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1、高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解一112分抛物线、椭圆和双曲线都经过点，它们在轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.求这三条曲线的方程；动直线过点，交抛物线于两点，是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆截得的弦长为定值？假设存在，求出的方程；假设不存在，说明理由.解：设抛物线方程为，将代入方程得1分由题意知椭圆、双曲线的焦点为2分对于椭圆，4分对于双曲线，6分设的中点为，的方程为：，以为直径的圆交于两点，中点为令7分12分214分正项数列中，点在抛物线上；数列中，点在过点，以方向向量为的直线上.求数列的通项公式；假设，问是否存在，使成立，假设存在，求出值；假
2、设不存在，说明理由；对任意正整数，不等式成立，求正数的取值范围.解：将点代入中得4分5分8分由14分3.本小题总分值12分将圆O: 上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变), 得到曲线C.(1) 求C的方程;(2) 设O为坐标原点, 过点的直线l与C交于A、B两点, N为线段AB的中点,延长线段ON交C于点E.求证: 的充要条件是.解: (1)设点, 点M的坐标为,由题意可知(2分)又.所以, 点M的轨迹C的方程为.(4分)(2)设点, , 点N的坐标为,当直线l与x轴重合时, 线段AB的中点N就是原点O, 不合题意,舍去; (5分)设直线l: 由消去x, 得(6分),点N的坐标为.(8分
3、)假设, 坐标为, 那么点E的为, 由点E在曲线C上, 得, 即 舍去). 由方程得又.(10分)假设, 由得点N的坐标为, 射线ON方程为: ,由 解得 点E的坐标为.综上, 的充要条件是.(12分)4.本小题总分值14分函数.(1) 试证函数的图象关于点对称;(2) 假设数列的通项公式为, 求数列的前m项和(3) 设数列满足: , . 设.假设(2)中的满足对任意不小于2的正整数n, 恒成立, 试求m的最大值.解: (1)设点是函数的图象上任意一点, 其关于点的对称点为.由 得所以, 点P的坐标为P.(2分)由点在函数的图象上, 得. 点P在函数的图象上.函数的图象关于点对称. (4分)(
4、2)由(1)可知, , 所以,即(6分)由, 得 由, 得(8分)(3) , 对任意的. 由、, 得即.(10分)数列是单调递增数列.关于n递增. 当, 且时, .(12分)即 m的最大值为6. (14分)512分、是椭圆的左、右焦点，是椭圆的右准线，点，过点的直线交椭圆于、两点.（1） 当时，求的面积；（2） 当时，求的大小；（3） 求的最大值.解：12因，那么（1） 设 ，当时，614分数列中，当时，其前项和满足，（2） 求的表达式及的值；（3） 求数列的通项公式；（4） 设，求证：当且时，.解：1所以.2当时，综上，.3令，当时，有 1法1：等价于求证.当时，令，那么在递增.又，所以即.
5、法2 2 3因，所以由134知.法3：令，那么所以因那么，所以 5由125知7 (本小题总分值14分)第21题设双曲线=1( a 0, b 0 )的右顶点为A，P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点.(1) 证明：无论P点在什么位置，总有|2 = | ( O为坐标原点)；(2) 假设以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围；解：(1) 设OP：y = k x, 又条件可设AR: y = (x a ), 解得：= (,), 同理可得= (,), | =|+| =. 4分 设 = ( m, n ) ,
6、那么由双曲线方程与OP方程联立解得:m2 =, n2 = , |2 = :m2 + n2 = + = ,点P在双曲线上，b2 a2k2 0 . 无论P点在什么位置，总有|2 = | . 4分2由条件得：= 4ab, 2分即k2 = 0 , 4b a, 得e 2分高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解二1. (本小题总分值12分)常数a 0, n为正整数，f n ( x ) = x n ( x + a)n ( x 0 )是关于x的函数.(1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论.(2) 对任意n a , 证明f n + 1 ( n + 1 ) 0 , x 0, fn ( x )
7、a0时, fn ( x ) = xn ( x + a)n是关于x的减函数, 当n a时, 有：(n + 1 )n ( n + 1 + a)n n n ( n + a)n. 2分又 f n + 1 (x ) = ( n + 1 ) xn ( x+ a )n ,f n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) (n + 1 )n ( n + 1 + a )n n ,f n + 1 ( n + 1 ) | u v |，所以p( x)不满足题设条件.2分三种情况讨论：10. 假设u ,v 1，0，那么|g(u) g (v)| = |(1+u) (1 + v)|=|u v |，满足题设条件；2
8、0. 假设u ,v 0，1， 那么|g(u) g(v)| = |(1 u) (1 v)|= |v u|，满足题设条件；30. 假设u1，0，v0，1，那么： |g (u) g(v)|=|(1 u) (1 + v)| = | u v| = |v + u | | v u| = | u v|，满足题设条件;40 假设u0，1，v1，0, 同理可证满足题设条件.综合上述得g(x)满足条件.3. (本小题总分值14分)点P ( t , y )在函数f ( x ) = (x 1)的图象上，且有t2 c2at + 4c2 = 0 ( c 0 ).(1) 求证：| ac | 4;(2) 求证：在(1，+上f
9、( x )单调递增.(3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) 1.证：(1) tR, t 1, = (c2a)2 16c2 = c4a2 16c2 0 ， c 0, c2a2 16 , | ac | 4. (2) 由 f ( x ) = 1 ,法1. 设1 x1 x2, 那么f (x2) f ( x1) = 1 1 + = . 1 x1 x2, x1 x2 0, x2 + 1 0 ,f (x2) f ( x1) 0 , 即f (x2) 0 得x 1, x 1时，f ( x )单调递增.3仅理科做f ( x )在x 1时单调递增，| c | 0 , f (|
10、c | ) f () = = f ( | a | ) + f ( | c | ) = + +=1. 即f ( | a | ) + f ( | c | ) 1.4本小题总分值15分设定义在R上的函数其中R，i=0,1,2,3,4，当x= 1时，f (x)取得极大值，并且函数y=f (x+1)的图象关于点1，0对称（1） 求f (x)的表达式；（2） 试在函数f (x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上；（3） 假设，求证：解：15分 2或10分 3用导数求最值，可证得15分5本小题总分值13分设M是椭圆上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对称点，
11、N为椭圆C上异于M的另一点，且MNMQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程解：设点的坐标那么1分 3分 由12可得6分 又MNMQ，所以 直线QN的方程为，又直线PT的方程为10分 从而得所以 代入1可得此即为所求的轨迹方程.13分6本小题总分值12分过抛物线上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，1求点P的轨迹方程；2点F0，1，是否存在实数使得？假设存在，求出的值，假设不存在，请说明理由.解法一：1设由得：3分直线PA的方程是：即 同理，直线PB的方程是： 由得：点P的轨迹方程是6分2由1得： 10分所以故存在=1使得12分解法二：1直线PA、PB与抛物线相
12、切，且直线PA、PB的斜率均存在且不为0，且设PA的直线方程是由得：即3分即直线PA的方程是：同理可得直线PB的方程是：由得：故点P的轨迹方程是6分2由1得：10分故存在=1使得12分7本小题总分值14分设函数在上是增函数.（1） 求正实数的取值范围；（2） 设，求证：解：1对恒成立，对恒成立又 为所求.4分2取，一方面，由1知在上是增函数，即8分另一方面，设函数在上是增函数且在处连续，又当时， 即综上所述，14分8(本小题总分值12分)如图，直角坐标系中，一直角三角形，、在轴上且关于原点对称，在边上，的周长为12假设一双曲线以、为焦点，且经过、两点(1) 求双曲线的方程；(2) 假设一过点为
13、非零常数的直线与双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、，且，问在轴上是否存在定点，使？假设存在，求出所有这样定点的坐标；假设不存在，请说明理由解：(1) 设双曲线的方程为，那么由，得，即3分解之得，双曲线的方程为5分(2) 设在轴上存在定点，使设直线的方程为，由，得即6分，即8分把代入，得9分把代入并整理得其中且，即且 10分代入，得 ，化简得 当时，上式恒成立因此，在轴上存在定点，使12分9(本小题总分值14分)数列各项均不为0，其前项和为，且对任意都有为大于1的常数，记(1) 求；(2) 试比较与的大小；(3) 求证：，解：(1) ，得，即3分在中令，可得是首项为，公比为的等比数列，4分(2
14、) 由(1)可得，5分而，且，8分(3) 由(2)知 ，当时，10分当且仅当时取等号另一方面，当，时，当且仅当时取等号13分当且仅当时取等号综上所述，14分高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解三1本小题总分值13分 如图，双曲线C：的右准线与一条渐近线交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点. I求证：； II假设且双曲线C的离心率，求双曲线C的方程； III在II的条件下，直线过点A0，1与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间，满足，试判断的范围，并用代数方法给出证明.解：I右准线，渐近线 ， 3分 II 双曲线C的方程为：7分 III由题意可得8分 证明：设，点 由得 与
15、双曲线C右支交于不同的两点P、Q 11分 ，得 的取值范围是0，113分2本小题总分值13分函数，数列满足 I求数列的通项公式； II设x轴、直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为，求； III在集合，且中，是否存在正整数N，使得不等式对一切恒成立？假设存在，那么这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；假设不存在，请说明理由. IV请构造一个与有关的数列，使得存在，并求出这个极限值.解：I 1分 将这n个式子相加，得 3分 II为一直角梯形时为直角三角形的面积，该梯形的两底边的长分别为，高为1 6分 III设满足条件的正整数N存在，那么 又 均满足条件 它们构成首项为，公差
16、为2的等差数列. 设共有m个满足条件的正整数N，那么，解得 中满足条件的正整数N存在，共有495个，9分 IV设，即 那么 显然，其极限存在，并且10分 注：c为非零常数，等都能使存在.19. 本小题总分值14分 设双曲线的两个焦点分别为，离心率为2. I求此双曲线的渐近线的方程； II假设A、B分别为上的点，且，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；III过点能否作出直线，使与双曲线交于P、Q两点，且.假设存在，求出直线的方程；假设不存在，说明理由.解：I ，渐近线方程为4分 II设，AB的中点 那么M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆.9分 III假设
17、存在满足条件的直线 设 由iii得 k不存在，即不存在满足条件的直线.14分3. 本小题总分值13分 数列的前n项和为，且对任意自然数都成立，其中m为常数，且. I求证数列是等比数列； II设数列的公比，数列满足：，试问当m为何值时，成立？解：I由 2 由得：，即对任意都成立 II当时， 由题意知，13分4本小题总分值12分设椭圆的左焦点为，上顶点为，过点与垂直的直线分别交椭圆和轴正半轴于，两点，且分向量所成的比为851求椭圆的离心率；2假设过三点的圆恰好与直线：相切，求椭圆方程解：1设点其中由分所成的比为85，得，2分，4分而，5分由知6分2满足条件的圆心为，8分圆半径10分由圆与直线：相切
18、得，又椭圆方程为12分5本小题总分值14分理给定正整数和正数，对于满足条件的所有无穷等差数列，试求的最大值，并求出取最大值时的首项和公差文给定正整数和正数，对于满足条件的所有无穷等差数列，试求的最大值，并求出取最大值时的首项和公差理解：设公差为，那么3分4分7分又，当且仅当时，等号成立11分13分当数列首项，公差时，的最大值为14分文解：设公差为，那么3分，6分又当且仅当时，等号成立11分13分当数列首项，公差时，的最大值为14分6本小题总分值12分垂直于x轴的直线交双曲线于M、N不同两点，A1、A2分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A1M与A2N交于点Px0，y0证明：过P作斜率为的直线l
19、，原点到直线l的距离为d，求d的最小值.解证明：直线A2N的方程为 4分，得10分当12分7本小题总分值14分 函数假设假设假设的大小关系不必写出比较过程.解： 设，6分在题设条件下，当k为偶数时当k为奇数时14分高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解四1本小题总分值14分 f(x)=(xR)在区间1，1上是增函数.求实数a的值组成的集合A；设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1|x1x2|对任意aA及t1，1恒成立？假设存在，求m的取值范围；假设不存在，请说明理由.14分.解：f(x)= ，f(x)在1，1上是增函数，f(x)0对x
20、1，1恒成立，即x2ax20对x1，1恒成立. 设(x)=x2ax2，方法一： (1)=1a20， 1a1， (1)=1+a20.对x1，1，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f(-1)=0以及当a=1时，f(1)=0A=a|1a1. 方法二： 0， 0x1，x2是方程x2ax2=0的两非零实根， x1+x2=a， 从而|x1x2|=.x1x2=2，1a1，|x1-x2|=3.要使不等式m2+tm+1|x1x2|对任意aA及t1，1恒成立，当且仅当m2+tm+13对任意t1，1恒成立，即m2+tm20对任意t1，1恒成立. 设g(t)=m2+tm2=mt+(m22)，方法一： g(1)=m
21、2m20， g(1)=m2+m20，m2或m2.所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1|x1x2|对任意aA及t1，1恒成立，其取值范围是m|m2，或m2.方法二：当m=0时，显然不成立；当m0时， m0， m0，y20.由y=x2， 得y=x.过点P的切线的斜率k切= x1，直线l的斜率kl=-，直线l的方程为yx12= (xx1)，方法一：联立消去y，得x2+xx122=0.M是PQ的中点 x0=-， y0=x12(x0x1).消去x1，得y0=x02+1(x00)，PQ中点M的轨迹方程为y=x2+1(x0).方法二：由y1=x12，y2=x22，x0=，得y1y2=x12x22=(x1
22、+x2)(x1x2)=x0(x1x2)，那么x0=kl=-，x1=，将上式代入并整理，得y0=x02+1(x00)，PQ中点M的轨迹方程为y=x2+1(x0).设直线l:y=kx+b，依题意k0，b0，那么T(0，b).分别过P、Q作PPx轴，QQy轴，垂足分别为P、Q，那么. y=x2由 消去x，得y22(k2+b)y+b2=0. y=kx+b y1+y2=2(k2+b)，那么 y1y2=b2.方法一：|b|()2|b|=2|b|=2.y1、y2可取一切不相等的正数，的取值范围是2，+.方法二：=|b|=|b|.当b0时，=b=+22；当b0，于是k2+2b0，即k22b.所以=2.当b0时
23、，可取一切正数，的取值范围是2，+.方法三：由P、Q、T三点共线得kTQ=KTP，即=.那么x1y2bx1=x2y1bx2，即b(x2x1)=(x2y1x1y2).于是b=x1x2.22=+=+2.可取一切不等于1的正数，的取值范围是2，+.3本小题总分值12分某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85. 假设预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使
24、总费用最少.总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.本小题考查概率的根本知识和数学期望概念及应用概率知识解决实际问题的能力，总分值12分.解：不采取预防措施时，总费用即损失期望为400=120万元；假设单独采取措施甲，那么预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为10.9=0.1，损失期望值为400=40万元，所以总费用为45+40=85万元假设单独采取预防措施乙，那么预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为10.85=0.15，损失期望值为4000.15=60万元，所以总费用为30+60=90万元；假设联合采取甲、乙两种预防措施，那么预防措施费用为45+30=75万元，发
25、生突发事件的概率为10.910.85=0.015，损失期望值为400=6万元，所以总费用为75+6=81万元.综合、，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少.4本小题总分值14分I数列极限存在且大于零，求将A用a表示；II设III假设都成立，求a的取值范围.本小题主要考查数列、数列极限的概念和数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，总分值14分.解：I由IIIIIi当n=1时结论成立已验证.ii假设当故只须证明即n=k+1时结论成立.根据i和ii可知结论对一切正整数都成立.故5本小题总分值14分，第一小问总分值4分，第二小问总分值10分，函数.()
26、当时，求使成立的的集合；()求函数在区间上的最小值.本小题主要考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想和分析推理能力. 总分值14分.解：由题意，.当时，解得或；当时，解得.综上，所求解集为.设此最小值为.当时，在区间上，.因为 ，那么在区间上是增函数，所以.当时，在区间上，由知 .当时，在区间上，. .假设，在区间内，从而为区间上的增函数，由此得 .假设，那么. 当时，从而为区间上的增函数； 当时，从而为区间上的减函数.因此，当时，或.当时，故；当时，故.综上所述，所求函数的最小值 6本小题总分值14分，第一小问总分值2分，第二、第三小问总分值各6分设数列的前项和为，且，其中为
27、常数.()求与的值；()证明：数列为等差数列；()证明：不等式对任何正整数都成立.本小题主要考查等差数列的有关知识、不等式的证明方法，考查思维能力、运算能力. 解：由，得，.由，知 即 解得 ，.方法1由，得 ， 所以 . -，得 ， 所以 . -，得 .因为 ，所以 .又因为 ，所以 ，即 ，.所以数列为等差数列.方法2由，得，又，且，所以数列是唯一确定的，因而数列是唯一确定的.设，那么数列为等差数列，前项和.于是 ，由唯一性得 ，即数列为等差数列.由可知，.要证 ，只要证 .因为 ，故只要证 ，即只要证 .因为 ，高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解五1本小题总分值14分椭圆的左、右焦点
28、分别是F1c，0、F2c，0，Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足 设为点P的横坐标，证明； 求点T的轨迹C的方程； 试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M， 使F1MF2的面积S=假设存在，求F1MF2 的正切值；假设不存在，请说明理由.本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.总分值14分.证法一：设点P的坐标为由P在椭圆上，得由，所以 3分证法二：设点P的坐标为记那么由证法三：设点P的坐标为椭圆的左准线方程为 由椭圆第二定义得，即由，所以3分解法一：设点T的坐标为 当时，
29、点，0和点，0在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点.在QF1F2中，所以有综上所述，点T的轨迹C的方程是7分解法二：设点T的坐标为 当时，点，0和点，0在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点. 设点Q的坐标为，那么因此 由得 将代入，可得综上所述，点T的轨迹C的方程是7分 解法一：C上存在点M使S=的充要条件是 由得，由得 所以，当时，存在点M，使S=；当时，不存在满足条件的点M.11分当时，由，得解法二：C上存在点M使S=的充要条件是 由得 上式代入得于是，当时，存在点M，使S=；当时，不存在满足条件的点M.11分当时，记，由知，所以14分2本小题总分值12分函数在区间0，+内可导，导函数是减函数，且 设是曲线在点得的切线方程，并设函数 用、表示m； 证明：当； 假设关于的不等式上恒成立，其中a、b为实数， 求b的取值范围及a与b所满足的关系.本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象