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1、第 20讲 图形的轴对称、平移与旋转知识梳理一、轴对称图形与轴对称轴对称图形轴对称图形/BCA A1&/?c cf定义如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴如果两个图形对折后，这两个图形能够完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴性质对应线段相等AAC,BOB1 C，,AOAf 0f对应角相等N代 NCN尔 N/4,N代 N 8,NR对应点所连的线段被对称轴垂直平分区别(1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言；(2)对称轴不一定只有一条(1)轴对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形
2、；(2)只有一条对称轴关系(1)沿对称轴对折，两部分重合；(2)如果把轴对称图形沿对称轴分成“两个图形”，那么 这“两个图形”就关于这条直线成轴对称(1)沿对称轴翻折，两个图形重合；(2)如果把两个成轴对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形1.常见的轴对称图形等腰三角形、矩形、菱形、正方膨、圆.2.折受的性质折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等.【注意】凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量.解决折叠问题时，首先清楚折叠和轴对称能够提供我们隐含的且可利用的条件，分析角之间、线段之间的关系，
3、借助勾股定理建立关系式求出答案，所求问题具有不确定性时，常常采用分类讨论的数学思想方法.3.作某点关于某直线的对称点的一般步骤(1)过已知点作已知直线(对称轴)的垂线，标出垂足；(2)在这条直线另一侧从垂足除法截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点.4.作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤(1)作出图形的关键点关于这条直线的对称点；(2)把这些对称点顺次连接起来，就形成了 一个符合条件的对称图形.二、图形的平移1.定义在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图再运动叫做平移.平移不改变图形的形状和大小.2.三 大要素一是平移的起点，二是
4、平移的方向，三是平移的距离.3.性 质(1)平移前后，对应线段平行且相等、对应角相等；(2)各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等；(3)平移前后的图形全等.4.作图步骤(1)根据题意，确定平移的方向和平移的距离；(2)找出原图形的关键点；(3)按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点；(4)按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形.三、图形的旋转1.定义在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转.这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角.2.三大要素旋转中心、旋转方向和旋转角度.3.性 质(1)对应点到旋转中心的
5、距离相等；(2)每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前后的图形全等.4.作图步骤(1)根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；(2)找出原图形的关键点；(3)连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；(4)按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形.【注意】旋转是一种全等变换，旋转改变的是图形的位置，图形的大小关系不发生改变，所以在解答有关旋转的问题时，要注意挖掘相等线段、角，因此特殊三角形性质的运用、锐角三角函数建立的边角关系起着关键的作用.四、中心对称图形与中心对称中心对称图形中心对称图形一RL-fc月 上 一 C*R定义如果一个图形绕某
6、一点旋转180后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心如果一个图形绕某点旋转180后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称性质对应点点A与 点 C,点 8 与点。点A与点4 ,点B与点8,，点C与 点 C对应线段ABCD,ADBCA由A Br,BOB1 Cf,A(Af C对应角N尔 NCN田 NON尔 N/T,N故,N公区别中心对称图形是指具有某种特性的一 个图形中心对称是指两个图形的关系联系把中心对称图形的两个部分看成“两个图形”，则 这“两个图形”成中心对称把成中心对称的两个图形看成一个“整体”，则“整体”成为中心对称图形常见的中心对称图形平行
7、四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形、圆等.考点梳理考点一轴对称轴对称图形与轴对称的区别与联系区别：轴对称图形是针对一个图形而言，它是指一个图形所具有的对称性质，而轴对称则是针对两个图形而言的，它描述的是两个图形的一种位置关系，轴对称图形沿对称轴对折后，其自身的一部分与另一部分重合，而成轴对称的两个图彩沿对称轴对折后，一个图形与另一个图形重合.联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体时，它就成了一个轴对称图形.典例透析例 1、（2021浙江杭州市十三中教育集团（总校）九年级期中）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）【答案】B【分析】根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义求解即可.轴
8、对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180。，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.【详解】解:是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意;是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意;不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意;【点睛】是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意.此题考查了轴对称图形的定义和中心对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义和中心对称图形的定义.轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.中心对称图形：在平面内
9、，把一个图形绕着某个点旋转180,如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.例 2、（2021浙江滨江三模）下列图形中是轴对称图形的是（【答案】B【分析】根据轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形;进行判断即可.【详解】解：A.不是轴对称图形，不符合题意；B.是轴对称图形，符合题意；C.不是轴对称图形，不符合题意；D.不是轴对称图形，不符合题意.故选B.【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义.考点二平移1.平移后，对应线段相等且平行，对应点所连的线段平行（或共线）且相等
10、.2.平移后，对应角相等且对应角的两边分别平行或一条边共线，方向相同.3.平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，平移后新旧两图形全等.典例透析【答案】C【分析】根据平移不改变图形的形状和大小，将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是C.【详解】解：平移不改变图形的形状和大小，而且图形上各点运动的方向和距离相等，选项C是福娃欢欢通过平移得到的.故选：C.【点睛】本题考查了生活中图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，而误选4 B、D.考点三旋转通过旋转，图形中的每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应
11、点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等.在旋转过程中，图形的形状与大小都没有发生变化.典例透检例4、(2021 浙江台州九年级期中)如图，在平面直角坐标系中放置RtAABC,NA8C=90,点A(3,4).现将AA B C沿X轴的正方向无滑动翻转，依次得到“4月 ,约G，A&BG 连续翻转1 4次，则经过AA/NG三顶点的抛物线解析式为()3 5A.y=-5l)(x-55)B.y 5 55)3 5C.y=-(x-55)(x-6 0)D.(x-55)(x-6 0)【答案】D【分析】过 或作B Q jL x轴于。-根据点A(3,4).求出三角形三
12、边分别为。B=3,AB=4,OA=yloB2+AB2=5 根据三角形有三条边，连线翻转3次是一个循环，14+3=4余2,可得AA为G,与/&C 2位置相同，一个周期长为3+4+5=12,51 12 51 12然后求出小(7,0),B,C-,-y),C2(12,0),利用待定系数法求过 4 (7,0),B,(,y),C2(12,0)的抛物线解析式为y=-j1(x-7)(x-12),再利用向右平移48个单位即可.【详解】解:过82作8zDz_Lx轴于 在平面直角坐标系中放置R td B C,/A B C =90,点4(3,4).-0B=3,AB=4,0 A=JOB2+24 g2 =J 3 2+4
13、=5，,三角形有三条边，连线翻转3次是一个循环，1 4+3=4.2,二A5为G4与 A 2 8 2 C 2 位置相同，一个周期长为3+4+5=1 2,OA2=OB+BIAI=3+4=7,O C z=O B+B/i+4 2 c2=3+4+5=1 2,A 4 8 2 cz 是直角三角形,S A2B2C2=B-,D,-A,C2=A .B：-B-,C2,GP3X4=5B,D2,A2D2=d&B；_B?D；=51 12设过 A z (7,0),B：，(y,y ),G(1 2,0)的抛物线解析式为片a(x-7)(x-1 2),把点8 2 (y,y )代入抛物线解析式，y =过2 8 2 c2 的 抛 物
14、线 解 析 式 为 一 部-7)(-1 2),将抛物线向右平移四个循环4 x 1 2=4 8,得抛物线为部-5 5 8-6 0).故 选 D.以AAci BT AA3D2G(C3)B3 K【点睛】本题考查三角形翻滚规律探究，待定系数法求抛物线解析式，三角形面积桥，勾股定理，抛物线平移，掌握三角形翻滚规律探究，待定系数法求抛物线解析式，三角形面积桥，勾股定理，抛物线平移是解题关键.例 4、(2 0 2 1 浙江余姚九年级期末)下列各图中，能通过一个三角形绕一点旋转一次得到另一三角形的图形是()【答案】D【分析】根据旋转变换的定义，逐一判断选项，即可.【详解】A.两个三角形的大小不一样，不能通过一个三角形绕一点旋转一次得到，B.两个三角形成抽对称，不能通过一个三角形绕一点旋转一次得到，C.一个三角形可以通过另一个三角形平移得到，不能通过一个三角形绕一点旋转一次得到，D.能通过一个三角形绕一点旋转一次得到另一三角形，故选D.【点睛】本题主要考查旋转变换的定义，掌握图形的旋转变换，是解题的关键.识别轴对称图形与中心对称图形：识别轴对称图形：轴对称图形是一类具有特殊形状的图形，若把一个图形沿某条直线对称，直线两旁的部分能完全重合，则称该图形为轴对称图形.这条直线为它的一条对称轴.轴对称图形有一条或几条对称轴.中心对称图形识别：看是否存在一点，把图形绕该点旋转180后能与原图形重合.