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1、中考动点专题所 谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或瓠线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想 方程思想 数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力.图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况,需要
2、理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路，这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展.这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等.从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等.研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向.只的这样，才能更
3、好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向.本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点.专题三：双动点问题点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题.它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题.这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点，现采撷几例加以分类浅 1 以双动点载体，探求函数图象问题例1在直角梯形ABCD中，ZC=90,高CD=6cm（如 图1）.动 点P,Q同时从点
4、B出发，点P沿BA,AD,DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，两点运动时的速度都是1cm/s.而当点P到达点A时，点Q正好到达点C.设P,Q同时从点B出发,经过的时间为t（s）时，BPQ的面积为y（cm）2（如 图2）.分别以t,y为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点P在AD边上从A到D运动时，y与t的函数图象是图3中的线段MN.（1）分别求出梯形中BA,AD的长度；（2）写出图3中M,N两点的坐标；（3）分别写出点P在BA边上和DC边上运动时，y与t的函数关系式（注明自变量的取值范围），并在图3中补全整个运动中y关 于x的函数关系的大致图象.评析本题将点的运动过程中形成的函数解析式与
5、其相应的函数图象有机的结合在一起，二者相辅相成，给人以清新、淡雅之感.本题彰显数形结合、分类讨论、函数建模与参数思想在解题过程中的灵活运用.解决本题的关键是从函数图象中确定线段AB、梯形的高与t的函数关系式，建立起y与t的函数关系式，进而根据函数关系式补充函数图象.2以双动点为载体，探求结论开放性问题例2如 图5,RtZiABC中，ZB=90,NCAB=30。.它的顶点A的坐标为（10,0）,顶点 B 的坐标为(5,53),AB=10,点 P 从点A 出发，沿 A-B-C 的方向匀速运动，同时点Q 从点D(0,2)出发，沿 y 轴正方向以相同速度运动，当点P 到达点C 时，两点同时停止运动，设
6、运动面时间为t 机(1)求NBAO的度数.(2)当点P 在 AB上运动时，OPQ的面积S(平方单位)与时间t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分，(如图6),求点P 的运动速度.(3)求(2)中面积S 与时间t 之间的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标.(4)如果点P,Q 保持(2)中的速度不变，那么点P 沿 AB边运动时，ZOPQ的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC边运动时，NOPQ的大小随着时间t 的增大而减小，当点P沿这两边运动时，使NOPQ=90。的点P有几个?请说明理由.解(1)ZBAO=60.(2)点 P 的运动速度为2 个单位/秒.评析本题是以双点运动构建的集函数、开
7、放、最值问题于一体的综合题.试题有难度、有梯度也有区分度，是一道具有很好的选拔功能的好题.解决本题的关键是从图象中获取P的速度为2,然后建立S 与 t 的函数关系式，利用函数的性质解得问题(3).本题的难点是题(4),考生要从题目的信息中确定建立以B 为直角顶点的三角形，以B 为临界点进行分类讨论，进而确定点的个数问题.3 以双动点为载体，探求存在性问题例 3 如图8,矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米(a3).动点M,N 同时从B 点出发，分别沿B-A,B-C 运动，速度是1 厘米/秒.过M 作直线垂直于A B,分别交AN,CD于 P,Q.当点N 到达终点C 时，点 M 也随之停止运
8、动.设运动时间为t 秒.若 a=4厘米，t=1秒,则 PM=厘米;(2)若 a=5厘米，求时间t,使PN B saPA D,并求出它们的相似比；(3)若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求 a 的取值范围；(4)是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN,梯形PQDA,梯形 PQCN的面积都相等？若存在，求 a 的值；若不存在，请说明理由.评析本题是以双动点为载体，矩形为背景创设的存在性问题.试题由浅入深、层层递进,将几何与代数知识完美的综合为一题，侧重对相似和梯形面积等知识点的考查，本题的难点主要是题(3),解决此题的关键是运用相似三角形的性质用
9、t 的代数式表示P M,进而利用梯形面积相等列等式求出t 与 a 的函数关系式，再利用t 的范围确定的a 取值范围.第(4)小题是题(3)结论的拓展应用，在解决此问题的过程中，要有全局观念以及对问题的整体把握.4 以双动点为载体，探求函数最值问题例 4 如图9,在边长为82cm的正方形ABCD中，E、F 是对角线AC上的两个动点，它们分别从点A、C 同时出发，沿对角线以1cm/s的相同速度运动，过 E 作 EH垂直AC交 RtAACD的直角边于H；过 F 作 FG垂直AC交 RtAACD的直角边于G,连结HG、EB.设 HE、EF、FG、GH围成的图形面积为，AE、EB、BA围成的图形面积为
10、这里规定：线段的面积为0).E到达C,F 到达A 停止.若E 的运动时间为x(s),解答下列问题:当 OvX(2)若y 是 与 的和，求 y 与 x 之间的函数关系式；(图10为备用图)求y 的最大值.解(1)以E、F、G、H为顶点的四边形是矩形，因为正方形ABCD的边长为8 2,所以AC=16,过 B 作 BOAC 于 O,贝 U OB=89,因为 AE=x,所以，因为 HE=AE=x,EF=16-2x,所以=x(16-2x),当 时，4x=x(16-2x),解得 xi=O(舍去)，X2=6,所以当x=6时，当 0 x8 时，y=x(16-2x)+4x=-2x2+20 x,当 8sxs16
11、时，AE=x,CE=HE=16-x,EF=16-2(16-x)=2x-16,所以-x)(2 x-1 6),所以 y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256.当 0Sx6与ABC相似(不包括全等)，并求点。的坐标；(3)在(2)的条件下，如P,Q分别是AB和AD上的动点,连接P。，设AP=OQ=?，问是否存在这样的?使得APQ与AD6相似，如存在，请求出m 的值；如不存在，请说明理由.参考答案例题、解:由题意可设抛物线的解析式为y=a(x-2尸+1.抛物线过原点，0=a(0-2)2+1.1 a=4抛物线的解析式为丫=-*-2),即y=-+x 如 图 1,当 O B 为边即四边
12、形OCDB是平行四边形/时,CD=OB,由 0=-L(x 2)2+1 得X 1=0,X2=4,4.,.B(4,0),OB=4.D点的横坐标为6将 X=6 代入 y=-；(x-2/+1，得 y=-3,根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB是平行四边形，此时D 点的坐标为(一2,3),当 0 B 为对角线即四边形OCBD是平行四边形时,D点即为A 点，此时D 点的坐标为(2,1)如图2,由抛物线的对称性可知:AO=AB,NAOB=ZABO.若a B O P 与A A O B 相似,必须有NPOB=NBOA=ZBPO设 0 P 交抛物线的对称轴于A 点，显然A(2
13、,-1)直线0 P 的解析式为y=-gxff.l I 1 2 X=-X+X,2 4得 X=0,X 2=6.,.P(6-3)过 P 作 PEx 轴，在 RtABEP 中,BE=2,PE=3,.,.PB=VB*4.PBrOB,；.NBOPrNBPO,.,.PBO与BAO不相似，同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P 点.所以在该抛物线上不存在点P,使得aBO P与aA O B相似.练习1、解：(1)由已知可得：3a+V3/?=375 5V3/_ 八 in zs _ 2,_ 5V3 _ n ci H-b=0。=，b-.,c=0.4 2 3 3c=0因而得，抛物线的解析式为：y=+述-3
14、 3(2)存在.设。点的坐标为(以，)，贝！I =+加，2 2 5G要使O C P S&B Q,*法则有等;黑即3位、制I解之得，町=2 6，=5/2.当犯=2 6 时，拉=2,即为。点，所以得。（2月,2）要使蛆黑=岑则有手=裳即.2 2 5G3+一机-m 信3 3 m 73解之得，町=3 3 色=6，当机=G 时，即为P 点,当町=3 6 时，=3,所以得。（3石-3）.故存在两个Q点使得OCP与APB。相似.Q点的坐标为（2代 2）,（3代-3）.（3）在RtZOCP中，SJtanZCOP=.0 C 33 A/3所以NCOP=30.当0 点的坐标为(26,2)时，ZB P Q=ZCO P
15、 =3 0 .所以 ZO P Q=ZO CP =N B =NQAO=90.因此，OPC,4PQ8,AOPQ,4Q4Q都是直角三角形.又在 RtQAQ 中，因为 tan/QOA=曰.所 以 NQOA=30.即有 NPOQ=NQQA=NQP5=NCOP=30.所以/O P C/P QB s A O Q P/OQA,又因为 QP O P,QA O A ZP O Q=ZA O Q=30,所以OQA/OQP.练习2解：(1)0 8 与ADE相似。理由如下：由折叠知，N C D E =N B =9 0,.*.Zl+Z2=90,Nl+N3=90,.N2=N3.又,/ZCOD=ZDAE=9 0,：.O C D
16、/AD EcAp 3(2)V tanZEDA.设 AE=3t,AD 4则 AD=4to由勾股定理得DE=5t。：.OC=AB=AE+EB=AE+DE=3t+5t=Ston r CD由(1)O C )SZ A)E,得=,AD DE.8 f CD-=-,4/5f：.CD=0to在 ADC E 中，：CD2+DE2CE2,：.(1 0 f)2+(5 r)2=(5 V 5)2,解得 t=1。.,.OC=8,AE=3,点 C 的坐标为(0,8),点 E 的坐标为(10,3),设直线CE的解析式为y=kx+b,.Jm，解得卜=4，b=8,：.y=-Lx+S,则点P 的坐标为(16,0)O(3)满足条件的直
17、线/有 2 条：y=-2x+12,y=2x12o如图2：准确画出两条直线。练习3解：(1)二次函数图象顶点的横坐标为1,且过点(2,3)和(-3,-1 2),由 j32+32=3 7 2 .要使 M O D s ABAC 或 ABDO s M A C,已有ZB=Z B,则 只 需 粤=粤，阳画或 网L四国 一 网成立.若是，则有忸。|=BOBC 3 x 3 94 4而 40BC=4 5 ,:.BE=DE.在R t A B O E中，由勾股定理，得忸叶+|O E=2忸同2=忸叶=鸣2解得 BE=DE=(负值舍去).g 3OE=OB-BE=3-=.点。的坐标为I .将点。的坐标代入y（左 力0）中
18、，求得k=3.满足条件的直线I的函数表达式为y=3 x.或求出直线AC的函数表达式为y=3 x+3 ,则与直线AC平行的直线/的函数表达式为y=3x.此时易知 8 0。s 8 4。，再求出直线BC的函数表达式为y=-x+3 .联立y=3 x,y=-x+3求得点。的 坐 标 为.1若是，则 有|即=用*=得=2日而 N O B C =4 5 ,.阙=烟.在R t A B O E中，由勾股定理，得 忸+叶=2忸目2=忸 叶=（2血）2.解得 忸目=|。|=2 （负值舍去）.|O|=|O B|-|B|=3-2 =1.点。的坐标为（1,2）.将点。的坐标代入y=（左 片0）中，求得攵=2.满足条件的直
19、线/的函数表达式为y=2 x.存在直线/:y=3 x或y=2 x与线段BC交于点。（不与点B,C重合），使得以8 O,。为（3 9、顶点的三角形与 8 4 C相似，且点。的坐标分别为:，二 或（1,2）.（3）设过点C（0,3）,E（LO）的直线-丫=代+3供工0）与该二次函数的图象交于点尸.将点E（1,O）的坐标代入旷=入+3中，求得左=3.,此直线的函数表达式为y=-3 x+3 .设点 P 的坐标为(x，-3 x+3),并代入 y=-/+2 x+3 ,-5 x=0.解得玉=5,x2=0(不合题意，舍去).x=5,y=-12.点P 的坐标为(5,-12).此时，锐角NPCO=NACO.又 二
20、次函数的对称轴为x=l,点C关于对称轴对称的点C 的坐标为(2,3).当勺 5 时，锐角 NPCOZACO；当年=5时，锐角NPCO=NACO；：AP/CB,：.ZPAB=45过点P 作 PE_Lx轴于E,则A4PE为等腰直角三角形令 O E=a,则 PE=a+l.*.P(,+1),点P在抛物线y=/_ l 上.+1 =/解得4=2,=T (不合题意，舍去)：.PE=3，四边形 4cBp 的面积S=L 4sOC+L48P E=X2X1 +LX2X3=42 2 2 2(3).假设存在:Z PAB=Z SAC=45：.PA1AC.,MG_L x 轴于点 G,I.NMG4=NP4C=90在 RtZX
21、AOC中，04=0C=l：.AC=y/2在 RQ P/E中，A E=P E=3 ：.A P=3 7 2设M点的横坐标为加，则M （m,m2-1）点M在y轴左侧时，则加-1(i)当 A4MG s 诉。4 时,士 A G有 方=MGCAVAG=m19 M G=/%2 1 即-m-1 _ z?72-13 y 2 y/2?解得，叫=-1 （舍去）m2=（舍去）3（i i）当AM/G SAPC A时 有 型=也CA PA即节解得：I（舍去）m2=-2.,.M(-2,3)点M在y轴右侧时，则相 1(i)当AAMG SAPC A时 有 些=如PA CAV G=m 4-l 9 MG=m2 1需=?会解得叫=-
22、1 （舍去）4m,=-33 9(u)当AM4G s PC4时 有 生=些CA PAP1N/T?+1 m2-1即 FF解得：叫=-1 （舍去）网=4.存在点M,使以4、M、G三点为顶点的三角形与AP C A相似M 点的坐标为（2,3）,（4,1 5）练习5、解：(1)点 A(-3,0),C(L0)r.AC=4,BC=tanZBACxAC=-x 4 =3,8 点坐标为(1,3)4设过点A B的直线的函数表达式为y=+。，0=Zx(-3)+b3=k+bQ Q由得k=2,=.直线4 5 的函数表达式为44(2)如图1,过点8 作交x轴于点。,在 RtAABC 和 RtAADB 中，/B A C =ND
23、AB RtAABC RtAADB,4D 点为所求又 tan ZADB=tan ZABC=3y4 9 13 JOP2-P H2=7 3 6-x2,:MH=-O H =3 6-x2.2 2在 RtAMPH 中，MP=JPH2+MH2=JX2+9-X2=-,3 6 +3/V 4 2 .=G P=-M P=勺 3 6+3 13 3(0 x 6).(3)APG H是等腰三角形有三种可能情况：G P=PH时，g j 3 6 +3 l =4解得X=疗.经检验，彳=遥 是原方程的根，且符合题G P=G H时，3 6 +3/=2,解得x =0.经检验，x =0 是原方程的根，但不符合题意.PH=G H 时，x=
24、2.综上所述,如果PG H是等腰三角形,那么线段PH的长为n 或 2.二、应用比例式建立函数解析式例 2 如图2,在aABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=x,C E=y.如果NBAC=3 0 ,ND AE=10 5 ,试确定y 与x 之间的函数解析式；(2)如果N B A C 的度数为a,N D A E 的度数为P，当a,夕满足怎样的关系式时，(1)中y 与X 之间的函数解析式还成立?试说明理由.解：（1）在 AABC VAB=AC,ZBAC=3 0 ,A ZABC=ZAC B=7 5 ,A ZABD=ZAC E=10 5 .VZBAC=3 0 ,ZD AE=10
25、 5 ,A ZD AB+ZC AE=7 5 ,又/口回+/而8=/皿=7 5,ZC AE=ZAD B,A.,.AAD BAE AC,AB=BD,图 2CE AC.1 X -._ 1 y=一X 由 于 N D AB+Z C AE=p-a,又 Z D AB+Z AD B=ZABC=9 0。-W,且函数关系式成立，2.,.9 0-=/7-,整理得万一|=9 0。.当夕一4=9 0。时,函 数 解 析 式 成 立.2x例 3(2 0 0 5 年上 海)如 图 3(1),在 A B C 中，NABC=9 0 ,AB=4,BC=3.点0 是边AC 上的一个动点，以点0 为圆心作半圆,与边AB相切于点D,交
26、线段0 C 于点E.作 E PE D,交射线AB于点P,交射线C B于点F.(1)求证：AD E s/i AE P.(2)设 0 A=x,AP=y，求y 关于x的函数解析式，并写出它的定义域(3)当BF=1时,求线段AP的长.解：连结0 D.根据题意，得 0 D AB,:.Z0 D A=9 0 ,N0 D A=ND E P.又由 0 D=0 E,得N0 D E=N0 E D.，NAD E=NAE P,.AD E 3(2)s/AE P.(2)V Z ABC=9 0 ,AB=4,BC=3,:.AC=5.:Z ABC=Z AD 0=9 0 ,:.0 D /BC,OD x AD _x-9=，3 5 4
27、 54 4 3 2A0 D=x,AD=x.AE=x +x=x.5 5 5 58 4VAAD E AAE P,.=竺，1 _=5 _.：.y x(0 x ).AP AE y 8 -5 8 -x5 当 BF=1时,若E P交线段C B的延长线于点F,如图3(1),则 C F=4.V ZAD E=ZAE P,/.ZPD E=ZPE C.V ZF BP=ZD E P=9 0 ,ZF PB=ZD PE,ZF=ZPD E,A ZF=ZF E C,.C F=C E.o 5，5-？x=4,得x =2.可求得y =2,即 AP=2.5 8若E P交线段C B于点F,如图3 (2),则 C F=2.类似,可得C
28、F=C E.,.5-凡=2,得彳=”.5 8可求得y =6,即AP=6.综上所述，当BF=1时，线 段AP的长为2或6.三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4如图，在aABC中，NBAC=9 0 ,AB=AC=2后，(D A的半径为1.若点0在BC边上运动(与点B、C不重合)，设B0=x,4 A0 C的面积为y.TA(1)求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域.Wp/(2)以点0为圆心,BO长为半径作圆0,求当。0与。A相切时，/1 AOC 的面积./：_ 解：(1)过 点A作AHBC,垂足为H.B-o H cV ZBAC=9 0 ,AB=AC=2痣，/.BC=4,AH=-BC=2.0
29、 C=4-x.图 822*4(0 x r）建立方程.3.解题的关键是用含x 的代数式表示出相关的线段.略解解：（1）证明A C。尸=Z,代入数据得C F =8,，AF=2B D B E(2)设 BE=x，则 d=A C=1 0,A E=1 0 x,利 用(1)的方法 C F=三相切时分外切和内切两种情况考虑：外切，1 0 =1 0-x +2，x =4 五;内切，1 0 x =1 0 2 V 1 7 ./0 x 1 0,当。C和。A相切时，3 石的长为4 亚 或 1 0 -2 而.（3）当以边AC为直径的。与线段D E 相切时，B E=.3类题 一个动点：09杨浦25题（四月、五月）、09静安2
30、5题、两个动点：09闸北25题、09松江25题、09卢湾25题、09青浦25题.（二）线动问题在矩形ABCD中，A B=3,点 O 在对角线AC上，直线/过点O,且与AC垂直交AD于点E.（l）若直线/过点B,把4A BE沿直线/翻折，点 A 与矩形ABCD的对称中心A，重合，求 BC的长；（2）若直线I与 AB相交于点F,且 AO=-AC,设 AD的长为x，五边形BCDEF的面积为S.求S 关于x 的函数关系式，并指/出x 的取值范围；探索：是否存在这样的x,以 A 为圆心，以x-：长为半?径的圆与直线/相切，若存在，请求出x 的值；若不存在，请镣 阻 理 由r-题型背景和区分度测量点 B本
31、题以矩形为背景,结合轴对称、相似、三角等相关知识编制得到.第一小题考核了学生轴对称、矩形、勾股定理三小块知识内容；当 直 线/沿 A B 边向上平移时，探求面积函数解析式为区分测量点一、加入直线与圆的位置关系（相切问题）的存在性的研究形成了区分度测量点二.区分度性小题处理手法1.找面积关系的函数解析式，规则图形套用公式或用割补法，不规则图形用割补法.2.直线与圆的相切的存在性的处理方法：利 用d=r建立方程.3.解题的关键是用含x的代数式表示出相关的线段.略解 .A，是矩形ABCD的对称中心，A，B=AA，=-AC2VAB=A,B,AB=3.*.AC=6 B C =3 6(2)a c =&+9
32、,c o6+9,AF=J _(/+9)4 12A E =x2+94x。1 -AL(/+9)2(炉+9尸96xS=3x-x4+270 x2-8196x(V3 x3V3)若 圆A与 直 线1相切，则OJ/+9,。（舍去），x=x,AA8C与正方形。G重叠部分的面积为y,试求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（4）当A B O G 是等腰三角形时，请直接写出A O 的长.题型背景和区分度测量点例七，典型的共角相似三角形问题,试题为了形成坡度，在原题的基础上改编出求等腰三角形面积的第一小题，当 D 点 在 A B 边上运动时，正方形O E F G 整体动起来，G F 边落在B C边上时，恰好和教材中
33、的例题对应，可以说是相似三角形对应的小高比大高=对应的小边比大边，探寻正方形和三角形的重叠部分的面积与线段A D的关系的函数解析式形成了第三小题,仍然属于面积类习题来设置区分测量点一，用等腰三角形的存在性来设置区分测量点二.区分度性小题处理手法1 .找到三角形与正方形的重叠部分是解决本题的关键，如上图3-1、3-2 重叠部分分别为正方形和矩形包括两种情况.2 .正确的抓住等腰三角形的腰与底的分类，如上图3-3、3-4、3-5 用方程思想解决.3 .解题的关键是用含x 的代数式表示出相关的线段.略解解：（1）S,c =1 2-（2）令此时正方形的边长为 则1 =解 得 =(3)当0Y XW2时,
34、6y、t,c U H 6 4 /2 4 2 4当 2Y X Y5 时，y =%(5-x)=x-X-5 5 7 5 2 5(4)A D =1 2 5 2 5 2 057,7?，类题改编自0 9奉贤3 月考2 5 题，将条件（2）“当点M、N 分别在边5 4、C A 上时”，去掉，同时加到第（3）题中.已知：在A A S C 中，AB=AC,ZB=3 0,BC=6,点。在边5 c 上，点 E在线段DC 上，DE=3,A D E F 是等边三角形，边 D F、E F 与边B A、C 4 分别相交于点 M、N.（1）求证：B D M s x CEN；（2）设 BD=x,A 5C 与 D E b重叠部分
35、的面积为力 求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域.（3）当点M、N 分别在边5 A、C 4 上时，是否存在点D,使以M 为 圆 心 为 半 径 的 圆 与 直 线 E 产相切，如果存在，请求出x 的值；如不存在，请说明理由.例 1：已知。O 的弦A B 的长等于。O 的半径，点 C 在。O 上变化（不与A、B）重合，求N A C B 的大小.分析：点 C 的变化是否影响N A C B 的大小的变化呢?我们不妨将点C 改变一下,如何变化呢？可能在优弧A B 上，也可能在劣弧A B 上变化，显然这两者的结果不一样。那么，当点C 在优弧A B 上变化时，N A C B 所对的弧是劣弧A B,它的
36、大小为劣弧A B 的一半，因此很自然地想到它的圆心角，连结AO、B O,则由于AB=OA=OB,即三角形ABC为等边三角形，则 NAOB=600,则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：N A C B=2/AOB=300,当点C 在劣弧AB上变化时，ZACB所对的弧是优弧A B,它的大小为优弧A B 的一半，由NAOB=600得，优弧AB的度数为3600-600=3000,则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：ZACB=1500,人 R因此，本题的答案有两个，分别为300或 1500.弋反思：本题通过点C 在圆上运动的不确定性而引起结果的不唯/X V.一性。从而需要分类讨论。这样由点C 的运
37、动变化性而引起的分类 心生4讨论在解题中经常出现。Z o yp变式1:已知ABC是半径为2 的圆内接三角形，若AB=2 6,求；N C 的大小.0/本题与例1 的区别只是AB与圆的半径的关系发生了一些变化，其解题1-AB/Tsin-ZAO 5=方法与上面一致，在 三 角 形 A O B 中，2 OB 2，则-Z A O B =602，即乙4。8=120,从而当点C 在优弧AB上变化时，Z C 所对的弧是劣弧A B,它的大小为劣弧A B的一半，即 NC=60,当点C 在劣弧AB上变化时，N C 所对的弧是优弧A B,它的大小为优弧A B 的一半，由NAOB=1200得，优弧A B 的度数为 B3
38、600-1200=2400,则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：ZC=1200,厂 因此 NC=6。或 NC=1200./一D O C变式2:如图,半经为1 的半圆O 上有两个动点A、B,若 AB=L B判断NAOB的大小是否会随点A、B 的变化而变化，若变化，求 勺 歹出变化范围，若不变化，求出它的值。/四边形ABCD的面积的最大值。/解：(1)由于AB=OA=OB,所以三角形AOB为等边三角 广 下Q*G-形，贝!|NAOB=600,即NAOB的大小不会随点A、B 的变化而变化。(2)四边形ABCD的面积由三个三角形组成，其中三角形AOB的面积为4,而三角-ODxAF+-OCxBG-(
39、AF+BG)形 AOD与三角形BOC的面积之和为2 2 2,又由梯形(AF+BG)=EH的中位线定理得三角形AOD与三角形BOC的面积之和2,要四边形旦ABCD的面积最大，只需EH最大，显然EHWOE=2,当ABCD时，EH=OE,因此V3 V3 373四边形ABCD的面积最大值为彳+彳=丁.对于本题同学们还可以继续思考:四边形ABCD的周长的变化范围.变 式 3:如图，有一块半圆形的木板,现要把它截成三角形板块.三角形的两个顶点分别为A、B,另一个顶点C 在半圆上，问怎样截取才能使截出的三角形的面积最大？要求说明理由(广州市2000年考题)分析：要使三角形ABC的面积最大，而三角形ABC的底
40、边 AB为圆的直径为常量，只需AB边上的高最大即可。过点C 作 CDJ_AB于点D,连结CO,由于CDWCO,当O 与 D 重合，CD=CO,因此，当CO与 AB垂直时，即 C 为半圆弧的中点时，其三角形ABC的面积最大。本题也可以先猜想，点C为半圆弧的中点时，三角形ABC的面积最大，故只需另选一个位置C1(不与C 重 合)，证明三角形 ABC的面积大于三角形ABC1的面积即可。如图1显然三角形ABC1的面积=2 ABXC1D,而C1D C1O=CO,则三角形ABC1的面积=2 ABXC1D5ABXC1O=三 角 形 A BC 的面积，因此，对于除点C 外的任意点C1,都有三角形ABC1的面积
41、小于三角形三角形ABC的面积，故点C 为半圆中点时，三角形ABC面积最大.本题还可研究三角形ABC的周长何时最大的问题。提示：利用周长与面积之间的关系。要三角形ABC的周长最大，AB 为常数，只需 AC+BC 最大，(AC+BC)2=AC2+CB2+2ACX BC=AB2+4 X A B C 的面积，因此A A BC的面积最大时，AC+BC最大，从而 ABC的周长最大。从以上一道题及其三个变式的研究我们不难发现，解决动态几何问题的常见方法有：一、特殊探路，一般推证例 2：如图，OO1和。0 2 内切于A,的半径为3,0 0 2 的半径为2,点 P 为。BPCH上的任一点(与点A 不重合)，直线
42、PA交。0 2 于点C,PB切。0 2 于点B,贝 I PC的值为3(A)2(B)唐(C)2(D)V6V分析：本题是一道选择题，给出四个答案有且只有一个是正确的，因此可以取一个特殊位置进行研究，当点P 满足PB_LAB时，可以通过计算得出PB=正一仔=2V2BCXAP=BPXAB,因此ABxBP _ 8行 _ 8V2 _ 472B C=yAB2+BP2-V16+8-2瓜瓜，dBP?-BC?在三角形BPC中，PC=3,BP所以，PC=6选(B)BP AP当然，本题还可以根据三角形相似得标一而，即可计算出结论。作为一道选择题，到此已经完成，但如果是一道解答题，我们得出的结论只是一个特殊情况，还要进
43、一步证明对一般情况也成立。例 3：如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC=4,OA，BC于 O,点 E 和点F 分别在边AB、AC上滑动并保持AE=CF,但点F 不与A、C 重合，点 E不与B、A 重合。判断A0EF的形状，并加以证明。判断四边形AEOF的面积是否随点E、F 的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值.AEF的面积是否随着点E、F 的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值。分析：本题结论很难发现，先从特殊情况入手。最特殊情况为E、F分别为AB、AC中点,显然有 EOF为等腰直角三角形。还可发现当点E与A无限接近时，点 F 与点C 无限接近，此时AEO
44、F无限接近AAOC,而4AOC为等腰直角三角形，几种特殊情况都可以得出AEOF为等腰直角三角形。一般情况下成立吗？O E 与 O F 相等吗？ZEOF为直角吗？能否证明。如果它们成立，便可以推出三角形OFC与三角形OEA全等，一般情况下这两个三角形全等吗？不难从题目的条件可得：OA=OC,ZOCF=ZOAE,而 AE=CF,则AO EAgAOFC,则OE=OF,jaZFO C=ZEO A,所以NEOF=NEOA+NAOF=NFOC+NFOA=9(M),贝！)NEOF为直角，故 EOF为等腰直角三角形。二、动手实践，操作确认例 4 在。O 中，C 为弧AB的中点，D 为弧AC上任一点(与A、C
45、不重合)，则(A)AC+CB=AD+DB(B)AC+CBAD+DB(D)AC+CB与 AD+DB的大小关系不确定分析:本题可以通过动手操作一下，度 量 AC、CB、AD、D B 的长度，可以尝试换几个位置量一量，得出结论(C)例 5：如图，过两同心圆的小圆上任一点C 分别作小圆的直径C A 和非直径的弦C D,延长CA和 CD与大圆分别交于点B、E,则下列结论中正确的是(*)(A)DE-AB(B)DE AB(C)DEAB(D)。瓦AS的大小不确定分析：本题可以通过度量的方法进行，选(B)本题也可以可以证明得出结论，连 结 DO、E O,则在三角形 OED中，由于两边之差小于第三边，则OEODD
46、E,BP OBOADE,因此 AB AB三、建立联系，计算说明例 6：如图，正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上，且 DM=1,N为对角线AC上任意一点，则DN+MN的最小值为.分析：能否将DN和 NM进行转化，与建立三角形两边之和大于第三边等问题，很自然地想到轴对称问题，由于ABCD为正方形，因此连结B N,显 然 有 ND=NB,则问题就转化为BN+NM的最小值问题了，一般情况下：BN+NMNBM,只有在B、N、M三点共线时，BN+NM=BM,因此DN+MN的最小值为 BM=BC2+CM2=5本题通过建立平面上三个点中构成的三角形中的两边之和大于第三边及共线时的两边之和等于第三边的特殊
47、情况求最小值，最后通过勾股定理计算得出结论。例 7：如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC=4,OA，BC于 O,点 E 和点F 分别在边AB、AC上滑动并保持AE=CF,但点F 不与A、C 重合，点E 不与B、A 重合。判断四边形AEOF的面积是否随点E、F 的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值.A E F的面积是否随着点E、F 的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值。(即例3 的第2、第 3 问)分析：(2)本题的方法很多，其一，可以建立四边形AEOF与 A E 长的函数关系式，如 设 A E=x,则AF=2-X,而三角形AO B的面积与三角形AO E的
48、面积之比2-72 1 x-x O B x O A =2 j=X ,而三角形AOB的面积=2,则三角形AOE的面积=J2,同理三2*/2-x x+(22-x)2角形AOF的面积=收,因此四边形AEOF的面积=O.即AEOF的面积不会随点E、F 的变化而变化，是一个定值，且为2.当然，本题也可以这样思考，由于三角形AOE与三角形COF全等，则四边形AEOF的面积与三角形AOC的面积相等，而 AOC的面积为2,因此AEOF的面积不会随点E、F 的变化而变化，是一个定值，且为2.本题通过建立函数关系或有关图形之间的关系，然后通过简单的计算得出结论的方法应用比较广泛.第 问，也 可 以 通 过 建 立
49、函 数 关 系 求 得，A A E F 的 面 积x(2-/2 x)=(x A/2)+12 2，又 x 的变化范围为%2&，由二次函数知识得AEF的面积的范围为:AAEF的面积WI.本题也可以根据三角形AEF与三角形OEF的面积关系确定AAEF的面积范围：不难证明&AEF的面积WAOEF的面积，它们公用边E F,取 EF的中点H,显然由于 A O EF为等腰直角三角形，贝！J O H E F,作 AG _LEF,显 然 AGWAH=AG(=2),所以AAEF的面积WOEF的面积，而它们的和为2,因此。AEF的面积41.本题包容的内涵十分丰富，还可以提出很多问题研究：比如，比较线段EF与 AO长
50、度大小等(可以通过A、E、O、F 四点在以EF为直径的圆上得出很多结论)例 8：如图，在矩形ABCD中，AB=12cm,BC=6cm,点P 沿AB边从点A 开始向点B 以2 厘米/秒的速度移动；点Q沿 DA边从点D 开始向点A 以 1 厘米/秒的速度移动。如果P、Q同时出发，用 t 秒表示移动的时间(OW t W 6),那么：(1)当t 为何值时，三角形QAP为等腰三角形？(2)求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；(3)当 t 为何值时，以点Q、A、P 为顶点的三角形与aA BC 相似？分析：(1)当三角形QAP为等腰三角形时，由于N A 为直角，只能是AQ=AP,建立等量关