《2023届高考数学专项练习导数中的“距离”问题（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023届高考数学专项练习导数中的“距离”问题（解析版）.pdf（33页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023届高考数学专项练习导数中的“距离”问题【题型归纳目录】题型一：曲线与直线的距离题型二：曲线与点的距离题型三：曲线与圆的距离题型四：曲线与抛物线的距离题型五：曲线与曲线的距离题型六:横向距离题型七:纵向距离【典例例题】题型一：曲线与直线的距离例L已知函数/(=Q +a)?+(In z+e a),若存在而，使得/(m)0,a C R,存 在/使 得/(x0)&春 成 立，则实数 詈 的值是.例5.已知函数/=x2-2a x+efo 6aete+1 0 a?的最小值是 击,则a的值是例6.设函数/(c)=(c a)2+4(l n c a):其中40,a E R.若存在正 数%，使得/(%)成
2、立，则实D数a的值是()1 2 _ 1A.w B.w C.5 D.1j。z例7.设函数/(T)=(力a)2+(In 2Q)2,其中x 0,a G人 存 在 g使得/(g)W6成立，则实数。的最小值为()AA X,5B 看D.1。c 5数,则实数a的取值范围是()年 皿 若对任意的正实数3/在R上都是增函A.(-8,管 B.(-8,用 C.(8,1 D.(-8,-y例9.已知实数a,b,c,d 满足|ln（a 1）6|+|c d+2|=0,则（a。产+（b d）?的最小值为（）A.2V2 B.8 C.4 D.16题型二:曲线与点的距离例10.若点4（0,。与曲线夕=Inx上点B 距离最小值为2代
3、，则实数t 为（）A.ln2+3 B.ln3+2 C.yln3+3 D.yln2+2例11.若点工（,0）与曲线？=e，上点P 的距离的最小值为2代,则实数 的值为（）A.4-野B.4-竽C.3+萼D.3+萼题型三:曲线与IB的距离例12.己知点P 为函数/（工）=Inz的图象上任意一点，点Q 为圆 工一（e+）+?/2 1任意一点，则线段P Q 的长度的最小值为（）A e -1C Je、+1-e*erj V2e2+1-eD.-D.e+T例13.已知点P 为函数/（=Inc+e（z 2）图象上任意一点，点Q 为圆上一（e+9+1）T+娟=i 上任意一点，则线段P Q 的长度的最小值为（）人 V
4、l+e2（l+e）e n J2e?+1 ee eC Je2+1-e D e-Je2-1 e e例14.已知点P 为函数/=Inx的图象上任意一点，点Q 为圆上一 （e+T）y+02=:上任意一点，则线段尸Q 长度的最小值为（）e-Je2-1e2A/e2+1 e 八 Je2+1 e)1 1-O-C -Q-D.ed-7 72e 2e e 2例15已知点P 为函数/Q）=e，的图象上任意一点，点。为圆（1）2+才=1上任意一点，则线段P Q长度的最小值为（）A.V 2-1 B.1 C.V2 D.V 3-1题型四:曲线与抛物线的距离例16设9（Q,b）=J（a-b）2 +（in a-号）+号（a 0,
5、b /?）,当a,b变化时砒a,b）的 最 小 值 为.例17.设。=J 3 *?+(inc 亨)+号+L(aC R),则。的最小值为()A.乌 B.1 C.V2 D.2典型五:曲线与曲线的距离例18.设点P 在曲线沙=/炉 上，点。在山I线沙=ln(2a;)上，则P Q的最小值为()A.1-ln 2 B.V 2(l-ln 2)C.1+ln 2 D.72(1+In 2)例19.设点P 在曲线夕=e?，上，点。在曲线夕=-ylnx上,则P Q的最小值为()A.空(l-ln 2)B.V 2(l-ln2)C.A/2(1+ln2)D.夸(l+ln2)例20.设点P 在曲线夕=2e上，点Q 在曲线y=l
6、nc ln2上，则|PQ|的最小值为()A.1-ln2 B.v (l-ln 2)C.2(l+ln2)D.V2(l+ln2)例21.设点P 在曲线g=e+i上，点Q 在曲线y=1+lmc上，则|PQ|最 小 值 为()A.V2 B.2V2 C.V2(l+ln2)D.V2(l-ln 2)例22.设满足方程(2alna-例+(c2-m c +3+d)2=0 的点(a,b),(c,d)的运动轨迹分别为曲线M,N,若在区间 9，e 内，曲线M,N 有两个交点(其中e=2.71828是自然对数的底数)，则实数m 的最大值为()3 1A.4 B.4+21n3 C.e+2 H-D.+3c 2e e题型六:横向
7、距离例23.已知直线y=b与函数/()=22+3和g(x)=a x+n x分别交于4 8 两点，若A B的最小值为2,则 Q+b=.例24.已知直线g=b与函数/=22+5 和g(c)=QN+Inc的图象分别交于Z、3 两点，若|AB|的最小值为3,则2Q b=.例25.设直线9=Q与函数/3)=c%g Q)=6 的图象分别交于4 8 两点,则|力6|的 最 小 值 为()A.2 -ln2 B.-l-ln2 C.2+-ln2 D.g +-ln2例26.已知函数/(=e,g(c)=Imr+/的图象分别与直线y=b 交于A,5 两点，则|4 8 的最小值为A 1 o I c 2+ln2 ln3A.
8、1 B.e2 C.D.e-题型七，纵向距离例27直线x=Q(Q 0)分别与直线g=32+3,曲线9=2+n x交于A、6 两点，则AB最小值为_例28直线力=Q分别与曲线g=2(1+1),g=%+ln i交于A、B 两点，则|4 8|的最小值为()A.3 B.2 C.必 2 D.442例29.直线C=Q(Q 0)分别与曲线沙=26+1,=%+Inc相交于若，B 两点，则AB的最小值为()A.1 B.2 C.V2 D.V3【过关测试】一、单 曲1.若、a、b为任意实数，若(Q+1)2+(b 2)2=1,则(x a)2+(In。6尸 最小值为()A.2V2 B.9 C.9-4V2 D.2V 2-1
9、2.已知实数Q,b,c,d满足a=eT,c=ln(dl),K!j(a c)2+(b d/的最小值为()A.y B.1 C.V 2 D.23.设直线e=力与函数/(c)=2/2,g(c)=in/的 图 像 分 别 交 于 点 则MN的最小值为()A.+ln2 B.31n2 1 C.1 D./4.已知函数/(C)=lnx+1,g(c)=2er 3 若/(m)=g(n)成立，则m 九的最小值是A.+ln2 B.e-2 C.ln,2 D.Ve 5.设 O=J-ay+(inn-与了+牛+1.(a e R),则。的最小值为()A.卒 B.1 C.V2 D.26.已知直线y=a 分别与直线y=2c-2 和曲
10、线y=2e，+c 相交于点力，5,则线段4 8 长度的最小值为A.4（3+l n 2）B.3-l n 2 C.2 e-l D.37.已知函数/（a?）=e-,g（x）=In y+1,对任意 X i G R,存在 x-2E（0,+8）,使得/（为）=g（a：；2）,则 x2 的最小值为（）A.1 B.V 2 C.V 3 D.28.已知曲线G：g =e*上一点4%小)，曲线。2：9=1 +l n(x m)(m 0)上一点B(x2,y2)，当的=纺时,对任意为，g,都有AB e 恒成立,则m的最小值为()A.1 B.V e C.e 1 D.e +19.已知函数/(c)=e,-3,g Q)=+若/(m
11、)=g(zi)成立，则Ti-zn 的最小值为()A.1 +l n 2 B.In 2 C.2 1 n 2 D.In 2-11 0 .已知函数/（c）=l n x +1,g（i）=4e T,若/（馆）=g（九）成立，则n z 九的最小值是（）A.g+l n 2 B./+2 1 n 2 C.In 2 D.V e 1 1 .设动直线力=力与曲线g =e，以及曲线g =l n/分别交于P,Q 两点，pQl m in 表示P Q 的最小值，则下列描述正确的是()A.P Q U=2 B.早 v|PQ|m il,fC.2 31 2 .设尸(a,b)=J(a 与丫+(e b)2 +竽,(a,b W R),则 R
12、(a,b)的最小值是()A.V 2-1 B.2-V 2 C.夸 D.11 3.已知函数/(c)=酬”9(2)=|+l n(2 c),若/(m)=g(7i)成立，则n m1 的最小值为()、2 hi2 1厂.呼P 1 +2 1 n 2S-c 1 4-ln2O -4 1 4.直线g =a 分别与曲线y=/2 一出沙=力一2 交于点P、Q,则P Q的最小值为A.2 B.V 2 C.1 D.V 6二、填空题1 5 .若 Q 0,b 0,则 J(Q-2A/F)2+(In a 匕 0,5 C R),当a,b 变化时，M a,b)的最小值为2 0 .已知P,Q 分别为函数/=4 e f g =ln(2 x)
13、+j-上两点，则P,Q 两点的距离P Q的最小值是2 1.设点P,Q分别是曲线y =，e-2,和直线夕=t +2 上的动点，则尸，。两点间的距离的最小值是导数中的“距离”问题【题型归纳目录】题型一:曲线与直线的距离题型二:曲线与点的电离题型三:曲线与圆的距离题型四:曲线与抛物线的距离题型五:曲线与曲线的距离题型六:横向距离题型七:纵向距离【典例例题】题型一:曲线与直线的距离例1.已知函数/&)=3+a/+(In c +ea 1，若 存 在x，使 得f (g)W -，则 实 数a的值是【解答】解：:/3)=3+。)2+(ln x +ea)2,函数/(可看作动点AlQ j n i)与动点、N(a,
14、ea)之间距离的平方，动 点、M在y=l n 的图像上，N在y =e的图像上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由g =ln c,得娟=!=e,则c =!，故曲线上的点河(工，-1)到直线g =ei距离的最小值是d =一 =,e Ve+1则f(x)-，根据题意若存在的，使得了3。)0),y=x-2.设直线g=/+2与曲线/=31nz x2(x 0)相切于点P(4 0,T/O).则r2c,r 3o)=3 -2/=1,解得g=1,r.J b Jz()p(l,-1).点P到直线y=h+2的距离d=|1+1+2|=2V2.贝I-/(a c)2+(b 0,a C R,存 在 使 得/(外)0,a
15、 E R.若 存 在 正 数 电”使得/(电)&4成 立，则实0数a的 值 是()A.q B.?C.g D.15 5 2【解答】解：函数/()可以看作是动点MQjn)与动点N(Q,2Q)之间距离的平方，动点M在函数g =2 1n%的图象上，N 在直线n =2 i的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，9由g =2 1n力得，y=不=2,解得=1,曲线上点V(l,0)到直线g =2力的距离d=?+,则/得，O根据题意，要使/(割)此时N恰好为垂足，O O由 k MN=丫 _ :y，解得Q =；a/i j故选：A.例7.设函数=(x-亦+(In /2 a)2,其 中/0,a C R,存
16、 在 g使得/(g)成立,则 实 数b的最小 值 为()A XA，5B.工5。c 5D.1【解答】解：函数/(必)可以看作动点P(N,In /)与点Q(Q,2 a)的距离的平方，点P在曲线y =2 1n%上，点Q9在直线沙=2/上，问题转化为直线上的点到曲线上的点的距离的最小值，由y=2 1n x求导可得g=不，令,9式=2,解得c =l,此时g =2 1n 1=0,则M(l,0),所以点M(l,0)到直线g =2。的距离d=r.=V 2 2 +(-1)2岑?即为直线与曲线之间最小的距离，故/(力)而I 1 =普=1.A由于存在电,使得/(4)w b,则b,即b 丫，D故选：C.例8.已知函数
17、_ f(z)=5(z -2 t)1+(|x -In i +l)3-微a z,若对任意 的 正 实 数t,7(0在R上都是增函数,则实数a的取值范围是()A.(一8,告 B.(-8,同 C.(一 8,第 D.(-8,学【解答】解：.(1)=-2 t)+(JQ In t +1)o,x,f(=(z -2厅+In t +1)|*a,又 对 任 意 的 正 实 数 在 凡 上 都 是 增 函 数，f (a?).(T-2 t产 +-In t +1)*a0 在 z C 7?上恒成立,即 a W 3 2 t，+(1.In t +I)?在 r r R 上恒成立，,/(x -2 t)2+(g z -In t +1
18、)的几何意义为动点(2 ,In t 1)到直线y =即z -2 y =0上点的距离的平方，甘5 小 名-2 1n 2 +2)2其最小值为-.令 f f(t)=2(t-ln t +1),g(t)=2厂D,当t e(o,i)时H o,g(t)m i n =g(l)=4,则 2t+2)的最小值为与.0 实数a的取值范围是(一8,与.故选：D.例9.已知实数a,数c,d 满足|ln(a-l)-1+匕-&+2|=0,则(。一欧+(6-好的最小值为()A.2A/2 B.8 C.4 D.16【解答】解：由题意可知，f e =ln(a 1),d =c +2,(a c)2+(b d)2的几何意义为曲线b =ln
19、(a 1)上的点(Q,b)到直线d =c +2上的点(c,d)连线的距离的平方，不妨设曲线=卜1（土1）,直 线,=/+2,设与直线?/=4+2平行且与曲线歹=卜1（劣一1）相切的直线方程为 y =/+m,显然直线y =工+2与直线沙=0 +力的距离的平方即为所求，由y =In Q -1）,得/=J 1,设切点为（电）,劭）,y0=ln(x0-1)(坊一二直线y =/+2与直线y =工+馆 的 距 离 为=2A/2,v 2(a -c)2+(b d)2的最小值为8.故选：B.题型二:曲线与点的距离例10.若 点 力（0,力）与曲 线”=In a;上点石距离最小值为2-,则 实 数 为（）A.In
20、 2+3 B.In 3+2 C.-ln 3+3 D.-ln 2+2【解答】解:设点B坐标为（x0,1口的），其中x0 0,过点3的切线斜率为2X 0当直线A B与过点B的切线垂直时，点？1与 点、B间的距离最小,此时上2-=一血，In i。一 /;=的9一66,点4与 点、B间的距离最小值，唠+（In g J4=/鬲+端=2V 3,即 嵩+曷-1 2=0,解得：若=3,又。的 0,工xQ=V 3,t=In g +xS=ln V 3+3=-1-ln 3+3,故选：C.例11.若 点4 K 0）与 曲 线V =e 上点P的距离的最小值为2/L则实数力的值为（A.4-萼 B.4-粤 C.3+粤 D.
21、3+1耍【解答】解：u=e 的导数为yr=e,设P（m,em）,可得过P的切线的斜率为记，当4 P垂直于切线时，力P取得最小值2小，pn,1可得一=m-t 物，且 V（m-t）2+e2w=2/3,可得（m t）2 （m i）1 2=0,解得m一力=一3（4舍去）,即有 e 2n l=-7 7 1 =3,解得 7 7 1=*,=3+等,故选:D.题型三:曲线与IS的距离例12.已知点P为函数/（/）=ln 的图象上任意一点，点Q为 圆 立一（e +已）+必=1任意一点，则线段PQ的长度的最小值为（）e -1eV e2+1 -e一eA.B，2e 2+1 -eD.e +.1e【解答】解：由圆的对称性
22、可得只需考虑圆心Q（e +9，0）到函数/（N）=ln i图象上一点的距离的最小值.设/（）图象上一点（7 7 1,1 1 1 7 7 1）,由/的导数为尸（0=4,Jb即有切线的斜率为k =，寸 a In m-0可付-j =-m,m-(e +V/即有 In mH-m2 (e +)m=0,由 g(x)=In x+x2(e +力,可得7 (c)=5 +2勿一(e +十),当 2 V c V 3 时，g 3)0,g(x)递增.又g（e）=In e +e2 （e 4-）e =0,可得工=e处点（e,1）到点Q的距离最小，且为Jl+,则线段PQ的长度的最小值为J1 +-1,即6+:一故选：C.例13.
23、已知点P为函数/&）=&%+e（c 2）图象上任意一点，点Q为 圆 上 一（e +5+1）+娟=1上任意一点,则线段PQ的长度的最小值为（A A/1+c2（l+e）eeC V c，+1 -c e【解答】解：设P(cn z +e),又圆 一(e +|+l口 d2e 2+1 -e1 5.)+才=1 的圆心为 M(e +1,0),/1 2令 gQ)=PA f2=(4 e g 1)+(ln/+c)2,/3)=2工-2(e+l)+自 +等,Q 2).g，=2 4+上典=亚 土 二 西 二 劭 0,x X X g 3)单调递增，而g(c)=0.g 3)在(2,e)递减，在(e,+8)递增，。i=g(e)=
24、+(1+e)2=+e?l +e/,.Dm尸呼+动,则线段P Q 的长度的最小值为迫土誓士功一1,故选：A.例14.已知点P 为函数/（工）=In x的图象上任意一点，点 Q 为 圆 上 一（e+!）丁 +犷=上任意一点,则线段P Q 长度的最小值为（口 2Ve2+1 eB-D.c+卜c J e +1 -e。220厂【解答】解：由圆的对称性可得只需考虑圆心C（e+十，0）到函数/（=n x图象上一点的距离的最小值.设/3）图象上一点（m jnrn）,由/3）的导数为/（0）=,即有切线的斜率为k=-,XTYl可得 g m -m （e+即有 him+n r （e+=0,由 9（i）=Ina;+x2
25、（e+十）,可得g =+2一（e T当 2 V%V 3 时，g 0,g（x）递增.又 g（e）=Ine+e2 （e+-1-）e=0,可得t =e 处点P（e,1）到点Q 的距离最小，且为J 1 +专,则线段P Q 的长度的最小值为J 1 +誉-y =旭 黑二故选：B.例15.已知点P 为函数/（0=丁 的图象上任意一点，点 Q 为 圆（工一1/+炉=1 上任意一点，则线段PQ长度的最小值为（）A.V2 1B.1C.V2D.A/3 1【解答】解：由圆的对称性可得只需考虑圆心Q(1,0)到函数/()=e，图象上一点的距离的最小值.设/Q)图象上一点(山,小)，由/(i)的导数为f(x)=ex,即有
26、切线的斜率为k=留，即有 621 +恒一1=0,由 g(x)=e2l:+z 1,可得 9 (x)=2e +1 0,g(4)递增.又 g(0)=0,可得工=0处点(0,1)到点Q的距离最小，且 为 四，则线段PQ的长度的最小值为四一1,故选：A.题型四:曲线与抛物线的距离例16.设(p(a,b)=,(a -6)2+(in a -号)+号(a 0,b C R),当 a 变 化 时旗a,b)的 最 小 值 为.【解答】解：设/(z)=ln z，9(:c)=-,则J(a-b)2+(in a-豺 表示函数/(力)上一点P(a,ln a)与函数g 上 一 点Q(b,牛)之间的距离，又函数g(x)=军 表
27、示 焦 点 为R(0,l),准线为y =-1的抛物线，由抛物线的定义可得与 =|Q F|-1,4 4 0,b R)的几何意义即为|P Q|+|Q 0|=|P Q|+|Q F|-1,作出示意图如下，由图观察可知，当点P运动至点P,且FP垂直于过点P的函数/(。)=1 ns的切线，点Q为线段FP与函)数g(工)=*的 交 点 时，I P Q I+I Q尸1-1最小，设 尸(的，物)，r 3)=；,则 FT.高 一，解 得“二:，即P(1.0),/鼠=1回 也一 IPQI+IQFI-1 的最小值为 F P-i=V T+l-l=y/2-l.故答案为：住 一1.例17.设D=W-a)+(inc-亨丫+亨
28、+L(a R)，则。的最小值为()A垦A.2B.1C.V2D.2【解答】解：S=(n。尸+(inx 肯)(Q G R),其几何意义为:两点(x.Ina;),(a,牛)的距离的平方，由y=l n x 的导数为yr=9：.k =A yf=x,/.fc=ya;2,令/Q)=Inx,g(x)=则 D(x)=J(v g)2+/3 1)g(g)F+g(g)+1,而9(0)+1是 抛 物 线 片,炉 上 的 点 到 准 线g=i的距离,即抛物线v=4-x2上的点到焦点(0,1)的距离，q则D可以看作抛物线上的点(g,g(g)到焦点距离和到/(0)=Ina:上的点的距离的和，即以同+|4B|,由两点之间线段最
29、短，得。的最小值是点F(0,l)到,f(z)=In x上的点的距离的最小值，由点到直线上垂线段最短，这样就最小，即取仇我，lnx0),则/(电)丹 曳=-1,垂直，则In g 1=一就，解得g=1,.R到6(1,0)的距离就是点R(O,l)到/()=In上的点的距离的最小值,。的最小值为D F=V 2.故选：C.题型五:曲线与曲线的距离例18.设 点P在 曲 线y =枭，上，点Q在 曲 线？=l n(2 0上，则|P Q|的最小值为(A.1 -I n 2 B.V 2(l-l n 2)C.1 +I n 2 D.7 2(1 +I n 2)【解答】解：.?/=%该函数的定义域为R,值域为(0,+8)
30、,a；=l n2 y,函数y=y e1与y=l n(2 x)互为反函数，其图象关于直线g =c对称，两曲线上点之间的最小距离就是g =力与g =上点的最小距离的2倍.设g 上点)，物)处的切线与直线g =o平行，则 犷 =1,.x0=l n2,y o=l,.点(3，涣)到夕=/的 距 离 为“方)=苧(1 -l n2),则|P Q|的 最 小 值 为 学(1 -I n2)x 2 =，(l l n2).故选：B.例19 设点。在 曲 线 =曾 上，点Q在 曲 线g =y l nx ,则P Q的最小值为(A.2 (1 1 1 1 2)B.A/2(1 l i)2)C.V 2 (1+l u 2)D.-
31、(1 +1 1 r 2)【解答 解：=言 与g =互为反函数，它 们 图 象 关 于 直 线 对称；又娟=2 e 2”，由直线的斜率上=2。2%=1,得 的=y l n2,%=战)=彳，所以切线方程为i g +h i 2 =0,则原点到切线的距离为d =+l n2),P Q的最小值为2 d =乌(1 +l n2).故选：。.例20设 点P在 曲 线”=2 1上，点Q在 曲 线u =l m r l n2上，则|P Q 1的最小值为(A.1 -l n2 B.V 2(l -l n2)C.2(1 +l n2)D.V 2(l +l n2)【解答】解：:解：T g u Z c 与y=n xn 0f.)x，
32、d?AB的最小值为2,可得2 a 0,函数在（壮 ）上单调递减，在（5三，+8）上单调递增,二x =某 一 时，函数y取得极小值，且为最小值2,2 a即有（一力一仙士+备=2,解得a =1,由。2 =1,则 b a x2 +n x2=1 +I n i =1,可得a +b=2.故答案为：2.例24已知直线“=匕 与函数/(力)=2T+5和g(z)=a x+I n a?的图象分别交于4 两点，若AB的最小值 为3,则2Q b=.【解答】解：设4的，b),B(x2i b),x2 0,则 2刈 +5 =a x2+1 1 1 2 =b,则 X j =-y(a x2+n x 5),则 AB=电 一 为=/
33、2 g(a力2+I n g 5)=-y (2 -a)x2-l n x2+5,设hx)=(2 a)x I n x +5,T0,则九(0)=2 a 十，VAB的最小值为3,：.h(1)=0的根为i ,且函数九(名)在(方=,+)上递增，则(一8,文 二)上 递 减，则函数的最小值为.(n夕 2a )=乙 /C L X (2 _ Q)_ ln/zQ+5 =6即 1 -ln-T-F 5 =6 即 ln-=0,则=1 得 2 a=l,a =l,Z a z -a z a此时力2 =1,则 b=1+Ini=1,即 2a b=2 1=1,故答案为：1例25.设直线y=a与函数/Q)=eS g(H)=心 的 图
34、 象 分 别 交 于B两点，则 口 的最小值为()A.2 i_ln2 B.-ln2 C.2+-1112 D.J +-4-ln2【解答】解：:直线直线y=a与函数/=e*，gx)=4 x的图象分别交于力，B两点，A(lna,a),B(a2,a),其中标 Ina,且 a 0,.|/LB|=02m a,设函数ZI(Q)=Q2 Ina,h(a)2a ,a 0,令 4 (a)=0,解得 a=,当(a)0,即a 岑 时，函 数 在(空，+8)单调递增，当(a)0,即0 V a 冬 时，函数在(0,夸)单 调 递 减，故 0,所以 AB e，lnb,令 e -Ins,(rr0),则无(。)=6小 一 泰=0
35、时，解得/=、，所以()V:r V g 时，(IT)V();6 ；时，(rc)0,则h(x)在(0,y)上单调递减，在(4，+8)上单调递增，所 以 当 工=/时，|lB|min=-2+2ln 2-,故选：C.题型七:纵向距离例27直 线x=a(a,0)分别与直线y =3+3,曲线g =2N+I n.r交 于/、8两 点，则A B 最小值为_【解答】解：令/(%)=3。+3 2。n x=x ln c +3,则/(4)=1 -9,/.当 0 V 6V l 时，(1)V 0,当1 1 时，/(0,/(/)在(0,1)上单调递减，在(L+8)上单调递增，当1 =1时，即Q =1时，/取得最小值/(1
36、)=4,AB的最小值为4.故答案为：4.例28直线=a分别与曲线沙=2(1+1),g =/+I n a;交于4、B两点，则A B 的最小值为(A.3 B.2 C.当 D.44 2【解答】解:令/(x)=2%+2 力一In x x I n x +2,则 广 =l-5，/.当 0 V z 1 时，/(a?)1 时，/，(a;)0,.-./(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，当。=1时，即a =i时，f Q)取得最小值/(1)=3,/.AB的最小值为3.故选：A.例2 9.直 线x=a(a 0)分别与曲线夕=2 z +1,g =c +I n i相交于A,B两点，则 A B的最小值
37、为()A.1 B.2 C.V 2 D.V 3【解答】解:令/(c)2x+l x I n x -x ln a:+1,则r (工)=1 9，当 o v 8 v 1 时，/3)v o,当1 1 时，Q)o,/()在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，当=1时，即a =l 时JQ)取得最小值/(1)=2,AAB的最小值为2.故选：8.【过关能试】一、单 曲1.若出、a、b为任意实数，若(Q+(b 2)2=1,则(。尸+(I n c b)2 最 小 值 为()A.2V2 B.9 C.9-4V2 D.272-1【答案】C【解析】由题可知，问题可转化为圆Q+1y+3 2 尸=1 上动点到函数g
38、=ln i 图像上动点距离的最小值,即求函数g =ln a 上动点到圆心(1,2)距离的最小值，数形结合可知当g =ln，在(m,ln m)处的切线与(m,I n m)和(一L 2)连线垂直时为最小值，据此求出m的值，即可得到答案.【详解】由(Q +1)2+(b-2 尸=1 可 得(Q,b)在 以(-1,2)为圆心，1 为半径的圆上，(X -a)24-(I n T -b)2 表示点(a,b)与点(x,ln T)的距离的平方，即表示圆Q+1)2 +(y 2)2=1上动点到函数夕=I n 图像上动点距离的平方.设(m.l n m)为g =ln/上一点，且 在(m/n m)处的y=n x的切线与(7
39、 n,ln 7 n)和(一1 连线垂直，可得I n m -2 1 _ .m+l即 有 I n m +m2+m=2,由/(m)=1 1 1 7?2 +7 7 2 2+7?2 在 7 n 0 时递增，且/(l)=2 ,可得 T H =1,即切点为(1,0),圆心与切点的距离为d =J(1 +1/+(0 2)2 =2-,由此可得(x a)2+(I n x b)2 的最小值为(2 V 2 1)2=9 4A/2.故选：2.已知实数0力,川满足。=(?7,c=ln(d-1),则(Q-C)2+(b-d)的最小值为()A.y B.1 C.V2 D.2【答案】D【解析】理解原代数式的含义，转化为函数形式，再分析
40、其几何意义，构造函数即可求解.【详解】Va=e6-1,c=ln(d 1),/.(a c)2+(b d)2=efc-l ln(d-1)2+(b 1)(d l)2,令b 1=xhd l =x2，则(a c)2+(b d)(ex,lna；2)2+(的一2):其几何意义为点4(如 留)与 点8(2，ln/2)之间距离的平方，设/=e*,g(i)=In x,则点A和3分别在/(c)和g(c)的图像上，如下图,显然和g(%)互为反函数，其 图 像 关 于 对 称，心)=眇则71与B的最短距离必然在直线沙=c的垂线上，点4与点8关于g=0 y /y=x对称，J/不妨设，则 71(lnN,l),7g(x)=i
41、n(x)A B2=2(x Inrr)2 殳 无(/)=x-In/,t ix)=1-；=&上,_ _ _ 广当 0,0rr l 0 ,当卜(%)取最小值时，即是AB?取得最小值，AB?的最小值为2XF=2；故选：D3.设 直 线1=力与函数/(%)=2,gGr)=1IIT的图像分别交于点Af,N,则|MN|的最小值为(A.+ln2 B.31n2 1 C.1 D.。【答案】A【解析】列出|MN|的表达式，利用导数方法，分析其单调性求最小值即可.【详解】由题意 M(t,2t2),7V(t,lnt),所以 MN=|22 In也令九(。=2t2 InZ,则 h!(t)=4 t ,当0 V V 时,“V
42、0,当t 1时,hr(t)0,所以九小=无居)=g+】n2,MN的最小值为十+ln2,故选：A.4.已知函数/()=Inc+1,g(N)=2cL 2,若/(馆)=g(n)成 立，则m n的最小值是A.+ln2 B.e-2 C.In2 D./e【答案】A【解析】分析：设/(馆)=g(7 1)=九则0,把7 7 m 用t表示，然后令二7八一九，由导数求得九的最小值.详解:设/(m)=g(n)=力，则 力 0,m =e T,7 1 =ln-1-+,=I nf ln2 +1,：.m -n =et-1 n t+ln2 /,令拉(土)=-1 I nt+ln2 十,则拉(。=e T 淤 =e 7 +W 0,
43、拉 是(0,+o o)上的增函数，又/i =0,当 土 W(0,1)时，九 (右)V 0,当 力 E (1,4-0 0)时，h/(t)0,即可)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，1)是极小值也是最小值，11h(l)=1+1 2,：.m n 的最小值是 y +ln2.故选A.点睛：本题易错选6,利用导数法求函数的最值，解题时学生可能不会将其中求b-a的最小值问题，通过构造新函数，转化为求函数”t)的最小值问题，另外通过二次求导，确定函数的单调区间也很容易出错.5 .设。=J(c a)2+(hKE 亨丫+亨+L(a C R),则。的 最 小 值 为()A.乎 B.1 C.V2 D.
44、2【答案】C【解析】由题可得：设/(z)=lna:,g(H)=所以 为g(x)上任意一点到f(x)上任一点及抛物线焦点的距离之和，所 以 距 离 表 达 式 为+(I na;-I ,令无()=+(ln j；-1)2?=2力+皿；-,显然在0,1 递减，1,+8)递增所以拉Q)min=/2(1)=2,故(I nc 1)2最小值为点睛：本题的解题关键是要将题意转化为抛物线上的点到hi力上的点距离与焦点的距离之和，然后借助导数求最值即可解决问题，此题较难6 .已知直线y=a分别与直线沙=2%-2和 曲 线g=2 cr+x相 交 于 点A,6,则 线 段 力B长度的最小值为()A.J(3 +h】2)B
45、.3-ln2 C.2 e-l D.3【答案】A【解析】根据题意设两交点分别为4(如a),3(6 2,Q),可得，X i=H-ex 2-l-yx-2,长度AB=xi x2 =卜+十 一4臼，考查函数g(c)=H-ex-1-x求最值即可得解.【详解】已知直线g=a与直线0 =2 o-2,曲线夕=2 e，+z分别交点A,B,设 A(xta),B(x2ic b),则有 2 1 2 =2 ex 2+x2,变形可得为=/(2 +2 e城+电)=1 +e谑+9,又由 AB=山一啊1=|1+铲+y s2-x2|=|1 +eX 2 1 4设g(c)=1 +eI-ya;)g(x)=ex-j,则当 x in-y 时
46、,g(x)h i y时，4 0,函数g(r r)在(in/,+8)为增函教，则 g(c)=1 +e”-会 有最小值g(lng),且5(lny)=l+y-y l n -=+Jn2 0,则|A B|,3,n 2,即线段A B长度的最小值是3书I%故选：A.7 .已知函数/(工)=e-,g(x)=ln与+1,对任意 x,G R,存 在g C(0,+8),使得/(0)=g(j；2),则 x2 xx的最小值为()A.1 B.V2 C.V3 D.2【答案】D【解析】设t=晋 换 元，问题转化为对任意t j W R,存在右(0,+8),使得FQ 1)=G(t2),则1 2 T l的最小值，利用加益的关系把友
47、一质转化为一元函数，然后求最小值.【详解】设t =，设F(t)=ef,G(t)=l n +1,=号 =号,对任意力 R,存在 t2(0,+)，使得 F(t J=G(t2),即 e =l n t?+1,t2ecl,所以2一 l=e e T I,ttG R,令h(x)=首j-X,”3)=e靖 T-eJ-l =e x-1,易知*(4)=e”+/-1 是增函数,p(0)=0,c V O 时,(p(x)0,hx)0 时，(p(x)0,h!(x)0,h(x)递增，所以2=0时,h(x)min=h(O)=1,所以力2一 i的最小值是,x2 X =2(右一切 的最小值是2.故选：D.【点睛】本题考查用导数求最
48、值，解题关键是化二元函数为一元函数,题中解法是换元后直接利用歹(幻=G(22)把来用力表示，然后转化为一元函数，另外也可以设/3)=g(%2)=(0),把孙皿都用力表示，化为力的一元函数，然后由导数得最小值.8.已知 曲 线C:y=&上 一 点4(孙幼)，曲 线C2:y 1 +l n(r c m)(m 0)上一点，当 幼=仇 时，对 任 意 为,g，都 有|4B|二 e恒 成 立,则m的最小值为()A.1 B.Ve C.e 1 D.e +1【答案】C【解析】根据题中条件，得 到 铲=1+l n(x2 m),6 2 为 e,推出0 V 1+l n(x2 m)m+;证 明n x x 1,得到1+l
49、 n(a；2 m)2小，推出力2 的一分离参数得7n，力?一 的 一 ,构造函数求出出一小厂的最大值，即可得出结果.【详解】因为当幼=幼时，对于任意刈，/2都 有|4B|e恒成立，所以有：e *=1+l n(x2 m),g e,0 1+l n(x2 m)0,则g(t)单调递增;当 (l,+o o)时，g，(x)V 0,则g(x)单调递减；因此g(z)&g =0,即In 力一1显然恒成立；因为 g m,:,所以 In(g m)t n 1,即 1+l n(x2 m)&g m;为使1+l n(a;2 m)恒成立，只需力?一厂。恒成立；即?ng 一 工 厂。恒成立；令/(c)=x-e，-。,则/x)=
50、1-ex-c,由/(1)0解得6 V e;由/(力)e;所以/(z)在(o o,e)上单调递增;在(e,4-c o)上单调递减；所以/(力)3乂 =/(6)=1；1,因此m的最小值为e 1.故选:A【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于将问题转化为不等式0 V I+l n(n 2 一巾)恒 成 立 求 参 数 范围的问题，根据Im r&i -l,只需电一m W e r,分离参数后，即可根据导数的方法求解.9.已知函数/(/)=D gx)=y +In多 若/(m)=g(n)成 立，则n -m的最小值为()A.1 4-ln2 B.In2 C.21n2 D.In2-1【答案】D【解析】令=/(m)=