究学习的一般是指较为规范的图形。（2）我们常用虚线表示立体图形中被遮挡的部分，这也是区别立体图形与平面图形的标准之一。二、立体图形：图形上的点不全在同一平面上 1、常见的立体图形有：柱体：分为棱柱和圆柱椎体：分为棱锥和圆锥球.【注意】（1）圆柱和棱柱的区别：圆柱的底面是圆形，棱柱的底面是多边形；圆柱的侧面是一个曲面，棱柱的侧面是一个四边形。（2）圆锥和棱锥的的区别：圆锥：底面是圆，侧面是曲面；棱锥：底面是多边形，侧面是三角形。2、立体图形的展开图（1）定义：有些立体图形是由一些平面图形围成的，把它们的表面适当剪开后在平面上展开得到的平
8、面图形称为相应图形的立体展开图。（2）常见图形的立体展开图：（见下页左图）3、从不同的方向看立体图形（1）从正面看到的图形；从左面看到的图形；从上面看到的图形 （2）常见图形视图的画法（见下方右图）【拓展】正方体的十一种展开图分类研究（重点掌握）4.1.2 点、线、面、体 一、点、线、面、体 几何图形是由点、线、面、体组成的。点、线、面、体经过运动变化，就组合成各种各样的几何图形，形成丰富多彩的图形世界。面与面相交的地方形成线，线与线相交的地方形成点，点是构成图形的基本元素。点动成线，线动成面，面动成体。1、点：在几何体中，线与线相交的地方是点。它是组成图形的最基本的元素，一切图形都是由点组成
9、的。2、线：面与面相交的地方形成线。点动成线，线分为直线和曲线两种。3、面：包围着体的是面。有平面和曲面之分。要得到一个与几何体有关的平面，常采用：展开；从不同的方向看，即视图。4、体：几何体简称体。由面围成的，也可以看成由平面平移而成或看成由平面绕某一直线旋转而成。二、几何图形的组成 几何图形是由点、线、面、体组成的；4.2 直线、射线、线段 一、直线 1、概念：把线段向两方无限延伸所形成的图形是直线。2、特点：是直的，无粗细之分，没有端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长。3、表示方法：可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示；如图 1 所示，可表示为直线 AB A B 图 1 也可以
10、用一个小写英文字母表示，如图 2 所示，可以表示为直线l l 图 2 4、基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简单说成：两点确定一条直线。5、交点：当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点。6、点和直线的位置关系（1）点在直线上:如图 3 所示，点 A在直线l上，也说直线l经过点 A l 图 3 A(2)点在直线外：如图 4 所示，点 B在直线l上，也说直线l不经过点 B B l 图 4 二、射线 1、概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫做射线的端点。如下图所示，直线l上点 O 和它一旁的部分是一条射线，点 O 是端点。2、特点：是
11、直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长。3、表示方法：可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图 5，可以记作射线 OA 也可以用一个小写英文字母表示，如图 5，可以记作射线l 三、线段（重点掌握）1、概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段 2、特点：线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短。3、线段的表示方法：线段可以用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示；如图 8，可以表示为线段 AB 线段也可以用一个小写英文字母来表示；如图 8，可以表示为线段a a A B 图 8 4、线段的画法：用
12、圆规作一条线段等于已知线段；用刻度尺作一条线段等于已知线段。5、线段的基本性质：两点的所有连线中，线段最短。简记为：两点之间，线段最短。6、两点的距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。两点间的距离是指线段的长度，是一个数值，而不是指线段本身。7、线段长短的比较 度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较大小 叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点的同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短。8、线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点。如图 9，点 C是线段 AB的中点，则 AC=BC=21AB，或 AB=2AC=
13、2BC.4.3 角 知识点归纳 一、角的概念 1、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这了条射线是角的两条边。如下图，角的顶点是 O，边是射线 OA、OB。A O B【注意】两条射线有公共点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关.2、角也可以看做由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形，射线旋转时经过的平面是角的内部。如下图，射线 OA绕着它的端点 O旋转到 OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置 OA是角的始边，终止位置 OB是角的终边 B 终边 O 始边 A 3、角的表示方法：表示方法 图示 记法 适用范围 用三个大 写字母表示 A O B AOB
14、或BOA 任何情况都适用，表示顶点的字母写在中间 用一个大 写字母表示 A O B O 以某一点为顶点的角只有一个时，可以用顶点表示角 用阿拉伯 数字表示 1 1 任何情况都适用 用希腊字 母表示 任何情况都适用 4、度、分、秒的转换 1=60 1=60 5、角的比较方法（1）度量法 （2）叠合法 6、角的和、差、倍、分及其近似值 7、画一个角等于已知角（1）借助三角尺能画出 15的倍数的角，在 0180之间共能画出 11 个角.（2）借助量角器能画出给定度数的角.（3）用尺规作图法.8、角平分线 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做角的平分线.9、互余、互补（1）若1+2=90，则1 与2 互为余角.其中1 是2 的余角，2 是1 的余角.（2）若1+2=180，则1 与2 互为补角.其中1 是2 的补角，2 是1 的补角.（3）余（补）角的性质：等角的补（余）角相等.10、方向角（1）正方向（2）北（南）偏东（西）方向 （3）东（西）北（南）方向