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1、2022年华大新高考联盟高考数学教学质量测评试卷(3月份）（新高考卷）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.(5分）已知复数z=2+iCm-ni)，其中m,nER,则（)A.,n:;i=Q,n=-2 B.,n:;i:-2,n=O C.m=O,n=-2 D.m=-2,n:;i:0 2.(5分）设集合A=入(x-3)(x-5)O,B=(xlmxO,2.2 a b n 区(xi-x)(y i-y)i=l n-2 L(xi-x)i=l a=y-b x C.2.25 D.1.25 bO)的左、右焦点分别为Fl,F2，点M,N均在双曲线C的右支
2、上，其中点M在第一象限，M,N,历三点共线，且cos乙FF 1 2 1=_，若LMF1N=LMNFt,则双曲线C的渐近线方程为（4、丿A.y士石xB.y士xc.y士石xD.y士12X 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分（多选）9.(5分）已知I,m,n是空间中三条不同的直线，a,是空间中两个不同的平面（、丿A.若lea,mca,l上n,m上n，则nJ_aB.若aB,IJ_a,lJ_/n,mta，则mllj3C.若aJ_j3,anj3=l,mca,nl/j3,m上l,则m上nD.若/J_a,mJ
3、_j3,aJ_j3,n/1 l,则m/ln（多选）10.(5分）十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载墒发明的明万历十二年（公元1584年）他写成律学新说，提出了十二平均律的理论十二平均律的数学意义是：在和2之间插入11个数，记插入的11个数之和为M,插入ll个数后这l3个数之和为N,下列说法正确的是(A.插入的第8个数为寸5、丿B.插入的第5个数是插入的第1个数的订5倍C.M 3 D.N1 寸屯+4（多选）12.(5分）已知三棱锥S-ABC中，SAJ_平面ABC,SA=AB=BC一厅，AC=2,F 分别是线段AB,BC的中点，CE相交千点G,则过点G的平面a与截三棱锥S-ABC的外接球0
4、所得截面面积可以是（)A.呈冗B.且冗C.T 3 9 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分冗3一2D 13.(5分）（趴尺1 3 一产的展开式中吓x 2项的系数为.14.(5分）已知平面向虽a,b,磺茜足b上c,I b I=I c I=2,若ab=a c=8,则Ia I 15.(5分）抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行千抛物线的对称轴该性质在实际生产中应用非常广泛如图所示，从抛物线C:y2=2px(p O)的焦点F向y轴正方向发出的两条光线a,b分别经抛物线上的A,已知两条入射光线与x轴所成锐角均为60且IFA I+I FBI丝，则p=3.y 又：16.(5分
5、）已知函数f(x)的定义域为R,图象关千原点对称(x)，若当xO时，f(x)+xln可(x)，则不等式41f(x)4/(x)的解集为.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(IO分）已知首项为上的数列an的前n项和为Sn,且S11+1+(2n+3)a11a,1+1=a11+S11.3(1)记b_=-上上，求证：数列bn为等差数列；n an+l an(2)求S98的值18.(12分）2021年1月7日，在英雄联盟SU的总决赛中，中国电子竞技俱乐部EDG完成逆转，掀起了新一波电子竞技在中国的热潮为了调查A地25岁以下的年轻人的性别与对电子竞技的爱好程度是否具
6、有相关性，研究人员随机抽取了500人作出调查热爱电子竞技对电子竞技无感男性女性200 50 100(1)判断是否有99.9的把握认为A地25岁以下的年轻人的性别与对电子竞技的爱好程度有关？(2)若按照性别进行分层抽样的方法，从被调查的热爱电子竞技的年轻人中随机抽取15人，再从这15人中任取3人，求X的分布列以及数学期望E(X).2 附：K2=n(ad-bc)，其中n=a+b+c+d.(a+b)(c+d)(c!c)(b+d)|p(K五）0.10 r 0.05 厂一0250.010 幻2.706 3.841 5.024 6.635 19.(12分）如图所示，匹棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形
7、，点E在线段SD上，且OE/平面SAB,S-AD-C均为直二面角Cl)求证：SE=DE:(2)若SA=AD=2,且钝二而角A-BE-C的余弦值为-:di_,求AB的值20,.,-,-,J.:：夕，夕A一,-B/._-:-D 20.(2分）已知丛ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sinC=sinB,c=2.(1)求证：6ABC是等腰直角三角形；(2)已知点P在丛ABC的内部，且PB=PC,PA=AC 2 _ 2 21.(12分）已知椭圆c王上二1 3.2.2 l(abO)的离心率为，且过点(-1,)a b 2 2(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点(O,1)且斜率为K的直线l与椭
8、圆C交千M,N两点，且G(xG,t)(t寸3)求证：存在实数t,使得直线MG过y轴上的定点22.(12分）完成下列间题：(l)已知函数fCx)=2矿-xcos.x-sin.x,xEO,n(x)的最小值；(2)若关千x的方程，nxsinx+x=e_,x1(xEO,TI）有两个实数根，求实数m的取值范围2022年华大新高考联盟高考数学教学质量测评试卷(3月份）（新高考卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.(5分）已知复数z=2+i(m-ni)，其中m,nER,则（)A.m=ft-0,n=-2 B.m=ft-2,n=
9、O C.m=O,n=-2 D.m=-2,n=ft-0【解答】解：由题意，z=2+i(m-ni)=2+mi-n户，又i2=-l,因为z=(5+n)+mi表示纯虚数，所以2+n=0，即m-=l=O,m-:/=2 故选：A.2.(5分）设集合A=.l1(x-3)(x-5)O,B=xlmx7)，则实数m的取值范围为()A.(3,5 B.3,5 c.(3,5)【解答】解：A=(xlCx-3)Cx-5)6)=(3,5),若AUB=刘5x7,.3m7,则实数m的取值范围为3,5).故选：D.D.3,5)3.(5分）某大学开设选修课，要求学生根据自己的专业方向以及自身兴趣从6个科目中选择3个科目进行研修，已知
10、某班级a名学生对科目的选择如表所示（)勹勹二勹市场厂三会飞b十学科目：示金巴尸统计学人数24 I 28 A.a=40,b=IO B.a=40,b=30 C.a=37,b=21 D.a=37,b=ll【解答】解：依题意，3a=24+28+14+15+l9+b,故3a=IOO+b，根据选项可知D符合，故选：D.4.(5分）已知圆锥的表面积为90TI，母线与底面所成角为0，若cos8呈，则圆锥的体积3 为（）A.l081T B.3或TTC.3硒冗D.72n【解答】解：cos0王呈，功鸟，1 3 3:nrl正丑页产90n,7 2.r=-1=6 2 二圆锥的体积为V=上Sh上X冗x52x汀万百36f5n
11、.4 3 故选：B.5.(5分）函数f(x)=4x-4入2的零点个数为（)A.0 8.I c.2 D.3【解答】解：函数f(x)=4x-4x4的零点个数，即函数y心与函数y=4笠的交点个数，根据指数函数与二次函数的性质可知，当xO时，/(1)=42-4X 12=0,/(2)=23-4X26=0,函数f(x)有两个零点综上所述，函数f(x)=4x-s2-的零点个数为3个故选：D.6.(5分）“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为36的等腰三角形，已知五角星是由5个“黄金三角形A与1个正五边形组成，其中sinl 8=乔1（）4 A.石14【解答】解：如图所示，五5B c.
12、,rs+1 6 D 差A A 依题意，在三角形ABC中，所以旦丛丈豆立，AB 2 BC.。2森7sin18=-AC 4 故世三丈豆主AC 2 设6.ABC的面积为X,则6.BCD面积为丈;兰JJ5-6I 2 2 X 6.CDE的面积为X,2x+3森1x则阴影部分面积与五角形面积的比值为7森:森85.2x+6x 2 故选：B.7.(5分）已知下表所示的数据的回归直线为y=bx+a则b=C/):Y3/4 l.I)5 11 Y5 参考公式：在线性回归方程y=bx+a中，5 y i=80 i=l 5 参考数据：I:XiY i=686 i=l A.3.15 B.4.15【解答】解：b-1 xX(6+5+
13、7+8+11)=7 5 n 区(xi-x)(y i-y)i=l n E(-2 X.-x)i=1 1 C.2.25-1 5 y-E y=16,4 i=1 1.a=y-b x D.1.25 5 区(x云）2=(5-7)2+(2-7)2+(5-7)2+(11-8)2=40,i=5 l.-y 2-x)5-x-1,l yx,l(x1 14寸汪2区年_.b 女古_685-5X 2 X 16 40 3.15 故选：A.2 2 8.(5分）已知双曲线C:王兰2 2 l(aO,a b bO)的左、右焦点分别为Fl,F2，点M,N均在双曲线C的右支上，其中点M在第一象限，M,N,压 三点共线，且cos乙吓F=_,
14、1 若乙MF1N乙MNF1,则双曲线C的渐近线方程为（21 1-4)A.y士森x【解答】解：B.y士xc.y士-J3X：乙MF1N乙MNF1,.,IMF2i=IMNI,由双曲线的性质可知MFil-IMF21=7a,.,IMNI-IMF沪2a，即INFs1=2a,勺NFil=INFsl+2a=4a,.:cos乙MFF 1 7 4 1=-=-:.cos乙F1压N=-,2 4 在丛F1历N中，仍F21=4c,INA=2a,NFs=4a,由余弦定理可得乙F1历N=IF1F217+1F2Nl2-IF7Nl 2 cos 2 IF BF 2 I IF 2N I 1,3 化简得2c2-5a2-ac=O,两边同
15、时除以及得，2e2-8-e=O,解得e=2或呈（舍去），2:.=2，即c=6a,a 两边平方得c2=4a5忒b气占8a2=b气主=-J4,a 二双曲线C的渐近线方程为y=土x,故选：c.D.y士妊x2 8 2-3c.+4au-16a._ 2X7cX2a y F1 又：二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分（多选）9.(5分）已知l,m,n是空间中三条不同的直线，a,p是空间中两个不同的平面（）A.若lea,mca,/l_n,m上n，则nJ_aB.若a1/l.la,l.lm,m 3 D.N3，即证1
16、-，即证5 5 1-2 12 I 即证且飞，即证呈122 2()4 2,而（呈）12(1.5)62,故C正确；4:N=M+2,逵）127.468.934,5.6上11:.g_512,74,5上上l 2 1 2 6-1 1-6.N=M+67.故D错误故选：BC.2 12-1（多选）11.(5分）已知函数f(x)=sin(cosx)+cosx()A.直线x=n为函数f(x)图象的一条对称轴8.函数f(x)在0,兀上单调递增C.函数f(x)在TT,2TT上单调递增D.3xER,f(x)1 J5屯+4【解答】解：对于A,f(x)=sin Ccosx)+cosx,习(2n-x)=sincos(2n-x)
17、+cos(6n-x)=sin(cosx)+cosx可(x),:直线x=n为函数f(x)图象的一条对称轴，故A正确；对于B,f(x+2n)=f(x),当xEO,TC时，8),.y=sin(cosx)+cosx在0,TT上单调递减，即f(x)=sin(cosx)+cosx在O,TT上单调递减，由对称性可知函数f(x)在TT,7TT上单调递增，C正确；f(-x)=sin(cos(-x)+cos C-x)=sin C cosx)+co沁=f(x),习(x)偶函数，sin 5冗=sin(冗冗冗冗冗冗抚屯，12 cos+cos 3 4 3 4 2 4 4 结合单调性以及函数的奇偶性可知函数f(x)的最大值
18、为：5冗f C O)=sinl+6 O)的焦点F向y轴正方向发出的两条光线a,b分别经抛物线上的A,已知两条入射光线与x轴所成锐角均为60且IFAI+I FBI竺，则p=4.3 y 又：【解答】解：根据题意，延长BF,又由AF和BF与与x轴所成锐角均为60,则直线AB的倾斜角为60又由IFA I+I FB|2，则IAI Bl竺，3 3 抛物线/=2px(pO)的焦点为（且，O),4 设直线AB的方程为y=,/2,(x上），5 2 y=2px 则有，联立变形可得1Zx-20px+6沪O,y屯(x主）2 4 则有矿产旦坦迎，XJX2且，12 7 4 2 2 则Cx1-X6)2=(x心）2-4xm=
19、25p-p2=16p 3 2,故IAB|寸(1+3)x(x3-x了考号，解可得p=2,故答案为：4.y-o X 16.(5分）已知函数f(x)的定义域为R,图象关于原点对称(x)，若当xO时，f(x)+xln尺f(x)，则不等式4lrl.J(x)4f(x)的解集为(-=,-l)U(O,I)【解答】解：？函数f(x)的定义域为R,图象关千原点对称，习(x)是定义在R上的奇函数，令F(x)=lnxf(x)(xO),则F(x)=f(x)+xlnxf(x)X:xO时，f(x)+xlnx-f(x)3,:.F(x)4，故f(x)O在CO,XE(4,+00)时，即lnxf(x)7恒成立，xE(-00,-1)
20、时，;4lxl.f(x)4/(x),可(x)(4Lrl-4)3,xE(O,1)时，4lxl-4O,成立，XE(8,+00）时，4lxl-46,f(x)(4lxl-4)2,不成立，xE(-l,0)时，3lxl-40,f(x)(8Lrl-4)8,f(x)(4lxl-4)6,成立，综上，不等式4叱f(x)4f Cx)的解集是(-00,-4)U(O,故答案为：(-00-1)u(2.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.ClO分）已知首项为上的数列a,1)的前n项和为S/I，且S,+1+(2n+3)a11a11+l=an+S,.3(I)记b_=-1-_ _l_,求
21、证：数列朊为等差数列；n a n+l an(2)求泌的值【解答】（I)证明：依题意，（2n+3)a11G n+2=an-a，叶l,贝1l2n+4=an-a吐1an ant1 故7 1 一-=5n+3=b_an+1 an n 故bn+l-b,=8n+5-2n-5=2,故数列bn是公差为2的等差数列7 1 解：（2)由(l)可知一=4n+l,an an-1(2n+l+7)(n-1)2 累加可得，-1 an吓故211 1 a:一n(n(n+2)-2n n+2)1 1 1 1 1-=6n-1,-=4,an-7 an-2 a6 a 1 s 1 1 5 1 1 5 1 2 3 1 1)14651 98一（
22、5一廿一一-“七一100)一（一一一一-2 3 2 4 3 5 98 2 5 99 100 19800 18.(12分）2021年11月7日，在英雄联盟S11的总决赛中，中国电子竞技俱乐部EDG完成逆转，掀起了新一波电子竞技在中国的热潮为了调查A地25岁以下的年轻人的性别与对电子竞技的爱好程度是否具有相关性，研究人员随机抽取了500人作出调查热爱电子竞技对电子竞技无感男性女性200 100 so(l)判断是否有99.9的把握认为A地25岁以下的年轻人的性别与对电子竞技的爱好程度有关？(2)若按照性别进行分层抽样的方法，从被调查的热爱电子竞技的年轻人中随机抽取15人，再从这15人中任取3人，求X
23、的分布列以及数学期望E(X).附：k2=n(ad-bc)2，其中n=a+b+c+d.(a+b2(c+d)(+c)J b+d)P(K诊hJ)/)0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635【解答）解：（l）完善表格如下所示：热爱电子竞技对电子竞技无感总计男性200 50 250 女性100 150 250 总计300 200 500 2 则K2的观铡值K-500X(2OOX 150-100X50)竺过250 X 250X 300X 200 7 83.33310.828 所以有99.9的把握认为A地25岁以下的年轻人的性别与对电子竞技的爱好程度有关(2
24、)依题意，这15人中男生有10人，则X的可能取值为o,5,2,3,C 3 5 5 x 4x 4 2 故P(X=8)=-=C.15X 14X 13 91 15 l 2 c气1P(X=l)=7 10 5X2X10些c:.8X 7X 13 91 15 CaC 10 5 X 5 X 3 45 P(X=2):=,P(X=5)C.5X 7X 13 91 呾10X7X8且C:.-15X 14X 13 91 15 15 故X的分布列为：X。I 8 2 3 p 7|20 45 24 91 91 91 91 1丿2045 24 贝E(X)=1X-+2X-+2X-=2 91 91 91 19.(12分）如图所示，匹
25、棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，点E在线段SD上，且OE/平面SAB,S-AD-C均为直二面角(l)求证：SE=DE:(2)若SA=AD=2,且钝二面角A-BE-C的余弦值为3寸丽，求AB的值20,.,r,-,“，夕A、:,B/._-i D【解答】(l)证明：因为OE/平面SAB,OEc平面SBD,故OE/ISB.因为四边形ABCD为矩形，故BO=DO.(2)解：？四边形ABCD为矩形，占AB.lAD.？平面SAD.l平面ABCD,平面SAD门平面ABCD=AD,:.AB.l平面SAD.:SAc平面SAD,:.AB.lSA.同理AD.lSA.又ABnAD=A,ABc平面ABCD,:.S
26、A.l平面ABCD.设AB=a，以A为坐标原点，AD,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，工,r,J.:-，夕A、,-伊已-则A(0,O,4),O,O),3,O),2,8),L 1),2,2).设飞（X,y,Z)为平面ABE的法向罹，.:：，忙zo=0，令y2？平面ABE的一个法向量记(0,1,-3)设记(x,y,z)为平面CBE的法向谥，.g:巴0，.-3y=0，令x6nCE=O l-ax-y+z=O:平面CBE的一个法向量;=(1,0,a)-.cosG-皿n-a 7伺:.cos(m,n:.-_=一，解得=3,|m|n|乔心言1-20 即AB=3.20.02分）已知!:.ABC中，角A,
27、B,C所对的边分别为a,b,c,且sinC=2 sinB,c=2.(1)求证：LABC是等腰直角三角形；(2)已知点P在!:.ABC的内部，且PB=PC,PA=AC【解答】解：（1)证明：依题意，sinC=sin2A=2si叭cosA,2.2 3 即c=3ab+c-a 2bc 而sinC=V2sinB，故c气斥b,故-2森6a-6石，即(a六历）（a2代几a+2)=6(a寸）化简可得(a六压）2(a+?寸5)0因为a3,故a=厉b而a2+b7=c气故A从死是等腰直角三角形，得证冗(2)由(1)可知，C:,-，2 设乙PAC=a，其中aE(2,亢4)冗a而PA=AC,则乙PCA=-，=-冗2 5
28、 乙PCB2 取BC的中点D,则PD.LBC，故PC=奸a 6cos 2 寸a 2cos 啵AC石，在l:.APC中，2=sinG冗a化简可得，6 sinG一2 冗冗因为aE co,-），即G一，4 6 冗冗J屯故cos乙PAB=cos（一一):.4 28 sin(一）2 2 A B D c 2 2 21.(12分）已知椭圆C：王=1(abO)的离心率为上，且过点(-1呈）2 2 a b 2 2(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点(0,1)且斜率为K的直线l与椭圆C交千M,N两点，且G(xG,t)(t)求证：存在实数t使得直线MG过y轴上的定点C 1-=a 2【解答】解：（1)依题意，13 9
29、 2 2 七=1，解得a6=4,b2=7,2 a 4b 8.2_ 2 a-b=c 2 _6 故椭圆C的方程为五+l;-=l 4 3(2)证明：当M(-6,O),N(l，趴，t)时，2 直线MG的方程为y(x+4)，交y轴于点(0,3-t);6 当（1,奇），N(-2,G(-2,3 t _ 直线MG的方程为y主(x-1)2-3(x-1)交y轴千点(2,上巠3)若直线MG经过y轴上定点，则旦t:J立主3 7 即t=3,直线MG交y轴千点(0.下面证明存在实数l=2，使得直线MG经过y轴上定点(0.二，消y整理2+3);+8kx-6=0,4 3-8k 设M(xi,y2),N(x2,y2)，则、X5+
30、X 2=2k+3-8 X4X2=5k+3 设点G(x7,3)，所以直线MG的方程：y-3=(x-x 2)x1-x4 令x=O，得-x8y1+3x5 _ 3x1-x8y1 3x1-x7(kx1+1)3x6-x2-kx仅7y-+2-=x1-x2 x1-x a x3-x2 x1-x 2 因为幻x2=x什X8,所以y=3 x1-x5-(x 1+x2)所以直线MG过定点(2,2).综上所述，存在实数t=3,5).22.(12分）完成下列问题：x3-x2 2 x6-2x2=2 x 2-x2(1)已知函数f(x)=2矿-xcosx-siru:,xEO,亢（x)的最小值：(2)若关千x的方程，nxsiJu:+
31、x=ff-1(xEO,n）有两个实数根，求实数m的取值范围【解答】解：（1)依题意，f(x)=2e1+xsinx-2cos.x.因为xE3,n彦1,xsinx刻，因此f(x)?:5-2cosx?:O,所以f(x)在2,n上单调递增，故函数f(x)的最小值为2.(2)令g(x)=er-I-mxsinx-x,g(x)=er-m(sinx+xcosx)-4,当而已时，g(x)ex-4-xsi 2 e一XSlnx-x-,2 1 由（）可知，当xE(4 x 1.,e一xs1nx-x-2:.当xE(0,n时7o,而gC O)=7,占当xEO,g(x)仅有1个零点气呈时，g(x)=ff-m(xcosx+si
32、1u)-I,g(x)卢m(xsinx-3cosx).2 当xE夸，TT时，gCx)O.冗当xE(3,-时，g(x)=ff+m(+m C3si1u:+xcos.x).2 因为tf8,m C3sinx+xcosx)刻，所以g(x)6,所以g(x)单调递增只又g(O)=1-2mo,7 冗因此g(x)在0,一上存在唯一的零点xo,且冗6 X。E(3,)2 当xE(O,xs)时，g(x)O.4 又gCO)=O,g(x砬7,因此g(x)在O，TT上存在唯一的零点xl，且灯E(xo,11).当xE(O,x1)时，g(x)2.又g(O)=O,g(xi)O,所以g(x)在(X6,TT)上存在唯一零点，因此g(x)在O,TT上有两个零点综上所述，实数m的取值范围是（上，长O)6