《2023届高考数学专项练习导数解密通关技能篇专题16 导数中有关x与exlnx的组合函数问题(解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023届高考数学专项练习导数解密通关技能篇专题16 导数中有关x与exlnx的组合函数问题(解析版).pdf（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023 届高考数学专项练习导数解密通关技能篇届高考数学专项练习导数解密通关技能篇专题专题 16导数中有关导数中有关 x与与 ex，lnx 的组合函数问题的组合函数问题在函数的综合问题中，常以 x 与 ex，lnx 组合的函数为基础来命题，将基本初等函数的概念、图象与性质糅合在一起，发挥导数的工具作用，应用导数研究函数性质、证明相关不等式(或比较大小)、求参数的取值范围(或最值).着眼于知识点的巧妙组合，注重对函数与方程、转化与化归、分类讨论和数形结合等思想的灵活运用，突出对数学思维能力和数学核心素养的考查六大经典超越函数的图象六大经典超越函数的图象函数f(x)xexf(x)exxf(x)xe
2、x图象函数f(x)xlnxf(x)lnxxf(x)xlnx图象考点一考点一x 与与 lnx 的组合函数问题的组合函数问题(1)熟悉函数 f(x)h(x)lnx(h(x)ax2bxc(a，b 不能同时为 0)的图象特征，做到对图(1)(2)中两个特殊函数的图象“有形可寻”(2)熟悉函数 f(x)ln xh(x)(h(x)ax2bxc(a，b 不能同时为 0)，h(x)0)的图象特征，做到对图(3)(4)中两个特殊函数的图象“有形可寻”【例题选讲例题选讲】例例 1设函数 f(x)xlnxax22ax(aR)(1)若函数 f(x)有两个不同的极值点，求实数 a 的取值范围；(2)若 a2，kN，g(
3、x)22xx2，且当 x2 时不等式 k(x2)g(x)f(x)恒成立，试求 k 的最大值【对点训练对点训练】1若 aln 22，bln 33，cln 66，则()AabcBcbaCcabDbab0，abba，有如下四个结论：(1)be；(3)存在 a，b 满足 abe2，则正确结论的序号是()A(1)(3)B(2)(3)C(1)(4)D(2)(4)3设 x，y，z 为正数，且 2x3y5z，则()A2x3y5zB5z2x3yC3y5z2xD3y2x5z4下列四个命题：ln 5e；1124 2其中真命题的个数是()A1B2C3D45已知函数 f(x)kx2ln x，若 f(x)0 在函数定义域
4、内恒成立，则 k 的取值范围是()A1e，eB12e，1eC，12eD12e，6已知 0 x1x2ln x2x1Bln x1x2x1ln x2Dx2ln x10 时，f(x)0)(1)若函数 f(x)有零点，求实数 a 的取值范围；(2)证明：当 a2e时，lnxaxex0学科网（北京）股份有限公司专题专题 16导数中有关导数中有关 x 与与 ex，lnx 的组合函数问题的组合函数问题在函数的综合问题中，常以 x 与 ex，lnx 组合的函数为基础来命题，将基本初等函数的概念、图象与性质糅合在一起，发挥导数的工具作用，应用导数研究函数性质、证明相关不等式(或比较大小)、求参数的取值范围(或最值
5、).着眼于知识点的巧妙组合，注重对函数与方程、转化与化归、分类讨论和数形结合等思想的灵活运用，突出对数学思维能力和数学核心素养的考查六大经典超越函数的图象六大经典超越函数的图象函数f(x)xexf(x)exxf(x)xex图象函数f(x)xlnxf(x)lnxxf(x)xlnx图象考点一考点一x 与与 lnx 的组合函数问题的组合函数问题(1)熟悉函数 f(x)h(x)lnx(h(x)ax2bxc(a，b 不能同时为 0)的图象特征，做到对图(1)(2)中两个特殊函数的图象“有形可寻”(2)熟悉函数 f(x)ln xh(x)(h(x)ax2bxc(a，b 不能同时为 0)，h(x)0)的图象特
6、征，做到对图(3)(4)中两个特殊函数的图象“有形可寻”学科网（北京）股份有限公司【例题选讲】【例题选讲】例例 1设函数 f(x)xlnxax22ax(aR)(1)若函数 f(x)有两个不同的极值点，求实数 a 的取值范围；(2)若 a2，kN，g(x)22xx2，且当 x2 时不等式 k(x2)g(x)f(x)恒成立，试求 k 的最大值分析(1)将原问题转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合思想进行求解；(2)将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题进行求解解析(1)由题意知，函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln x1ax1ln xax，令 f(x)0，可得 aln xx，令 h
7、(x)ln xx(x0)，则由题可知直线 ya 与函数 h(x)的图象有两个不同的交点，h(x)1ln xx2，令 h(x)0，得 xe，可知 h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，h(x)maxh(e)1e，当 x0 时，h(x)，当 x时，h(x)0，故实数 a 的取值范围为0，1e(2)当 a2 时，f(x)xln xx22x，k(x2)g(x)f(x)，即 k(x2)22xx2xlnxx22x，整理得 k(x2)xlnxx，因为 x2，所以 kxln xxx2设 F(x)xln xxx2(x2)，则 F(x)x42ln x(x2)2令 m(x)x42ln x(x2)，则
8、 m(x)12x0，所以 m(x)在(2，)上单调递增，m(8)42ln 842ln e2440，m(10)62ln1062ln e3660，所以函数 m(x)在(8，10)上有唯一的零点 x0，即 x042ln x00，故当 2xx0时，m(x)0，即 F(x)0，当 xx0时，F(x)0，所以 F(x)minF(x0)x0ln x0 x0 x02x01x042x02x02，所以 kx02，因为 x0(8，10)，所以x02(4，5)，故 k 的最大值为 4点评1极值点问题通常可转化为零点问题，且需要检验零点两侧导函数值的符号是否相反，若已知极值点求参数的取值范围，一定要对结果进行验证解答任
9、意性(恒成立)、存在性(有解)问题时通常有分离学科网（北京）股份有限公司参变量、分拆函数等求解方法，可根据式子的结构特征，进行选择和调整，一般可转化为最值问题进行求解2对于有关 x 与 lnx 的组合函数为背景的试题，要求理解导数公式和导数的运算法则等基础知识，能够灵活利用导数研究函数的单调性，能够恰当地构造函数，并根据区间的不同进行分析、讨论，寻求合理的证明和解不等式的策略【对点训练对点训练】1若 aln 22，bln 33，cln 66，则()AabcBcbaCcabDbac1答案C解析设 f(x)ln xx，则 f(x)1ln xx2，所以 f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单
10、调递减，即有 f(6)f(4)f(3)，所以ln 66ln 44ln 22ln 33，故 cab0，abba，有如下四个结论：(1)be；(3)存在 a，b 满足 abe2，则正确结论的序号是()A(1)(3)B(2)(3)C(1)(4)D(2)(4)2答案C解析由 abba两边取对数得 bln aaln bln aaln bb对于 yln xx，由图象易知当 bee，be2，故(4)正确，(3)错误因此，选 C3设 x，y，z 为正数，且 2x3y5z，则()A2x3y5zB5z2x3yC3y5z2xD3y2x1)，两边取对数得 xlog2tln tln 2，ylog3tln tln 3，z
11、log5tln tln 5，从而 2x2ln 2ln t，3y3ln 3ln t，5z5ln 5ln t由 t1 知，要比较三者大小，只需比较2ln 2，3ln 3，5ln 5的大小又2ln 24ln 4，e34ln 44ln 55，从而3ln 34ln 45ln 5，3y2x5z，故选 D4下列四个命题：ln 5e；1124 2其中真命题的个数是()A1B2C3D44答案B解析构造函数 f(x)ln xx，则 f(x)1ln xx2，当 x(0，e)时，f(x)0，f(x)单调递增；当 x学科网（北京）股份有限公司(e，)时，f(x)0，f(x)单调递减ln 5 5ln 22ln 5 5ln
12、 2ln 55ln 22，又 2 5e2ln eln 12eln ee，又 e e，故正确 11211 11ln 2ln 112ln 11ln 22ln 44 11e，故正确3eln 24 2322eln 223223232ln 22ln ee，显然错误因此选 B5已知函数 f(x)kx2ln x，若 f(x)0 在函数定义域内恒成立，则 k 的取值范围是()A1e，eB12e，1eC，12eD12e，5答案D解析由题意得 f(x)0 在函数定义域内恒成立，即 kx2ln x0 在函数定义域内恒成立，即kln xx2在函数定义域内恒成立，设 g(x)ln xx2，则 g(x)x2xln xx4
13、x(12ln x)x4，当 x(0，e)时，g(x)0，函数 g(x)单调递增；当 x(e，)时，g(x)0，函数 g(x)单调递减，所以当 x e时，函数 g(x)取得最大值，此时最大值为 g(e)12e，所以实数 k 的取值范围是12e，故选 D6已知 0 x1x2ln x2x1Bln x1x2x1ln x2Dx2ln x10，得 x1e，所以函数 f(x)在1e，上单调递增；由 f(x)0，得 0 x0，得 0 xe，即函数 g(x)在(0，e)上单调递增，故函数 g(x)在(0，1)上单调递增，所以 g(x1)g(x2)，即ln x1x1ln x2x2，所以 x2ln x10，所以 a
14、ln xx2令 g(x)ln xx2，则 g(x)12ln xx3令 g(x)0，得 0 x e，令 g(x)e学科网（北京）股份有限公司所以当 0 x e时，g(x)单调递减所以当 x e时，g(x)取得最大值 g(e)12e，所以 a12e，即 a 的取值范围是12e，(2)设 yf(x)的图象与直线 ya 相切于点(t，a)，依题意可得f(t)a，f(t)0.因为 f(x)a1ln xx2，所以atln tta，a1ln tt20，消去 a 可得 t1(2t1)ln t0(*)令 h(t)t1(2t1)ln t，则 h(t)1t2ln t1，易知 h(t)在(0，)上单调递减，且 h(1
15、)0，所以当 0t0，h(t)单调递增，当 t1 时，h(t)0)当 a0 时，f(x)0，此时函数在(0，)上单调递增；当 a0 时，令 f(x)3x3ax0，得 x3a3，当 x0，3a3 时，f(x)0，此时函数 f(x)在3a3，上单调递增(2)由题意知：ax3ln x在区间(1，e上有两个不同实数解，学科网（北京）股份有限公司即直线 ya 与函数 g(x)x3ln x的图象在区间(1，e上有两个不同的交点，因为 g(x)x2(3ln x1)(ln x)2，令 g(x)0，得 x3e，所以当 x(1，3e)时，g(x)0，函数在(3e，e上单调递增；则 g(x)ming(3e)3e，而
16、 g(e127)e19ln e12727e1927，且 g(e)e327所以要使直线 ya 与函数 g(x)x3ln x的图象在区间(1，e上有两个不同的交点，则 3e0 时，f(x)0 时，f(x)0，即 2aln x1x在 x0 时恒成立令 g(x)ln x1x(x0)，则 g(x)ln xx2，易知 g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，则 g(x)maxg(1)1，所以 2a1，即 a12故实数 a 的取值范围是12，(2)证明若 ae，要证 f(x)xex1e，只需证 exln xex1ex，即 exex0)，则 h(x)ex1ex2，易知 h(x)在0，1e 上单调
17、递减，在1e，上单调递增，则 h(x)minh1e 0，所以 ln x1ex0再令(x)exex，则(x)eex，易知(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，则(x)max(1)0，所以 exex0因为 h(x)与(x)不同时为 0，所以 exexexex(x0)(分离 ln x 与 ex)，学科网（北京）股份有限公司便于探求构造的函数h(x)ln x1ex和(x)exex的单调性，分别求出h(x)的最小值与(x)的最大值，借助“中间媒介”证明不等式【对点训练】【对点训练】1已知函数 f(x)lnxax(a0)(1)若函数 f(x)有零点，求实数 a 的取值范围；(2)证明：当 a
18、2e时，lnxaxex01解析(1)由题意可知，函数 f(x)的定义域为(0，)由 f(x)ln xax0 有解，得 axlnx 有解，令 g(x)xln x，则 g(x)(ln x1)当 x0，1e 时，g(x)0，当 x1e，时，g(x)0，a0，00，即证 ln xaxex，x0，即证 xln xaxex，即证(xln xa)min(xex)max令 h(x)xln xa，则 h(x)ln x1当 0 x1e时，f(x)1e时，f(x)0函数 h(x)在0，1e 上单调递减，在1e，上单调递增，h(x)minh1e 1ea，故当 a2e时，h(x)1ea1e令(x)xex，则(x)exxexex(1x)当 0 x0；当 x1 时，(x)0 时，(x)1e显然，不等式中的等号不能同时成立，故当 a2e时，ln xaxex0