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1、线 性 代 数 第 一 章 参 考 答 案、选 择 题 l.D 2.D 3.C 4.C 5,C 6.C 7.A 8.B 9.B 10.A二、填 空 题 1.7 2.-8、43.3、2 4.6a5.22431a44。14。22。31 436.72 7.o、o 8.n%/=1三、计 算 题 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 3 1 1 1 3 1 1 0 2 0 01.解:二 6 二 6=481 1 3 1 1 1 3 1 0 0 2 01 1 1 3 1 1 1 3 0 0 0 21-1 1 x-1 1-1 1 x-1 1-1 1 x 12.解：1-1 x+1-1二 X1-1 X
2、+1-1=X0 0 X 一 X1 x-1 1-1 1 x 1 1-1 0 X 0 一 X1+x-1 1-1 1-1 1-1 0 0 0 一 X1-1 1 x 10 X 0-X4-X0 0 X-X=x0 0 0-X0ab/、0=仅 _)0bC l b h b 0 0 b-a3.解：a b a ba b ab a h C l 0 a-b 0h b b C l b b b(I-(a-b)2(a2-/?2)ba-bbb0=(b-a a-baa bh an“QaQ22cQa%1c2Qxa40I4E/=lE(=lzi=:ET+IX XXIX-%4 X22t3Q A aIC22。Aa aXq%-格 加 41
3、%a2 cin/n 0 x-a0 0/n 0 a2-axx-a2 0=，+生.日(x-a jk i=l 70 a2-a1。2 x-an i=l)/=!5.解:当=2时，Dn-xx-x2 当 2时,D.=11a2 1“31X j+1x2+12+2,%+2 X+/?x2+nq 一%x+1x2+1x.+lx“+2,x,.+nx.+l 2。22“3211111四；设 D一 个 非 零 元 素，设 知 囹 取。或 1,若 D的 第 一 列 元 素 全 为 零，则 D=0,结 论 成 立;=1,当 a2 l,a3 l不 全 为 零 时，通 过 初 等 变 换 可 把 行 列 式 变 为 D否 则，第 一
4、列 中 至 少 有 10=。2233，2 3 3 2，0其 中=%或=附,因 此 恸 4 1,故 回 4 2.I A五、1、解 方 程 组 有 非 零 解，则 系 数 行 列 式。=111 11-2 1=0,而 由 1 1-23-Z 13-2 1-23-/1 111 Z1=(1-2)001A00=42(1 4)=。可 知 44=0或/I=1时 齐 次 线 性 方 程 组 有 非 零 解。2、解：系 数 行 列 式。2 3 4 512111391 11 271 10 3=24398 27故 国 1.A41652564 1251 111525125吟=4，”选 择 题 2.D 3.D填 空 题 l
5、.E_ 2.6.0三、计 算 题 1.解:1 02 130489271664251251248482=-6,当 D0 2=512481248_ 2-4*D 44.B 5,B3.3E7.-6-1、2,，4-1211030、314,11111392714166414166415251251111=2=一 1D-72-12线 性 代 数 第 二 章 参 考 答 案 6.C 7.C4*2E)8.V29-2-19 9 118.D 9.A 10.B5.167297652.解：A B=617-5 51 1 1-3 225B T=（AB）r=617-5 5 一 T-5 6 171 11-5 1-3-3 22
6、5 11 220A B-BTAT=1112-II-120 14-14 03.解：由 8=（E+A）T（-A）,左 乘（E+A）得（E+A）6=（E A）即 48+A+8=E,于 是 有 A（8+E）+B+E=2 E,即 g（8+E）=E故（E+B）T=g（A+）=1 0 0 0-1 2 0 00-2 3 00 0-3 44.解：A1 5-1-7 1-2-1 1 3-2-7 1 3 5-4-11 8 4 0-11r2+2rl卅 八-1 5-1-7 10 9-1-11 00 36-4-44 30 63-7-77 01 5-10 9-10 0 00 0 0-7-1100030故 R（A）=3-7 1
7、-4-2-1-2=-27 HO 是 个 最 高 阶 非 零 子 式。1 5 10 0 0 13-2 0-1 15.（A:E）=0 21-22-31-2000 1 2 1 0q-4 r,口-4 2-1-20 1-32-200-20 0 1 0-12 1-6-100 0 0 1-2-3-21 0 0r3-3r2,、0 1 2 10 1 0 0 4 9 50 0 1 0 2 2 10 1 0-1 0 0 0 1-1 6 11T0 1 0 0 0-1 3 6 0 0 1 0-10 0 0 1 20 0 1 o-0 0 0 11 0-3 00 1 0 00-3-41 0-1-1 3 61 一 6-10故
8、1 0-3-4肌-0 1 0-1-1-1 3 6_ 2 1-6-10四、证 明 题（本 题 共 2 小 题，每 题 6 分，满 分 12分）1.4、8 为”阶 方 阵 且 满 足 2A-y=B-4 E,证 明：A-2E 可 逆。证:2A-B=B-4E,故 2 A A P=AB-4A AB-2B=4A即（A-2E）B=4A=（A=E,由 逆 矩 阵 的 定 义 可 知 A-2KT逆，且（A-2）-1=；BA-12.设 阶 矩 阵 A,3 满 足 4+B=AB,E为 阶 单 位 矩 阵（1）证 明 4-E 为 可 逆 矩 阵.（4 分）（2）证 明：ABBA.（3 分）证（1）由 已 知 等 式
9、A+B=有 48-A-8+E=E,BP（A-EB-E）=E,即 A-E 为 可 逆 矩 阵，且（A-E L=（6-E）。（2）由（4 一 后）,（8 后）互 为 可 逆 矩 阵 知（4）（8-后）=（8-石）（4-后），即 有 AB=A4。-2-2-2-2五、设 4=一 2 2 2 一 2,求 1 父-2-2 2-2_-2-2-2 2 _ 16 0 0 0,0 16 0 0A2=16E0 0 16 00 0 0 16当 为 偶 数,即=2%,%21 时，An=A2k=（A2）!=16*E当 为 偶 数，即=2优+1）火 2 1时，A=42”=（42）4=61线 性 代 数 第 三 章 综 合
10、自 测 题一、单 项 选 择 题（在 四 个 备 选 答 案 中，只 有 一 项 是 正 确 的，将 正 确 答 案 前 的 字 母 填 入 下 面 横 线 上。本 题 共 1 0小 题,每 小 题 3 分，共 3 0分）1.如 果 向 量 p 能 由 向 量 组 四,2，a”线 性 表 示，则（D）（A）存 在 一 组 不 全 为 零 的 数 匕,左 2,心，使 得 P=&冈+氏 2a2+（B）对 少 的 线 性 表 示 惟 一（C）向 量 组 夕 必，电,a,“线 性 无 关（D）存 在 一 组 数 占，无 2,尤”,p=klai+k2a2+kmam2.向 量 组,。2,见 线 性 无 关
11、 的 充 分 条 件 是（c）（A）均 为 非 零 向 量;（B）%,。2,的 任 意 两 个 向 量 的 分 量 不 成 比 例：（C）a”。?，见 中 任 意 部 分 向 量 组 线 性 无 关；D）%,0 2,a,中 有 一 个 部 分 向 量 组 线 性 无 关。3.若 名,外,线 性 相 关，且 左 网+k 2 a 2+&/,”=0，则（D）。（A）kx=k2=,=km=0（B）匕,2,尤“全 不 为 零（C）匕,心 不 全 为 零（D）上 述 情 况 都 有 可 能 4.一 个 加 X”阶 矩 阵 A 的 秩 为 加，则 下 列 说 法 正 确 的 是（A）（A）矩 阵 A 的 行
12、 向 量 组 一 定 线 性 无 关；（B）矩 阵 A 的 列 向 量 组 一 定 线 性 无 关；（C）矩 阵 A 的 行 向 量 组 一 定 线 性 相 关；（D）矩 阵 A 的 列 向 量 组 一 定 线 性 相 关。5.两 个 维 向 量 组 A：ay,a2,-,as,B：,且 R（4）=R（B）=r,于 是 有（C）（A）两 向 量 组 等 价，也 即 可 以 相 互 线 性 表 出；（B）R（%,%,&，4,/7 2,，力）=；（C）当 向 量 组 A 能 由 B 线 性 表 出 时，两 向 量 组 等 价；（D）当 s=f 时，两 向 量 组 等 价。6.若 向 量 组 a,夕/
13、线 性 无 关，向 量 组 a,/?,3 线 性 相 关，则（C）.（A）a 必 能 由 夕,线 性 表 示（B）少 必 不 能 由 a,八 d 线 性 表 示（C）3 必 能 由 a,夕,y 线 性 表 示（D）3 必 不 能 由 a,夕,7 线 性 表 示7.下 列 命 题 中 正 确 的 是（D)（A）若 向 量 组 的 秩 为 r,则 该 向 量 组 的 其 中 的 任 意 尸 个 向 量 均 线 性 无 关；（B）若 向 量 组 中 有 r+1个 向 量 线 性 相 关，则 该 向 量 组 的 秩 一 定 至 多 等 于 厂；（C）向 量 组 A 与 向 量 组 B 等 价 的 充
14、要 条 件 是 R（A）=R（B）；（D）可 逆 矩 阵 的 秩 等 于 矩 阵 的 阶 数。8.己 知 维 向 量 组（I）：为，以 2,，名”和（n）：四，62,，人 的 秩 都 等 于 r,那 么 下 述 命 题 不 正 确 的 是（A）（A）若 机=$,则 向 量 组（I）与 向 量 组（II）等 价（B）若 向 量 组（I）是 向 量 组（II）的 部 分 组，则 向 量 组（I）与 向 量 组（H）等 价（C）若 向 量 组（I）能 由 向 量 组（H）的 部 分 组 表 示，则 向 量 组（I）与 向 量 组（II）等 价（D）若 R（四，“2,厮 必，“，/U=r,则 向 量
15、组（I）与 向 量 组（H）等 价 9.设/=（1,1,1）,%=（123），。3=（1，3/），当%,线 性 无 关 时，f不 等 于（D）（A）1；（B）2；（C）3；（D）以 上 都 不 对 10.设 A 是“2X”矩 阵，8 是 矩 阵，则（B）（A）当 机 时，|A8|w0；（B）当 机 时，|AB|=O；（O 当”加 时，|AB|H 0：（D）当“，时，=o。二、填 空 题（本 大 题 共 10个 空，每 个 空 2 分，满 分 20分）1.已 知 a=（2,1,3,5）,夕=（4,一 2,3,7）,贝 U 3 a+4=_（10,1,12,22）,4 a-5=（-12,14,-3,
16、-15）。2.已 知 囚=（2,5,1,3）,a2=（2,1,2,5）,a,=（4,1,-1,1）,且 3（%-a）+2（%+a）=5（%+&），则 a=3.一 个 向 量 组 含 有 两 个 或 两 个 以 上 的 最 大 无 关 组，则 各 个 最 大 无 关 组 所 含 向 量 个 数 必 相 等。4.设 明,。2，。3是 3 维 线 性 无 关 的 向 量 组，A 为 3 阶 方 阵，且 A%=%+，2-2+a3t 4&3=%+&3,则|A|=2,R=3。5.向 量 组 a 尸（2,3,-1,5）,%=（6，3,-1,5）,a3=（4,1,-1,7）的 秩=3,最 大 无 关 组 为
17、1，2,3 o6.两 个 维 向 量 组 A：a1,a2,-,am,B：,6(4)=、,R(B)=r2,R(A,8)=6 则 max(八,)，r,+r2 3 的 大 小 关 系 是：max(r,r2)r3 0 1 2 4 0 1 2 40 1 2 4 0 1 2 4 0 0 0 0、0-1 11、0-1 11(0 0 35,1 0-1-2、0 1 2 40 0 3 5、0 0 0 0 7故，/?(,a2,a3,a4)=R(al,a2,ai)=3,所 以 线 性 相 关，而%,a 2,线 性 无 关。2.已 知 向 量 组 4=(0,1,1尸,色=(a,2,l)T/3=S，l，0)T 与 向 量
18、 组%=(1,2,-3)r,a2=(3,0,1)7,a3=(9,6-7)T具 有 相 同 的 秩，且 自 可 由 四，。2，。3线 性 表 示，求“力 的 值。解：因 为(%,%，。3，3)=2 39 b p6 1-0-7 0J 103-609-120l-2b5 b,301b故 尺(。,%，。3)=2 又 因 为 向 量 组 力,夕 2,43与 向 量 组%，%，具 有 相 同 的 秩，且 43可 由%,%，出 线 性 表 示，所 以/?(%,%，%)=/?(%,%，%，43)=R 电,瓦,设=2故，5 b=0 n b=5；0 a则 佃，&尸 3)=1 21-1 15 11 T 0oj 02
19、13 1,故 5=0=a=15。a 30 5-3j3.利 用 初 等 变 换 法 求 下 列 矩 阵 的 列 向 量 组 的 秩 及 一 个 最 大 无 关 组。（10分）1 0 2 1、2-1-1 1 2、1 2 0 11 1-2 1 4(1)(2)2 1 3 04-6 2-2 42 5-1 4、3 6-9 7 9,4-6 2-2 4 0 0 0 1-3、3 6-97 9,0 0 0 0，故/?(4)=3,且(2,4,3)7,（-1,1,-6,6），（1,卜 2,7）为 最 大 线 性 无 关 组。r 1 0 2 11 2(2)令 A=2 103102 5-1 4J-1 3-1,关 组。1
20、0 2 1、1 0 2 1、1 0 2 0、0 2-2 0 0 1-1 0 0 1-1 00 1-1-2-0 0 0-2-0 0 0 10 5-5 2 0 0 0 2 0 0 0 010-1 1-2)、0 0 0-2,、0 0 0 0,故 R(A)=3,且(1 1 221)(0 2 15-1)(1 1 0 4-1/是 它 的 列 向 量 组 的 最 大 线 性 无 四、证 明 题（本 大 题 共 3个 小 题，每 题 10分，满 分 30分）1.证 明：向 量 组%,%,明 线 性 无 关 的 充 分 必 要 条 件 是 向 量 组 A=%,J32=%+a2,-,/3r=%+a2+%线 性 无
21、 关。1 3 2 3 1-1 1（）_ 1 1证 明：因 为（四,。2,仇 也 也 3）=|?0-1 3 1 0 2证 明：不 妨 假 设，名,。2,，巴 为 列 向 量 组，由 夕 二 必，夕 2=%+%，瓦=%+%+明 知 0 2 凡 能 由 四,明 线 性 表 示，故 M/7|夕 2 仇)&R 8%)(1)1 1 1、(1 0()1.1()1.1且，(/?,/32 瓦)=(%a2%)：,(*)，令 K=.:,显 然 因=1*0,、0 0 1J 10 0 1,也 即 K 可 逆。(*)式 两 边 同 时 右 乘 K t 有(舟%/?,.)=(%)也 即 名,。2,明 能 由 4 A 日 线
22、 性 表 示，故 R(/?|p2 a)N R(%a2)(2)由(1),(2)得 R Bi 0,)=R(a、a2 明),也 即 与 A Pi 万,有 相 同 的 线 性 相 关 性，故 向 量 组 线 性 无 关 的 充 分 必 要 条 件 是 向 量 组 用=%,p2=%+a2,/?,.=a,+a2+a,线 性 无 关。2.证 明：如 果 维 单 位 坐 标 向 量 组 J*?,可 以 由 维 向 量 组 明,。2,，。”线 性 表 示，则 向 量 组 9,%，,凡 线 性 无 关。证 明：因 为 维 单 位 坐 标 向 量 组 1,4，却 可 以 由 维 向 量 组 见，。2,，%线 性 表
23、 示，所 以 R(e,2,-n)R(al,a2,-an),又 因 为 名 心,”线 性 无 关，所 以 氏 际 冬，%)=，故/?(%,%，,%)=，所 以 线 性 无 关。3.设=(1,-1,1,一 1)7,。2=(3,1,1,3),瓦=(2,0,1,1)7也=(3,-1,2,0)7也=(1,1。2)7,证 明 向 量 组 4,%与 向 量 组 伍 也 也 等 价。0 3 2 3 1、0 2 1 1 10 0 0 0 0、,0 0 0 0 0,故 而/?(%,%)=/?(仇 力 2，%)=A(%，%，仇 力 2，/)=2，因 此 向 量 组 四,%与 向 量 组 打，久 等 价。线 性 代
24、数 第 四 章 综 合 自 测 题一、单 项 选 择 题（在 四 个 备 选 答 案 中，只 有 一 项 是 正 确 的，将 正 确 答 案 前 的 字 母 填 入 下 面 横 线 上。本 题 共 10小 题,每 小 题 3分，共 3 0分）1.已 知 对,的 是 非 齐 次 线 性 方 程 组 AX=3 的 两 个 不 同 的 解，匕,匕 是 其 对 应 导 出 组 AX=0 的 基 础 解 系，C1,，2为 任 意 常 数，则 非 齐 次 线 性 方 程 组 A X=8 的 通 解 是（B）U,-A、CjV)+c2(Vj+v2)+-B、c,v,+c2(v,-v2)+C、+C/、u.-u72
25、(Mt+M2)+-,、M,+M,D、C|V1+C2(i/-M2)+-2.设 方 程 组 的 系 数 行 列 式 为 零，则（D）A、方 程 组 有 无 穷 多 解；B、方 程 组 无 解；C、方 程 组 有 唯 一 解；D、方 程 组 可 能 无 解，也 可 能 有 无 穷 多 解。3.A 为 机 X”阶 矩 阵，则 关 于 齐 次 方 程 组 的 结 论 是（C）A、m n 时，方 程 组 仅 有 零 解；B、w 时，方 程 组 有 非 零 解，且 基 础 解 系 含 有-加 个 线 性 无 关 的 解 向 量;C、若 A 有 阶 子 式 不 为 零，方 程 组 仅 有 零 解；D、若 A
26、所 有-1阶 子 式 不 为 零，方 程 组 仅 有 零 解 4.%,岭,匕 为 齐 次 线 性 方 程 组 AX=0 的 一 个 基 础 解 系，则（D）也 是 该 方 程 组 的 基 础 解 系。A、匕-匕，3丫 2 1V3，7 1-3V2+2匕；B、V1+2V2+V3,+v2,v,+v3；C、与,匕,匕 等 价 的 同 维 向 量 组,%，%，%；D、与,匕，匕 等 价 的 同 维 向 量 组,%，%。15.要 使。=020星=1 都 是 线 性 方 程 组 AX=0 的 解，只 要 系 数 矩 阵 A 为（A）-1(A)-2 1 1(5)(C)-1 0 21-10 1-1(D)4-2-
27、20 1 10Xj-x2=06.齐 次 线 性 方 程 组 七=0,_ C _是 它 的 一 个 基 础 解 系。x-x3=0I Ax,+x,=07.方 程 组,八，当 几=B%1+/tx2=0一 时，方 程 组 有 非 零 解。A、0 B、1 C、2 D、任 意 实 数 8.对 于 元 线 性 方 程 组，下 列 命 题 中 正 确 的 是(D)A、A X=8 有 唯 一 解 R(A)=；B、A X=0 仅 有 零 解，则 A X=8 有 唯 一 解;C、A X=0 有 非 零 解，则 A X=B 有 无 穷 多 解；D、A X=8 有 两 个 不 同 的 解，则 A X=3 就 有 无 穷
28、 多 组 解。9.阶 矩 阵 A 的 伴 随 矩 阵 A*非 零，如 果 存,么 看 3，鼻 是 非 齐 次 线 性 方 程 组 A X=8 的 互 不 相 同 的 解，则 导 出 组 A X=0 的 基 础 解 系 所 含 解 向 量 的 个 数 是(C)A、3 个；B、2 个；C、1 个；D、0 个。10.设 A 为 机 x 阶 矩 阵，非 齐 次 线 性 方 程 组 A X=B 有 解 的 充 分 条 件 是(C)A、R(4)m；B、R(A)R(A)=m；D R(4)=。二、填 空 题(本 大 题 共 4个 小 题，每 题 5分，满 分 20分)1,非 齐 次 线 性 方 程 组 A X
29、=b(A 为 zx 矩 阵)有 唯 一 解 的 的 充 分 必 要 条 件 是 R(A)=R(A M=n。2.+1个 维 向 量，组 成 的 向 量 组 为 线 性 _相 关 向 量 组。U 2 1、3.已 知 线 性 方 程 组 2 3J a-2 Jx2无 解，则。0 Ja+2 34.设 阶 矩 阵 A 的 各 行 元 素 之 和 均 为 零，且 A 的 秩 为-1,则 齐 次 线 性 方 程 组 A X=0 的 通 解 为 攵(1,1,1),k w C。1 2 2、5.设 矩 阵 4=2 r 3,3 阶 矩 阵 6*0,若 A6=0,则 仁 2。、3 4 5,6 设 4 为 2 x 3 矩
30、 阵，R(A)=2,%,。2是 非 齐 次 线 性 方 程 组 A X=6 的 两 个 解，若%=(0,1,1尸，a2=(2,2,3)r,则 A X 的 通 解 为 X=%(2,IN)，+(0,，k e C.7.已 知 四 元 非 齐 次 线 性 方 程 组 Ax=b,r(4)=3,7,%,仍 是 它 的 三 个 解 向 量，其 中7+%=(1,2,0,2尸,生+小=(1,0,1,3)，则 齐 次 线 性 方 程 组 的 通 解 为 X=灯 0,2,I)，+(1,l,0,l)r,k E.C。二、求 下 列 线 性 方 程 组 的 通 解(本 大 题 共 4 个 小 题，每 小 题 6 分，共
31、2 4分)1X 一 X3+乙=0%1-x2+x3-3X4=0；xtx2-2X3+3X4=0解：齐 次 线 性 方 程 组 的 系 数 矩 阵 A=-1-1-1-11-21、-3，将 系 数 矩 阵 进 行 初 等 行 变 换 得 3,得 到 方 程 组 的 基 础 解 系 为 刍=-2,故 R(4)=2,基 础 解 系 中 包 含 4-2=2个 向 量，而 方 程 组 的 同 解 方 程 组 为，0 xt-x2+x4X3=2X4(k2 eC)2.+(n-l)x2+2xn_1+x“=0解：设 方 程 组 的 系 数 矩 阵 为 4,则 A=(n-1原 方 程 组 移 项 得 到 x“1I00,故
32、 方 程 组 的 通 解 为+k 4 2，2 1),显 然 R(A)=1,故 基 础 解 系 中 包 含 n-1个 向 量：把(HX|+(rt l)x2+2x“_1)取 x2,得 到 一 组 基 础 解 系 为 故 方 程 组 的 通 解 为 X=+k&+%一 高 1，(&，七%E C)。111、703.2占+7 X2+3X3+X4=63X+5X2+2X3+2X4=49 元+4/+/+7X4=2解：设 方 程 组 的 系 数 矩 阵 为 A,增 广 矩 阵 为 B,则 2 7 3 1 6、B=(A。)=3 5 2 2 4、9 4 1 7 2,2、il10IT0，、1 91 0 11 11初 等
33、 行 变 换)0 1-11 110 0 0 07因 为 R(B)=R(A)=2 4,所 以 方 程 组 有 无 穷 多 组 解。方 程 组 的 同 解 方 程 组 为 41 9 2：X11?-iiX 4-n-5 1 10 X113 11 11取 3=，X4=1，得 到 方 程 组 的 一 个 特 解 为 方 程 组 对 应 的 导 出 组 为 1 9项=JJX3-4 5 IX-f=-d-2 11 3 11 4取 X3071、10,得 到 方 程 组 的 一 组 基 础 解 系 为 刍 故 方 程 组 的 通 解 为 X=k&+k/2+,(,女 2 C)X1+0+%=73114-2X2+与+&-
34、3X5=-2x2+2X3+2X4+6%=235为+4X2+3X3+3X4-X5=124、设 方 程 组 的 系 数 矩 阵 为 A,增 广 矩 阵 为 B,则 1 1 1 1 7(0-1-1-5-16、B=(A b)=3 2 1 1-3-2初 等 行 变 换、0 1 2 2 6 230 1 2 2 6 23 0 0 0 0 0 0、5 4 3 3-1 12 0 0 0 0 0 0因 为 R(3)=R(A)=25,所 以 方 程 组 有 无 穷 多 组 解，方 程 组 的 同 解 方 程 组 为Xx=工 3+工 4+5/-16，取 工 3=0,兀 4=，%5=0，%2=-2%2%4 6鼻+231
35、/取 何 值 时，非 齐 次 线 性 方 程 组 得 导 出 组 的 一 组 基 础 解 系-16、23000 左+七 星+原,+,(,&,勺 eC)Ax,+x2+x3=1X+A X2+X3-A,%)+X-,+有 惟 解；无 解：有 无 穷 多 个 解？解：系 数 矩 阵 行 列 式 网 2111 1A 1=才+2 34=(/1+2)(/1 I.1 2 当;Iwl,2 时，同/0,当 力=一 2 时，增 广 矩 阵 方 程 组 有 惟 一 解;A=(A，-21,1+2八 10、0-2 1-3 33-31-21-2、-36 11-2殳+2R(A)=2,/?(!)=3,、-24100 16 殳 7
36、-2-30/?（A）?（!）,1-21-21111-2-2、14130-2、-33,方 程 组 无 解。当 2=1时，增 广 矩 阵 A-(A:b1 1 11 1 1J 1 1111、r2-rG F710,01001 n000,0,R(A)=R(4)=13,方 程 组 有 无 穷 多 解.基 础 解 系 的 个 数/=一 厂=3-1=2,为 2.已 知 四 阶 方 阵 4=(%，%，%，%)，%,%，%，%均 为 四 维 列 向 量，其 中%，%，。4线 性 无 关，。=2%-如 果/?=%+%+%+%，求 线 性 方 程 组 A X=p 的 通 解。解：因 为%，%，%线 性 无 关，所 以
37、 R(A)N3,又 因 为%=2%-故。,。2，。3，%线 性 相 关，所 以 我(4)=3,又 因 为 尸=%+%+。3+a4,即 AX=/?有 解，且=(1 1 1 为 方 程 组 的 一 个 特 解；又%=222-。3,即%-222+03=0知&=(1 2 1 0)7是 其 对 应 导 出 组 AX=0的 解，又 因 为 R(A)=3,所 以 导 出 组 的 基 础 解 系 中 含 有 4-3=1个 线 性 无 关 的 解，即 4=(1-2 1 0)7为 导 出 组 的 基 础 解 系，所 以 方 程 组 的 通 解 为 X=k&+rj,(k G C)五、证 明 题(本 大 题 满 分
38、9 分)设 元 齐 次 线 性 方 程 组 AX=0的 基 础 解 系 为：K，。=一(A)，令 8=&,后)，证 明：对 于 任 意 可 逆 的 f阶 矩 阵 C,B C 的 列 向 量 组 构 成 A X=0 的 基 础 解 系 证 明：因 为 C 为 f阶 可 逆 矩 阵，所 以 R(BC)=R(8)=f,且 8c的 列 向 量 组 中 共 有，个 向 量，故 6C的 列 向 量 组 线 性 无 关 且 含 有 f个 向 量，又 因 为。，2,看,，为 元 齐 次 线 性 方 程 组 AX=0的 基 础 解 系，所 以 AB=0,故 A B C=A(BC)=0,所 以 BC的 列 向 量
39、 组 是 齐 次 线 性 方 程 组 AX=0的 解，综 合 以 上 有 8C 的 列 向 量 组 构 成 AX=0的 基 础 解 系。线 性 代 数 综 合 自 测 题 一、选 择 题(本 题 共 10小 题，每 题 3 分，满 分 3 0分，每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 符 合 题 目 要 求，把 所 选 项 前 的 字 母 填 在 题 后 的 括 号 内)。1、排 列 4 132的 逆 序 数 是(C)(A)2；(B)3；(C)4；(D)5；2,设 A 是 阶 可 逆 矩 阵，A*是 A 的 伴 随 矩 阵，则(A)(A)k*|=(B)|A*|=|A|(C)
40、|A*|=|A|(D)|A*|=|A-|53、已 知 A、B 为 n 阶 非 零 矩 阵，则 下 列 公 式 成 立 的 是(A)(A)A+B B+A；(B)(A+B)2=A2+2AB+B2；(C)AX=4 丫,则 乂=丫；(D)A=A,；4、已 知 A 为 3阶 矩 阵，且|川=2,则|A*|=(B)(A)2；(B)4；(C)0；(D)8；5、下 列 命 题 正 确 的 是(C)(A)若 向 量 组 a”%，%,是 线 性 相 关 的，则%可 由%，%.线 性 表 示；(B)若 有 不 全 为 零 的 数 4,4,4,使 4%+4,a,“+4 A+4,血”=0 成 立，则%,%，线 性 相
41、关,4,以 线 性 相 关；(C)包 含 零 向 量 的 向 量 组 一 定 线 性 相 关；(D)设 名,口 2,%是 一 组“维 向 量，且 维 单 位 坐 标 向 量,02,e”能 由 它 们 线 性 表 示，则 线 性 相 关；6、已 知。=det(%),则%A。+a,2A/2+(iw j)(A。,/=1,，为 代 数 余 子 式)的 值 是(C 6(A)D；(B)-D；(C)0；(D)以 上 都 不 对：7、设”阶 行 列 式 若。”中 有 一 列 元 素 全 部 为 0,则|。,|=(D)(A)-1；(B)1；(C)2；(D)0；8、机 个 方 程 个 未 知 量 的 非 齐 次
42、线 性 方 程 组 AX=匕，有 无 穷 多 组 解 的 充 分 必 要 条 件 是(B)。(A)R(A)=R(Ab)=n；(B)R(A)=R(Ab)n；(C)R(A)R(A|b)=；(D)R(A)R(Ab)n；3x+ky-z=09、如 果 线 性 方 程 组，4y+z=0 有 非 零 解，则(C)okx-5y z=0(A)k=0(B)k=l(C)%=1或 忆=3(D)k=310、设 向 量 组 at=(1,0,0,0),%=(0,1,0,。),%=(0,0,l,0),a4=(0,0,0,1),则 它 的 最 大 线 性 无 关 组 是(D)(A)a,a2；(B)at,a2,a3；(C)at,
43、a2,a4；(D)at,a2,a3,a4；二、填 空 题(本 题 共 6 小 题，7个 空，每 空 2分，满 分 14分，把 答 案 填 在 题 中 的 横 线 上)。1、设 A=1 0、2%，则*0(尤+X Ako（为 正 整 数）2、设 A 为 3 阶 矩 阵，|A|=g,则|A2；卜 Z A P-5A|=T 63、向 量 组%=(1,0,0),%=(0,1,0),=（0,0,1）是 线 性 无 关 0（填“相 关 或 无 关）4、已 知 矩 阵 4=1 2、2 5,，则 A-1=，5、2-2、1 5、设 匕 则 3v,+2V2-v306、设 A100201、0，月.AB+E=A?+8,则
44、 8=A+E=b2 07.A=12-13,B=A2-3 A+2E,则 3T0 1-1-10 3 01 02 J8.设 为”阶 矩 阵，同=2,怛|=3,则|24*方=-22-139.已 知 向 量 组%=(1,2,-1,1),a?=(2,0/,0)，=(0,-4,5,-2)的 秩 为 2,则 公 310.设 四,。2，。3是 3维 线 性 无 关 的 向 量 组，A为 3阶 方 阵，且 4%=%+/，-cc2+a3,A a3-a+a3,则|A|=2_，R(A)=3三、计 算 题。（本 大 题 共 6 小 题，共 4 6分）1、计 算 下 列 行 列 式。（本 题 共 两 小 题，每 题 5 分
45、，共 10分）4 1 2 41 2 0 2(1)10 5 2 00 1 1 7X a(I X D“=a aaax1 20-70-150 14 1 2 4(1)解：D=1 2 0 210 5 2 00 1 1 7-4 0 9-20=0 177 1 14585=07x+(n-l)a%+x+(n-1)a(2)解：D=.a aax1=x+(n-l)a.01x-a0 x-a2、设 A-1n-1=x+(nT)a(X)1 2 3、B=-1-2 4、0 5 1,求 3A8-2A 及 AB。（10 分）u-1 11 1、1 2 3）0 5 8、解：AB=1 1-1-1-2 40-5 6 而 11-1、。5b、2
46、 9 0 5A 丁 左 二=JF3=C 5o j0 15 24)（2 2 2 r-2 13 22、3AB-2A=0-15 18-2 2-2=-2-17 20、627 012-22 J U29-23、求 矩 阵 A 的 逆 矩 阵。（5 分）A7=A1111、10(3-2 0-P1-2(0 1 2解:3-2 0-1 1 0 0 0、q-2-3-2 0 0 1 0、（A N）=0 2 2 1 0 1 0 0T0 2 2 1 0 1 0 01-2-3-2 0 0 1 0 0 4 9 5 1 0-3 0(01 2 1 0 0 01 1。1 2 1 0 0 0b(I-2-3-2 0 0 1 0、1-2-
47、3-2 0 0 1 0、0 1 2 1 0 0 0 1 0 1 2 1 0 0 0 1-0 0 1 1 1 0-3-4 0 0 1 1 1 0-3-4、00-2-1 0 1 0一 2)、00 0 1 2 1-6-io,f 1 0 0 00 10 0、0 00 01 00 110-121-2-4、1 0-1-1 3 61-6-10yA-11 1-2-4、0 1 0-1-1-1 3 62 1-6-10,4、设=(l+a,l,1,1)%=(2,2+2,2)=(3,3,3+a,3)r-a4=(4,4,4,4+a)r,当 a 为 何 植 时，向 量 组 囚,12，3，。4线 性 相 关？当 囚,。2，&
48、3，。4线 性 相 关 时，求 该 向 量 组 的 秩 和 一 个 最 大 无 关 组，并 将 其 余 向 量 用 该 最 大 线 性 无 关 组 线 性 表 出。（5分）l+a 2 3 41 2+a 3 4则 1 小 1 2 3+a 41 2 3 4+a1 2 3 41 2+a 3 4=(10+。)1 2 3+a 41 2 3 4+a解：令 A=(%a2 a j=1+a 2 3 4、1 2+a 3 41 2 3+a 41 2 3 4+a,10+Q 2 3 410+Q 2+a 3 410+Q 2 3+c 410+a 2 3 4+a1 0 0 01 a 0 0=(10+a)0 a 0=（10+。
49、）。11 0 0 a因 为 当 间=0,向 量 组 四,&2,13，。4线 性 相 关，所 以 当。=一 1。或 a=0 时 向 量 组%,已 2，%，。4线 性 相 关。（1）当 a=0 时，(2)当 a=10时(+a 2 3 4)(1 2 3 4)0 2 3 4A=(%a2 a、%)=1 2+a 3 4二 1 2 3 4初 等 行 变 换,0 0 0 01 2 3+a 4 1 2 3 4 0 0 0 0、1 2 3 4+a；U 2 3 4J0 0 0 oj故=1,名 为 它 的 一 个 最 大 线 性 无 关 组，且%=2,%，%=3。1,a4=4%；A=(%a2(1+a 2 3 4、(-
50、9 2 3 4、0 0-14)=1 2+Q 3 4 1-8 3 4行 变 换、0 1 0-1,故 1 2 3+。4 1 2-7 4 0 0 1-12 3 4+,1 12 36)j00 0 J/?(%,%,%,%)=3,为 它 的 一 个 最 大 线 性 无 关 组，且%=-%-。2-23；5、设 4=(%)是 阶 方 阵，(1)如 果 r(A)=-l,且 A 的 各 行 元 素 之 和 均 为 零，求 A X=O 的 通 解;(2)如 果 r(A)=l,而 是 AX=0 的 两 个 不 同 的 解，求 A X=0 的 通 解;(3)如 果 NA)=T,22,且 代 数 余 子 式 求 AX=0