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1、2.5.1 平面几何中的向量方法（教学设计）教学目标 一、知识与能力：1.运用向量方法解决某些简单的平面几何问题.二、过程与方法：经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题；体会向量是一种处理几何问题的工具；发展运算能力和解决实际问题的能力.三、情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题；树立学科之间相互联系、相互促进的辩证唯物主义观点.教学重点 运用向量方法解决某些简单的平面几何问题.教学难点 运用向量方法解决某些简单的平面几何问题 一、复习回顾 1 向量的概念；2 向量的表示方法：几何表示、字母表示；3 零向量、单位向量、平行向量的概念；4 在不改变
2、长度和方向的前提下，向量可以在空间自由移动；5 相等向量：长度（模）相等且方向相同的向量；6 共线向量：方向相同或相反的向量，也叫平行向量.7 要熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能做出已知两个向量的和向量；8 要理解向量加法的交换律和结合律，能说出这两个向量运算律的几何意义；9 理解向量减法的意义；能作出两个向量的差向量.10 理解实数与向量的积的意义，能说出实数与一个向量的积这与个向量的模及方向间的关系；11 能说出实数与向量的积的三条运算律，并会运用它们进行计算；12 能表述一个向量与非零向量共线的充要条件；13 会表示与非零向量共线的向量，会判断两个向量共线.二、师生互
3、动，新课讲解 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图像的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.因此可用向量方法解决平面几何中的一些问题.例 1：证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.1111,2222,/./.ABCDACBDOAOOCABACDBDCDBACABDCABDCABBODCABDCOD，即且所以四边形是平行四边形，即对角证明：设四边形的对角线、交于点，且线互相平分的四边形是平行四边形，变式训练 1：1/.2DEABCDEBCDEBC已知是的中位线，用向量的方法证明：，且 11,2211.221/.2ADABAE
4、ACDEAEADACABBCDEBCDBCDEBC证明：易知所以即，又 不在上，所以 例 2：用向量方法证明：三角形三条高线交于一点.,00ABACAHBHCHBCBHBECHAC CHABABFHC 证明：设是高线、的交点，则有化简得，所以，三角形三条高线交于一设点.且abhhahbbaha bhb ah ba 变式训练 2：222.ABCACBCBCaACbARBtccba证明勾股定理，在中，则 2222222?|0|.ABACCBAB ABAC ACAC CBCB CBABAbacCCB证明：由，故，得即 例 3：（课本 P109 例 1）2222|.|2|ABCDACBDACDBABA
5、D已知平行四边形的对角线为、求证：22222222222222|2|2|2|?,|?|.|ACACABADABADAB ADDBDBABADABADAB ADACDBABAD证得明：由 ABC能力三情感态度与价值观培养对现实世界中的数学现象的好奇心学习从某些简单的平面几何问题一复习回顾向量的概念向量的表示方法几何表反的向量也叫平行向量要熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角变式训练 3：用向量方法证明：对角线相等的平行四边形是矩形.2,0,.ABAOOB ADAOODAB ADAOOBAOODAOAO ODOB AOOB ODABADABADABCDACBDABOCD解：如图，四边形对角线、
6、交于点，即，四边形是矩形 三、课堂小结，巩固反思：向量是沟通数与形的十分有效的工具，利用向量处理平面几何问题，最重要的是要先在平面图形中寻找向量的“影子”，然后合理引入向量，并通过向量的运算，达到快捷解题的效果.四、课时必记：五、分层作业：A 组：1、（课本 P118 复习参考题 A 组：NO：5）2、（课本 P118 复习参考题 A 组：NO：6）3、（课本 P118 复习参考题 A 组：NO：7）4、（课本 P118 复习参考题 A 组：NO：8）5、（课本 P118 复习参考题 A 组：NO：9）B 组：1、（课本 P113 习题 2.5 A 组 NO：1）2、（课本 P113 习题 2
7、.5 A 组 NO：2）3、用向量方法证明：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.DOABCDOABC能力三情感态度与价值观培养对现实世界中的数学现象的好奇心学习从某些简单的平面几何问题一复习回顾向量的概念向量的表示方法几何表反的向量也叫平行向量要熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角222222222,|?|2|?2|ABAOOB BCBOOCABAOOBAOAO OBOBAOOBBCBOOCBABCDACOBOOBDOOC证明：如图平行四边形，对角线、交于点，222|,|.CBOOCABBCABCD，四边形是菱形 C 组：能力三情感态度与价值观培养对现实世界中的数学现象的好奇心学习从某些简单的平面几何问题一复习回顾向量的概念向量的表示方法几何表反的向量也叫平行向量要熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角