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1、目录第一章函数与极限1第二节数列的极限1第四节无穷小与无穷大2第六节极限存在准则两个重要极限3第八节函数的连续性与间断点4第九节连续函数的运算与初等函数的连续性5第十节闭区间上连续函数的性质5第二章导数与积分6第一节导数概念6第三节高阶导（18第四节隐函数及由参数方程所决定的函数的导数相关变化率8第三章微分中值定理与导数的应用9第一节微分中值定理9第二节罗必达法则10第三节泰勒公式11第四节函数的单调性与曲线的凹凸性12第五节函数的极值与最大值和最小值13第七节曲率13第四章不定积分14第一节不定积分的概念和性质14第三节分部分法16第四节有理函数的积分16第五章定积分17第节定积分的概念与性
2、质17第二节微积分基本公式18第三节定积分的换元法和分部积分法19第四节反常积分19第六章定积分的应用20第三节定积分在物理学上的应用21第七章微分方程22第二节可分离变量的微分方程22第三节齐次方程22第四节一阶线性微分方程23第五节可降阶的高阶微分方程23第六节高阶线性微分方程23第七节常系数齐次线性微分方程24第八节常系数非齐次线性微分方程25第九章多元函数微分法及其应用25第一节多元函数的基本概念25第二节偏导数26第三节全微分27第四节多兀复合函数的求导法则27第五节隐函数的求导法则28第八多兀函数的极值及其求法29第十章重积分30第二节二重积分的计算法31第一章行列式33第二节N阶
3、行歹|式的定义33第五节行列式的性质33第六节行列式按行（列）展开34第七节克拉默法则35第二章矩阵及其运算36第一节矩阵36第二节矩阵的运算36第三节逆矩阵38第四节矩阵分块法38第三章矩阵的初等变换与线性方程组39第一节矩阵的初等变换39第二节矩阵的秩40第三节线性方程组的解41第四章向量组的线性相关性41第一节向量组及其线性组合41第二节向量组的线性相关性42第二节向量组的秩42第四节线性方程组解的结构43第五章相似矩阵及二次型44第一节向量的内积、长度及正交性44第二节方阵的特征值与特征向量45第四节对称矩阵的对角化46第七节正定二次型:.147常用公式49%52第一章函数与极限第二节
4、数列的极限数列的极限：设%为一数列，如果存在常数。，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数N,使得当N时，不等式氏-a|00）。XT 8引入记号“V”表示“对于任意给定的”或“对于每一个“，记号表示“存在”。收敛数列的性质：1 （极限的唯一性）如果数列X.收敛，那么他的极限唯一。2 （收敛数列的有界性）如果数列5收敛，那么数列xj一定有界。但有界函数却不一定收敛。3（收敛数列的保号性）如果limx.=a，且a0（或a0,当N时，都有x”0 X00（或居0）。推论：如果数列七从某项起有x.20（或x.40）,且limx.=a,那么a20（或a40）。4（收敛数列与其子数列间的关系）如果数
5、列%收敛于a,那么它的任一子数列也收敛，且极限也是如果数列%有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列x“是发散的。定律：（1）如果 limu“=a,则。（2）如果数列|x1有极限，但数列优不一定有极限。第三节函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限：设函数x）在点吃的某一去心邻域内有定义。如果存在常数A,对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数S,使得当x满足不等式0|x-x0|b时，对应的函数值满足不等式|f（x）-A/时/（X）有没有极限，与/（X）在点与是否有定义并无关系。函数fM当X -与时极限存在的充分必要条件是左极限有极限各自存在并且相等，即/（%-）=/（） O自变量趋于无穷大
6、时函数的极限：设f（x）当国大于某一正数时有定义。如果存在常数4,对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在着正数X,使得当X满足不等式|/（幻-川8)。 x-函数极限的性质：1 (函数极限的唯一性)如果lim/*)存在，那么这极限唯一。2 (函数极限的局部有界性)如果lim/(x)= A,那么存在常数0和30,使得当O|x-Xo|0(或A0,使得当0,一0(或/(x)0(或/(幻国。XT.12第四节无穷小与无穷大无穷小：如果函数/(X)当XTX。(或X-00)时的极限为零，那么称函数/(X)为当x-x()(或X-8)时的无穷小。定理：在自变量的同一变化过程X f(或Xfoo)中，函数/(x)
7、具有极值4的充分必要条件是f(x)= A + a ,其中a是无穷小。无穷大：设函数/(x)在点的某一去心邻域内有定义(或W大于某一正数时有意义)。如果对于任意给定的正数M (不论它多么大)，总存在正数5(或正数X),只要x适合不等式0卜-引X ),对应的函数值/(x)总满足不等式|/(x)|M ,那么称函数/(x)为当XfX(或XT8)时的无穷大。定理：在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则一为无穷小；反之，如果f(x)为无穷 f(x)小，且/(x)xO,则为无穷大。f(x)第五节极限运算法则1有限个无穷小的和也是无穷小。2有界函数与无穷小的乘积也是无穷小。推论：常数与无穷小的乘积
8、是无穷小。有限个无穷小的乘积也是无穷小。3 itnlim/(x)= A,limg(x)= B ,那么(1) lim/(x)+g(x)= lim/(x)limg(x)= AB ；(2) lim/(x)g(切= lim/(x)limg(x)=；(3)若8*0,则1而4=蛔3=4。g(x) hmg(x) B推论：如果lim/(x)存在，而是整数，则lim/(x)/=lim/(x)/4设有数列x.和”。如果 limx“=A,limy=8,那么 lim(x“士凡)=48 limxj”=4 B 当 n-00+On-OC”一8y“#0(”=1,2)且8#0时，lim2-=-=”T8券 B5如果0(x) N0
9、(x),而lim(x)= a/im0(x)= b ,那么若 fM = aQxn + aIx/-1+,贝lj lim f(x)= f(x0) o XT贝lj lim 产(x) = limX-N)XT 与若。()工0/(x)史03) p(x)Q(x) lim Q(x) Q(x0)limi8 色片10,复合函数的极限运算法则：函数y =/g(x)是由函数“= g(x)与函数y =/(“)复合而成，fg(x)在点X。的去心邻域内有定义，若limg(x)=0,limf(“)= A ,且存在品0,当xe6(x(),4)时,有g(x)w”,则lim /g(x)= lim /()= A ,.r-jQx-厢第六
10、节极限存在准则两个重要极限数列夹逼准则：如果数列上,%及亿满足下列条件：(1)从某项起，即m/eN,当”%时,有 LX”z(2) limy =a,limz =a ,那么数列x“的极限存在，filimx =a , X-HCx-*ccJT-HC函数夹逼准则：如果(1)当xeU(Xo，r)(或x|M )时，g(x) f(x)N,”N时，就有|x“-xj0 xl x)x-0第七节无穷小的比较两个无穷小之间的比较：如果lim2=0,就说/?是比a高阶的无穷小，记作= o(a)； a如果lim2=8,就说是比a低阶的无穷小； a如果lim2= cw0,就说与a是同阶无穷小； a如果lim乌=c00水0,就
11、说力是关于a的女阶无穷小； a如果lim2= l,就说/是a的等价无穷小，记作a尸。 a定理：夕与a是等价无穷小的充分必要条件为/= a + o(a)。定理：设aa,平：且lim2存在，则lim2= lim.。aa a常用等价无穷小(当X TO时)：以下所有的X都可以替换为/(X)：.17sinx xtan x x arcsin x x arctan x x 1 cos xax na2log。(1+x)ln(l+x)x +a万xJ+ x -1a/(。)第八节函数的连续性与间断点函数的增量：Ay =/(x0+Ar)-/(x0)函数的连续性：设函数y =/(x)在点七的某一邻域内有定义，如果!ir
12、rj Ay =!叫/(/+-)-/(/)=0或lim/(a;)=/(x0),那么函数y =/(x)在点/连续。左连续：如果lim/(x)=Xo)存在且等于/(%),即/(/-)=/仇)，就说函数再点与左连续。右连续：如果lim./(*)=/小)存在且等于/伉)，即/(x()*)=/(xo),就说函数再点与右连续。区间上的连续函数：在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续。函数的间断点：如果函数“X)有下列三种情形之一：(1)在x = x。没有定义；(2)虽在x = x(，有定义,但lim“X)不存在；(3)虽在x = x()定义，且存在，但lim(%),则
13、函数/(x)在点/为不连续，而点号称为函数/(x)的不连续点或间断点。第一类间断点：.如果%是函数/(X)的间断点，但左极限和右极限都存在，那么称可为函数的第一列间断点。左右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点。第二类间断点：左右极限有一个不存在，或两个都不存在。无穷间断点和跳跃间断点。注意：间断点为x = x()。第九节连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的和、差、积、商的连续性：设函数“X)和g(x)在点为连续，则它们的和(差)/土8、积广g及商工(当g(x0)WO时)都在点号连续。8反函数的连续性：如果函数y =/(x)在区间/,上单调增加(或单调减少)且连续，那么他的反
14、函数 m=广()，)也在对应的区间/、,=卜=/),/,上单调增加(或单调减少)且连续。复合函数的连续性：设函数y =/g(x)由函数“= g(x)与函数y =/(“)复合而成，“xJuO/。,。若 lim g(x)=n ,而函数 y-f ()在=w0连续，则 lim /g(x)= lim/()=/(0)或 lim/g(x)=/ limg(x)l ,其中!iyig(x)=“()，汨/()=/(“()。复合函数的连续性：设函数y =/g(x)由函数“= g(x)与函数y =/(“)复合而成，6/(x0)cD/os若函数= g(x)在x = x0连续，且g(x()=o，而函数y =/()在=0连续
15、，则复合函数y =/g(x)在x = Xo 也连续。定理：一切初等函数在其定义区间都是连续的。定律：对于形如“(x)询(“(x)O,“(x)wl)的函数(通常称为塞指数函数)，如果lim“(x)= a0, limv(x)= fr 那么= a。第十节闭区间上连续函数的性质在闭区间上连续：如果函数“X)在开区间(a/)内连续，在右端点b左连续，在左端点a右连续,那么函数“X)就是在闭区间a,可上连续的。有界性与最大值最小值定理：在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值。零点定理：设函数“X)在闭区间a回上连续，且a)与异号(即a).”b)0),那么在开区间(1)内至少有一点
16、岁,使/得)=0。介值定理：设函数/(x)在闭区间肉上连续，且在这区间的端点取不同的函数值a)= A及=那么，对于A与8之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点V，使得/传)=C (a a-(2)水平渐近线：x-+oo(-8)时x = b 是水平渐近线o lim=x)= b)。(3)斜渐近线：x +oo(-oo)时 y = fcr+6(%#0)是斜渐近线 lim = k w 0, lim=b。(2)若f(x)是连续的周期函数，周期为T,则=即在任何长度为7的区间上的积分值是相等的。(3) f(r)df以7为周期的充要条件是：/(，必=0。(4)设连续函数“X)以7为周期，则/(x)的
17、全体原函数以7为周期的充要条件是().在-a,a为奇函数，当/7x)为偶函数时61在。川为偶函数，当/(x)为奇函数时。(7)假定“X)在-a,句为连续函数，则当“X)为奇函数时，“X)在-a,句的全体原函数均为偶函数;当/(x)为偶函数时，“X)在-a,a只有唯一原函数为奇函数。第二章导数与积分第一节导数概念导数的定义：设函数y =/(x)在点与的某个邻域内有定义，当自变量x在七处取得增量Ar (点/+ Ax仍在该邻域内)时，相应的函数取得增量3=/伉+-)-/(%)；如果Ay与心之比当AxfO时的极限存在，则称函数y =/(x)在点与处可导，并称这个极限为函数y =/(x)在点/处的导数，
18、记为(伍)，即/，(%)=lim包=lim%+ NT(%)= lim/a+)T(%)= lim/x)7(x。),也可记作4_一生或 v Ax hz x-x1 dx ”，lx=却dx导函数定义式：y =!叫+、a一/3或/3=因?二/。显然，函数“X)在点七处的导数(%)就是导函数(X)在点x = x。处的函数值，即:&)=尸。函数f(x)在点X。处可导的充分必要条件是左导数尸,(X。)和右导数/(%)都存在并相等。如果函数f(x)在开区间(“力)内可导，且儿(。)及尸一都存在，就说x)在闭区间回以上可导。导数的几何意义：函数f(x)在点与处的导数尸(X。)在几何上表示曲线y =x)在点M&JG
19、。)处的切线的斜率，即r(x0)= tana,其中。是切线的顷角(切线和x轴正方向的夹角)。切线方程：曲线y =/(x)在点M (x0,y0)处的切线方程为y-y0=/，(-xo)(x-xo)法线方程:曲线y = f(x)在点MQo，%)处的法线方程为y-y0=定律：函数“X)在点X处可导，则函数在该点必连续；反之，一个函数在某点连续却不一定在该点可导。定律：(1)设“X)在/上可导，若“X)在/上为奇函数= r(x)在/上为偶函数；若/(X)在/上为偶函数=/(X)在/上为奇函数。(2)设“X)在X上可导，以7为周期n/1X)在X上也以7为周期。(3)设g(x)在x = a可导，夕(x)在x
20、 = a连续而不可导，则F(x)= g(x)夕(x)( Fx)= gx)夕(x)+/、”左不可导若g(a)*O)可导且导数为g(a)e(a)若g(a)= O(4) x)=|g(x)|,则先考察g(x)= O的点，这些点可能是不可导点，再考察这些点中屋(x)#0的点,这些点一定是不可导点。第二节函数求导法则函数的和、差、积、商的求导法则：设“=(x), v = v(x)都可导，则uv) = uv (Cu = Cu(MV)* = UV + UVUV UVV,反函数的求导法则：设x =/(y)在区间/,内单调、可导且广仆卜0,则它的反函数y = f-(x)在/、=/(/,)内也可导，且(x)=+或9
21、=5。反函数的导数等于直接函数导数的倒数。dy复合函数求导法则：设y =”)，而“= g(x)且/(“)及g(x)都可导，则复合函数y =/g(x)的导数为中耳毋或 dx du dx常用初等函数导数公式：(0=。(x)，=xT(sinx)r = cosx(cosx)*=-sinx(tanx)r = sec2 x(cotx)，=-csc?x(secx)r = secxtanx(cscx)=-cscxcotxaxf = ax na(log“x)=xlna(lnx),=-(ln|M)W(arcsin /丫=,1(arccos x)r =,)7i-x2(arctan x)=Z,1(arc cot x)
22、=z-+ x第三节高阶导数二阶导数：函数y =/(x)的导数y =/(X)仍然是x的导数。把y =/(x)的导数叫做函数)，=/(x)的二”阶导数 dx= acos ax + b + n- l 2阶导数，记作y或少，即y=3)，或今=工/虫。 dxdx. dxdx)常用高阶导数：sin(ox + b)r)=an sin I ax + b + n I 2(x)” =+(/ n)(ax + b)=-1 )(/?-/i +ln(l + x)0),则可以对方程两边取对数，即 In y = vlnw ,然后再求导= v-lnM + v-;或将函数关系式表示为y = e”M“ o由参数方程所决定的函数的导
23、数：若参数方程尸确定y与x之间的关系，则包=1=第五节函数的微分微分：设函数y =/(x)在某区间内有定义，X。及Xo + Ar在这区间内，如果增量Ay = f (Xo+Ar)-/(Xo)可表示为Ay = AAx + o(Ax),其中A是不依赖于Ax的常数，那么称函数y = f (x)在点与是可微的，而AAx叫做函数y =/(x)在点/相应于自变增量Ax的微分，记作办，即力= AAx。函数x)在点与可微的充分必要条件是函数在点不可导。函数的微分：函数y =x)在任意点x的微分，称为函数的微分，记作dy或(x),即力=(x)Ar。自变量的微分：自变量x的增量Ax称为自变量的微分，记作公，即公=故
24、。于是函数y =/(x)的微分又可记作dy =/x)dx。从而有半=广(*)。ax微分的几何意义：对于可微函数y =/(x)而言，当Ay是曲线y =/(x)上的点的纵坐标的增量时，力就是曲线上的点的切线上点的纵坐标的相应增量。函数和、差、积、商的求导法则：,(vdu-udvauv)= au + ava(uv) vau + udv =u vax + uv axal 1=复合函数求导法则：设y =/()和“=g(x)都可导,则复合函数的微分为dy = f(u)du = f(u)g(x)dx .第三章微分中值定理与导数的应用第一节微分中值定理费马引理：设函数”X)在点飞的某领域。(X。)内有定义，并
25、且在与处可导，如果对任意的xeU(x0),有/(x)4/(Xo)(或),那么/伍)=0。驻点：导数等于零的点为函数的驻点(驻点为x = x0)。罗而定理：如果函数“X）满足（1）在闭区间a,可上连续（2）在开区间（a,b）内可导（3）在区间断点处的函数值相等，即/=/0）,那么在伍力）内至少有一点4使得（得）=0。拉格朗日中值定理：如果函数x）满足（1）在闭区间回上连续（2）在开区间（内可导，那么在（a,b）内至少有一点4a“b）,使等式/（b）-/（a）=（b-a）成立。几何意义：如果连续曲线y =/（x）的弧AB上除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，那么这弧上至少有一点C,使曲线在C点处的
26、切线平行于弦A8。定理：如果函数“X）在区间/上的导数恒为零，那么“X）在区间/上是一个常数。柯西中值定理：如果函数”X）及尸（x）满足（1）在闭区间a8上连续（2）在开区间（a/）内可导（3）对于任一xe（a,b）,尸（x）#0,那么在伍内至少有一点4a，使等式带胃普=需成立。定理：（1）设/（x）在a/连续，在（a力）阶可导，若在a,可中有+1个不同的点取相同的函数值，则3）,使得/（）得）=0。（2）设/（X）在a,b连续，在（a,方）阶可导，/（x）在（a,b）无零点，则x）在（a,b）至多有个不同的根。第二节罗必达法则未定式：如果当Xia （或x f oo）时，两个函数“X）与F（x
27、）都趋于零或趋于无穷大，即蓝或?，那么极限limgW可能存在，也可能不存在。通常把这种极限叫做未定式。尸罗必达法则I:设（1）当x-a时，函数x）及F（x）都趋于零或都趋于无穷（2）在点a的某去心邻域内，（及/x）都存在，且/x）=0（3）叫留存在（或为无穷大），那么阴黑=|叫第。罗必达法则n：设（1）当xf 8时，函数/（X）及尸（x）都趋于零或都趋于无穷（2）当时|x|N时，/（x）及F（x）都存在，且尸（x）xO （3）1加4?存在（或为无穷大），那么lim42= lim4W。注意：如果不是未定式，就不能用罗必达法则。当lim/”?存在或为无穷大时，lim4#也存在或为 F(x)* x)
28、无穷大，且等于limC共：但反之1而共不存在时，1加型可能存在。F(x)F(x)F(x)对于 y =的形式，y = eBf,则 limy =*心。第三节泰勒公式泰勒中值定理：如果函数“X)在含有的某个开区间b)内具有直到(+1)阶的导数，则对任意 xe(a,b),有/(X)=/(%)+/(xj(x-X。)+/%)2+/)(x-x)+R“(x)(*)/(x)=P”(x)+&(x)P“(x)=/(Xo)+ r(Xo)(x_Xo)+q：J(x_Xo1+i+/)(x_x。)”2!n这里J是/与X之间的某个值。其中Pn(x)称为函数/(X)按(X-%)的哥展开的阶泰勒多项式，(*)式称为/(X)按(-%
29、)的哥展开的带有拉格朗日型余项的阶泰勒公式，(称为拉格朗日余项。+!：)(X_Xo)2+/(j)(x-xj+o(x-xo)上式为“X)按(x-x。)的塞展开的带佩亚诺型余项的“阶泰勒公式，R,(x)= o(x-xj称为佩亚诺余项。迈克劳林公式(在泰勒公式中，取x0=0):x)=/(O)+ r(O)x +x2+-+x+ R,(x)令g =0x0e),得到带有拉格朗日型余项的迈克劳林公式：小)=。)+/(味+粤1.+岩叽，+1/(。皿1)带有佩亚诺余项的迈克劳林公式:/(x)=/(o)+ r(o)x +x2+.+-x+o(x)常用泰勒公式:OeJ=14-x + + + + /? 2! n!R“(x
30、) = o(x)(xtO)_/5_2-lsinx = x1f(-1 Y,-+R-,3!5! v (2n-l)!2&“(x)=(T)(；：(!x?，xe(-a)(3) = o(x-a)i)(x a)(4) f (x)o(x-a)= o(x-a),其中 f(x)在0,一| /(&)；/(日)数y =x）在回句上单调增加（2）如果在（a,。）内尸（力0,那么函数y =x）在团可上单调减少。曲线凹凸性：设/（x）在区间/上连续如英国对1上任意的两点X.,那么称“X）在/上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒有/（五/卜占）；/伍）,那么称“X）在/上的图形是（向上）凸的（或凸弧）。定理：设f(x)在
31、a,b上连续，在(0力)内具有一阶和二阶导数，那么(1)若在(。内尸(x)0,则“X)在0句上的图形是凹的(2)若在(a,b)内尸(x)0,则x)在a回上的图形是凸的。拐点：如果曲线y =/(x)在经过点(xJ(x。)时，曲线的凹凸性改变了，或尸(x)的符号改变了，那么就称点(Xoj(x。)为这曲线的拐点。注意：拐点是(x J&)(间断点和极值点为x =%)尸(x)=0的点和f(x)不存在的点都可能是/(x)的拐点，对于这两种情况都要分别判断尸(x)在与左右两侧的符号，符号不同时，(/J(x。)才是“X)的拐点，符号相同，则(,%)不是x)的拐点。第五节函数的极值与最大值和最小值极大值(极小值
32、)：设函数f (x)在点的某邻域。伉)内有定义，如果对于去心邻域“与)内的任一 X,有x)x。)，那么就称“X。)是函数“X)的一个极大值(或极小值)。定理：设函数“X)在X。可导，且在处取得极值，那么(%)=0。但/(%)=0的地方，不一定取得极值。定理：设函数”X)在X。处连续，且在的某去心邻域1/(%,6)内可导,那么(1)若X/-6,工0)时, f(x)0,而工仁优3+3)时，/(x)0则/(x)在/处取得极大值(2)若x时，/(x)0,则x)在七处取得极小值(3)若xeU(Xo,3)时，/(x)的符号保持不变，则“X)在七处没有极值。定理:设函数“X)在不处具有二阶导数且r(x0)=
33、0,0,那么(1)当广优)0时，函数“X)在与处取得极小值。注意：闭区间上的最大值或最小值可能是驻点，不可导点或端点值。第七节曲率弧s与x的关系：s = s(x)。s的绝对值等于这段弧的长度。弧微分公式：ds = Jl + ydx曲率：K=也，表示弧的弯曲程度。对于圆来说，半径越小，曲率越大，弯曲得越厉害。 ds直角坐标方程y =/(x)的曲率：长=上1(i + yF参数方程尸”的曲率：K“(”(，)“叫，)1I尸欲)”(，)+*(r)F曲率半径：K第四章不定积分第一节不定积分的概念和性质原函数：如果在区间/上，可导函数F(x)的导数为x),即对任意xe/,都有F(x)=x)或 dF(x)=
34、f(x)dx ,那么函数尸(x)就称为x)(或/(x)dx)在区间/上的原函数。原函数存在定理：如果函数“X)在区间/上连续，那么在区间/上存在可导函数F(x),对任一xe/都有9(x)=/(x)。简单的说，就是连续函数一定有原函数。注意：如果/上有第一类间断点，则“X)在/上一定不存在原函数；如果/上有第二类间断点，则/(x)在/上可能存在原函数，比如y=,，在x=0存在间断点。X不定积分：在区间/上，函数/(X)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx )在区间/上的不定积分，记作Jf(x)公。其中记号J称为积分号，/(X)称为被积函数，/(x)dx称为被积表达式，X称为积分变
35、量。定律：不定积分可以表示y(x)的任意一个原函数：j/(x)Zr = F(x)+ C 积分曲线：函数“X)的原函数的图形称为/(x)的积分曲线。巳J7(x)dx=x) J7(x)dx=x)dx J/(x)dx=/(x) df(x)= f(x)dx jF(x)dx=F(x)+ Cjt/F(x)=F(x)+C记号J与d连在一起时，或者抵消，或者抵消后差一个常数。基本积分表：jkdx = kx + C卜dx =-+ Cj= In |x|+ Cdx厂r- - arctan x + C + x2=arcsin x + Cdxxdx cosx + Csec xdx = tan x + Ccos- xx
36、tan xdx = sec x + Ccscxcotxdr = -cscx + C(cos xdx = sinx + Cf = fcsc2 xdx = - cot x + CJsii?x Jxdx = + C-+cna(tan xdx = In |cos x + Cxdx = In sec x + tan x + C(esc xdc = In |csc x - cot x + C=ln x +dx1 x-tv + r arctan -+ C2a(x2 +a2) 2。 a+ Cdx 1 .-r =Ina 2adxln|x + /x2 -a2| + C(cot xdx = In |sin x+ C
37、jjx+a2dx =yjx2+a2+,In (x + y/x24-a2 j + C( dx _x2n3 r dx(/+/)2(n-l)a2(x2+a2)H 12(-l)a2(f+azyi不定积分的性质：jt/(x)+ g(x)dx= J7(/)dx+ jg(/)dxJ7(x)dx+Jg(x)dr=J/(x)公+g(x)dr=x)+g(x)第二节换元积分法第一类换元法：设)具有原函数，=夕(月可导，则有换元公式*(x)d(x)dx =()d“L，)。对于积分。(+ b)公，总可作变换“=”+，把它化为J/(ar4-b)dr = j，(ar + b)d(ar + b)。对于sin2Lcosx或si
38、nxcos2+L型函数的积分，总可依次作变换=cosx或=sin(x),求得结果。对于 sin xcosx 型函数，总可利用三角恒等式：sin2 x =(1-cos2x), cos? x =；(1+ cos2/)化成cos2x 的多项式，然后求解。第二类换元法：设x =(/)是单调的、可导的函数，并且/。)工0。又设/(/)=(/)具有原函数，则有换元公式 J/(x)dx =(),其中(p (x)是 x = p(/)的反函数。三角替换：(1) la2-x2,则x = asin，-/-22(2) yJa24-x2,贝ljx = atanf,-r -22(3) Vx2-a2,则x = asecf,
39、0，乃，r*2(4) Vaf+bx + c,则可配方成上述形式，再进行替换。第三节分部积分法分部积分法：uvdx = uv-uvdx 或udv = uv-vdu选取和“要注意：(1) v要容易求出(2) Jud”要比Judu容易求出分部积分常见形式：?(力*,(x)sinax ,(x)cosax ,进行次分部积分，每次均取 C sin ax , cosax为/(x),多项式部分为(x) o2(x)lnx,/(x)arcsinx ,(x)arctanx ,取匕(x)为/(x), Inx , arcsin x , arctan x 等为(x),分部积分一次后被积函数的形式发生变化。*sin夕x, eax cos J3x，两部分都可做M(x),但是最好用小做/(x)。第四节有理函数的积分有理函数：两个多项式的商黑称为有理函数。当分子多项式P(x)的次数小于分母多项式Q(x)的次 Qx)数时，称这有理函数为真分式，否则称为假分式。把真分式化为部分分式之和：对于真分式型，如果分母可分解为两个多项式的乘积。(力= Q(x)2(X)0(X),且Qx)与0(x)没有公因式，那么它可拆分为两个真分式之和黑=露+胃，这个步骤叫做把真分式或为部分分式之和。利用多项式的除法总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分式之和