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1、数学模型-半角模型几何是初中数学中非常重要的内容，在数学的学习过程中，若能抓住基本图形，举一反三，定能引领学生领略到“一图一世界”的风采。下面先给大家介绍一种常见的数学模型一半角模型，通过对模型的理解和掌握，把模型的结论融会贯通，理解透彻，有助于理清思路、节省大量时间，遇到这一类题型，都是可以迎刃而解的。一、模型类别二、相关结论的运用(-)等边三角形中120含60半角模型DC条件：A ABC 是等边三角形，ZCDB=120,ZEDF=60,BD=CD,旋转 BDE至4 CDG结论 1:A F D E 2F D G结论 2：EF=BE+CF 结论 3:/D E B=/D E Fy典例精讲:已知四
2、边形 ABCD 中，AB1AD,BCCD,AB=BC,Z ABC=120,ZMBN=60,NMBN绕 B 点旋转，它的两边分别交AD,DC（或它们的延长线）于 E、F.（1）当NMBN绕 B 点旋转到A E=C F时（如 图 1）,试猜想AE,CF,EF之间存在怎样的数量关系？请将三条线段分别填入后面横线中：+=.（不需证明）（2）当ZM BN绕 B 点旋转到AErCF（如图2）时，上 述（1）中结论是否成立？请说明理由.（3）当NMBN绕 B 点旋转到AE#CF（如图3）时，上 述（1）中结论是否成立？若不成立，线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明.【思路点拨
3、】（1）证明 ABE会4C B F且ZkBEF是等边三角形即可；（2）根据“半角”模 型 1,先证4BAE丝4 B C G,再根据“半角”模 型 1 中的结论2 得出小G B FA E B F,再根据“半角”模 型 1 中的结论3 即可；（3）根据“半角”模 型 1,先证ABAH丝A B C F,再根据“手拉手”模 型 1 中的结论2得出 EBFAEBH即可.【详解】解：（1）如 图 1,图1在小ABE和 CBF中，AE=CF ZBAE=ZBCF,AB=CB.,ABEACBF(S A S),A ZCBF=ZEBA,BE=BF,VZABC=120,ZEBF=60,.BEF 是等边三角形，C F=
4、-B,AE=-BE,2 2EF=BE=BF=AE+CF;(2)如图2,延长FC 至 G,使 A E=C G,连接BG,图2在4 BAEftlA BCG 中，BA=BC ZBAE=ZBCG,AE=CG.BAEABCG(S A S),A ZABE=ZCBG,BE=BG,VZABC=120,NEBF=60,.ZABE+ZCBF=60,.,.ZCBG+ZCBF=60,；./G B F=N E B F,在 GBFHA EBF 中，BG=BE NGBF=NEBF,BF=BF.GBFAEBF(S A S),EF=GF=CF+CG=CF+AE;(3)不成立，但满足新的数量关系.如图3,在 AE上截取A H=C
5、 F,连 接 BH,在小BAH ffiA BCF中，BA=BC ZBAH=ZBCF,AH=CF.BAHABCF(S A S),；.BH=BF,ZABH=ZCBF,/ZEBF=60=ZFBC+ZCBE.ZABH+ZCBE=60,V Z ABC=120,ZHBE=60=ZEBF,在 EBF HBE 中，BH=BF0.求证：AECgZBFC;过点C 作 CMJ_AB于点M,求证：A C 1B C;AE试探究线段CE与线段C F的数量关系.FM B 9C D C图3，条件：A ABC是等腰直角三角形，NCAB=90。，AB=AC,NDAE=45。，旋转 BDE A至&CDG(A BDE沿 AD翻折至必
6、ADF)结论 1：A ADE2A AFE(A ACEA AFE)结论 2:DE2=BD2+EC2(结 论 3:CACEF=BC(GDEF=BC)/典例精讲：已知R S ABC中，ZACB=90,C A=C B,有一个圆心角为45。，半径的长等于CA 的扇形CEF绕点C 旋转，且直线CE,C F分别与直线AB交于点M,N.(1)当扇形CEF绕点C 在NACB的内部旋转时，如图，求证：MN2=AM2+BN2；思路点拨：考虑MN2=AM?+BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决.可将 ACM沿直线CE对折，得A D C M,连 D N,只需证DN=BN,ZMDN=90。就可以了.请你完
7、成证明过程：(2)当扇形CEF绕点C 旋转至图的位置时，关系式MN2=AM?+BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.图 图【思路点拨】(1)将 ACM沿直线CE对折，得A D C M,连 D N,根据“半角”模型2,证明出 C D N A C B N,再根据“半角”模 型 2 的结论2 即可；(2)将 ACM沿直线CE对折，得A G C M,连 G N,根据“半角”模 型 2,证明 C G N A C B N,再根据“半角”模 型 2 的结论2 即可；【详解】(1)证明：将 ACM沿直线CE对折，得A D C M,连 DN,则&DCM丝ACM.有 CD=CA,DM=AM,/
8、DCM =/A C M,ZCD M=ZA.又由 C A=C B,得 CD=CB.由NDCN=NECF-ZDCM=45-ZDCM,Z BCN=ZACB-Z ECF-Z ACM=90。-45。-ZACM,得/D C N=/B C N.又 CN=CN,.,CDNACBN.DN=BN,ZC D N=ZB.ZM DN=ZCDM+ZCDN=ZA+Z B=90.在 RtAMDN中，由勾股定理，得 MN2=DM2+DN2.即 MN2=AM2+BN2.(2)关系式MN2=AM2+BN2仍然成立.证明：将 ACM沿直线CE对折，得A G C M,连 GN,则4 GCMAACM.有 CG=CA,GM=AM,ZGCM
9、=ZACM,ZCGM=ZCAM.又由 C A=C B,得 CG=CB.由 NGCN=/GCM+/ECF=NGCM+45。,ZB C N=ZA C B-ZA CN=90-(Z E C F-ZACM)=45+ZACM.得 N G CN=/BC N.又 CN=CN,/.CGNACBN.有 GN=BN,ZC G N=ZB=45,ZCGM=ZCAM=1800-ZCAB=135,.Z M G N=Z C G M-ZCGN=135-45=90.在RtAMGN中，由勾股定理，实战演练:在等腰A ABC中，C A=C B,点 D,E 在射线AB上，不与A,B 重 合(D 在 E 的左 边)，fiZ D C E=
10、-Z A C B.2(1)如 图 1,若/A C B =90。，将ACAD沿 CD 翻折，点 A 与 M 重合，求证：MCEABCE;(2)如图2,若/A C B =120。，且以AD、DE、EB为边的三角形是直角三角形，求 当 的值；EB(3)Z A C B=120,点 D 在射线AB上运动，A C=3,则 AD的取值范围为.（三）正方形中90含 45半角模型(条件：正方形ABCD中，ZMAN=45,旋转 ABF至 AND；结论 1：AAFM之 AAMN结论 2:MN=BM+DN(MN=DN-BM)结论 3:CAMCN=2AB；结论4SAAMN=SAABM+S w)N(S 4AMN=AADN
11、-ABM)_y典例精讲:（i）（发现证明）如 图 1,在正方形ABCD中，点 E,F 分另IJ是 BC,CD边上的动点，且NEAF=45。,求证：EF=DF+BE.小明发现，当把 ABE绕点A 顺时针旋转90。至A A D G,使 AB与 AD 重合时能够证明，请你给出证明过程.（2）（类比引申）如图2,在正方形ABCD中，如果点E,F 分别是CB,DC延长线上的动点，且/EAF=45。，则（1）中的结论还成立吗？请写出证明过程.如图3,如果点E,F 分别是BC,CD延长线上的动点，且NEAF=45。，则 EF,BE,DF之 间 的 数 量 关 系 是 （不要求证明）（3）（联想拓展）如 图
12、1,若正方形ABCD的边长为6,AE=3后，求 A F的长.【思路点拨】（1）（发现证明）根据“半角”模型3,证明出 EAF岭A G A F,再根据“半角”模型3 的结论2 即可得证；（2）（类比引申）根据“半角”模型3,证明出Z1EAF丝ZG AF,再根据“半角”模型 3 的结论2 即可得证；根据“半角”模型3,证明A F E gA A N E,再根据“半角”模型3 的结论2 即可得证；（3）（联想拓展）求出DG=2,设 D F=x,则根据“半角”模型3 的结论2 得 出 EF=DG=x+3,CF=6-x,在 RS EFC中，得出关于x 的方程，解出x 则可得解.【详解】（1）（发现证明）证
13、明：把 ABE绕点A 顺时针旋转90。至4 A D G,如 图 1,图1.e.ZBA E=ZD A G,AE=AG,VZEAF=45,NBAE+NFAD=45。，.ZDAG+ZFAD=45,AZEAF=ZFAG,VAF=AF,.,.EAFAGAF(S A S),EF=FG=DF+DG,，EF=DF+BE;(类比引申)不成立，结论：EF=D F-B E;证明：如图2,将ABE绕点A 顺时针旋转90。至 ADM,图2 NEAB=NMAD,AE=AM,NEAM=90。，BE=DM,.*.ZFAM=45O=ZEA F,.AF=AF,AAEAFAM AF(S A S),，EF=FM=DF-DM =DF-
14、BE;如图3,将么ADF绕点A 逆时针旋转90。至4 ABN,VZEAF=45,.ZN A E=45,AZNAE=ZFAE,VAE=AE,AAAFEAANE(S A S),，EF=EN,BE=BN+NE=DF+EF.即 BE=EF+DF.故答案为：BE=EF+DF.(3)(联想拓展)解：由(1)可知AE=AG=36,正方形ABCD的边长为6,ADC=BC=AD=6,DG=4 AG2-A D1=7(375)2-62=3，BE=DG=3,；.CE=BC-BE=6-3=3,设 D F=x,则 EF=DG=x+3,CF=6-x,在 RS EFC 中，VCP+CE2=EF2,(6-x)2+32=(x+3
15、)2,解得：x=2.:.DF=2,AF=JAD2+DF2=A/62+22=2 W【解题技法】“半角”模型3,常与旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，将分散的条件集中起来，将隐秘的关系显现出来.实战演练：1、思维探索：在正方形ABCD中，AB=4,NEAF的两边分别交射线CB,DC于点E,F,ZEAF=45.(1)如 图1,当点E,F分别在线段BC,CD上时，ZiCEF的 周 长 是8;(2)如图2,当点E,F分别在CB,DC的延长线上，CF=2时，求ACEF的周长;拓展提升：如图3,在RtA ABC中，ZACB=90,CA=CB,过点B作BDLBC,连接AD,在BC的延长
16、线上取一点E,使NEDA=30。，连接AE,当BD=2,ZEAD=45。时，请直接写出线段CE的长度.2、(1)如图，在正方形ABCD中，ZFAG=45,请直接写出DG,B F与F G的数量关系，不需要证明.（2）如图，在 RtA ABC 中，ZBAC=90,AB=AC,E,F 分别是 BC 上两点,NEAF=45,写 出 BE,CF,E F 之间的数量关系，并证明.若将（2）中的 A E F绕 点 A 旋转至如图所示的位置，上述结论是否仍然成立?若不成立，直接写出新的结论，无需证明.(3)如图，AAEF 中NEAF=45,AG_LEF 于 G,且 GF=2,GE=3,则 SiA E F=（四
17、）等边三角形中60。含 30。半角模型B DB D条件：ABC是等边三角形，ZDAE=30,旋转A B D 至AACF；结论 1：A ADEA AFE结论 2:ZECF=120结论 3:CAECE=AB；典例精讲:转前后的线段之间、角之间的关系进行了探究.(-)尝试探究如图 1 所示，在四边形 ABCD 中，AB=AD,ZBAD=60,ZABC=ZADC=90,点 E、F 分别在线段BC、C D ,Z E A F=30,连接EF.(1)如图2 所示，将A ABE绕点A 逆时针旋转60。后得到 A B E，(A B 与 AD重合)，请直接写出/E，AF=度，线段BE、EF、FD之 间 的 数 量
18、 关 系 为.(2)如图3,当点E、F 分别在线段BC、C D 的延长线上时，其他条件不变，请探究线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由.(二)拓展延伸如图4,在等边 ABC中，E、F 是边BC上的两点，ZEAF=30,B E=1,将公ABE绕点A 逆时针旋转60。得到 A B E (A B 与 AC重 合)，连 接 EE，AF与 EE，交于点 N,过点A 作 AM LBC于点M,连接M N,求线段M N的长度.【思路点拨】()(1)(发现证明)根据“半角”模型4,证明出 AEF丝AE，F,进而根据线段的和差关系得出结论；(2)先在BE上截取BG=D F,连接A G,根据“半角”模型4
19、,判定 GAEAFAE,根据线段的和差关系得出结论；(二)先根据“半角”模型4,判定 AEE，是等边三角形，进 而 得 到 网=也和AE ABZ B A E=Z M A N,最后判定 BAES/MA N,并根据相似三角形对应边成比例，列出比例式求得M N的长.解：(一)(1)将 ABE绕点A 逆时针旋转60。后得到A A B E,则/BA E=N D A E,BE=DE,AE=AE,V Z BAD=60,ZEAF=30,.,ZBAE+ZDAF=30,Z DAE+Z DAF=3 0 ,即/FAE=30A ZEA F=ZFA EAE=AE在4 AEF 和4 AET 中，NEAF=ZE AF,AF=
20、AF.AEFAAET(S A S),.E F=E F,即 EF=DF+DE,；.EF=D F+B E,即线段BE、EF、FD之间的数量关系为BE+DF=EF,故答案为：30,BE+DF=EF;(2)如图3,在 BE上截取BG=D F,连接AG,A B A D在 ABG 和4 ADF 中，N A B E =Z A D F ,B G =D F.,.ABGA ADF(S A S),；.N B A G=N D A F,且 AG=AF,VZDAF+ZDAE=30,A ZBAG+ZDAE=30,VZBAD=60,.ZGAE=60-30=30,；./G A E=N FA E,A G A F在小 GAE 和4
21、 FAE 中，Z G A E =N F A E ,A E A E.GAE岭ZXFAE(S A S),.G E=FE,又：BE-B G=G E,BG=DF,；.B E-D F=EF,即线段BE、EF、FD之间的数量关系为BE-DF=EF;(二)如 图 4,将 ABE绕点A 逆时针旋转60。得到 A B E,则AE=AE,/E A E，=60。,.AEE，是等边三角形，又./EAF=30,.AN 平分NEAE,.ANEE,RtANE 中，=,A E 2.,在等边A ABC 中，AMBC,.ZB AM=30,.A M且 NBAE+NEAM=30,.A N A M又；ZMAN+ZEAM=30,ZB A
22、 E=ZM A N,.BAEAMAN,MN AN Qn MN 6 即-=-,BE AB 1 2MN=.2【解题技法】根据“半角”模型，对图形进行分解、组合，抓住图形旋转前后的对应边相等，一般解题方法为作辅助线构造全等三角形或相似三角形.实战演练：(1)问题背景：如图 1：在四边形 ABCD 中，AB=AD,ZB AD=120,ZB=ZADC=90,E、F分别是BC,CD 上的点且NEAF=60。，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G.使 DG=B E.连结A G,先证明 A B E A A D G,再证明 AEF也4 A G F,可得出结论，
23、他的结论应是；(2)探索延伸：如图2,若在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180.E,F 分别是BC,CD上的点，且N E A F=1/B A D,上述结论 仍然成立(填“是”或“否”)；结论应用：如图3,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O 处)北 偏 西 30。的 A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70。的 B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里J、时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50。的方向以60海里卜时的速度前进，2 小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E、F 处，且两舰艇之间的夹角为7 0 ,试求此时两舰艇之间的距离.能力提高：如图4,等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90,AB=A C,点 M,N 在 边 BC上，且NMAN=45。.若 BM=1,C N=3,则 MN 的长为.