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1、目录第一章函数与极限.1第二节数列的极限.1第三节函数的极限.1第四节无穷小与无穷大.2第五节极限运算法则.2第六节极限存在准则两个重要极限.3第七节无穷小的比较.4第八节函数的连续性与间断点.4第九节连续函数的运算与初等函数的连续性.5第十节闭区间上连续函数的性质.5第二章导数与积分.6第一节导数概念.6第二节函数求导法则.7第三节高阶导数.8第四节隐函数及由参数方程所决定的函数的导数相关变化率.8第五节函数的微分.9第三章微分中值定理与导数的应用.9第一节微分中值定理.9第二节罗必达法则.10第三节泰勒公式.11第四节函数的单调性与曲线的凹凸性.12第五节函数的极值与最大值和最小值.13第
2、七节曲率.13第四章不定积分.14第一节不定积分的概念和性质.14第二节换元积分法.15第三节分部积分法.16第四节有理函数的积分.16第五章定积分.17第一节定积分的概念与性质.17第二节微积分基本公式.18第三节定积分的换元法和分部积分法.19第四节反常积分.19第六章定积分的应用.20第二节定积分在几何学上的应用.20第三节定积分在物理学上的应用.21第七章微分方程.22第一节微分方程的基本概念.22第二节可分离变量的微分方程.22第三节齐次方程.22第四节一阶线性微分方程.23第五节可降阶的高阶微分方程.23第六节高阶线性微分方程.23第七节常系数齐次线性微分方程.24第八节常系数非齐
3、次线性微分方程.25第九章多元函数微分法及其应用.25第一节多元函数的基本概念.25第二节偏导数.26第三节全微分.27第四节多元复合函数的求导法则.27第五节隐函数的求导法则.28第八节多元函数的极值及其求法.29第十章重积分.30第一节二重积分的概念与性质.30第二节二重积分的计算法.31第四节重积分的应用.32第一章行列式.33第一节二阶与三阶行列式.33第三节N阶行列式的定义.33第五节行列式的性质.33第六节 行列式按行（列）展开.34第七节克拉默法则.35第二章矩阵及其运算.36第一节 矩 阵.36第二节矩阵的运算.36第三节逆矩阵.38第四节矩阵分块法.38第三章矩阵的初等变换与
4、线性方程组.39第一节矩阵的初等变换.39第二节矩阵的秩.40第三节线性方程组的解.41第四章向量组的线性相关性.41第一节向量组及其线性组合.41第二节向量组的线性相关性.42第三节向量组的秩.42第四节线性方程组解的结构.43第五节向量空间.43第五章相似矩阵及二次型.44第一节向量的内积、长度及正交性.44第二节方阵的特征值与特征向量.45第三节相似矩阵.45第四节对称矩阵的对角化.46第五节二次型及其标准形.46第七节正定二次型.47常用公式.49-1 7夕.52第一章函数与极限第二节数列的极限数列的极限：设 X,为 数 列，如果存在常数a,对于任意给定的正数e （不论它多么小），总存
5、在正数 N,使得当”N时，不等式瓦-司 c o）。X T 8引入记号“V”表示“对于任意给定的”或“对于每 个“，记 号 表 示“存在”。收敛数列的性质：1 （极限的唯一性）如果数列 匕 收敛，那么他的极限唯一。2 （收敛数列的有界性）如果数列*“收敛，那么数列%一定有界。但有界函数却不一定收敛。3（收敛数列的保号性）如果l i m x“=a，且a 0 （或a 0,当 N时，都有x“0（或 乙 0）。推论：如果数列/从某项起有兑4 0 （或9K O）,K l i m xn=a,那么。2 0 （或。40。4 （收敛数列与其子数列间的关系）如果数列 怎 收敛于a,那么它的任一子数列也收敛，且极限也
6、是如果数列“有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列%是发散的。定律：（1）如果l i m%=a,则=。X T8 X T8（2）如果数列 氏|有极限，但数列 x“不一定有极限。第三节函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限：设函数/（x）在点天的某一去心邻域内有定义。如果存在常数A,对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数6,使得当x 满足不等式0 卜-司 6时;对应的函数值满足不等式|/（x）-A|与（当 X f X。）。左极限：X从X。的左侧趋于/（记作x -汇）。右极限：X从X。的右侧趋于X。（记作x-x（/）。X f X。时/（X）有没有极限，与/（X）在点X。是否有定义并无关系。函
7、数/（X）当X f X。时极限存在的充分必要条件是左极限有极限各自存在并且相等，即/（x-）=/（x*）O自变量趋于无穷大时函数的极限：设/（X）当国大于某一正数时有定义。如果存在常数A,对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在着正数X,使得当X 满足不等式|/*）_川 8 )。X-X：函数极限的性质：1 (函数极限的唯 性)如 果 l i m/*)存在，那么这极限唯一。2(函数极限的局部有界性)如果l i m f(x)=A,那么存在常数M0和S0,使得当X TN)有|/(x)归 M。3 (函数极限的局部保号性)如果l i m x)=4,B.A0(或 A0,使得当X T为0 0 (或/(x)
8、0 (或x)冏。第四节无穷小与无穷大无穷小：如果函数/(X)当X fX。(或X-8)时的极限为零，那么称函数/(X)为当Xf X。(或XT 8)时的无穷小。定理：在自变量的同一变化过程x f%(或X-8)中，函数/(X)具有极值A 的充分必要条件是f(x)=A+a 其中a是无穷小。无穷大：设函数x)在点吃的某一去心邻域内有定义(或W 大于某一正数时有意义)。如果对于任意给定的正数M(不论它多么大)，总存在正数6 (或正数X),只要x 适合不等式0|x-x 0|X),对应的函数值/(x)总满足不等式|/(刈 何，那么称函数/(x)为当(或X f O O)时的无穷大。定理：在自变量的同一变化过程中
9、，如果/(x)为无穷大，则一 为无穷小：反之，如果/(x)为无穷f(x)小，且 x)#o,则一!一为无穷大。/(x)第五节极限运算法则1 有限个无穷小的和也是无穷小。2 有界函数与无穷小的乘积也是无穷小。推论：常数与无穷小的乘积是无穷小。有限个无穷小的乘积也是无穷小。3 l i m/(x)=A l i m (x)=S ,那么(1 )l i m /(x)g(x)=l i m /(x)l i m (x)=A+B；2(2)l i m /(x)(x)=l i m f(x)-l i m (x)=A B；(3)若8wO,则1而 =则上。g(x)h m g(x)B推 论:如 果l i m/(x)存在，而 是
10、 整 数,则l i m /(x)=l i m/(x)/4 设有数列 x.和 ”。如果 l i m x“=A,l i m)，“=B ,那么 l i m(x“y“)=A8 l i m x“y“=A.8 当“T8 /|-0 O H TO C -8v Ay 0 0(=1,2)且 3 w O 时，=-o”T 8 y“B5 如果夕(x)N 0(x),而l i m*(尢)=i m，(x)=b ,那么 aNb。若 f(x)=aQxH+q x T+“，贝lj l i m f (x)=/(x0)o贝lj l i m F(x)=l i mXT/X-X0若。()工0P(x)=变 P );p(x.)Q(x)l i m。
11、)0(%)+%=bQxn+bxxn+8,当机 n,当帆=n为。,当 7 0,当X EUD 时,有g(x)w/,则X T%X-X0l i m /(x)=l i m /()=A-I f。X T X()第六节极限存在准则两个重要极限数列夹逼准则：如果数列 x,，y j及 z,J满足下列条件：(1)从某项起，即加 e N,当”/时，有(2)l i m y,=a,l i m z“=a,那么数列 x“的极限存在，且l i m x“=。X T 8 X T 8 1 X T 8函数夹逼准则：如果(1)当x e U(X o，r)(或|x|)0寸，g(x)f(x)N时，就有两个重要极限：l i ms11 1 x=1
12、,l i m f 1 +1 =l i m(l +x)；=e。1 0 X X)XT3第七节无穷小的比较两个无穷小之间的比较：如果lim2=0,就说尸是比a 高阶的无穷小，记作夕=o(a)；a如果lim2=8,就说 是比a 低阶的无穷小；a如果lim2=c w 0,就说夕与。是同阶无穷小；a如果lim a =c 0，就说 是关于a 的k 阶无穷小；a如果lim2=l,就说是。的等价无穷小，记作a尸。a定理：。与a 是等价无穷小的充分必要条件为p=a+o(a)。定理：设aa/、且lim邑存在，则lim 2=iim.。a a a常用等价无穷小(当尢 0时)：以下所有的x 都可以替换为/(x)：sinx
13、x tan x x arcsin x x arctan x-x 1 -cosx x2 ax a2log”(1+x)ln(l+x)x(1+J3x)a apx+x-1-f d t V(0)第八节函数的连续性与间断点函数的增量：Ay=/(x0+A x)-/(x0)函数的连续性：设函数)=/(冗)在点天的某一邻域内有定义，如果 9)，=)/(%+-)-X0)=0或 lim/(戈)=/国)，那么函数y=/在 点/连续。左连续：如果xli/(x)=/(x。)存在且等于/(%),即/(4)=X。)，就说函数再点X。左连续。右连续：如 果 1 皿到=)存在且等于/(X。)，即/(%*)=X。)，就说函数再点X
14、。右连续。X T X。区间上的连续函数：在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续。函数的间断点：如果函数“X)有下列三种情形之一：(1)在x=x。没有定义；(2)虽在x=x0有定义,但 limx)不存在;(3)虽在x=x()定义，且存在,但lim/(x)#/(%),则函数/(x)在点/为不连续，而点X。称为函数/(X)的不连续点或间断点。4第一类间断点：.如果X。是函数/(X)的间断点，但左极限和右极限都存在，那么称X。为函数的第一列间断点。左右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点。第二类间断点：左右极限有个不存在，或两个都不存在。无穷间断点和
15、跳跃间断点。注意：间断点为x =第九节连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的和、差、积、商的连续性：设函数“X)和 g(x)在点X。连续，则 它 们 的 和(差)f+g.积广 g及 商 工(当 时)都 在 点 X。连续。g反函数的连续性：如果函数y =x)在区间/,上单调增加(或单调减少)且连续，那么他的反函数x =_ T(y)也在时应的区间/产田)，=上 单 调 增 加(或 单 调 减 少)且连续。复合函数的连续性：设函数y =/g(x)由函数 =g(x)与函数)，=)复合而成，U(x 0)u q”。若l i m g(x)=i z0,而 函 数 y =/()在 u =un 连 续，则 l
16、 i m/(x)=l i m/(w)=/(0)或(%)=/吧 g(x),其 中 变 g(x)=。，J 呼/()=/(斯)。复合函数的连续性：设函数y =/g(x)由函数 =g(x)与函数y =)复合而成，)(x0)c Dpg 若函数=g(x)在x =x 0 连续，且 g(x()=o，而函数)，=/(“)在 =0 连续，则复合函数y =/g(x)在x =x 0也连续。定理：一切初等函数在其定义区间都是连续的。定律：对于形如“(X 严(x)O,“(x)r l)的函数(通常称为第指数函数)，如 果 l i m“(x)=a0,l i m v(j)=b,那么 l i m u(x)=a。第 十 节 闭区间
17、上连续函数的性质在闭区间上连续：如 果 函 数 在 开 区 间(/)内连续，在右端点b左连续，在左端点a右连续，那么 函 数 就 是 在 闭 区 间 a,句上连续的。有界性与最大值最小值定理：在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值。零点定理：设函数”x)在闭区间a,3上连续，且与/伍)异号(即那么在开区5间(“力)内至少有一点S，使/(。)=0。介值定理：设函数“X)在闭区间团可上连续，且在这区间的端点取不同的函数值a)=A 及f=B,那么,对于A 与B之间的任意一个数C,在开区间(“内至少有一点。，使 得/=C 。推论：在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M 与最小
18、值相之间的任何值。求 y =/(x)的渐近线的方法：(1)垂直渐近线：x=a 是垂直渐近线 lim/(x)=oo或o lim/,(x)=8。X T。”,V(2)水平渐近线：x-+oo(-8)时 y =f c r+/；(%h 0)是斜渐近线 o J im=k 片 0,lim /(x)-f c vj=b(2)若 x)是连续的周期函数，周期为了，则 x)4 x=x)d x,T f d x =nf(x)dx,即在任何长度为7的区间上的积分值是相等的。(3)/(/以 T为周期的充要条件是f/(z/f=O。(4)设连续函数/(x)以 7为周期，则“X)的全体原函数以丁为周期的充要条件是j 3/=0。在卜
19、为奇函数，当 X)为偶函数时6 在上”,可为偶函数，当f(x)为奇函数时。(7)假定x)在-a,可为连续函数，则当x)为奇函数时，x)在-a,句的全体原函数均为偶函数;当x)为偶函数时，X)在-a,a 只有唯一原函数为奇函数。第二章导数与积分第一节导数概念导数的定义：设函数y =/(x)在点的某个邻域内有定义，当自变量x 在入处取得增量Ar(点/+A x仍在该邻域内)时，相应的函数取得增量Ay =/5+以)-/(%)；如果)，与以之比当心f0 时的极限存在，则称函数y =/(x)在点X。处可导，并称这个极限为函数y =/(x)在点/处的导数，记 为:(%),即/，(x0)=lim 电=5/。+
20、故上小。)=1伉+止=也可记作 y，J ,生 或。以 Ar X h f x-x。1 dx *=风H(x)|dx6导函数定义式：y =鬲七一/或尸(x)=X当二X)。显然,函数“X)在点X。处的导数广(X。)就是导函数;(X)在点X =X0处的函数值，即1()=(X)二。函数“X)在点X。处可导的充分必要条件是左导数(+(X。)和 右 导 数(X。)都存在并相等。如果函数“X)在开区间S M 内可导，且 厂(0)及厂伍)都存在，就说“X)在闭区间 a上可导。导数的几何意义：函数”X)在点为处的导数尸(X。)在几何上表示曲线y=/(x)在点M(xJ(x。)处的切线的斜率，即/(x0)=t a n
21、a,其中a 是切线的顷角(切线和x 轴正方向的夹角)。切线方程：曲线y=/(x)在点M 5,%)处的切线方程为y-y0=/(x0)(x-x0)。法线方程：曲线y=f(x)在点M(%,%)处的法线方程为y-%=-，(x-x。)。定律：函数“X)在点x 处可导，则函数在该点必连续；反之，个函数在某点连续却不一定在该点可定律：(1)设“X)在/上可导，若“X)在/上为奇函数n/(x)在/上为偶函数；若“X)在/上为偶函数n/。)在/上为奇函数。(2)设/(X)在 X 上可导，以 T 为周期n r(x)在 X 上也以T 为周期。(3)设 g(x)在 x=a 可导，Q(x)在 x=a 连续而不可导,则尸
22、(x)=g(x)(x)(F(x)=g，(x)(x)+g(x)”(x)在 X =4 处,不可导 若g(“)#0可导且导数为g (a)S(a)若g(a)=O(4)/(x)=|g(x)|,则先考察g(x)=O的点，这些点可能是不可导点，再考察这些点中屋(x)xO 的点,这些点一定是不可导点。第二节函数求导法则函数的和、差、积、商的求导法则：设“=“(x),v=v(x)都可导，则uvy=uv(Cu)=Cu(uv)=uv+uvU V-UV反函数的求导法则：设 x=y)在区间/,内单调、可导且广()，)H 0,则它的反函数y=,尸(x)在7/*=/(/,)内也可导，且广,(x)=前 或 关=2。反函数的导
23、数等于直接函数导数的倒数。dy复合函数求导法则：设y =“)，而“=g(x)且“)及g(x)都可导，则复合函数y =/g(x)的导数为 或y (x)=r(x)ax du ax常用初等函数导数公式：(c)=o(x)，=X，T(s i n x)r=co s x(co s x)r=-s i n x(t a n x)f=s ec2x(co t x)z=-cs c2x(s ecx)r=s ecxt a n x(cs cx)=-cs cxco t x(废)=优 I n a(ex)=ex(lo g.x)=.x lna(ln x)，=：(1巾|)=:(a r cs i n 犬)，=/1V l-x2(a r c
24、co s x Y =/1 7i-x2/1(a r ct a n x)=-z v 1(a r c co t x)=-可第三节高阶导数二阶导数：函数y =/(x)的导数)，=尸(x)仍然是x的导数。把了=f(x)的导数叫做函数y =/(x)的二阶导数，记作y 或 S，即)，=()，)或&=色(电。阶导数dx-dx dx dx)dx常用高阶导数：s i n (a%+/?)*=a s i n (a x+/+)co s(a x+Z?)1*=a cos ax +b+n-(x)=2)(/)(a x+，7)=“/?(/?_ 1)+)(a x+6)”i n (1 +x)(-1)!(1 +x)ln(a x+6)丁
25、=(-i f a (n-1)!-ax +b)Q+/J =(a x+“莱布尼茨公式：(=c：g)”)k=0(土廿)二项式定理：(a+6)(eN)k=0第四节隐函数及由参数方程所决定的函数的导数相关变化率8隐函数的求导方法：方程两边分别对x求导，并注意y =y(x)。幕指函数的求导方法：对 于 般 形 式 的 幕 指 函 数y =则可以对方程两边取对数，即ny=v I n w ,然后再求导 =vIln +v-;或将函数关系式表示为y =。y由参数方程所决定的函数的导数：若 参 数 方 程 确 定y与x之间的关系，则?=%=卜=。(，)dx /力一力一电力第五节函数的微分微分：设函数y =/(x)在
26、某区间内有定义，/及Xo +A x在这区间内，如果增量A y =/(Xo +A x)-/(Xo)可表示为A y MA x+o l),其中A是不依赖于A x的常数，那么称函数y =x)在点X。是可微的，而4叫做函数y =x)在点/相应于自变增量A x的微分，记作4 y,即dy =4A x。函数x)在点内可微的充分必要条件是函数在点X。可导。函数的微分：函数y =x)在任意点x的微分，称为函数的微分，记作dy或(x),即d)，=(x)。自变量的微分：自变量x的增量A x称为自变量的微分，记作d x,即4x=A x。于是函数y =x)的微分又可记作dy=f，(x)dx。从而有虫=/(x0),那 么/
27、(%)=0。驻点：导数等于霎的点为函数的驻点(驻点为冗=%)。9罗而定理：如果函数“X）满 足（1）在闭区间”力上连续（2）在开区间（内 可 导（3）在区间断点处的函数值相等，B|J/（）=/（/）,那么在（内至少有一点九 4 小 使得尸=0。拉格朗日中值定理：如果函数x）满 足（1）在闭区间 a,0 上连续（2）在开区间（a/）内可导，那么在（a 内 至 少 有 一 点 夕 使 等 式/（）-/（“）=r（/他-a）成立。几何意义：如果连续曲线y =x）的弧4 B 上除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，那么这弧上至少有一点C,使曲线在C点处的切线平行于弦AB.定理：如果函数“X）在区间/上的
28、导数恒为零，那么/（X）在区间/上是一个常数。柯西中值定理：如果函数“X）及 F（x）满 足（1）在闭区间 a,可上连续（2）在开区间（a 内可导（3）对于任一x e（a,b）,叫 x）x0,那么在（a 内 至 少 有 一 点 J ）使得/同（。）=0。（2）设/（x）在 a,“连续，在阶可导,/（x）在（a,b）无 零 点,则 f（x）在（a,b）至多有个不同的根。第 二 节 罗必达法则未定式：如果当x f a （或 x f o o）时，两个函数“X）与尸（x）都趋于零或趋于无穷大，即9或 方，0 o o那么极限l i m 4 a 可能存在，也可能不存在。通常把这种极限叫做未定式。尸（X）罗
29、必达法则I：设（1）当Xfa时，函数“X）及尸（X）都趋于零或都趋于无穷（2）在 点a的某去心邻域内，尸（x）及尸（x）都存在，且 F（x）x O （3）l i m 共 存 在（或为无穷大），那么 向4 驾=1 即 其。罗必达法则H：设（1）当x-8时，函数/（X）及 F（x）都趋于零或都趋于无穷（2）当时|x|N 时，:（x）及尸（x）都存在，且 F（x）#O（3）lim4 4 存 在（或为无穷大），那么l i m 型=1 而安。）-F（x）1 8 尸（力 3 8 尸（力10注意：如果不是未定式，就不能用罗必达法则。当l i m坐 存 在 或 为 无 穷 大 时，1加44也存在或为尸(x)尸
30、卜)无穷大，且等于U m?；但反之iimg&不存在时，1加42可能存在。F(x)k(x)尸(x)对于y =“的形式，y =e v,则l i m y =/向g=/。第三节泰勒公式泰勒中值定理：如果函数/(X)在含有吃的某个开区间(a力)内具有直到(+1)阶的导数，则对任意x e(a,b),有/(x)=/(x o)+-(x o)(x-x 0)+/个)(x _ x j+R,(x)(*)/(x)=p“(x)+R.(x)P”(x)=/(%)+.伉)(x 丁)+/!；)(x x /+/(：)(x -%)”Z!n!()-而 可()这里J是X。与X之间的某个值。其中(X)称为函数“X)按(X-X。)的幕展开的
31、n阶泰勒多项式，(*)式称为/(x)按(X-%)的某展开的带有拉格朗日型余项的“阶泰勒公式,(、)=琶辟(x -X。)称为拉格朗日余项。/(x)=/(x o)+尸(x)(x _ x o)+/J*-/,+、，”./。关。)”上式为x)按(x-x 0)的塞展开的带佩亚诺型余项的阶泰勒公式，R“(x)=o (x-x j 称为佩亚诺余项。迈克劳林 公 式(在泰勒公式中，取%=0):，(x)=0)+广(0)+/+x+R”(x)令“外(0，1),得到带有拉格朗口型余项的迈克劳林公式：小)=0)+/x+粤U-4山严(n+l)!(0 1)带有佩亚诺余项的迈克劳林公式:11小)=/(0)+/(0+1.+岩 纥+
32、心”)常用泰勒公式:=l+x+7?/2!n凡=行 再 一 、-8，+8）R”(x)=o(x)(xf。)_ 丫3 5 2 1 si nx=X-+-i-(-l Y -r +R，3!5!V 7(2 n-l)!2 n(x)=(T)(；：；)产田,x e(-co,+o o)R2I I(X)=o(一)(x-0)co sx=1 -#+*-+(-1)”亩 +R2n+(x)&玲(x)=(T)(；震)!x2 2 ,x(-8,+8)田(x)=。(一)(x-0)l n(l +x)=x-|x2+1?(-i f x+/?(x)R,(x)=(“+j；，.)田 X，,x e(-1,1 (l +x)“=l +ax+以沪Y+也土
33、产回x”+R,(x)K(%)=a(a-l)!+l)(a-)(+外 尸-x+,x 6(f i)无穷小阶的运算：(1)o(九-a)+o(x-a)=o(x-a)(n a)(2)0(戈-4).0(工-4)=0(工-4)(x-6f)(3)(X-Q)o(x-Q)1 =o(x-a)(x a)(4)/(不)0(不一)=。(1一4),其中/(x)在0卜 一4 (x)d x=F(x)+C p F(x)=F(x)+C记号J与 d连在一起时，或者抵消，或者抵消后差一个常数。基本积分表：kdx=kx+C J x d x=-+C j =I n|x|+C14dx-7=arctan x+C1 +x2jsin xdx=-cos
34、 x+Cx tan xdx=sec x+Cjcscxcotxt/x=-cscx+CJcosxtZr=sinx+C/气=esc2 xdx=-c o t+CJsin2x Jexdx=ex+Caxdx F CJ najtan xdx=-ln|cos x+C jeot xdx=In|sin x|+Csec xdx=In|sec x+tan x|+Cjcsc xdc=In|csc x-cotx|+Cdx 1 x-=-arctan F Ca+x a af dx 1.H T=Inx2-a2 2ax-ax+a+Cdx X+Q T=In-+Ca-x 2a x-adx=In(x+ylx2+a2j+Cx2+a_ _
35、 2|Vx2+a2dx=j /x2+a2+In x+dx2+)+C dx _ x 2n-3 r dx(/+叫,=2(-巾(/+广 (-M J y+w y T不定积分的性质:j /(x)+g(x)d x=J x)d x+J g(x)d x J 7(x)d x+J g(x)d x =J/(x)d x +J g(x)d x =x)+g(x)第二节换元积分法第一类换元法：设“)具有原函数，=9(力可导，则有换元公式口 夕3 如)公=7()八“)对于积分f(ax+b)dx，总可作变换”=ax+/,把它化为fax+h)dx=(0A+/?)J(ax+/?)=J/对于sin2A+l xcosrt x或sin
36、xcos24+1 x型函数的积分，总可依次作变换w =cosx或w =sin(x),求得结果。对于 sin xcosx 型函数，总可利用三角恒等式：sin2x=-(l-cos2x),cos?x=g(l+cos2x)化成cos2x的多项式，然后求解。第二类换元法：设x=/)是单调的、可导的函数，并且”(/)工0。又 设/。(3=(/)具有原函数，15则有换元公式J 7(x)d x=祝川。，其中9(X)是工=夕的反函数。三角替换：(1)ja2-x2,则x =a si n f,-?2 2(2)/a2+x2 f 则 x =o ta n f,-t 2 2(3)lx2-a2 t 则x =a se c f,
37、0 /时，/(x)J x =O ;当时，/(x)i r =-/(x)t/x (x)g(x)拉=f x)d x士f g(x)d x(3)k f x)dx =k f x)dx(4)设a c，则 j/(x)d x =/(x)d x+f/(x)d x。(5)如果在区间 a,0上=1,则 f l d x=d x =b-a。(6)如果在区间 a,b 上/(x)2 0,则。(x)2 0。(7)如果在区间 a,可上，/(x)g(x),则，/(x)d x V f g(x)d x。(8)卜 f|/(x粒(6)设M及m分别是函数/(x)在区间 a,可上的最大值和最小值，则 z(b-a)K (/?-)，17即 f m
38、dx /x dx nW 为偶数12(6)f W/在卜。，可为奇函数，当/(x)为偶函数时(6 I 在的 为偶函数，削x)为奇函数时。(7)假定“X)在卜小可为连续函数，则当“X)为奇函数时，x)在 -a,3的全体原函数均为偶函数:当f(x)为偶函数时,“X)在卜a,a 只有唯一原函数为奇函数。第二节微积分基本公式定理：如果函数“X)在区间 a,可上连续，则积分上限函数(x)=山在 a,句上可导，并且它的导数。)=6 门。)&=/(*)叫。注意：定积分(x)是连续函数/(x)的一个原函数，而 不 定 积 分 是 的 任 意 一 个 原 函 数。定理：如果函数“X)在区间 a 回上连续，则函数(x
39、)=7(。力就是“X)在区间0可上的一个原函数。牛 顿-莱 布 尼 茨 公 式：如 果 函 数 尸(X)是 连 续 函 数“X)在 区 间 N 例 上 的 一 个 原 函 数，则18f(x)dx =F(b)-F(a)(这个公式也叫微分基本公式)。变 限积分的求导方法：可=/e(x)d(x)：；f(t)d f=/e(叫(力-7 夕(切”(力若尸(x)=1/()卜 则 尸(x)=f/(M第 三 节 定 积 分 的 换 元 法 和 分 部 积 分 法定积分的换元 法：假 设 函 数 x)在 区 间,可 上 连 续，函 数x=e(f)满 足 条 件(1)夕(a)=a,也Q=b(2)9(f)在 a,0(
40、或 2,a )上具有连续导数，且其 值 域(=。,可，则有/夕 犷 (定积分的换元公式)。应用换元公式时应 注 意：(1)用x=(f)把原 来 变 量x代 换 成 新 变 量f时，积分限也要换成相应于新变量t的 积 分 限(2)求 出/以。/。)的 一 一 个 原 函 数 后，不必像计算不定积分那样再把变换成原来 变 量x的函数，而 只 要 把 新 变 量f的上下限分别代入(f)中然后相减就行了。定积分的分部积分公式：u v dx =卜”：-，或f dv=j wv：-工v du。第 四 节 反 常 积 分无穷限的反常积分：(1)函 数/(X)在 无 穷 区 间 a,+0 0)上 的反常积分：设
41、 函 数“X)在 区 间 a,口)上 连 续，取0 a,如果极 限,1吧 x)d x存 在，则 称 此 极 限 为 函 数“X)在 无 穷 区 间 a,+8)上的反常积分，记 作 (x x,即f/(xpx=；l im p(x)-,这 时 也 称 反 常 积 分 (x)d x收敛；如果上述极限不存在，则 称 函 数“X)在无穷 区 间 a,+8)上的反常积分没有意义，习 惯 上 称 为 反 常 积 分 /(x)d x发散，这 时 记 号 一(X)公就不再表示数值了。(2)函 数/(x)在 无 穷 区 间(-8,0上 的反常积分：设 函 数f(x)在 区 间(-c o,可 上 连 续,取 如 果极
42、 限,1 f/(x)公 存 在，则 称 此 极 限 为 函 数“X)在 无 穷 区 间(-c o,可 上 的 反 常 积 分，记 作 工 x)d x,即f/(xpx=l im ,这 时 也 称 反 常 积 分1/(x)d x收 敛；如 果 上 述 极 限 不 存 在，则 称 反 常 积 分发 散。19(3)函数/(X)在无穷区间(-0 0,+0 0)上的反常积分：设函数“X)在区间(-8,+8)上连续，如果反常积分 /(x)d x和都收敛，则称上述两反常积分之和为函数/(X)在无穷区间(-8,内)上的反常积分，记作即 1/(x)dx =/(x)dx+/(x)dx =l im f x)dx+l
43、im ,这时也称反常积 分 匚/(x”x收敛，否则就称反常积分匚/(x)dx 发散。注意：当J im f/(x)dx 和 l im 之中有一个不存在时，：/(x)dx 发散。无界函数的反常积分：暇点：如果函数x)在点。的任意邻域内都无界，那么点a称为函数“X)的暇点。(1)函数x)在(。,以上的反常积分：设函数“X)在(a 例 上连续，点 a为/(x)的暇点。取f a,如果极限用存 在，则称此极限为函数x)在(a,以上的反常积分，仍然记 作，x)dx ,即f x)dx =,l f f x)dx。这时也称反常积分f x)dx 收敛，如果上述极限不存在，则称反常积分f/(x)dx发散。(2)函数x
44、)在，上的反常积分：设函数x)在 a,b)上连续，点。为x)的暇点。取一 f,如果极 限 曾 V(x),/x 存 在，则称此极限为函数 X)在 a 上 的反常积分，仍 然 记 作，x)d x,即f/(x)J x =l im f f(x)dx。这时也称反常积分f 收敛，如果上述极限不存在，则称反常积分f f(x)dx发散。(3)函数在 a,可上的反常积分:设 函 数 在 a,b 上除点c(a c 外连续，点 c 为x)的暇 点，如 果 两 个 反 常 积 分 与(f(x)dx都 收 敛，则 定 义 fx)dx=p(x p x+f/(x)dx =l im(x)dx+l in)(x)dx ；否则，就
45、 称 反 常 积 分 (x)dx 发散。注意：只要与f/(x”x 其中一个发散，则。(x)t/x 发散。第六章定积分的应用第二节定积分在几何学上的应用平面图形的面积：直角坐标情形y =/(x)：直角坐标面积元素d4 =x)dx,直角坐标面积：A=/(x)dx。极坐标的情形0 =0 伊)：极坐标面积元素：4 A =，0(。)了,/。(扇形面积S =*),极坐标下的面积:20旋转体的体积：y =/(x)绕 x轴旋转：体积元素dV =;r /(x)dx ；面积V=，T /(x)丁 dxy =/(x)绕 y轴旋转：体积V =;r f w(y)dy =f 2 乃双切公 伍(力=广(_ )平行截面面积为己
46、知的立体的体积：4(x)表示过点x且垂直于x轴的截面面积，且 A(x)为连续函数,则体积元素dV=A(x)dx ,所求立体体积为V =f 4(x)dx。平面曲线的弧长：(1 )弧 由 参 数 方 程|=吗!(旌 三 夕)表 示，则 弧 长 元 素 下=协 2(。+“2 力,弧长 丁 =刎s =C犷(1+。dt o(2)弧由直角坐标方程y =/(X)(a x V 6)表示，则弧长元素ds =J l +y 公,弧长s=fjl +y dx。(3)弧山极坐标方程：p=p (a O p)表示，则弧长元素ds =小黄(6)+声 d,弧长s=32 。o旋 转 面 的(侧)面 积：在 x轴上方有i 平面曲线A
47、 8 绕 x轴旋转一周得旋转曲面，其面积为F=27ty ds：(1)若 4 B 为直线段 而，则尸=6(为+%)，其中/为 而 的 长度，力，力分别为点A,8的纵坐标。(2)设 A B 以弧长为参数的方程x =x(s),y =y(5)(0 i/),贝 ll F =2;r(y(s)ds。(3)设 4 8 的参数方程为x =x(r),y =y(r)(;（，+纲y =0的通解，那么y =F（x）+/（%）是二阶非齐次线性微分方程y +P（x）y +Q（x）y =f（x）的通解。定理：（叠加原理）设非齐次线性方程y +P（x）y +Q（x）y =x）的右端x）是两个函数之和,即y +P（x）y +Q（
48、x）y =fl（x）+f2（x）,而 y；（x）与 y；（x）分别是方程y +尸（x）y，+Q（x）y =/；（尤）与 y +P（x）y，+Q（x）y =（x）的特解,那么 y：+y；就是），+P（x）y +Q（x）y =x）的特解。第七节常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程：y +p y，+q y =0,其中p,g是常数。特征方程：/+p+q =0是二阶常系数齐次线性微分方程y +p），+分=0的特征方程。y +py +q y =0 的通解：（1）当pJ4 q0时，特征方程有两个不相等的实根4=一 +J；,十,。其通解为3+&6%（2）当p 2 _4g=0时，特征方程有两个相等的
49、实根/1=弓=-1。其通解为y =C+Gx）-（3）当2 _ 4 q x(x)c o s 而 按+,&(或 不 是 特 征 方 程 的 根,或是特征方程的单根依次取。或1。第九章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念二元函数：设D是齐的一个非空子集，称映射为定义在D上的二元函数，通常记为25z =/（x,y）,（x,y）e 或z =/（P）,P w D,其中点集。称为该函数的定义域，x、y称为自变量，z称为因变量。二重极限：二重极限存在，是指P（x,y）以任何方式趋于4（吃,%）时，都无限趋于一个数。反过来，如果当P（x,y）以 不 同 方 式 趋 于 时，”x,），）趋于不同的值，那
50、么就可以断定这函数的极限不存在。多元函数的连续性：设二元函数P）=/（x,y）的定义域为O,6伍,光）为。的聚点，且如果（，您 ）（*,丫）=/伉，），则称函数/（内）在点（%,%）连续。连续函数：如果函数/（x,y）在。的每一点都连续，则称函数/（x,y）在。匕 卖。间断点：设函数/（X,），）的定义域为。，6（%,先）为。的聚点。如果函数/（x,y）在点4（%,%）不连续,则称6（%，%）为函数/（x，y）的间断点。定律：一切多元初等函数在其定义域内是连续的。有界性与最大值最小值定理：在有界闭区域。上的多元连续函数，必定在。上有界，且能取得它的最大值和最小值。介值定理：在有界闭区域。上的多